专题2.5 二次函数与一元二次方程（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心联系，通过知识梳理系统整合交点情况、近似解求法、交点距离公式及与不等式关系，搭建从概念理解到解题应用的学习支架，7个考点讲练逐步深化知识运用。 资料特色在于用表格对比二次函数图象与方程根的关系培养几何直观（数学眼光），典例与变式训练提升推理能力（数学思维），中考真题与分层练习强化应用意识（数学语言）。课中辅助突破难点，课后分层巩固，助力学生查漏补缺。

专题2.5 二次函数与一元二次方程 【知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 1 知识点梳理02：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 2 知识点梳理03：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 3 知识点梳理04：抛物线与不等式的关系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：求抛物线与x轴的交点坐标 4 考点2：求抛物线与y轴的交点坐标 9 考点3：已知二次函数的函数值求自变量的值 13 考点4：抛物线与x轴的交点问题 18 考点5：求x轴与抛物线的截线长 24 考点6：图象法确定一元二次方程的近似根 27 考点7：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 31 中考真题 实战演练 36 难度分层 拔尖冲刺 42 基础夯实 42 培优拔高 47 知识点梳理01：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 　【易错点拨】 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点梳理02：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 　【易错点拨】 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 知识点梳理03：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 知识点梳理04：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 　【易错点拨】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 考点1：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为 C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为 【答案】C 【思路点拨】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，则可得抛物线的顶点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的一个交点坐标为，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为；结合抛物线的对称性可知，对应的函数值与对应的函数值相等，则可得当时，对应的函数值为． 【规范解答】解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为．故A选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 与轴的交点坐标为．故B选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和，故C选项不正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 对应的函数值与对应的函数值相等， 由表格可知，当时，， 当时，对应的函数值为．故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】（2024·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若函数图象上的点的横坐标和纵坐标的倍均在函数图象上，则称函数为函数的“ 函数”． (1)若 时，求函数 的“ 函数”的解析式； (2)若时，函数 的“ 函数”为函数． ① 求 的值； ② 若直线与函数图象和图象同时只存在一个公共点，求的值； (3)已知函数的“ 函数”为函数，在时，对任意实数，不等式 恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) ， 或 (3) 【思路点拨】（1）理解“ 函数”的定义，设函数和上任意点的坐标和，利用和得到和的数量关系，即可得出函数的解析式； （2）利用“ 函数”定义设函数上任意点的坐标，得到在函数上，将点坐标代入对应函数解析式中得到和，整理计算得到，由于为任意数，则方程成立的条件是以为变量的方程所有系数都等于零，建立等式即可得出结论； 利用直线解析式分别代入到函数和中，得到两个一元二次方程，由题意可知，同时只存在一个公共点，所以利用根的判别式，即可计算得出的取值． （3）主要掌握二次函数图象特征，以及函数变量的转换，二次函数开口向上，函数值不小于，则需要，其次，注意整理不等式得到，将不等式左端看作的函数进行求解是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意可知，函数 的“ 函数”是，且， 不妨设函数上任意点的坐标为，函数上任意点的坐标为， 将点代入函数可得，， 由“ 函数”定义，可知，， 将式两端平方可得， 结合和可知， 将式代入式可得，，即， 函数上任意点，都满足， 函数 的“ 函数”的解析式为：． （2） 由题意可知，函数 的“ 函数”为函数， 且， 不妨设函数上的任意一点为，则点在函数上， 将点坐标代入函数和中整理得到： ， 将得， 点为函数上任意一点， 若方程成立，则以下等式应同时成立， ，即． 由可知， 可得，， 又直线与函数图象和图象同时只存在一个公共点， 如下两个方程组，分别有且仅有唯一解， ， 分别将和代入和得， 整理得到， 直线与函数图象和图象同时只存在一个公共， 式和式有且只有一个解， 和根的判别式相同， 不妨设， 令，解得或， 当或时，直线与函数图象和图象同时只存在一个公共点． （3）由题意可知，函数的“ 函数”为函数， 不妨设函数上的任意一点为，则点在函数上， 将点坐标代入可得， 将代入可得，， 整理得，， 取任意数， 以为变量的方程恒成立的条件是所有系数等于， ， 解得， 在时，对任意实数，不等式 恒成立， 将代入得， ， 整理得， 将作为自变量得到函数， 又对于任意实数不等式都成立， ， 即， 将作为函数自变量得到， 当，即时，， 不符合题意，舍去； 当时，函数为一次函数， 在时，恒成立， 当时，将代入函数，得到不等式组， ，解得． 当时，将代入函数，得到不等式组， ，不等式无解，舍去． 不等式 恒成立，的取值范围是． 【变式训练2】（2025·浙江·模拟预测）如图，抛物线交 x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含30度的直角三角形等知识，根据题意结合图形求得与坐标轴的交点，即可求得的长，由含30度的直角三角形的性质可得出，进而得到求解再化简即可得出答案． 【规范解答】解：令，则， ， ， ， 即， 化为， 故选C． 考点2：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点．已知，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个点，且点P的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式，并求出点的坐标； (2)连接，求面积． 【答案】(1)；； (2)的面积为 【思路点拨】本题考查了二次函数解析式的待定系数法求解、抛物线的对称轴及与坐标轴交点计算，以及平面直角坐标系中三角形面积的割补法计算（初中基础方法）．解题的关键是利用抛物线与x轴的交点确定函数表达式，再通过构造梯形和直角三角形，用“总面积减部分面积”的思路求的面积． （1）将、代入抛物线解析式列方程组求b、c；令求C点坐标，用对称轴公式求D点坐标． （2）先求P点坐标（横坐标代入抛物线解析式）；再过P作x轴垂线，构造梯形和直角三角形，用“梯形面积两个直角三角形面积”计算的面积． 【规范解答】（1）解：∵抛物线过点、， 将两点坐标代入解析式，得方程组 化简得： ②①消去，即， 将代入①：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 令，则， ∴． 抛物线对称轴，且D在x轴上， ∴． （2）解：∵P横坐标为，代入，， 过P作轴于E，则；C在y轴上，故轴，四边形为直角梯 形．的面积可表示为： ∵梯形上底，下底，高， ∴ ∵直角边， ∴， ∵直角边 ∴ ∴ ∴的面积为 【变式训练1】（2024·陕西·中考真题）关于的二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．确定该函数图像与轴交于正半轴，开口向上，顶点坐标在第四象限，即可获得答案． 【规范解答】解：对于函数， 当时，可得， ∵， ∴，即该函数图像与轴交于正半轴， ∵， ∴该函数图像的顶点坐标为， 又∵， ∴该函数图像的开口向上，顶点坐标在第四象限， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式计算即可，掌握二次函数图象与坐标交点坐标的求法是解题的关键． 【规范解答】解：如图，设抛物线与相交于点，与轴相交于点， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点3：已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点和点都在抛物线上，点在轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为． (1)当时，点的坐标为___________； (2)若点的纵坐标为，求点的坐标； (3)过点作轴于点． ①当抛物线在内部(包括边界)的最高点和最低点的纵坐标之差为，求点的坐标． ②当时，将绕着平面直角坐标系中某点逆时针旋转后得到，点的对应点分别为点．当点中恰有两个点同时落在抛物线上时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)①点的坐标为或；②或， 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，掌握这些知识是解题关键． （1）设、、的坐标分别为：、、．由抛物线得对称轴为，由点关于点的对称点为，得，故，故可得点的坐标． （2）由点的纵坐标为，得或．分别代入抛物线解析式，可得坐标． （3）①，，分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②先证明为等腰直角三角形，当、同时落在抛物线上时，与重合，故．当、同时落在抛物线上时，设，故，代入抛物线解析式计算即可． 【规范解答】（1）解：设、、的坐标分别为：、、． 抛物线对称轴为：， 在轴上， ． 点关于点的对称点为， 即， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． （2）点的纵坐标为， ， 或． ①当时， 点在轴右侧， ， ， ， ， ②当时 ， ， ， ， ， 综上所述，点的坐标为或； （3）① ， ， 当轴时，， 解得：或， 当时，， 解得， ， ， 当时，， ， 或， ， ， 当时，， 解得： 舍去或 舍去 综上所述，点的坐标为或 ②， ， ， 由（）知． 点关于点的对称点为， ． 轴， ． ， 为等腰直角三角形， 当、同时落在抛物线上时，如图： 与重合， ， ， ． 当、同时落在抛物线上时，如图： 设， ， ， ， 综上所述，或， 【变式训练1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取时，对应的函数值为，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，求出二次函数与x轴的交点横坐标，由此得到，进而得到，即可判断． 【规范解答】解：令，解得， ∵当自变量x取m时，对应的函数值小于， ， ， ， 故选：B． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海·自主招生）已知函数，． (1)若，和的图像恰有一个交点，求关于的函数解析式： (2)若，，，与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，，问：代数式的值是否和实数有关？说明理由． 【答案】(1) (2)该值与无关，理由见解析 【思路点拨】本题考查一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系是解题的关键． （1）利用和的图像恰有一个交点，即与只有一个交点，可得，利用一元二次方程的根的判别式得，化简即可； （2）利用二次函数与一次函数交点可得，即，由与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，，得，解得或，对于，可知，，得，再进行化简即可． 【规范解答】（1）解：∵和的图像恰有一个交点， ∴与只有一个交点， ∵， ∴， ∴， 化简得， ； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，， ∴， 对于函数， 当时，或， 结合开口向上， 可得时， 得或， 对于，可知，， ， ∴ ， 所以该值与无关． 考点4：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图，则下面结论中： ； ； ； ； 若点在此抛物线上，且，则． 所有正确结论的序号为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，由，对称轴为，即，可得，，从而可判断，设抛物线与轴的交点为，且在正半轴上，由，对称轴是直线，则有，即，再通过，得，再结合时，即可判断；由，，所以，从而可判断；根据题意 ，所以从而可判断；掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为，即， ∴，， ∴，；故错误；正确； 设抛物线与轴的交点为，且在正半轴上， ∵，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴时，， ∵， ∴， 故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴故正确； 根据题意， ， ∴； ∴， ∵， ∴， 解得或，故错误； 综上可知：正确， 故选：． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线上，其与部分对应值如下表： … ______ 3 2 1 … ______ 0 2 0 2 ______ (1)求此抛物线的表达式并完成填空； (2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与轴的交点为、（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长． 【答案】(1)此抛物线的表达式为，3，-8， (2)①新抛物线的表达式为；②新抛物线在直线上所截得的线段长为 【思路点拨】本题主要考查待定系数法求解析式及二次函数图象的性质，折叠的性质，重心的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意，运用两点式，设，运用待定系数法即可求解； （2）①将抛物线的一般式化为顶点式得到点P的坐标为，过点P作垂直x轴于点H，根据G是的重心，得到，则新抛物线的顶点坐标为，根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反，由此即可求解； ②设直线l与y轴的交点为，则关于直线l的对称点为，由此得到新抛物线的表达式为，根据它经过原点，得到解得，所以令，代入，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意，设抛物线的表达式为， 把 ，代入，解得． ∴此抛物线的表达式为． … 0 3 2 1 … 0 2 0 2 （2）解：①∵， ∴点的坐标为. 过点作垂直轴于点， ∴． ∵是的重心， ∴， ∴． ∵在直线上，且新抛物线与原抛物线的图像关于直线对称， ∴关于直线的对称点为．    ∴新抛物线的顶点坐标为． ∴根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴新抛物线的表达式为． ②设直线与轴的交点为，    ∴关于直线的对称点为． ∴新抛物线的表达式为． ∵它经过原点， ∴， 解得． 令，代入， 解得，． ， ∴新抛物线在直线上所截得的线段长为． 【变式训练2】（2024·云南·三模）已知抛物线经过点，与y轴交于点A，其顶点为B．设k是抛物线与x轴交点的横坐标，． (1)求的面积： (2)求代数式的值． 【答案】(1)2 (2) 【思路点拨】此题考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、代数式的求值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质和整体思想是解题的关键． （1）将点代入中求得b的值，即可得出；然后分别求出点A的坐标和点B的横坐标，即可求得的面积； （2）由k是抛物线与轴交点的横坐标得到，变形后，利用整体代入求出答案即可． 【规范解答】（1）解：将点代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式； 如图， 由（1）知抛物线的表达式为， 将代入中，得， ∴点， ∴． ∵顶点的横坐标为， ∴， ∴． （2）解：∵k是抛物线与轴交点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 考点5：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（24-25九年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， （2）过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 【变式训练1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【思路点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【规范解答】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 【变式训练2】（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 考点6：图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（25-26九年级下·浙江·课后作业）已知二次函数 (1)请你把已知的二次函数化成的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)如果、是（1）中图象上的两点，且，请直接写出的大小关系为 ； (3)利用（1）中的图象表示出方程的根m，n（，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； (4)观察（1）中的图象知，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)图见解析 (4) 【思路点拨】此题重点考查二次函数的图象与性质、用图象法求一元二次方程的近似根等知识与方法，正确地画出函数的图象是解题的关键． （1）将配成顶点式得，求出抛物线的顶点坐标、对称轴及抛物线与坐标轴的交点，再画出函数的图象即可； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，由图象可知，当时，y随x的增大而减小，所以当时，则； （3）当时，则，整理得，可知该方程的两个根即为抛物线与直线的交点的横坐标，画出这两个交点即可； （4）由函数图象可知，当时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，所以． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，则， 解得， ∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，； 当时，， ∴该抛物线与y轴的交点的坐标为， 故答案为：， 画出该函数的图象如图所示． （2）解：由（1）得，抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：当时，则， ∴， 该方程的两个根即为抛物线与直线的交点的横坐标， 如图，点M、N的横坐标即为m、n的值． （4）解：由函数图象可知，当时，函数图象的最低点为抛物线的顶点， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【规范解答】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项符合， 故选：． 【变式训练2】（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【答案】D 【思路点拨】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 考点7：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽亳州·月考）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． （1）抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； （2）的解集是抛物线在轴下方对应的x的取值，观察图形即可解答； （3）抛物线开口向下，在对称轴右侧时随的增大而减小，观察图形即可解答； （4）方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【规范解答】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当或时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为或； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 【变式训练1】（2025·安徽·模拟预测）小明利用一条直线将一个二次函数图象在处截断，剩下的图象如图所示，小明将剩下的图象部分作为一个整体图象进行研究．发现当x的值为时，y的值为1；当x的值为2时，y的值为3；当x的值为3时，y的值为6． (1)求该图象的函数解析式； (2)若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围． (3)若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质： （1）利用待定系数法分别求出和时函数的解析式即可； （2）求出二次函数在时的函数值y的取值范围，根据该二次函数图象与直线图象在时没有交点即可得到t的范围； （3）根据函数图象可知，两点，其中一点位于，另外一点位于，据此列出不等式组求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，设函数表达式为， 由题可知，函数图象过和， ∴，解得， ∴； 当时，设函数表达式为， 由题可知，函数图象过，，， ∴，解得， ∴； ∴该图象的函数解析式为； （2）解：由题可知，在时无解， 问题可转化为抛物线与直线在时无交点， 对于，其顶点为，当时，，作出抛物线的图象如图所示： ∴，当时，， ∴或； （3）解：∵， ∴， ∴点P、Q关于直线对称． 当时，，， 若，则，解得或， 当时，若，则，得， ∵之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化， ∴根据函数图象可知，两点，其中一点位于，另外一点位于， ∴①当，如图： 由题意得， ∴； ②当，如图： 由题意得， ∴， 综上：或． 【变式训练2】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【规范解答】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 1．（2024·河北唐山·中考真题）珍珍利用计算机软件设计了一个函数动画．如图，抛物线C：经过原点，与x轴正半轴交于点． （1）抛物线C的表达式为 ． （2）珍珍利用软件程序将抛物线C复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴正半轴交于点B，则的长是 ． 【答案】 1 【思路点拨】（1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可； （2）先根据函数图象平移规则“上加下减”求得抛物线的表达式，再令求得点B的坐标，进而可求解． 【规范解答】解：（1）将点代入抛物线 C：， 得， 解得， ∴抛物线C的表达式为； 故答案为：； （2）将抛物线C向下平移5个单位长度得抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴点， ∴． 2．（2024·宁夏银川·中考真题）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据图象可知，开口向上，得出，根据抛物线的对称轴为直线，得出，根据抛物线交轴负半轴，得出，即可判断①；根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为，将该点坐标代入解析式可判断②；根据抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即，得出无论取何值时，总是大于或等于，即，可判断③；根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，到的距离比到的距离小，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大， 即可判断④． 【规范解答】解：根据图象可知，开口向上， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴负半轴， ， ∴，故①错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为， 将该点坐标代入解析式可得：，故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即， ∴无论取何值时，总是大于或等于， 即，故③正确，符合题意； 根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，到的距离比到的距离小，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大， 故，故④正确，符合题意． 故答案为：②③④． 3．（2024·贵州贵阳·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③该函数图象与x轴的另一个交点坐标为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，二次函数图象向下，与轴交于正半轴，得到，由二次函数的对称轴为直线， ，可判断①；由二次函数图象经过点，可判断②；求得由二次函数图象与轴的另一个交点为，可判断③；可得到，根据关于的方程无实数根，可判断④． 【规范解答】解：∵二次函数图象向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵二次函数图象经过点， ∴，即，故②符合题意； ∵二次函数图象经过点，二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为，故③符合题意； ∴可分解因式为， ∴，即， 若关于的方程无实数根， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，故④不符合题意； 综上，符合题意的有②③，共个， 故选：B． 4．（2024·广东广州·中考真题）设二次函数（常数）的图像与一次函数（，d、e为常数）的图像交于，若函数的图像与轴仅有一个交点．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】首先将代入得到，求出一次函数，然后表示出，然后根据题意得到，得到，设，求出，进而　即可． 【规范解答】解：∵点在一次函数上， ∴， ∴， ∴一次函数， ∴， ∵函数的图像与轴仅有一个交点， ∴， ∴， ∴设， ∴ ∴ ∴ 解得， ∴， ∴． 故选：D． 5．（2024·甘肃张掖·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【思路点拨】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； （2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； （3）作出点关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当的值最小，即当三点共线时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法． 【规范解答】（1）解：∵点在抛物线上， ， ∴， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：是直角三角形，证明如下： 在中，当时，， ， ∴； 在中，当时，， 解得，， ∴， ，， ∵，，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点C和点D都是定点， ∴的长为定值， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴． 基础夯实 1．（2025九年级下·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系． 仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解． 【规范解答】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解是解题的关键． 根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为且对称轴为直线，得抛物线与x轴的另一个交点为，从得出答案． 【规范解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， 则抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为，，可得， 设，可得， ∴，， 由上可得，方程的两个根为，， 故选：C． 3．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法，二次函数图象与坐标轴的交点．把点代入函数解析式，即可求出m的值，判断A选项；根据二次函数的解析式可求出对称轴，判断B选项；求出的值，根据其正负性，判断C选项，根据二次函数的图象及性质判断D选项． 【规范解答】解：将代入， 得， 解得， 故A选项正确，不符合题意； 二次函数的图象的对称轴为直线， 故B选项正确，不符合题意； ， 二次函数解析式为， ， 二次函数图象与x轴没有交点， 故C选项不正确，符合题意； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y的值随x值的增大而增大， 即当时，y的值随x值的增大而增大， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C 4．（2025·河南南阳·二模）二次函数（为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【规范解答】解：由图可知，当时， 与有交点， 即若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 5．（25-26九年级下·全国·期中）函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ． 【答案】2或 【思路点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可． 【规范解答】解：∵函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴， 解得或． 故答案为：2或． 6．（24-25九年级下·全国·期末）若抛物线的顶点在x轴上，则 ． 【答案】 【思路点拨】先确定顶点坐标，令纵坐标为0解答即可． 本题考查了顶点坐标的计算，熟练掌握找顶点坐标是解题的关键． 【规范解答】解：， 故抛物线的顶点坐标为， 由抛物线的顶点在x轴上， 故， 解得， 故答案为：． 7．（2025·山东·模拟预测）已知函数与x轴只有一个交点，则 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查了判别式的应用，抛物线与x轴的交点问题，先理解函数与x轴只有一个交点，进行分类讨论，当时，得出，再解得或，当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点，即可作答． 【规范解答】解：∵函数与x轴只有一个交点， ∴当时，令则， 则 则 即 ∴ 解得或， 当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点， 综上：的值为或或0． 故答案为：或或0 8．（2025·山东青岛·二模）将抛物线向上平移个单位后，与轴只有一个交点，求a． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据抛物线的平移规律写出平移后抛物线的解析式，再根据根的判别式解方程即可． 【规范解答】解：根据题意，平移后的抛物线解析式为：， 平移后的抛物线与轴只有一个交点， ， 解得：． 9．（24-25九年级下·广东广州·期中）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． 【答案】 【思路点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，令，由题意可得，，进而可得答案． 【规范解答】解：令， 由题意可得，， 解得． ∴k的取值范围为． 10．（24-25九年级下·广东阳江·阶段练习）如图，已知抛物线经过点． (1)求m的值； (2)求出此抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标． 【答案】(1) (2)；， 【思路点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征： （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可求得m的值； （2）由（1）可得抛物线的解析式，进而可求抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标． 【规范解答】（1）解：把点代入得： ， 解得． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时， 解得， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 培优拔高 11．（2025·湖北·模拟预测）抛物线（a，b，c为常数，）经过点，顶点为，下列正确的是（    ）． A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．关于x的方程无实数解 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据二次函数与方程的关系判断A、D，根据二次函数的性质判断B、C． 【规范解答】解：A、∵抛物线（a，b，c为常数，）经过点， ∴方程有解， ∴， ∵， ∴，故选项A错误，不符合题意； B、∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∵点，在抛物线上， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴，故选项B错误，不符合题意； C、∵抛物线的顶点为，， ∴， 当时，， ∴，故选项C错误，不符合题意； D、∵抛物线的顶点为，， ∴抛物线与直线没有交点， ∴关于x的方程无实数解，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 12．（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数．有下列说法： ①无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点 ②若，则当时，y随x的增大而增大 ③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点 ④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则． 其中正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质（包括与轴交点的判定、增减性、过定点问题及整数交点求解），解题的关键是熟练运用判别式判断交点个数、对称轴公式分析增减性、代入法验证定点及因式分解求交点坐标． 判断①需计算判别式，根据的取值确定交点个数是否必为两个；判断②需先求对称轴，结合时抛物线开口向上的性质，分析与对称轴的位置关系以确定增减性；判断③需将和分别代入函数解析式，验证对应函数值是否为和；判断④需先利用定点将函数因式分解，求出交点坐标，再结合为整数及“两个整数交点”的条件确定的值． 【规范解答】解：①∵ ， ∴当时，，函数与轴仅1个交点，故①错误； ②∵当时，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当时，在对称轴右侧， ∴随增大而增大，故②正确； ③∵当时，， 当时，， ∴函数必过和，故③正确； ④由③知函数过，因式分解得， 令，得交点和， ∵交点为整数，为整数且， ∴为整数， ∴， 当时，，两交点重合（仅1个）； 当时，，两交点为和（均为整数），故，故④正确． 综上，②③④正确． 故选：B． 13．（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围是．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【规范解答】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴，和的函数值相同， 由图可知，当时的函数值小于0， ∴， ∴， 故①正确； 由图象可知，，根据对称轴，得， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， 当时，其函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； 如图所示，和点满足，    ∴和点关于对称轴对称， ∴， ∵， ∴， 解得， 故④正确； 故正确的有①②④； 故选：B． 14．（24-25九年级下·上海闵行·月考）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现图象的变化特点； 根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点中m的值． 【规范解答】解：， ∴图象的顶点坐标为， ∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为， 把代入，解得：， 作的直线平行轴，如图： ， ∴， 由图象可得， 每4个单位长度的图象为一个循环， ∵，， ∴点与图象的点中的纵坐标是相等的， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若抛物线与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握抛物线与x轴交点个数的判定方法成为解题的关键． 已知抛物线与y轴交于点，由抛物线与坐标轴有1个交点，可得出抛物线与x轴没有交点，即没有实数根，则，据此列出关于m的不等式求解即可． 【规范解答】解：∵抛物线与y轴交于点，由抛物线与坐标轴有1个交点， ∴与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，即，解得：． 故答案为：． 16．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 【答案】 【思路点拨】先求出抛物线与轴交点，平移后得到、坐标；再根据中心对称求出解析式，进而得到与轴交点，平移后得到、坐标；然后表示出、、的长度，最后根据列方程求解 ． 【规范解答】当时，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，． ， 抛物线的顶点坐标为， 点关于原点的对称点为， 抛物线的“中心对称抛物线”的解析式为， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，， ，，． ， ， 解得， 故答案为：． 17．（2025·河北邯郸·三模）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得，若在第13段抛物线上，则 ． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点，旋转的性质，二次函数图象的平移，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值． 【规范解答】解：一段抛物线：， 图象与x轴交点坐标为：，， 将绕点旋转得，交x轴于点； 将绕点旋转得，交x轴于点； … 如此进行下去，直至得 的解析式与x轴的交点坐标为，，且图象在x轴上方，相当于将平移到， 的解析式为：， 当时，， 故答案为： 18．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式；当时，求的取值范围． (2)将该抛物线向上平移___________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【答案】(1)这个二次函数的表达式为；当时，y的取值范围为； (2)3或4 【思路点拨】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式． （1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可；抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （2）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． 当时，， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； （2）解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点即， 当时，， ∴与y轴的有一个交点即， 符合题意；当经过原点时， ，向上平移3个单位长度， 函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 故答案为：3或4． 19．（2025·福建漳州·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)顶点的坐标为___________； (2)若的面积为， ①求此时抛物线的表达式； ②当时，抛物线与直线能有两个公共点，求的取值范围； ③点为轴上一点，当最大时，此时___________． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【思路点拨】本题为二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本性质等． ()由题意得：，则，再根据顶点式可得顶点的坐标； ()①先根据的面积为，求出，即可解得直线的解析式；②再根据直线的解析式得，直线经过定点，当时，直线：，联立抛物线解析式解方程得抛物线与直线：的交点为和，画出图象，进而可得答案；③作的外接圆，过点作轴于点，连接，推出，当最大时，也最大，即有最大值，在中，进而可得答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 解得：， ∵， ∴顶点的坐标为； 故答案为：； （2）①由()得，， 令，则，解得： ∴， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式； ②∵直线， ∴当时，， ∴直线经过定点， 当时，直线：， 联立， 解得：或， ∴抛物线与直线：的交点为和， ∴当时，抛物线与直线能有两个公共点，即符合题意； 当时，则，直线中的随增大而增大， 由图象可得，此时抛物线与直线有两个交点，一个在点的下方，另一个在点的上方， 又∵当时，抛物线与直线能有两个公共点， ∴； ∴综上所述，的取值范围为； ③由①中的结论得，抛物线的表达式； ∴抛物线的对称轴为， 令，则， 解得：， 设点在点的左侧，则，， 如图，作的外接圆，过点作轴于点，连接， ∵， ∴点在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上， ∴点到轴的距离为， ∵ 点在轴上， ∴与轴至少有个交点 ∴的半径点到轴的距离，即， ∵轴，， ∴，， 又∵； ∴， ∴当最大时，也最大，即有最大值， 在中，， ∵，， ∴， ∴有最大值为，此时最大， ∴当最大时，． 20．（25-26九年级下·广东广州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交于点E． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【思路点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，关键是对二次函数性质的应用． （1）根据抛物线解析式求出B，C坐标，再用待定系数法求直线的解析式； （2）设，则，然后根据得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可； 【规范解答】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 二次函数与一元二次方程 【知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 1 知识点梳理02：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 2 知识点梳理03：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 3 知识点梳理04：抛物线与不等式的关系 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：求抛物线与x轴的交点坐标 4 考点2：求抛物线与y轴的交点坐标 5 考点3：已知二次函数的函数值求自变量的值 7 考点4：抛物线与x轴的交点问题 8 考点5：求x轴与抛物线的截线长 9 考点6：图象法确定一元二次方程的近似根 10 考点7：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 11 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 17 知识点梳理01：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 　【易错点拨】 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点梳理02：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 　【易错点拨】 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 知识点梳理03：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 知识点梳理04：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 　【易错点拨】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 考点1：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为 C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为 【变式训练1】（2024·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若函数图象上的点的横坐标和纵坐标的倍均在函数图象上，则称函数为函数的“ 函数”． (1)若 时，求函数 的“ 函数”的解析式； (2)若时，函数 的“ 函数”为函数． ① 求 的值； ② 若直线与函数图象和图象同时只存在一个公共点，求的值； (3)已知函数的“ 函数”为函数，在时，对任意实数，不等式 恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练2】（2025·浙江·模拟预测）如图，抛物线交 x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 考点2：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点．已知，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个点，且点P的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式，并求出点的坐标； (2)连接，求面积． 【变式训练1】（2024·陕西·中考真题）关于的二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 考点3：已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点和点都在抛物线上，点在轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为． (1)当时，点的坐标为___________； (2)若点的纵坐标为，求点的坐标； (3)过点作轴于点． ①当抛物线在内部(包括边界)的最高点和最低点的纵坐标之差为，求点的坐标． ②当时，将绕着平面直角坐标系中某点逆时针旋转后得到，点的对应点分别为点．当点中恰有两个点同时落在抛物线上时，直接写出点的坐标． 【变式训练1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取时，对应的函数值为，则满足（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海·自主招生）已知函数，． (1)若，和的图像恰有一个交点，求关于的函数解析式： (2)若，，，与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，，问：代数式的值是否和实数有关？说明理由． 考点4：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图，则下面结论中： ； ； ； ； 若点在此抛物线上，且，则． 所有正确结论的序号为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线上，其与部分对应值如下表： … ______ 3 2 1 … ______ 0 2 0 2 ______ (1)求此抛物线的表达式并完成填空； (2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与轴的交点为、（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长． 【变式训练2】（2024·云南·三模）已知抛物线经过点，与y轴交于点A，其顶点为B．设k是抛物线与x轴交点的横坐标，． (1)求的面积： (2)求代数式的值． 考点5：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（24-25九年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【变式训练1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【变式训练2】（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 考点6：图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（25-26九年级下·浙江·课后作业）已知二次函数 (1)请你把已知的二次函数化成的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)如果、是（1）中图象上的两点，且，请直接写出的大小关系为 ； (3)利用（1）中的图象表示出方程的根m，n（，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； (4)观察（1）中的图象知，当时，y的取值范围是 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 考点7：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽亳州·月考）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【变式训练1】（2025·安徽·模拟预测）小明利用一条直线将一个二次函数图象在处截断，剩下的图象如图所示，小明将剩下的图象部分作为一个整体图象进行研究．发现当x的值为时，y的值为1；当x的值为2时，y的值为3；当x的值为3时，y的值为6． (1)求该图象的函数解析式； (2)若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围． (3)若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围． 【变式训练2】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·河北唐山·中考真题）珍珍利用计算机软件设计了一个函数动画．如图，抛物线C：经过原点，与x轴正半轴交于点． （1）抛物线C的表达式为 ． （2）珍珍利用软件程序将抛物线C复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴正半轴交于点B，则的长是 ． 2．（2024·宁夏银川·中考真题）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有 ． 3．（2024·贵州贵阳·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③该函数图象与x轴的另一个交点坐标为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·广东广州·中考真题）设二次函数（常数）的图像与一次函数（，d、e为常数）的图像交于，若函数的图像与轴仅有一个交点．则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃张掖·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 基础夯实 1．（2025九年级下·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 4．（2025·河南南阳·二模）二次函数（为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 5．（25-26九年级下·全国·期中）函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ． 6．（24-25九年级下·全国·期末）若抛物线的顶点在x轴上，则 ． 7．（2025·山东·模拟预测）已知函数与x轴只有一个交点，则 ． 8．（2025·山东青岛·二模）将抛物线向上平移个单位后，与轴只有一个交点，求a． 9．（24-25九年级下·广东广州·期中）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． 10．（24-25九年级下·广东阳江·阶段练习）如图，已知抛物线经过点． (1)求m的值； (2)求出此抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标． 培优拔高 11．（2025·湖北·模拟预测）抛物线（a，b，c为常数，）经过点，顶点为，下列正确的是（    ）． A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．关于x的方程无实数解 12．（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数．有下列说法： ①无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点 ②若，则当时，y随x的增大而增大 ③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点 ④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则． 其中正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①④ D．②③ 13．（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围是．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④ 14．（24-25九年级下·上海闵行·月考）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 15．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若抛物线与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 ． 16．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 17．（2025·河北邯郸·三模）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得，若在第13段抛物线上，则 ． 18．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式；当时，求的取值范围． (2)将该抛物线向上平移___________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 19．（2025·福建漳州·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)顶点的坐标为___________； (2)若的面积为， ①求此时抛物线的表达式； ②当时，抛物线与直线能有两个公共点，求的取值范围； ③点为轴上一点，当最大时，此时___________． 20．（25-26九年级下·广东广州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交于点E． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $