期末复习讲义：专题04 运算律（考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练）-2025-2026学年四年级上册数学北师大版

期末复习讲义：专题04 运算律 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、整数的四则混合运算 1.无括号的运算顺序 （1）运算顺序规则： ①同级运算： 从左往右依次计算。 ②不同级运算： 先算乘除，后算加减。 （2）关键点： ①牢记口诀：“先乘除，后加减”。 ②没有括号时，严格按照顺序规则进行，不能随意改变运算顺序。 ③乘除是同级运算，加减是同级运算。同级运算从左到右依次进行。 2.带有小括号的混合运算 （1）运算顺序规则： ①有小括号时：先算小括号里面的，再算括号外面的。 ②括号的作用是改变运算顺序，优先计算括号内的部分。 ③括号内的运算，也要遵循“先乘除，后加减”的规则。 （2）关键点： ①看到小括号 ( )，必须先算括号里的。 ②括号里可能是一步计算，也可能是多步计算，按无括号规则进行。 ③括号外的部分，按剩余算式的规则（无括号或可能有其他括号）进行。 3.带有中括号的混合运算 （1）运算顺序规则： ①既有小括号又有中括号时：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 ②中括号 [ ] 比小括号 ( ) 优先级更高。当一个算式需要用到两种括号时，小括号在内，中括号在外。 ③括号内的运算，同样遵循“先乘除，后加减”的规则。 （2）关键点： ①书写规范： 小括号写在算式里面一层，中括号写在算式外面一层。例如：[ ( ) ]。 ②顺序规则： 第一步： 计算最内层小括号里的算式。 第二步： 计算中括号里的算式（此时中括号里可能只剩简单的计算或没有计算）。 第三步： 计算中括号外面的算式。 ③括号内的运算顺序规则不变。 考点二、加法运算律 1.加法交换律 （1）定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 （2）字母表达式： a + b = b + a （3）理解： 加数的位置可以互换，不影响计算结果。 2.加法结合律 （1）定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 （2）字母表达式： (a + b) + c = a + (b + c) （3）理解： 加数的结合方式可以改变（括号位置可以改变），不影响计算结果。 考点三、乘法运算律 1.乘法交换律 （1）定义： 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 （2）字母表达式： a × b = b × a （3）理解： 乘数的位置可以互换，不影响计算结果。 2.乘法结合律 （1）定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 （2）字母表达式： (a × b) × c = a × (b × c) （3）理解： 乘数的结合方式可以改变（括号位置可以改变），不影响计算结果。 3.乘法分配律 （1）定义： 两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再把积相加（或相减）。 （2）字母表达式： ①正分配律：(a + b) × c = a × c + b × c ②逆分配律：a × c + b × c = (a + b) × c ③减法分配律：(a - b) × c = a × c - b × c ④逆分配律（减法）：a × c - b × c = (a - b) × c （3）理解： 这是应用最广泛的运算律，可以改变运算顺序。 考点四、减法和除法的性质 1.减法的性质 （1）连减性质： a - b - c = a - (b + c) （2）注意： 减法没有交换律！a - b ≠ b - a (除非a=b) 2.除法的性质 （1）连除性质： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) (b≠0, c≠0) （2）注意： 除法没有交换律！a ÷ b ≠ b ÷ a (除非a=b)。除法也没有结合律！(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)。 考点五、运用运算律进行简便计算 1.核心思想： 观察算式中数的特点（如接近整十、整百、整千的数，能凑整的数，有相同因数的项等），灵活选择运算律进行简便计算。 2.常见技巧： （1）凑整法： 利用加法交换律、结合律或乘法交换律、结合律将能凑成整十、整百、整千的数先结合起来计算。如 25 + 36 + 75 + 64 = (25 + 75) + (36 + 64) = 100 + 100 = 200 （2）拆分法： 将接近整十、整百、整千的数拆成整十、整百、整千与另一个数的和或差，再利用乘法分配律计算。如 102 × 45, 99 × 88。 （3）提取公因数法： 利用乘法分配律的逆运算（提取公因数）。如 45 × 12 + 45 × 88 = 45 × (12 + 88) = 45 × 100 = 4500 （4）改变运算顺序： 利用运算律改变运算顺序，使计算更简便。如 125 × 32 × 25 = 125 × (8 × 4) × 25 = (125 × 8) × (4 × 25) = 1000 × 100 = 100000 (将32拆成8×4，利用乘法结合律) 考点六、解决实际问题 1.审题： 仔细阅读题目，理解题意，找出关键信息（数量、关系）。 2.分析： 判断题目中涉及的数量关系（如总价=单价×数量，路程=速度×时间，总量=单一量×份数等），明确需要求什么。 3.列式： 根据数量关系和运算律的特点列出算式。有时直接列式计算可能较复杂，可以考虑运用运算律进行简便计算。 4.计算： 进行计算（笔算或简便计算）。 5.检验： 检查计算结果是否符合实际意义（如人数不能是小数），或通过估算检查结果是否合理。 6.作答： 完整地写出答案（包括单位和答语）。 例题讲解 一、整数的四则混合运算 【例题1】（24-25四年级上·广东揭阳·期中）计算。 297－32×5÷5       540÷360÷（24－16）        240÷[（7＋5）×5]            48×[（117－69）÷3] 【答案】265；120； 4；768 【分析】计算297－32×5÷5，根据四则运算的顺序，先算乘除法，后算减法； 计算540÷36×（24－16），先算小括号里的减法，再从左到右依次计算； 计算240÷[（7＋5）×5]，先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法； 计算48×[（117－69）÷3]，先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括号外的乘法。 【详解】297－32×5÷5 ＝297－160÷5 ＝297－32 ＝265 540÷36×（24－16） ＝540÷36×8 ＝15×8 ＝120 240÷[（7＋5）×5] ＝240÷[12×5] ＝240÷60 ＝4 48×[（117－69）÷3] ＝48×[48÷3] ＝48×16 ＝768 【例题2】（25-26四年级上·陕西延安·期中）某电风扇专卖店从工厂批发了70台电风扇，售价为170元。在卖出60台电风扇后，开始降价销售，此时售价为148元。如果这微电风扇全部售出，电风扇专卖店一共可以卖多少钱？ 【答案】11680元 【分析】这道题目主要是单价、数量和总价三者之间关系的运用，总价＝单价×数量，先用原价170元乘60，求出60台的总价；卖出60台后还剩下70－60＝10（台），再用现价乘10，求出剩下的10台可以卖出的钱数；然后把两部分的钱数相加，求出能卖总钱数即可。 【详解】170×60＋（70－60）×148 ＝10200＋10×148 ＝10200＋1480 ＝11680（元） 答：电风扇专卖店一共可以卖11680元钱。 【例题3】（24-25四年级上·陕西榆林·期中）阳光农场今年收获了417千克菜籽油。计划将200千克菜籽油装在大油桶里，由于某种原因，实际比计划少装了18千克。该农场将剩下的菜籽油全部装在小油桶里，每个小油桶装满需要5千克菜籽油。剩下的菜籽油能装满多少个小油桶？ 【答案】47个 【分析】由题意得，阳光农场今年收获了417千克菜籽油。计划将200千克菜籽油装在大油桶里，由于某种原因，实际比计划少装了18千克。可以先用200减去18算出实际装了多少千克菜籽油在大油桶里，接着用417减去前面的得数算出还剩下多少千克菜籽油。该农场将剩下的菜籽油全部装在小油桶里，每个小油桶装满需要5千克菜籽油，直接用前面的得数除以5即可算出剩下的菜籽油能装满多少个小油桶。 【详解】[417－（200－18）]÷5 ＝[417－182]÷5 ＝235÷5 ＝47（个） 答：剩下的菜籽油能装满47个小油桶。 二、加法交换律和乘法交换律 【例题1】（24-25四年级上·广东佛山·期中）脱式计算。 （1）147＋78＋53        （2）33×2－42÷7            （3）125×9×8        （4）118－5×（26－14） 【答案】278；60；9000；58 【分析】计算147＋78＋53时，运用加法交换律变成147＋53＋78进行简便计算； 计算33×2－42÷7时，先算乘除法，再算减法； 计算125×9×8时，运用乘法交换律变成125×8×9进行简便计算； 计算118－5×（26－14）时，先算小括号里的减法，再算括号外面的乘法，最后算括号外面的减法。 【详解】（1）147＋78＋53 ＝147＋53＋78 ＝200＋78 ＝278 （2）33×2－42÷7 ＝66－6 ＝60 （3）125×9×8 ＝125×8×9 ＝1000×9 ＝9000 （4）118－5×（26－14） ＝118－5×12 ＝118－60 ＝58 【例题2】（23-24四年级上·陕西咸阳·期中）“青蛙是捕食害虫的健将”。某只青蛙第一天捕食了99只害虫，第二天捕食了148只害虫，第三天捕食了201只害虫，这只青蛙这三天一共捕食了多少只害虫？ 【答案】448只 【分析】要求三天一共捕食的害虫数量，将三天的数量相加即可。计算时，可以应用加法交换律，使其计算简便。 【详解】99＋148＋201 ＝99＋201＋148 ＝300＋148 ＝448（只） 答：这只青蛙这三天一共捕食了448只害虫。 【例题3】（25-26四年级上·广东深圳·期中）为了丰富同学们的课余生活，学校图书馆新购进500本图书。现有4个空书架，每个书架有6层，每层可以放25本图书。这些新购进的图书能全部放下吗？ 【答案】能 【分析】用书架的层数×每层放的本数即可求出一个书架能放的数量，用25乘上6可以得到每个书架能放多少本书，再乘上4可以算出4个书架总共能放多少本书；根据乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变；可以交换乘法算式中4和6的位置，进行简便计算，然后将可以放书的总数量，和500进行对比即可解答。 【详解】25×6×4 ＝25×4×6 ＝100×6 ＝600（本） 600＞500 答：这些新购进的图书能全部放下。 三、加法结合律 【例题1】（25-26四年级上·陕西延安·期中）94＋178＋206＝178＋（94＋206）运用的是( )律和( )律。 【答案】 加法交换 加法结合 【分析】加法交换律：交换两个加数的位置，和不变；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再与第三个数相加，或者是先把后两个数相加，再与第一个数相加，和不变；算式94＋178＋206＝178＋（94＋206）是把94和178交换位置，再把94和206相结合；据此填空。 【详解】94＋178＋206＝178＋（94＋206）运用的是加法交换律和加法结合律。 【例题2】（25-26四年级上·陕西咸阳·期中）轻轨列车有5节车厢，前两节车厢共载乘客156人，第3节车厢载乘客73人，最后两节车厢共载乘客127人。这列车共载乘客多少人？ 【答案】356人 【分析】根据题意，已知列车有5节车厢，前两节车厢共载乘客156人，第3节车厢载乘客73人，最后两节车厢共载乘客121人。用156加上73，再加上121，就是这列车共载乘客的人数，计算时可以根据加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），进行简便计算，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 156＋73＋127 ＝156＋（73＋127） ＝156＋200 ＝356（人） 答：这列车共载乘客356人。 【例题3】（25-26四年级上·山西吕梁·期中）爬山既可以锻炼身体，又可以陶冶情操，是一项很好的户外运动。国庆假期，淘气和朋友们一起爬山，他们边爬山边欣赏风景。下面是他们4小时内的爬山路程，请问这4小时他们一共爬了多少米？ 第1小时 第2小时 第3小时 第4小时 446米 381米 354米 319米 【答案】1500米 【分析】根据题意，将他们这4小时爬山的米数相加，就是一共爬了多少米。列出算式446＋381＋354＋319，计算时可以先根据加法交换律a＋b＝b＋a，变成446＋354＋381＋319。再根据加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），变成（446＋354）＋（381＋319）使得计算简便。 【详解】446＋381＋354＋319 ＝446＋354＋381＋319 ＝（446＋354）＋（381＋319） ＝800＋700 ＝1500（米） 答：这4小时他们一共爬了1500米。 四、乘法结合律 【例题1】（24-25四年级上·广东深圳·期末）京剧行头中的长靠是京剧舞台上的铠甲。艺术服装厂要制作一批长靠，厂里共18个小组，每个小组制作25套长靠，制作1套长靠需要4平方米布料，制作这些长靠一共需要( )平方米布料。 【答案】1800 【分析】先用厂里小组的个数×每小组制作的套数，据此用18×25，然后再乘1套长靠需要的布料，计算时可以利用乘法结合律进行简算，据此解题。 【详解】18×25×4 ＝18×（25×4） ＝18×100 ＝1800（平方米） 京剧行头中的长靠是京剧舞台上的铠甲。艺术服装厂要制作一批长靠，厂里共18个小组，每个小组制作25套长靠，制作1套长靠需要4平方米布料，制作这些长靠一共需要1800平方米布料。 【例题2】（24-25四年级上·辽宁朝阳·期末）2024年羽毛球世界最高级别赛事“汤尤杯”在成都高新体育中心举办，该体育中心大约有60个观赛区，每个观赛区有8行，每行可坐25人，该体育中心大约可同时容纳多少人观赛？ 【答案】12000人 【分析】由题意得，成都高新体育中心大约有60个观赛区，每个观赛区有8行，每行可坐25人，可以先用60乘8算出成都高新体育中心一共有多少行，然后再乘上8即可算出该体育中心大约可同时容纳多少人观赛。计算时，利用乘法结合律可使计算简便。 【详解】60×8×25 ＝60×（8×25） ＝60×200 ＝12000（人） 答：该体育中心大约可同时容纳12000人观赛。 【例题3】（25-26四年级上·山西吕梁·期中）皮影戏是我国民间古老的传统艺术。儿童剧场一天进行了3场皮影戏表演，平均每场售出125张门票，每张门票8元，儿童剧场一天的门票收入是多少元？ 【答案】3000元 【分析】用每场可售出125张门票乘每天3场皮影戏表演，可求得共售出多少张门票，再用每张门票8元，乘其结果，即可求得儿童剧场一天的门票收入是多少元。计算8×（125×3）时，利用乘法结合律，先算8×125，再用其结果乘3，即可简算。 【详解】8×（125×3） ＝（8×125）×3 ＝1000×3 ＝3000（元） 答：儿童剧场一天的门票收入是3000元。 五、乘法分配律 【例题1】（23-24四年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算下面各题。 102×48        169×23－69×23      350＋185＋115＋750 【答案】4896；2300；1400 【分析】（1）把102看成100＋2，根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，把式子变成100×48＋2×48，再进行简便计算； （2）乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，根据它的逆运算，把式子变成（169－69）×23，再进行简便计算； （3）根据加法交换律a＋b＝b＋a和加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）把式子变成（350＋750）＋（185＋115），再进行简便计算。 【详解】102×48 ＝（100＋2）×48 ＝100×48＋2×48 ＝4800＋96 ＝4896 169×23－69×23 ＝（169－69）×23 ＝100×23 ＝2300 350＋185＋115＋750 ＝（350＋750）＋（185＋115） ＝1100＋300 ＝1400 【例题2】（25-26四年级上·广东深圳·期中）喷洒机器人有杀虫剂喷施和肥料喷施两种模式。喷杀虫剂时，每小时可覆盖58亩农田；喷肥料时，每小时可覆盖42亩农田。一台喷洒机器人在两种模式下各工作168小时，一共覆盖了多少亩农田？ 【答案】16800亩 【分析】每小时可覆盖的面积×工作时间＝总共覆盖的面积，把数据代入分别求出两种模式覆盖农田的面积，然后相加，即等于两种模式下各工作168小时一共覆盖的农田面积；计算时可利用乘法分配律进行简算。 【详解】58×168＋42×168 ＝（58＋42）×168 ＝100×168 ＝16800（亩） 答：一共覆盖了16800亩农田。 【例题3】（24-25四年级上·四川成都·期中）商场某日上午卖出48台取暖器，下午卖出52台，每台取暖器的价钱是298元，这个商场这天卖取暖器共收入多少元？（用两种方法解答） 【答案】 29800元 【分析】第一种方法：先把上午卖出的数量加上下午卖出的数量相加，求出总销量，再根据总价＝单价×数量，用总销量乘单价即可求解。 第二种方法：根据总价＝单价×数量，分别用上午卖出的数量和下午卖出的数量乘单价，分别计算上午和下午的收入，再相加。计算过程利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】方法一： （元） 答：这个商场这天卖取暖器共收入29800元。 方法二： （元） 答：这个商场这天卖取暖器共收入29800元。 考点练习 一、整数的四则混合运算 1．（25-26四年级上·陕西延安·期中）若把算式“16×500－200÷5”的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算乘法，则算式变为（    ）。 A．16×（500－200）÷5 B．（16×500－200）÷5 C．16×[（500－200）÷5] D．16×（500－200÷5） 【答案】C 【分析】16×500－200÷5的运算顺序是先算乘法和除法，再算减法，要变成先算减法，再算除法，最后算乘法，只要给减法加上小括号，减法和除法加上中括号即可。 【详解】若把算式“16×500－200÷5”的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算乘法，则算式变为16×[（500－200）÷5]。 故答案为：C 2．（25-26四年级上·吉林长春·期中）某校安排学生宿舍，如果每间5人，则有14人没有床位；如果每间7人，则多4个空床位。问：宿舍有( )间，住宿学生有( )人。 【答案】 9 59 【分析】根据题意，两次分配宿舍的情况分别为：每间5人时多14人无床位，每间7人时多4个空床位。用14加上4，就是相差的床位数，再除以房间的人数差，就是房间数；即（14＋4）÷（7－5）＝9（间），再乘5，加上14，就是住宿的人数；或乘7，再减去4，就是住宿的人数；列式计算即可。 【详解】根据分析可知： （14＋4）÷（7－5） ＝18÷2 ＝9（间） 方法一：5× 9＋14 ＝45＋14 ＝59（人） 方法二：7×9－4 ＝63－4 ＝59（人） 某校安排学生宿舍，如果每间5人，则有14人没有床位；如果每间7人，则多4个空床位。问：宿舍有9间，住宿学生有59人。 3．（24-25四年级上·广东揭阳·期中）计算。 297－32×5＋5                            540＋360÷（24－16） 240÷[（7＋5）×5]                        48×[（117－69）÷3] 【答案】142；585； 4；768 【分析】第1题，先算乘法，再算减法，最后算加法。 第2题，先算小括号里的减法，再算小括号外的除法，最后算加法。 第3题，先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法。 第4题，先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法。 【详解】297－32×5＋5                             ＝297－160＋5 ＝137＋5 ＝142 540＋360÷（24－16） ＝540＋360÷8 ＝540＋45 ＝585 240÷[（7＋5）×5]    ＝240÷[12×5] ＝240÷60 ＝4                      48×[（117－69）÷3] ＝48×[48÷3] ＝48×16 ＝768 4．（25-26四年级上·广东深圳·期中）10月3日，小丽一家、叔叔一家和爷爷奶奶一起去旅游。晚上住在一家民宿，他们订了3间单人间和2间双人间，收费标准如表。这一晚他们需要支付房费多少元？ 单人间 114元 双人间 156元 【答案】654元 【分析】每间单人间114元，3间单人间就需要3个114元，即114乘3元，同理求出2间双人间的钱数，然后再相加即可求出这一晚他们需要支付房费多少元。 【详解】114×3＋156×2 ＝342＋312 ＝654（元） 答：这一晚他们需要支付房费654元。 5．（23-24四年级上·陕西西安·期中）一包面粉，刚好可以做15个馒头。如果都做包子，刚好可以做18个。做一个馒头比做一个包子多用面粉10克。这包面粉有多少克？ 【答案】900克 【分析】根据题意，做一个馒头比做一个包子多用面粉10克，则做15个馒头比做15个包子多用面粉（15×10）克，因为15个馒头的面粉正好可以做18个包子，则用多用的克数除以对应多做的包子个数，即可求出做每个包子用多少克面粉，用做每个包子用的面粉克数乘可以做的个数，即可求出这包面粉有多少克。 【详解】（15×10）÷（18－15） ＝150÷3 ＝50（克） 50×18＝900（克） 答：这包面粉有900克。 6．（24-25四年级上·陕西榆林·期中）某手工编织社团准备编织1000个玩偶送给福利院的小朋友们。第一小组每天编织68个，编织了5天，剩下的任务分给第二、第三和第四小组的团员们。这三个小组平均每组要编织多少个玩偶？ 【答案】220个 【分析】第一小组每天编织68个，编织了5天，用68乘5可计算出第一小组一共编织了多少个，用1000减去第一小组编织的数量，可算出剩余的数量，再除以3，可算出这三个小组平均每组要编织多少个玩偶。 【详解】（1000－68×5）÷3 ＝（1000－340）÷3 ＝660÷3 ＝220（个） 答：这三个小组平均每组要编织220个玩偶。 二、加法交换律和乘法交换律 1．（24-25四年级上·陕西榆林·期中）下面各选项中，没有运用乘法交换律的是（    ）。 A．370×18＝180×37 B．35×4＝4×35 C．481×12＝12×481 D．23×47＝47×23 【答案】A 【分析】积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数乘或除以几（0除外），得到的积就等于原来的积乘或除以几。乘法交换律：两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变。用字母表示为：a×b＝b×a。据此解答。 【详解】A．在算式370×18＝180×37中，一个乘数乘10，另一个乘数除以10，积不变。即这个算式运用了积不变的规律。 B．在算式35×4＝4×35中，两个乘数的位置变化了，这个算式运用了乘法交换律。 C．在算式481×12＝12×481中，两个乘数的位置变化了，这个算式运用了乘法交换律。 D．在算式23×47＝47×23中，两个乘数的位置变化了，这个算式运用了乘法交换律。 故答案为：A 2．（25-26四年级上·甘肃定西·期中）脱式计算。（能简算的要简算） 12×[525÷（91－88）]          453＋265－153 1120－（280－96÷8）           125×3×8 【答案】2100；565 852；3000 【分析】（1）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法；（2）利用加法交换律，将式子变形为453−153＋265，先算减法再算加法；（3）先算小括号里的除法，再算小括号里的减法，最后算小括号外的减法；（4）利用乘法交换律，将式子变形为125×8×3，按顺序计算。 【详解】（1）12×[525÷（91－88）]   ＝12×[525÷3] ＝12×175 ＝2100 （2）453＋265－153 ＝453－153＋265 ＝300＋265 ＝565 （3）1120－（280－96÷8） ＝1120－（280－12） ＝1120－268 ＝852 （4）125×3×8 ＝125×8×3 ＝1000×3 ＝3000 3．（23-24四年级上·陕西咸阳·期中）全民阅读大会是一项全民活动，2023年4月23日，第二届全民阅读大会在浙江杭州举行。小军看一本故事书，第一天看了178页，第二天看了63页，还剩下122页没看，这本故事书一共有多少页？ 【答案】363页 【分析】根据题意可知，第一天看的页数加第二天看的页数，再加剩下没看的页数，即等于这本故事书一共的页数，计算时可利用加法交换律进行简算。 【详解】178＋63＋122 ＝178＋122＋63 ＝300＋63 ＝363（页） 答：这本故事书一共有363页。 4．（23-24四年级上·陕西西安·期中）长江路小学开展课后体育活动，要购买乒乓球，计划买25盒，每盒6个。如果每个乒乓球4元，一共需要多少元？ 【答案】600元 【分析】用盒数乘每盒的个数求出总个数，再乘每个的价格即可解答，计算过程根据乘法交换律a×b＝b×a进行简便计算。 【详解】25×6×4 ＝25×4×6 ＝100×6 ＝600（元） 答：一共需要600元。 三、加法结合律 1．（2025四年级上·全国·专题练习）运用了（    ）。 A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．乘法分配率和乘法结合律 【答案】B 【分析】加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：a＋b＋c＝a＋（b＋c）；28＋56＋72首先运用加法交换律为56＋28＋72，然后再利用加法结合律为56＋（28＋72），据此解题。 【详解】运用了加法交换律和加法结合律。 故答案为：B 2．（25-26四年级上·广东深圳·期中）下列算式中，与算式676－（376＋215）的计算结果相同的是（    ）。 A．676－376＋215 B．376＋215＋676 C．676－376－215 D．676＋376＋215 【答案】C 【分析】减法的性质：一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和。即a－（b＋c）＝a－b－c；据此解答。 【详解】根据分析可知： 676－（376＋215） ＝676－376－215 ＝300－215 ＝85 所以与算式676－（376＋215）计算结果相同的是676－376－215。 故答案为：C 3．（25-26四年级上·陕西咸阳·期中）脱式计算，能简便运算的要简便运算。 26＋88＋74＋12     640×［126－（118－37）］     540÷［（21－18）×2］ 【答案】200；28800；90 【分析】26＋88＋74＋12利用加法交换律写成26＋74＋88＋12，再利用加法结合律写成（26＋74）＋（88＋12），然后先算小括号内的加法，再算小括号外的加法；加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示：a＋b＝b＋a；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律，用字母表示：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； 640×［126－（118－37）］先算小括号内的减法，再算中括号内的减法，最后算中括号外的乘法； 540÷［（21－18）×2］先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算中括号外的除法。 【详解】26＋88＋74＋12 ＝26＋74＋88＋12 ＝（26＋74）＋（88＋12） ＝100＋100 ＝200 640×［126－（118－37）］ ＝640×［126－81］ ＝640×45 ＝28800 540÷［（21－18）×2］ ＝540÷［3×2］ ＝540÷6 ＝90 4．（25-26四年级上·广东深圳·期中）今天李叔叔开着小货车去批发市场进货，他买了227千克苹果，669千克桃子，273千克火龙果，331千克哈密瓜。今天李叔叔在批发市场一共买了多少千克的水果？ 【答案】 1500千克 【分析】根据题意可知，将这四种水果的质量加在一起即可；计算时可利用加法交换律和加法结合律简算。 【详解】 （千克） 答：今天李叔叔在批发市场一共买了1500千克的水果。 四、乘法结合律 1．（24-25四年级上·河北邯郸·期末）125×8×4×25＝（125×8）×（4×25）运用了（    ）。 A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律 【答案】A 【分析】乘法结合律的特点是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变；125×8×4×25＝（125×8）×（4×25）运用了乘法结合律。 【详解】125×8×4×25＝（125×8）×（4×25）运用了乘法结合律。 故答案为：A 2．（25-26四年级上·山西吕梁·期中）计算下面各题，能简算的要简算。 25×[（）                45×8×125 【答案】1250；590；45000 【分析】25×[（378－78）÷6]，先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的除法，最后计算括号外面的乘法； 132＋69＋268＋121，观察数据，运用加法交换律和结合律，让132和268、69和121组合进行凑整，再把它们的和相加，简化计算； 45×8×125，运用乘法结合律，先算8×125简化计算。 【详解】25×[（378－78）÷6] ＝25×[300÷6] ＝25×50 ＝1250 132＋69＋268＋121 ＝（132＋268）＋（69＋121） ＝400＋190 ＝590 45×8×125 ＝45×（8×125） ＝45×1000 ＝45000 3．（23-24四年级上·河南鹤壁·期末）《三国演义》“草船借箭”中，假如诸葛亮向鲁肃借了20条船，每条船上有1020个草把子，等他们满载而归时，平均每个草把子上有5支箭，那么诸葛亮一共“借”到了多少支箭？ 【答案】102000支 【分析】20条船，每条船上有1020个草把子，1020乘20可以求出20条船上工有多少个草把子，每个草把子上有5支箭，所以再用这个积乘5即可求出借到了多少支箭，计算时可以根据乘法结合律，先求20与5的积，再把所得积与1020相乘。 【详解】1020×20×5 ＝1020×（20×5） ＝1020×100 ＝102000（支） 答：诸葛亮一共“借”到了102000支箭。 4．（24-25四年级上·福建泉州·期末）草船借箭是我国古典名著《三国演义》中赤壁之战的一个经典故事。若有20条船，一共可以借到多少支箭？ 每条船上有128个草靶子，每个草靶子上平均插50支箭。 【答案】128000支 【分析】一条船上共有128个草靶子，每个草靶子上插50支箭，因此一条船上可借箭数为128×50＝6400支。再乘20即可求出20条船一共可借多少支箭。 【详解】128×50×20 ＝128×（50×20） ＝128×1000 ＝128000（支） 答：一共可以借到128000支箭。 五、乘法分配律 1．（25-26四年级上·辽宁沈阳·月考）28×4＋72×4＝（28＋72）×4应用的是（    ）。 A．乘法结合律 B．加法交换律和加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示是（a×b）×c＝a×（b×c）。 加法交换律：两个数相加，交换它们的位置，和不变。用字母表示是a＋b＝b＋a。 加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示是（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 乘法交换律：两个数相乘，交换它们的位置，积不变。用字母表示是a×b＝b×a。 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。用字母表示是（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 【详解】28×4＋72×4 ＝4×（28＋72） ＝4×100 ＝400 28×4＋72×4根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变成4×（28＋72）使得计算简便。 故答案为：D 2．（25-26四年级上·广东深圳·期中）脱式计算，能简算的要简算。                          【答案】540；20000；6700 【分析】（1）54×[（374－324）÷5]，先算减法，再算除法，最后算乘法，依此计算。                       （2）125×32×5，把32拆成8×4，再利用乘法结合律，先求125×8和4×5的积，再把两个积相乘，依此简便计算。                        （3）67×55＋67×44＋67，利用乘法分配律，先求55＋44＋1的和，再用67乘和，依此简便计算。 【详解】（1）54×[（374－324）÷5] ＝54×[50÷5]    ＝54×10 ＝540                   （2）125×32×5 ＝125×（8×4）×5     ＝（125×8）×（4×5） ＝1000×20 ＝20000                   （3）67×55＋67×44＋67 ＝67×55＋67×44＋67×1 ＝67×（55＋44＋1） ＝67×100 ＝6700 3．（24-25四年级上·山西吕梁·期中）客都超市运来苹果和梨各35箱，一共运来多少千克？ 【答案】1400千克 【分析】根据题意利用乘法先分别求出35箱苹果的质量（25×35）和35箱梨的质量（15×35），再相加求总质量，然后运用乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，可简便计算。 【详解】25×35＋15×35 ＝（25＋15）×35 ＝40×35 ＝1400（千克） 答：一共运来1400千克。 4．（25-26四年级上·陕西西安·期中）二氧化氮和二氧化硫的过多排放，都会导致严重的健康危害和环境污染。我们平时常说要减少二氧化碳的排放，要低碳生活，实际上，减排1吨二氧化氮，相当于减排262吨二氧化碳，减排1吨二氧化硫相当于减排38吨二氧化碳。那么如果减排二氧化氮和二氧化硫各12吨，相当于减排二氧化碳多少吨？ 【答案】3600吨 【分析】由题意得，减排1吨二氧化氮，相当于减排262吨二氧化碳，减排1吨二氧化硫相当于减排38吨二氧化碳。如果减排二氧化氮和二氧化硫各12吨，可以用262乘12算出减排的二氧化氮对应减排多少吨二氧化碳，再用38乘12算出减排的二氧化硫对应减排多少吨二氧化碳，然后再把得数加起来即可算出一共减排多少吨二氧化碳。计算时，利用乘法分配律可使计算简便。 【详解】262×12＋38×12 ＝（262＋38）×12 ＝300×12 ＝3600（吨） 答：如果减排二氧化氮和二氧化硫各12吨，相当于减排二氧化碳3600吨。 真题训练 1．（24-25四年级上·广东茂名·期末）是运用了（    ）。 A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 【答案】C 【分析】观察算式可知：计算时，把88分成80和8，用80和8分别去乘125，再把它们的积相加。乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。据此解答即可。 【详解】125×88 ＝125×（80＋8） ＝125×80＋125×8 ＝10000＋1000 ＝11000 因此，这个式子的变换是运用了乘法分配律。 故答案为：C 2．（24-25四年级上·浙江金华·期末）下列过程错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。用字母表示：（a＋b）×c＝a×c＋b×c； 根据商不变的性质，被除数和除数同时乘4，商不变，该过程正确； 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。叫做乘法结合律。用字母表示：（a×b）×c＝a×（b×c）。据此逐项分析。 【详解】A．25×32×125＝（25×4）×（125×8）：将32拆分成4×8，然后利用乘法结合律，分别让25与4结合、125与8结合进行简便计算，该过程正确。 B．125÷25＝（125×4）÷（25×4）：根据商不变的性质，被除数和除数同时乘4，商不变，该过程正确。 C．25×（4×24）＝25×4×25×24：根据乘法结合律，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。而等号右边错误地使用了乘法分配律，该过程错误。 D．99×99＝99×100－99：把99看作（100－1），然后利用乘法分配律99×（100－1）＝99×100－99×1＝99×100－99，该过程正确。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·广东深圳·期末）在计算“125×25×32”时，四个同学的计算过程如下： 鹏鹏：125×25×32＝125×8＋25×4 福福：125×25×32＝（125×8）×（25×4） 田田：125×25×32＝125×32＋25×32 悦悦：125×25×32＝（125×32）×（25×32） 四个同学中计算正确的是（    ）。 A．鹏鹏 B．福福 C．田田 D．悦悦 【答案】B 【分析】根据乘法交换律：a×b×c＝a×c×b，乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c），进行分析四人的计算过程是否符合运算规律，即可解答。 【详解】鹏鹏：125×25×32＝125×8＋25×4，在计算过程中，先将32分成了8×4，再使125×8、25×4，但是又将乘法转化为了加法，这样操作违反了乘法和加法的基本规则，故计算错误； 福福：125×25×32＝（125×8）×（25×4）＝1000×100＝100000，根据乘法交换律和交换律，先将32分成了8×4，再使125×8、25×4，最后再使其积相乘，正确简化了原始的乘法，从而达到简便计算的结果，故计算正确； 田田：125×25×32＝125×32＋25×32，在计算过程中，将乘法转化为加法，但这样操作违反了乘法和加法的基本规则，故计算错误； 悦悦：125×25×32＝（125×32）×（25×32），在计算过程中，将乘法的顺序错误地进行了改变，并且引入了不必要的32乘以25的计算，这不仅没有简化计算，反而复杂化了，故计算错误。 综上所述，只有福福的计算过程是正确的。 故答案为：B 4．（24-25四年级上·广东梅州·期末）在720÷[12×（52－46）]中，先算( )法，再算( )法，最后算( )法，结果是( )。 【答案】 减 乘 除 10 【分析】整数的四则混合运算顺序是如果只有加减法或只有乘除法要按从左到右顺序计算，如果既有加减法又有乘除法要先算乘除法再算加减法，有括号的要先算括号里面的，既有小括号又有中括号要先算小括号里面的再算中括号里面的。 【详解】720÷[12×（52－46）] ＝720÷[12×6] ＝720÷72 ＝10 在720÷[12×（52－46）]中，先算减法，再算乘法，最后算除法，结果是10。 5．（24-25四年级上·浙江金华·期末），如果，那么( )，( )。 【答案】 16 3 【分析】根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，可得（5＋△）×☆＝5×☆＋△×☆。已知（5＋△）×☆＝128，△×☆＝48，将△×☆＝48代入5×☆＋△×☆＝128中，得到5×☆＋48＝128。由5×☆＋48＝128，根据等式的性质，等式两边同时减去48，可得5×☆＝128－48＝80。再根据因数＝积÷另一个因数，可得☆＝80÷5＝16。因为△×☆＝48，☆＝16，根据因数＝积÷另一个因数，可得△＝48÷16＝3。 【详解】根据分析：（5＋△）×☆＝128，如果△×☆＝48，那么☆＝16，△＝3。 6．（24-25四年级上·广东湛江·期末）92＋47＋53＝92＋（47＋53）运用的运算定律是( )；73×56＋56×27＝（73＋27）×56运用的运算定律是( )。 【答案】 加法结合律 乘法分配律 【分析】根据加法结合律：a＋b＋c＝a＋（b＋c），计算92＋47＋53时，可以先计算47＋53的结果，再用92加上这个结果即可；根据乘法分配律：a×c＋b×c＝（a＋b）×c，计算73×56＋56×27，可以先计算73＋27的结果，再乘26即可。 【详解】92＋47＋53 ＝92＋（47＋53） ＝92＋100 ＝192 73×56＋56×27 ＝（73＋27）×56 ＝100×56 ＝5600 92＋47＋53＝92＋（47＋53）运用的运算定律是加法结合律；73×56＋56×27＝（73＋27）×56运用的运算定律是乘法分配律。 7．（24-25四年级上·辽宁沈阳·期末）下面4张扑克牌的点数，经过怎样的计算才能得到24呢？请写出两种方法。    方法1：( )；方法2：( )。 【答案】 5×8－2×8＝24 （5×8＋8）÷2＝24 【分析】“算24点”是一种扑克牌智力游戏，需要利用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24。以下为一些常用的算24点的方法： 乘除法：3×8 ＝24、4×6＝24、12×2＝24、48÷2、72÷3，把牌面上的四个数想办法凑成以上数来求解。 加减法：25－1＝24、27－3＝24、28－4＝24、30－6＝24把牌面上的四个数想办法凑成上述几个减法的减数和被减数。因为5×8＝40，2×8＝16，而40－16＝24，可列综合算式为：5×8－2×8＝24；又知5×8＝40，40＋8＝48，最后算48÷2＝24，列综合算式需要加上小括号为：（5×8＋8）÷2＝24。以此答题即可。（答案不唯一） 【详解】根据分析可知： 下面4张扑克牌的点数，经过怎样的计算才能得到24呢？请写出两种方法。    方法1：5×8－2×8＝24；方法2：（5×8＋8）÷2＝24。（答案不唯一） 8．（24-25四年级上·浙江金华·期末）递等式计算（能简算的要简算）。                                           【答案】8200；600； 31；3800 【分析】（1）利用乘法分配律，把原式变为：82×（82＋18），再按顺序计算； （2）利用加法结合律，把原式变为：（463＋37）＋（28＋72），再按顺序计算； （3）根据混合运算的计算顺序，带有中括号的混合计算，先计算小括号里的除法，再计算中括号里的乘法，最后计算括号外的除法； （4）把38写成38×1，即38×99＋38×1，再利用乘法分配律，把原式变为：38×（99＋1），然后按顺序计算。 【详解】82×82＋82×18 ＝82×（82＋18） ＝82×100 ＝8200 463＋28＋72＋37 ＝（463＋37）＋（28＋72） ＝500＋100 ＝600 248÷[4×（16÷8）] ＝248÷（4×2） ＝248÷8 ＝31 38×99＋38 ＝38×99＋38×1 ＝38×（99＋1） ＝38×100 ＝3800 9．（24-25四年级上·河北邯郸·期末）小明和小刚一起踢毽子，两人一共踢了430个。小明4分钟踢200个，小刚踢了5分钟，小刚平均每分钟踢多少个？ 【答案】46个 【分析】由题意知，小明一共踢了200个，小明和小刚一共踢了430个，用两人踢毽子总数减去小明踢的数量可求出小刚踢毽子的总数，再除以他踢的时间，可得小刚平均每分钟踢的个数。 【详解】（430－200）÷5 ＝230÷5 ＝46（个） 答：小刚平均每分钟踢46个。 【点睛】此题要注意小明的踢毽子时间与小刚无关，其次要抓住关系：小刚踢毽子的总数÷小刚踢毽子的时间＝小刚平均每分钟踢毽子的个数。 10．（23-24四年级上·广东深圳·期末）光明小学新建了一栋4层的教学楼，每层有5间教室，每间教室放45张课桌，一共需要多少张课桌？ 【答案】900张 【分析】分析题意可知：先用4×5算出教室总数，再用教室总数乘45，即可求出一共需要多少张课桌。 【详解】4×5×45 ＝20×45 ＝900（张） 答：一共需要900张课桌。 11．（24-25四年级上·广东惠州·期末）下面是学校图书室一个书架中每层的本数。你能算出这个书架上共有多少本书吗？ 第一层 96本 第二层 137本 第三层 163本 第四层 204本 【答案】600本 【分析】根据题意，用加法计算，将四层的书本数量相加即可求出总数，计算时可运用加法交换律和结合律，进行简便运算，列式计算即可。 【详解】根据分析计算如下： 96＋137＋163＋204 ＝96＋204＋（137＋163） ＝300＋300 ＝600（本） 答：这个书架上共有600本书。 12．（24-25四年级上·四川成都·期末）学校开展读书活动。笑笑选择了一本共268页的课外书，平均每天读18页，已经读了6天，剩下的准备5天读完，剩下的平均每天要读多少页？ 【答案】32页 【分析】用6天平均每天读书的页数乘6，求出6天读书的页数。用课外书的总页数减去6天读书的页数，即可计算出还剩的页数，再用还剩的页数除以还要读的天数，即可计算出剩下的平均每天要读多少页。 【详解】（268－6×18）÷5 ＝（268－108）÷5 ＝160÷5 ＝32（页） 答：剩下的平均每天要读32页。 13．（22-23四年级上·广东揭阳·期末）惠来县政府为庆祝“元旦”举行了大型体操表演，共有8个方队，每个方队有25行，每行有25人，一共有多少人参加表演？ 【答案】5000人 【分析】每个方队有25行，每行有25人，25乘25可以求出1个方队的人数，再乘8即可求出8个方队的总人数，计算时可以根据乘法结合律，先求出25与8的积，再乘25。 【详解】25×25×8 ＝25×（25×8） ＝25×200 ＝5000（人） 答：一共有5000人参加表演。 14．（24-25四年级上·浙江金华·期末）扎染是我国的非遗传承项目之一、李祖村某染坊推出了十二生肖系列，其中“中国龙”每个定价为108元，“小金蛇”每个定价为92元。某旅行团预定了“中国龙”和“小金蛇”各35个，共需多少钱？ 【答案】7000元 【分析】根据题意“中国龙”每个定价为108元×35个＋“小金蛇”每个定价为92元×35个＝（“中国龙”每个定价为108元＋“小金蛇”每个定价为92元）×35个＝共需多少钱，代入数据计算，这里运用了乘法分配律简算a×c＋b×c＝（a＋b）×c。 【详解】108×35＋92×35 ＝（108＋92）×35 ＝200×35 ＝7000（元） 答：共需7000元。 15．（23-24四年级上·广东梅州·期末）丽颖小学舞蹈社团的同学们为了汇报演出，打算购买24套服装，一共需要多少元钱？ 【答案】2400元 【分析】已知购买24套服装，要求买这些服装一共需要多少钱，应先求出每套服装的总价格，也就是用衣服的价格加上裤子的价格，然后将一套的总价格乘24即可。 【详解】（37＋63）×24 ＝100×24 ＝2400（元） 答：一共需要2400元。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义：专题04 运算律 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、整数的四则混合运算 1.无括号的运算顺序 （1）运算顺序规则： ①同级运算： 从左往右依次计算。 ②不同级运算： 先算乘除，后算加减。 （2）关键点： ①牢记口诀：“先乘除，后加减”。 ②没有括号时，严格按照顺序规则进行，不能随意改变运算顺序。 ③乘除是同级运算，加减是同级运算。同级运算从左到右依次进行。 2.带有小括号的混合运算 （1）运算顺序规则： ①有小括号时：先算小括号里面的，再算括号外面的。 ②括号的作用是改变运算顺序，优先计算括号内的部分。 ③括号内的运算，也要遵循“先乘除，后加减”的规则。 （2）关键点： ①看到小括号 ( )，必须先算括号里的。 ②括号里可能是一步计算，也可能是多步计算，按无括号规则进行。 ③括号外的部分，按剩余算式的规则（无括号或可能有其他括号）进行。 3.带有中括号的混合运算 （1）运算顺序规则： ①既有小括号又有中括号时：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 ②中括号 [ ] 比小括号 ( ) 优先级更高。当一个算式需要用到两种括号时，小括号在内，中括号在外。 ③括号内的运算，同样遵循“先乘除，后加减”的规则。 （2）关键点： ①书写规范： 小括号写在算式里面一层，中括号写在算式外面一层。例如：[ ( ) ]。 ②顺序规则： 第一步： 计算最内层小括号里的算式。 第二步： 计算中括号里的算式（此时中括号里可能只剩简单的计算或没有计算）。 第三步： 计算中括号外面的算式。 ③括号内的运算顺序规则不变。 考点二、加法运算律 1.加法交换律 （1）定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 （2）字母表达式： a + b = b + a （3）理解： 加数的位置可以互换，不影响计算结果。 2.加法结合律 （1）定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 （2）字母表达式： (a + b) + c = a + (b + c) （3）理解： 加数的结合方式可以改变（括号位置可以改变），不影响计算结果。 考点三、乘法运算律 1.乘法交换律 （1）定义： 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 （2）字母表达式： a × b = b × a （3）理解： 乘数的位置可以互换，不影响计算结果。 2.乘法结合律 （1）定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 （2）字母表达式： (a × b) × c = a × (b × c) （3）理解： 乘数的结合方式可以改变（括号位置可以改变），不影响计算结果。 3.乘法分配律 （1）定义： 两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再把积相加（或相减）。 （2）字母表达式： ①正分配律：(a + b) × c = a × c + b × c ②逆分配律：a × c + b × c = (a + b) × c ③减法分配律：(a - b) × c = a × c - b × c ④逆分配律（减法）：a × c - b × c = (a - b) × c （3）理解： 这是应用最广泛的运算律，可以改变运算顺序。 考点四、减法和除法的性质 1.减法的性质 （1）连减性质： a - b - c = a - (b + c) （2）注意： 减法没有交换律！a - b ≠ b - a (除非a=b) 2.除法的性质 （1）连除性质： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) (b≠0, c≠0) （2）注意： 除法没有交换律！a ÷ b ≠ b ÷ a (除非a=b)。除法也没有结合律！(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)。 考点五、运用运算律进行简便计算 1.核心思想： 观察算式中数的特点（如接近整十、整百、整千的数，能凑整的数，有相同因数的项等），灵活选择运算律进行简便计算。 2.常见技巧： （1）凑整法： 利用加法交换律、结合律或乘法交换律、结合律将能凑成整十、整百、整千的数先结合起来计算。如 25 + 36 + 75 + 64 = (25 + 75) + (36 + 64) = 100 + 100 = 200 （2）拆分法： 将接近整十、整百、整千的数拆成整十、整百、整千与另一个数的和或差，再利用乘法分配律计算。如 102 × 45, 99 × 88。 （3）提取公因数法： 利用乘法分配律的逆运算（提取公因数）。如 45 × 12 + 45 × 88 = 45 × (12 + 88) = 45 × 100 = 4500 （4）改变运算顺序： 利用运算律改变运算顺序，使计算更简便。如 125 × 32 × 25 = 125 × (8 × 4) × 25 = (125 × 8) × (4 × 25) = 1000 × 100 = 100000 (将32拆成8×4，利用乘法结合律) 考点六、解决实际问题 1.审题： 仔细阅读题目，理解题意，找出关键信息（数量、关系）。 2.分析： 判断题目中涉及的数量关系（如总价=单价×数量，路程=速度×时间，总量=单一量×份数等），明确需要求什么。 3.列式： 根据数量关系和运算律的特点列出算式。有时直接列式计算可能较复杂，可以考虑运用运算律进行简便计算。 4.计算： 进行计算（笔算或简便计算）。 5.检验： 检查计算结果是否符合实际意义（如人数不能是小数），或通过估算检查结果是否合理。 6.作答： 完整地写出答案（包括单位和答语）。 例题讲解 一、整数的四则混合运算 【例题1】（24-25四年级上·广东揭阳·期中）计算。 297－32×5÷5       540÷360÷（24－16）         240÷[（7＋5）×5]            48×[（117－69）÷3] 【例题2】（25-26四年级上·陕西延安·期中）某电风扇专卖店从工厂批发了70台电风扇，售价为170元。在卖出60台电风扇后，开始降价销售，此时售价为148元。如果这微电风扇全部售出，电风扇专卖店一共可以卖多少钱？ 【例题3】（24-25四年级上·陕西榆林·期中）阳光农场今年收获了417千克菜籽油。计划将200千克菜籽油装在大油桶里，由于某种原因，实际比计划少装了18千克。该农场将剩下的菜籽油全部装在小油桶里，每个小油桶装满需要5千克菜籽油。剩下的菜籽油能装满多少个小油桶？ 二、加法交换律和乘法交换律 【例题1】（24-25四年级上·广东佛山·期中）脱式计算。 （1）147＋78＋53        （2）33×2－42÷7            （3）125×9×8        （4）118－5×（26－14） 【例题2】（23-24四年级上·陕西咸阳·期中）“青蛙是捕食害虫的健将”。某只青蛙第一天捕食了99只害虫，第二天捕食了148只害虫，第三天捕食了201只害虫，这只青蛙这三天一共捕食了多少只害虫？ 【例题3】（25-26四年级上·广东深圳·期中）为了丰富同学们的课余生活，学校图书馆新购进500本图书。现有4个空书架，每个书架有6层，每层可以放25本图书。这些新购进的图书能全部放下吗？ 三、加法结合律 【例题1】（25-26四年级上·陕西延安·期中）94＋178＋206＝178＋（94＋206）运用的是( )律和( )律。 【例题2】（25-26四年级上·陕西咸阳·期中）轻轨列车有5节车厢，前两节车厢共载乘客156人，第3节车厢载乘客73人，最后两节车厢共载乘客127人。这列车共载乘客多少人？ 【例题3】（25-26四年级上·山西吕梁·期中）爬山既可以锻炼身体，又可以陶冶情操，是一项很好的户外运动。国庆假期，淘气和朋友们一起爬山，他们边爬山边欣赏风景。下面是他们4小时内的爬山路程，请问这4小时他们一共爬了多少米？ 第1小时 第2小时 第3小时 第4小时 446米 381米 354米 319米 四、乘法结合律 【例题1】（24-25四年级上·广东深圳·期末）京剧行头中的长靠是京剧舞台上的铠甲。艺术服装厂要制作一批长靠，厂里共18个小组，每个小组制作25套长靠，制作1套长靠需要4平方米布料，制作这些长靠一共需要( )平方米布料。 【例题2】（24-25四年级上·辽宁朝阳·期末）2024年羽毛球世界最高级别赛事“汤尤杯”在成都高新体育中心举办，该体育中心大约有60个观赛区，每个观赛区有8行，每行可坐25人，该体育中心大约可同时容纳多少人观赛？ 【例题3】（25-26四年级上·山西吕梁·期中）皮影戏是我国民间古老的传统艺术。儿童剧场一天进行了3场皮影戏表演，平均每场售出125张门票，每张门票8元，儿童剧场一天的门票收入是多少元？ 五、乘法分配律 【例题1】（23-24四年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算下面各题。 102×48        169×23－69×23      350＋185＋115＋750 【例题2】（25-26四年级上·广东深圳·期中）喷洒机器人有杀虫剂喷施和肥料喷施两种模式。喷杀虫剂时，每小时可覆盖58亩农田；喷肥料时，每小时可覆盖42亩农田。一台喷洒机器人在两种模式下各工作168小时，一共覆盖了多少亩农田？ 【例题3】（24-25四年级上·四川成都·期中）商场某日上午卖出48台取暖器，下午卖出52台，每台取暖器的价钱是298元，这个商场这天卖取暖器共收入多少元？（用两种方法解答） 考点练习 一、整数的四则混合运算 1．（25-26四年级上·陕西延安·期中）若把算式“16×500－200÷5”的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算乘法，则算式变为（    ）。 A．16×（500－200）÷5 B．（16×500－200）÷5 C．16×[（500－200）÷5] D．16×（500－200÷5） 2．（25-26四年级上·吉林长春·期中）某校安排学生宿舍，如果每间5人，则有14人没有床位；如果每间7人，则多4个空床位。问：宿舍有( )间，住宿学生有( )人。 3．（24-25四年级上·广东揭阳·期中）计算。 297－32×5＋5                            540＋360÷（24－16） 240÷[（7＋5）×5]                        48×[（117－69）÷3] 4．（25-26四年级上·广东深圳·期中）10月3日，小丽一家、叔叔一家和爷爷奶奶一起去旅游。晚上住在一家民宿，他们订了3间单人间和2间双人间，收费标准如表。这一晚他们需要支付房费多少元？ 单人间 114元 双人间 156元 5．（23-24四年级上·陕西西安·期中）一包面粉，刚好可以做15个馒头。如果都做包子，刚好可以做18个。做一个馒头比做一个包子多用面粉10克。这包面粉有多少克？ 6．（24-25四年级上·陕西榆林·期中）某手工编织社团准备编织1000个玩偶送给福利院的小朋友们。第一小组每天编织68个，编织了5天，剩下的任务分给第二、第三和第四小组的团员们。这三个小组平均每组要编织多少个玩偶？ 二、加法交换律和乘法交换律 1．（24-25四年级上·陕西榆林·期中）下面各选项中，没有运用乘法交换律的是（    ）。 A．370×18＝180×37 B．35×4＝4×35 C．481×12＝12×481 D．23×47＝47×23 2．（25-26四年级上·甘肃定西·期中）脱式计算。（能简算的要简算） 12×[525÷（91－88）]          453＋265－153 1120－（280－96÷8）           125×3×8 3．（23-24四年级上·陕西咸阳·期中）全民阅读大会是一项全民活动，2023年4月23日，第二届全民阅读大会在浙江杭州举行。小军看一本故事书，第一天看了178页，第二天看了63页，还剩下122页没看，这本故事书一共有多少页？ 4．（23-24四年级上·陕西西安·期中）长江路小学开展课后体育活动，要购买乒乓球，计划买25盒，每盒6个。如果每个乒乓球4元，一共需要多少元？ 三、加法结合律 1．（2025四年级上·全国·专题练习）运用了（    ）。 A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．乘法分配率和乘法结合律 2．（25-26四年级上·广东深圳·期中）下列算式中，与算式676－（376＋215）的计算结果相同的是（    ）。 A．676－376＋215 B．376＋215＋676 C．676－376－215 D．676＋376＋215 3．（25-26四年级上·陕西咸阳·期中）脱式计算，能简便运算的要简便运算。 26＋88＋74＋12     640×［126－（118－37）］     540÷［（21－18）×2］ 4．（25-26四年级上·广东深圳·期中）今天李叔叔开着小货车去批发市场进货，他买了227千克苹果，669千克桃子，273千克火龙果，331千克哈密瓜。今天李叔叔在批发市场一共买了多少千克的水果？ 四、乘法结合律 1．（24-25四年级上·河北邯郸·期末）125×8×4×25＝（125×8）×（4×25）运用了（    ）。 A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律 2．（25-26四年级上·山西吕梁·期中）计算下面各题，能简算的要简算。 25×[（）                45×8×125 3．（23-24四年级上·河南鹤壁·期末）《三国演义》“草船借箭”中，假如诸葛亮向鲁肃借了20条船，每条船上有1020个草把子，等他们满载而归时，平均每个草把子上有5支箭，那么诸葛亮一共“借”到了多少支箭？ 4．（24-25四年级上·福建泉州·期末）草船借箭是我国古典名著《三国演义》中赤壁之战的一个经典故事。若有20条船，一共可以借到多少支箭？ 每条船上有128个草靶子，每个草靶子上平均插50支箭。 五、乘法分配律 1．（25-26四年级上·辽宁沈阳·月考）28×4＋72×4＝（28＋72）×4应用的是（    ）。 A．乘法结合律 B．加法交换律和加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 2．（25-26四年级上·广东深圳·期中）脱式计算，能简算的要简算。                          3．（24-25四年级上·山西吕梁·期中）客都超市运来苹果和梨各35箱，一共运来多少千克？ 4．（25-26四年级上·陕西西安·期中）二氧化氮和二氧化硫的过多排放，都会导致严重的健康危害和环境污染。我们平时常说要减少二氧化碳的排放，要低碳生活，实际上，减排1吨二氧化氮，相当于减排262吨二氧化碳，减排1吨二氧化硫相当于减排38吨二氧化碳。那么如果减排二氧化氮和二氧化硫各12吨，相当于减排二氧化碳多少吨？ 真题训练 1．（24-25四年级上·广东茂名·期末）是运用了（    ）。 A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 2．（24-25四年级上·浙江金华·期末）下列过程错误的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25四年级上·广东深圳·期末）在计算“125×25×32”时，四个同学的计算过程如下： 鹏鹏：125×25×32＝125×8＋25×4 福福：125×25×32＝（125×8）×（25×4） 田田：125×25×32＝125×32＋25×32 悦悦：125×25×32＝（125×32）×（25×32） 四个同学中计算正确的是（    ）。 A．鹏鹏 B．福福 C．田田 D．悦悦 4．（24-25四年级上·广东梅州·期末）在720÷[12×（52－46）]中，先算( )法，再算( )法，最后算( )法，结果是( )。 5．（24-25四年级上·浙江金华·期末），如果，那么( )，( )。 6．（24-25四年级上·广东湛江·期末）92＋47＋53＝92＋（47＋53）运用的运算定律是( )；73×56＋56×27＝（73＋27）×56运用的运算定律是( )。 7．（24-25四年级上·辽宁沈阳·期末）下面4张扑克牌的点数，经过怎样的计算才能得到24呢？请写出两种方法。    方法1：( )；方法2：( )。 8．（24-25四年级上·浙江金华·期末）递等式计算（能简算的要简算）。                                           9．（24-25四年级上·河北邯郸·期末）小明和小刚一起踢毽子，两人一共踢了430个。小明4分钟踢200个，小刚踢了5分钟，小刚平均每分钟踢多少个？ 10．（23-24四年级上·广东深圳·期末）光明小学新建了一栋4层的教学楼，每层有5间教室，每间教室放45张课桌，一共需要多少张课桌？ 11．（24-25四年级上·广东惠州·期末）下面是学校图书室一个书架中每层的本数。你能算出这个书架上共有多少本书吗？ 第一层 96本 第二层 137本 第三层 163本 第四层 204本 12．（24-25四年级上·四川成都·期末）学校开展读书活动。笑笑选择了一本共268页的课外书，平均每天读18页，已经读了6天，剩下的准备5天读完，剩下的平均每天要读多少页？ 13．（22-23四年级上·广东揭阳·期末）惠来县政府为庆祝“元旦”举行了大型体操表演，共有8个方队，每个方队有25行，每行有25人，一共有多少人参加表演？ 14．（24-25四年级上·浙江金华·期末）扎染是我国的非遗传承项目之一、李祖村某染坊推出了十二生肖系列，其中“中国龙”每个定价为108元，“小金蛇”每个定价为92元。某旅行团预定了“中国龙”和“小金蛇”各35个，共需多少钱？ 15．（23-24四年级上·广东梅州·期末）丽颖小学舞蹈社团的同学们为了汇报演出，打算购买24套服装，一共需要多少元钱？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $