期末复习讲义：专题03 倍数与因数（考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练）-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

该小学数学期末复习讲义通过知识框架图系统梳理了“倍数与因数”单元体系，涵盖因数倍数的定义与关系、2/5/3倍数特征、奇偶数分类、质合数判定及分解质因数等八大考点，突出重难点如质数与合数的区分、倍数特征的综合应用，呈现知识内在逻辑。 讲义亮点在于“情境化例题+分层训练”设计，如“用5、6、7、0组成既是2又是5的倍数的四位数”培养推理意识，“分苹果”问题提升应用意识，真题训练覆盖选择填空解答题，助力不同学生巩固抽象能力，为教师精准教学和学生自主复习提供清晰路径。

期末复习讲义：专题03 倍数与因数 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、因数与倍数 1.定义： 如果 a × b = c (a、b、c都是非零自然数)，那么 a 和 b 都是 c 的因数，c 是 a 和 b 的倍数。 2.相互依存关系： 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须指明它是谁的因数或倍数。例如： （1）12 ÷ 3 = 4 (整除)，所以 3 和 4 是 12 的因数，12 是 3 和 4 的倍数。 （2）不能说“3是因数”，应该说“3是12的因数”。 3.特征： （1）一个数的因数个数是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身。 （2）一个数的倍数个数是无限的，其中最小的是它本身。 考点二、求一个数的因数的方法 1.有序思考：从最小的因数1开始，成对地找。 2.方法：用这个数除以从1开始递增的自然数，能整除的除数和商就是这个数的因数。 3.例如：找18的因数：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷6=3，18÷9=2，18÷18=1。所以18的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。 4.表示方法：可以列举，也可以用集合表示。注意：不重复，不遗漏。 考点三、求一个数的倍数的方法 1.用这个数分别乘以自然数1, 2, 3, 4, ... 2.例如：5的倍数有：5×1=5, 5×2=10, 5×3=15, 5×4=20, ... 所以5的倍数有5, 10, 15, 20, ... 3.表示方法：通常列举出几个倍数，后面用“...”表示无限多个。注意：包含它本身。 考点四、2、5、3的倍数的特征 1.2的倍数的特征： 个位上是0、2、4、6、8的数。 2.5的倍数的特征： 个位上是0或5的数。 3.3的倍数的特征： 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.既是2的倍数又是5的倍数的特征： 个位上是0的数。 考点五、奇数和偶数 1.定义： 是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；不是2的倍数的数叫做奇数。 2.自然数可以分为奇数和偶数两大类。 3.奇偶性特点（了解）： 奇数 + 奇数 = 偶数 偶数 + 偶数 = 偶数 奇数 + 偶数 = 奇数 奇数 × 奇数 = 奇数 偶数 × 偶数 = 偶数 奇数 × 偶数 = 偶数 考点六、质数（素数）与合数 1.质数（素数）： 一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 （1）最小的质数是2（唯一的偶质数）。 （2）100以内的质数表（要求掌握）：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (共25个) 2.合数： 一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。 （1）最小的合数是4。 （2）1既不是质数，也不是合数。 3.自然数的分类： （1）按因数个数分：1、质数、合数。 （2）按奇偶性分：奇数、偶数。 考点七、找质数的方法（筛法） 1.利用质数的定义来判断。 2.常用方法：看这个数是否有除了1和它本身以外的因数。可以用小于它的质数（2, 3, 5, 7...）去试除，如果都不能整除，则是质数（需注意试除范围，一般试到平方根附近）。 考点八、分解质因数 1.质因数： 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 2.分解质因数： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。 3.方法： 通常用短除法。例如：把30分解质因数：30 = 2 × 3 × 5。 例题讲解 一、因数和倍数的认识 【例题1】（25-26五年级上·河南鹤壁·期中）因为5×6＝30，所以6和5是30的( )，30是6和5的( )。 【例题2】（25-26五年级上·广东深圳·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．因为4×6＝24，所以4和6是因数 B．一个数的因数一定比它的倍数小 C．一个数的倍数的个数是无限的 D．因为3÷0.5＝6，所以3是0.5的倍数 【例题3】（24-25五年级上·广东惠州·期中）（    ）既是12的因数，又是27的因数。 A．3 B．4 C．6 D．9 二、找一个数的倍数及倍数的特征 【例题1】（25-26五年级上·广东深圳·期中）妈妈买了相同质量（整千克）的柑橘和梨，柑橘每千克5元，梨每千克3元。妈妈可能花了（    ）元。 A．30 B．40 C．45 D．无法确定 【例题2】（25-26五年级上·广东惠州·期中）一个非0自然数是，它最小的倍数是( )。 【例题3】（25-26五年级上·河南鹤壁·期中）有一筐苹果不超过50个，4个4个数或6个6个地数，都正好数完，这筐苹果最多有多少个？ 三、2、5的倍数特征 【例题1】（25-26五年级上·广东深圳·期中）4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数。请你想一想翻开的页码可能是（    ）。 A．35、36 B．50、51 C．75、76 D．89、90 【例题2】（24-25五年级上·广东湛江·期中）用5，6，7，0组成一个四位数，使它既是2的倍数又是5的倍数。这个四位数最小是( )，最大是( )。 【例题3】（24-25五年级上·广东惠州·期中）五（1）班有36名同学参加社区的服务活动。如果每2人分为一组，能正好分完吗？如果每5人分为一组，能正好分完吗？如果不能正好分完，至少再添几人才能正好分完？ 四、奇数与偶数的认识 【例题1】（25-26五年级上·辽宁沈阳·期中）在自然数中是2的倍数的数叫( )，不是2的倍数的数叫( )。 【例题2】（25-26五年级上·四川成都·期中）在一条河的两边分别有两个寨子，索道是在两个寨子间运送物资的唯一交通工具。某日，货物箱最初在甲寨，经过25次（往返算两次）后，货物箱停在( )寨。 【例题3】（25-26五年级上·陕西西安·期中）大毛、二毛、三毛三兄弟的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄之和是36岁，大毛( )岁，三毛( )岁。 五、3的倍数特征 【例题1】（25-26五年级上·陕西西安·期中）如果37是3的倍数，那么里可能是（    ）。 A．3、6、9 B．0、3、6、9 C．1、4、7 D．2、5、8 【例题2】（25-26五年级上·四川成都·期中）一个三位数是3的倍数，这个三位数最小是（    ）。 A．100 B．105 C．103 D．102 【例题3】（25-26五年级上·广西贺州·期中）从1980年东风系列导弹首次全程试射成功，到2025年“DF－5C”洲际战略核导弹亮相阅兵仪式，其中包含了我国无数科学家的智慧和汗水。这两个年份数都是3的倍数吗？你是怎么判断的？ 六、2、3、5的倍数特征综合 【例题1】（25-26五年级上·广东深圳·期中）同时是2、3和5的倍数的最小三位数是（    ）。 A．110 B．120 C．90 D．990 【例题2】（25-26五年级上·陕西西安·期中）在2，3和5的倍数中，最大的三位数是( )，最小的两位数是( )。 【例题3】（25-26五年级上·陕西西安·期中）从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是5的倍数的三位数，共有( )种不同的组法。 七、找一个数的因数及因数的特征 【例题1】（24-25五年级上·陕西咸阳·期中）54的全部因数是( )。 【例题2】（25-26五年级上·福建泉州·期中）下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．17 B．63 C．81 D．97 【例题3】（25-26五年级上·陕西西安·期中）实验小学五年级72名学生要去社区参与绿植养护活动，需分成人数相等的小组，每组负责一片绿化带的杂草清除、浇水和修剪。为保证能快速完成一片区域的养护，每组不少于5人；又因社区绿化带面积有限，每组不多于15人。请问有几种不同的分组方式？每组最少几人，可以分几组？每组最多几人，可以分几组？ 八、质数与合数的认识与应用 【例题1】（25-26五年级上·广东茂名·期中）两个质数相乘，它们的积一定是（    ）。 A．质数 B．奇数 C．偶数 D．合数 【例题2】（25-26五年级上·广东惠州·期中）一个两位数的质数，十位数字和个位数字都是质数，且这两个数字的和是8，这个质数是（    ）。 A．35 B．53 C．26 D．62 【例题3】（25-26五年级上·河南鹤壁·期中）一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数，且长和宽不相等。它的周长是60米，这个长方形的面积可能是多少平方米？ 九、分解质因数 【例题1】（25-26五年级上·广东深圳·月考）把下面各数写成质数相乘的形式。（示例：12＝2×2×3） 65＝         92＝         38＝         70＝ 【例题2】（25-26五年级上·广东深圳·阶段练习）在括号里填上合适的质数。 18＝( )＋( )＝( )＋( )   30＝( )×( )×( ) 【例题3】（23-24五年级上·陕西西安·期末）如果两个质数的和是18，积是65，那么它们是( )和( )。 考点练习 一、因数和倍数的认识 1．（25-26五年级上·广东深圳·月考）王老师买了相同支数的钢笔和圆珠笔，钢笔每支4元，圆珠笔每支3元。那么王老师可能花了（    ）元钱。 A．45 B．60 C．63 D．81 2．（25-26五年级上·广东深圳·阶段练习）希望小学有96名学生准备坐车去秋游，旅行团提供了以下几种车型供选择。选哪一种车能正好将全部学生接送？（    ） A．核载18人 B．核载48人 C．核载45人 D．核载36人 3．（25-26五年级上·广东湛江·期中）18÷6＝3，18是6和3的( )，6和3是18( )。 4．（25-26五年级上·陕西延安·期中）已知（，都是自然数），则一定是的( )，一定是的( )。（填“因数”或“倍数”） 5．（24-25五年级上·广东湛江·期中）货场有51吨煤，现有三种不同载重的卡车，用( )号卡车正好可以装完，因为( )。 1号车 3吨 2号车 4吨 3号车 5吨 二、找一个数的倍数及倍数的特征 1．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）在10~20的数中，7的倍数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25五年级上·陕西西安·期中）50以内7的倍数有( )。 3．（24-25五年级上·陕西咸阳·期中）榆林市建立了许多长城保护工作站，数量在60～70之间，若把这些长城保护工作站平均分布在13个辖区，还余下3个长城保护工作站，榆林市的长城保护工作站有多少个？ 三、2、5的倍数特征 1．（24-25五年级上·广东深圳·期中）一本30页的故事书（首页在右边），翻开后看到两个页码，其中一个既是2的倍数又是5的倍数，这两页可能是第 ( )页和第( )页。 2．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）83至少要加上( )是2的倍数，至少减去( )是5倍数。 3．（24-25五年级上·山西吕梁·期中）一个两位的偶数，各个数位上的和是4，它还是5的倍数，这个数是( )。 4．（25-26五年级上·陕西榆林·期中）在庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，阳光小学的同学们满怀崇敬与热忱，精心制作了125个抗战主题小徽章。若每2个小徽章装成一盒，能正好装完吗？每5个小徽章装成一盒，能正好装完吗？为什么？ 四、奇数与偶数的认识 1．（24-25五年级上·陕西西安·期中）用“奇数”或“偶数”填空。 奇数＋偶数＝( )        奇数×偶数＝( ) 2．（25-26五年级上·福建泉州·期中）学校要举办元旦晚会，同学们正在布置礼堂。礼堂后排有一盏装饰灯，初始状态是关闭的。为了调试灯光效果，小刚按动开关21次后，这盏灯处于( )状态（填“打开”或“关闭”）。 3．（24-25五年级上·山西晋城·期中）两个连续偶数的和是70，这两个偶数分别是( )和( )。 4．（25-26五年级上·福建泉州·期中）学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是( )厘米，最长的是( )厘米。 五、3的倍数特征 1．（24-25五年级上·吉林长春·期中）是3的倍数的三位数是（    ）。 A．100 B．102 C．103 D．104 2．（25-26五年级上·广东惠州·期中）如果□37是3的倍数，那么□里可能是（    ）。 A．2、5 B．5、8 C．2、5、8 D．1、2、5、8 3．（25-26五年级上·广东深圳·期中）田田班一共有40名同学，他们准备为即将到来的校运会设计一个队形。如果每3人一组，能正好安排完吗？请说明理由。 4．（25-26五年级上·广东惠州·期中）学校组织学生春游。休息时，徐老师说：“我为每位同学买了一瓶3元的饮料，请大家算一算，一共花了多少钱？”下面三位同学只有一人算对了。谁算对了？为什么？ 六、2、3、5的倍数特征综合 1．（24-25五年级上·吉林长春·期中）同时是2，5，3的倍数的数是（    ）。 A．432 B．615 C．720 D．108 2．（24-25五年级上·广东惠州·期中）一个四位数3□80同时是2、3、5的倍数，百位上最小能填（    ）。 A．0 B．9 C．7 D．1 3．（25-26五年级上·四川成都·期中）同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )，同时是2，3，5的倍数的最小三位数是( )。 4．（25-26五年级上·广东深圳·期中）157至少加上( )，才是2的倍数；至少减去( )，才是5的倍数；至少减去( )，才同时是2、3和5的倍数。 七、找一个数的因数及因数的特征 1．（25-26五年级上·四川成都·期中）在下面的数中，因数个数最少的是（    ）。 A．12 B．20 C．23 D．27 2．（25-26五年级上·广东深圳·期中）36的因数有：( )；30以内7的倍数有：( )。 3．（25-26五年级上·四川成都·期中）把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有( )种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有( )种装法。 4．（25-26五年级上·陕西咸阳·期中）正值金秋时节，兴平的特产辣椒喜获丰收。农户老李精心挑选了一筐红彤彤的兴平辣椒，准备分享给邻里。现在要把这筐辣椒全部取出来，至少分成2堆，且每堆中辣椒的个数相同（至少2个），已知这筐辣椒有60个，那么一共有几种分法？ 5．（25-26五年级上·广西贺州·期中）在2025年九三阅兵中，地面突击模块共列装54台装备。为确保受阅编队排列整齐，需要分组且每组台数一样多。下面的哪种分组方式正好分完无剩余？为什么？ 八、质数与合数的认识与应用 1．（25-26五年级上·陕西汉中·期中）下面的各组数中，三个连续自然数都是合数的是（    ）。 A．9，10，11 B．12，13，14 C．14，15，16 D．17，18，19 2．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中符合这个猜想的是（    ）。 A．13＝11＋2 B．20＝3＋17 C．62＝5＋57 D．6＝1＋5 3．（25-26五年级上·陕西汉中·期中）36的因数有( )，其中质数是( )，合数是( )，( )既不是质数又不是合数。 4．（25-26五年级上·四川成都·期中）在1，2，7，43，28，57，69，91，97中，( )既是偶数又是质数，既是奇数又是合数的有( )个。 5．（25-26五年级上·广东深圳·期中）在我国的历史长河中，唐朝是中国历史上继隋朝后的大一统中原王朝，历经了□□□年。已知这个数的个位上是9的最大因数，十位上是一位数中最大的偶数，百位上是最小的质数，这个三位数是( )。 6．（25-26五年级上·陕西汉中·期中）为了响应“绿色出行，低碳生活”的号召，阳光小区规划出一片长方形区域用于停放自行车。长方形的周长是56米，长、宽都是整米数，且数值都是质数。这个长方形的长、宽可能是多少米？这片长方形区域的面积最大是多少平方米？ 九、分解质因数 1．（20-21五年级上·广东揭阳·期末）已知两个质数的积是35，这两个质数的和是( )。 2．（24-25五年级上·山西运城·期中）质数被称为自然数的“数根”。任何一个大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积，如：。 下面四个数可以写成几个质数乘积的形式吗？可以的试着写一写，不可以的在括号里画“×”。 39＝（    ）      23＝（    ）      36＝（    ）      41＝（    ） 上面四个数中，质数有（    ）；合数有（    ）；由此，我们可以推断：几个质数的乘积一定是（    ）数。 3．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）茶叶店把84个小青柑装在不同的盒子里，每个盒子装的小青柑个数相同且为质数个，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？ 真题训练 1．（24-25五年级上·陕西渭南·期末）根据“3×5＝15”，下列说法正确的是（    ）。 A．15是倍数 B．15是5和3的因数 C．5是15的因数 D．5是15和3的倍数 2．（24-25五年级上·四川成都·期末）要使306□既是2的倍数又是5的倍数，□里填（    ）。 A．1 B．2 C．0 D．5 3．（24-25五年级上·浙江金华·期末）下列各数中，是质数又是偶数的是（    ）。 A．2 B．3 C．6 D．30 4．（24-25五年级上·辽宁锦州·期末）电影《长安三万里》某日在某平台上播放次数既是2的倍数，又是3的倍数，这部电影当天播放的总次数可能是（    ）。 A．2914 B．3364 C．5796 D．4531 5．（24-25五年级上·辽宁沈阳·期末）要使2□40既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数，□中最小填（    ）。 A．3 B．0 C．6 D．9 6．（24-25五年级上·河南商丘·期末）在2、3、4、10、18、35、60、84中，( )是2的倍数，( )是3的倍数，( )是5的倍数，( )同时是2，3和5的倍数。 7．（24-25五年级上·四川成都·期末）北宋哲学家邵雍，写了一首诗叫《山村咏怀》。这首诗的原文：一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。在这首诗的原文中。 (1)所有的质数有：( )。 (2)所有的合数有：( )。 8．（24-25五年级上·山西吕梁·期末）一个三位数，百位上是合数，十位上是奇数，这个数同时又是2和5的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 9．（24-25五年级上·陕西渭南·期末）《水浒传》成功塑造了水泊梁山108位好汉的形象。108的最大因数是( )，比108小的三位数中，既是偶数，又有因数3的数有( )。 10．（24-25五年级上·山西晋城·期末）天天去帮妈妈取快递，妈妈告诉天天，快递取件码是一个没有零的四位数，最高位上的数既是偶数又是质数，百位上的数既是奇数又是合数，十位上的数比最小的合数大1，个位上的数既不是质数也不是合数。快递取件码是( )。 11．（24-25五年级上·浙江金华·期末）一张扑克牌正面朝上放在桌子上，翻动1次反面朝上，翻动2次正面朝上，如此翻动99次后，( )面朝上，翻动500次后，( )面朝上。 12．（24-25五年级上·河南商丘·期末）一个数最小的倍数是24，这个数是( )，它有( )个因数，这些因数中，质数分别为( )。 13．（23-24五年级上·陕西咸阳·期末）有56瓶饮料，选哪种包装盒能正好把这些饮料全部装完？ 14．（24-25五年级上·河南商丘·期末）食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？请用因数倍数的知识说明。 15．（23-24五年级上·广东湛江·期中）用一根32厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都是质数。这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义：专题03 倍数与因数 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、因数与倍数 1.定义： 如果 a × b = c (a、b、c都是非零自然数)，那么 a 和 b 都是 c 的因数，c 是 a 和 b 的倍数。 2.相互依存关系： 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须指明它是谁的因数或倍数。例如： （1）12 ÷ 3 = 4 (整除)，所以 3 和 4 是 12 的因数，12 是 3 和 4 的倍数。 （2）不能说“3是因数”，应该说“3是12的因数”。 3.特征： （1）一个数的因数个数是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身。 （2）一个数的倍数个数是无限的，其中最小的是它本身。 考点二、求一个数的因数的方法 1.有序思考：从最小的因数1开始，成对地找。 2.方法：用这个数除以从1开始递增的自然数，能整除的除数和商就是这个数的因数。 3.例如：找18的因数：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷6=3，18÷9=2，18÷18=1。所以18的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。 4.表示方法：可以列举，也可以用集合表示。注意：不重复，不遗漏。 考点三、求一个数的倍数的方法 1.用这个数分别乘以自然数1, 2, 3, 4, ... 2.例如：5的倍数有：5×1=5, 5×2=10, 5×3=15, 5×4=20, ... 所以5的倍数有5, 10, 15, 20, ... 3.表示方法：通常列举出几个倍数，后面用“...”表示无限多个。注意：包含它本身。 考点四、2、5、3的倍数的特征 1.2的倍数的特征： 个位上是0、2、4、6、8的数。 2.5的倍数的特征： 个位上是0或5的数。 3.3的倍数的特征： 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.既是2的倍数又是5的倍数的特征： 个位上是0的数。 考点五、奇数和偶数 1.定义： 是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；不是2的倍数的数叫做奇数。 2.自然数可以分为奇数和偶数两大类。 3.奇偶性特点（了解）： 奇数 + 奇数 = 偶数 偶数 + 偶数 = 偶数 奇数 + 偶数 = 奇数 奇数 × 奇数 = 奇数 偶数 × 偶数 = 偶数 奇数 × 偶数 = 偶数 考点六、质数（素数）与合数 1.质数（素数）： 一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 （1）最小的质数是2（唯一的偶质数）。 （2）100以内的质数表（要求掌握）：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (共25个) 2.合数： 一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。 （1）最小的合数是4。 （2）1既不是质数，也不是合数。 3.自然数的分类： （1）按因数个数分：1、质数、合数。 （2）按奇偶性分：奇数、偶数。 考点七、找质数的方法（筛法） 1.利用质数的定义来判断。 2.常用方法：看这个数是否有除了1和它本身以外的因数。可以用小于它的质数（2, 3, 5, 7...）去试除，如果都不能整除，则是质数（需注意试除范围，一般试到平方根附近）。 考点八、分解质因数 1.质因数： 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 2.分解质因数： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。 3.方法： 通常用短除法。例如：把30分解质因数：30 = 2 × 3 × 5。 例题讲解 一、因数和倍数的认识 【例题1】（25-26五年级上·河南鹤壁·期中）因为5×6＝30，所以6和5是30的( )，30是6和5的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数；如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；据此解答。 【详解】根据分析可知：因为5×6＝30，所以6和5是30的因数，30是6和5的倍数。 【例题2】（25-26五年级上·广东深圳·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．因为4×6＝24，所以4和6是因数 B．一个数的因数一定比它的倍数小 C．一个数的倍数的个数是无限的 D．因为3÷0.5＝6，所以3是0.5的倍数 【答案】C 【分析】倍数和因数是非0整数范围内的相互依存概念，不能脱离具体的数单独说某个数是因数，也不能用小数参与倍数因数的判断；一个数的因数个数有限（最大为自身），倍数个数无限（最小为自身），且存在“一个数的最大因数＝最小倍数”的情况，不存在“因数一定比倍数小”的结论。据此逐个判断。 【详解】A．因数是两个数之间的相互关系，不能孤立说某个数是因数，正确表述应该是“4和6是24的因数”，说法错误； B．一个数的最大因数和最小倍数都是它本身（比如数字8，最大因数是8，最小倍数也是8），二者是相等的，不是因数一定比倍数小，说法错误； C．一个数的倍数可以通过“这个数×1、×2、×3……”得到，能乘的自然数有无数个，所以倍数的个数是无限的，说法正确； D．倍数的定义要求参与运算的数都是整数，且除法没有余数，0.5是小数，不满足倍数的前提条件，所以不能说3是0.5的倍数，说法错误。 选项C中的说法是正确的。 故答案为：C 【例题3】（24-25五年级上·广东惠州·期中）（    ）既是12的因数，又是27的因数。 A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】找出12和27的因数，再确定它们的公因数。12的因数有1、2、3、4、6、12，27的因数有1、3、9、27。公有的因数为1和3，选项中只有3符合条件。 【详解】12能被1、2、3、4、6、12整除，因此12的因数为1、2、3、4、6、12。 27能被1、3、9、27整除，因此27的因数为1、3、9、27。 12和27的公因数为1和3。选项中只有3（选项A）符合条件。 故答案为：A 二、找一个数的倍数及倍数的特征 【例题1】（25-26五年级上·广东深圳·期中）妈妈买了相同质量（整千克）的柑橘和梨，柑橘每千克5元，梨每千克3元。妈妈可能花了（    ）元。 A．30 B．40 C．45 D．无法确定 【答案】B 【分析】因为买的柑橘和梨质量一样，那么每买1千克柑橘和1千克梨，总共花费就是5＋3＝8（元）。所以不管买多少千克，总花费一定是8元的倍数。逐项分析每个数是否是8的倍数即可。 【详解】A．30，我们用30除以8，30÷8＝3……6，这说明30不能被8整除，所以30不是8的倍数，不符合妈妈可能花的钱数； B．40，40÷8＝5，没有余数，这就意味着40能被8整除，所以40是8的倍数，符合妈妈可能花的钱数； C．45，45÷8＝5……5，45除以8有余数，说明45不能被8整除，不是8的倍数，不符合妈妈可能花的钱数。 故答案为：B 【例题2】（25-26五年级上·广东惠州·期中）一个非0自然数是，它最小的倍数是( )。 【答案】 【分析】一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数； 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身； 一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。据此解答。 【详解】例如：13的最大因数是13，最小倍数也是13；957的最大因数是957，最小倍数也是957。 一个非0自然数b，它的最大因数是，它的最小倍数就是它本身也是。 【例题3】（25-26五年级上·河南鹤壁·期中）有一筐苹果不超过50个，4个4个数或6个6个地数，都正好数完，这筐苹果最多有多少个？ 【答案】48个 【分析】分析题目，苹果的个数既是4的倍数又是6的倍数，且不大于50，据此找出50以内既是4的倍数又是6的倍数的最大数即可。 【详解】50以内4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48； 50以内6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48； 50以内既是4的倍数又是6的倍数的最大数是：48。 答：这筐苹果最多有48个。 三、2、5的倍数特征 【例题1】（25-26五年级上·广东深圳·期中）4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数。请你想一想翻开的页码可能是（    ）。 A．35、36 B．50、51 C．75、76 D．89、90 【答案】B 【分析】2的倍数，尾数为2、4、6、8、0；5的倍数，尾数为5、0，所以页码既是2的倍数，又是5的倍数，尾数应该为0。再根据这本书共80页，即可做出选择。 【详解】因为一个页码既是2的倍数，又是5的倍数，所以这个页码尾数为0，A、C错误。又这本画册共80页，B正确、D错误。 故答案为：B 【例题2】（24-25五年级上·广东湛江·期中）用5，6，7，0组成一个四位数，使它既是2的倍数又是5的倍数。这个四位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 5670 7650 【分析】这个四位数既是5的倍数又是2的倍数，这个四位数的个位一定是0；要想这个四位数最小，千位上的数小，百位上的数小于十位上的数大于千位上的数，十位上的数是除0以外的最大数，据此解答第一空；要想这个四位数最大，千位上的数取最大数7，百位上的数大于十位上的数小于千位上的数，十位上的数是除0以外的最小数，据此解答第二空。 【详解】用5，6，7，0组成一个四位数，使它既是2的倍数又是5的倍数。这个四位数最小是5670，最大是7650。 【例题3】（24-25五年级上·广东惠州·期中）五（1）班有36名同学参加社区的服务活动。如果每2人分为一组，能正好分完吗？如果每5人分为一组，能正好分完吗？如果不能正好分完，至少再添几人才能正好分完？ 【答案】能正好分完；不能正好分完，至少再添4人 【分析】要正好分完，总人数必须是2的倍数。可根据2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8的数，据此可得出答案。 要正好分完，总人数必须是5的倍数且要比36大。可根据5的倍数特征：个位上的数是0或5的数，可得到离36最近的5的倍数，据此可得出答案。 【详解】36的个位数字是6，36是2的倍数。 40－36＝4 答：如果每2人分为一组，能正好分完；如果每5人分为一组，不能正好分完；至少再添4人才能正好分完。 四、奇数与偶数的认识 【例题1】（25-26五年级上·辽宁沈阳·期中）在自然数中是2的倍数的数叫( )，不是2的倍数的数叫( )。 【答案】 偶数 奇数 【分析】在自然数中，能被2整除的数称为偶数，不能被2整除的数称为奇数。 【详解】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。 所以在自然数中是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【例题2】（25-26五年级上·四川成都·期中）在一条河的两边分别有两个寨子，索道是在两个寨子间运送物资的唯一交通工具。某日，货物箱最初在甲寨，经过25次（往返算两次）后，货物箱停在( )寨。 【答案】乙 【分析】货物箱最初在甲寨，经过1次则货物箱在乙寨，经过2次则货物箱在甲寨，经过3次则货物箱在乙寨，经过4次则货物箱在甲寨，……，则经过奇数次运输货物箱在乙寨，经过偶数次运输货物箱在甲寨，由此即可推定。 【详解】25次为奇数次，则经过25次后，货物箱停在乙寨。 【例题3】（25-26五年级上·陕西西安·期中）大毛、二毛、三毛三兄弟的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄之和是36岁，大毛( )岁，三毛( )岁。 【答案】 14 10 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2。 已知三兄弟的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄之和是36岁，用这三个连续偶数的和除以3，求出平均数，即是中间的偶数，也就是二毛的年龄；再用二毛的年龄分别加2、减2，求出相邻的另外两个偶数，也就是大毛、三毛的年龄。 【详解】二毛：36÷3＝12（岁） 大毛：12＋2＝14（岁） 三毛：12－2＝10（岁） 所以，大毛14岁，三毛10岁。 五、3的倍数特征 【例题1】（25-26五年级上·陕西西安·期中）如果37是3的倍数，那么里可能是（    ）。 A．3、6、9 B．0、3、6、9 C．1、4、7 D．2、5、8 【答案】D 【分析】根据3的倍数的特征：一个数各数位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数。因此，需要计算37的各位数字之和（＋3＋7）。 【详解】3＋7＝10，10＋2＝12，10＋5＝15，10＋8＝18，12、15、18是3的倍数，所以里可能是2、5、8。 故答案为：D 【例题2】（25-26五年级上·四川成都·期中）一个三位数是3的倍数，这个三位数最小是（    ）。 A．100 B．105 C．103 D．102 【答案】D 【分析】各个位上数字相加的和能被3整除的数，是3的倍数。这个三位数最小，则较高位上的数字最小为1即百位上是1，十位上是0，再判断各项三位数的各个数位上的数字之和是否能被3整除。 【详解】A．1＋0＋0＝1，1不能被3整除，所以，100不是3的倍数，不符合题意； B．1＋0＋5＝6，6能被3整除，所以，105是3的倍数； C．1＋0＋3＝4，4不能被3整除，所以，103不是3的倍数，不符合题意； D．1＋0＋2＝3，3能被3整除，所以，102是3的倍数； 102小于105，所以，一个三位数是3的倍数，这个三位数最小是102。 故答案为：D 【例题3】（25-26五年级上·广西贺州·期中）从1980年东风系列导弹首次全程试射成功，到2025年“DF－5C”洲际战略核导弹亮相阅兵仪式，其中包含了我国无数科学家的智慧和汗水。这两个年份数都是3的倍数吗？你是怎么判断的？ 【答案】这两个年份数都是3的倍数，理由见详解 【分析】3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；据此把两个年份各个数位上的数字相加，如果和能被3整除，则是3的倍数，如果不能被3整除，则不是3的倍数。 【详解】1＋9＋8＋0＝18 因为18÷3＝6，所以1980是3的倍数； 2＋0＋2＋5＝9 因为9÷3＝3，所以2025是3的倍数。 答：这两个年份数都是3的倍数，因为它们的所有数位之和都能被3整除。 六、2、3、5的倍数特征综合 【例题1】（25-26五年级上·广东深圳·期中）同时是2、3和5的倍数的最小三位数是（    ）。 A．110 B．120 C．90 D．990 【答案】B 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】A．1＋1＝2，110不是3的倍数； B．1＋2＝3，120同时是2、3和5的倍数； C．90同时是2、3和5的倍数，但90是个两位数； D．9＋9＝18，990同时是2、3和5的倍数。 120＜990 同时是2、3和5的倍数的最小三位数是120。 故答案为：B 【例题2】（25-26五年级上·陕西西安·期中）在2，3和5的倍数中，最大的三位数是( )，最小的两位数是( )。 【答案】 990 30 【分析】同时是2、3、5的倍数的数需满足：个位为0（因为2和5的最小公倍数是10，所以同时是2和5的倍数个位一定是0），且各位数字之和是3的倍数。求最大三位数，百位和十位要尽可能大；求最小两位数，个位为0，十位要尽可能小；由此解答即可。 【详解】求最大三位数：百位和十位要尽可能大，百位、十位都取最大值9，个位为0，此时这个数是990 各位数字之和为9＋9＋0＝18，18是3的倍数，所以满足同时是2、3、5的倍数，所以最大三位数为990。 求最小两位数：个位为0，十位要尽可能小，十位最小取3，此时这个数是30，各位数字之和为3＋0＝3，3是3的倍数，所以满足同时是2、3、5的倍数，所以最小两位数为30。 因此，在2，3和5的倍数中，最大的三位数是990，最小的两位数是30。 【例题3】（25-26五年级上·陕西西安·期中）从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是5的倍数的三位数，共有( )种不同的组法。 【答案】6 【分析】5的倍数特征是数的个位是0或5；3的倍数特征是数的各位数字之和是3的倍数。首先列出所有可能的三数字组合：（0，1，4）、（0，1，5）、（0，4，5）、（1，4，5）。其中（0，1，4）和（1，4，5）的数字和分别为5和10，均不是3的倍数，因此排除。对于（0，1，5）（数字和为6）和（0，4，5）（数字和为9），分别考虑个位为0或5的情况，并确保百位不为0，从而得到所有满足条件的三位数。 【详解】根据分析，考虑数字组合0，1，5，因为1＋5＝6，6是3的倍数，且个位是0或5的三位数有：105、150、510；考虑数字组合0，4，5，因为4＋5＝9，9是3的倍数，且个位是0或5的组合有：405、450、540。 所以一共有6种不同的组法。 七、找一个数的因数及因数的特征 【例题1】（24-25五年级上·陕西咸阳·期中）54的全部因数是( )。 【答案】1、2、3、6、9、18、27、54 【分析】一个数的因数个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 确定一个数的所有因数，可以通过从1开始的乘法来找。 【详解】1×54＝54 2×27＝54 3×18＝54 6×9＝54 54的全部因数是1、2、3、6、9、18、27、54。 【例题2】（25-26五年级上·福建泉州·期中）下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．17 B．63 C．81 D．97 【答案】B 【分析】如果自然数a和自然数b的乘积是c，即a×b＝c，那么a、b都是c的因数，c是a和b的倍数。 先分别找出每个选项中数的所有因数，数出因数的个数，再比较哪个数的因数个数最多。据此解答。 【详解】A．17＝1×17，所以17的因数有：1，17；共2个； B．63＝1×63＝3×21＝7×9，所以63的因数有：1，3，7，9，21，63；共6个； C．81＝1×81＝3×27＝9×9，所以81的因数有：1，3，9，27，81；共5个； D．97＝1×97，所以97的因数有：1，97；共2个； 6＞5＞2，所以因数个数最多的是63。 故答案为：B 【例题3】（25-26五年级上·陕西西安·期中）实验小学五年级72名学生要去社区参与绿植养护活动，需分成人数相等的小组，每组负责一片绿化带的杂草清除、浇水和修剪。为保证能快速完成一片区域的养护，每组不少于5人；又因社区绿化带面积有限，每组不多于15人。请问有几种不同的分组方式？每组最少几人，可以分几组？每组最多几人，可以分几组？ 【答案】4种；最少6人，分12组；最多12人，分6组 【分析】要求将72名学生分成人数相等的小组，每组人数在5到15人之间（包括5和15）。分组方式取决于72的因数，因为每组人数相等，且总人数固定。需要找出72的所有因数中，满足不小于5且不大于15的因数，这些因数对应不同的每组人数，进而确定组数。 【详解】72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。 筛选出在5到15之间（包括5和15）的因数：6、8、9、12。 当每组6人时，组数为72÷6＝12（组） 当每组8人时，组数为72÷8＝9（组） 当每组9人时，组数为72÷9＝8（组） 当每组12人时，组数为72÷12＝6（组） 因此，有4种不同的分组方式。 答：有4种不同的分组方式；每组人数最少为6人，可以分12组；每组人数最多为12人，可以分6组。 八、质数与合数的认识与应用 【例题1】（25-26五年级上·广东茂名·期中）两个质数相乘，它们的积一定是（    ）。 A．质数 B．奇数 C．偶数 D．合数 【答案】D 【分析】质数是大于1的自然数，且只有1和它本身两个因数；合数是大于1的自然数，除了1和它本身以外，还有别的因数。两个质数相乘，积的因数至少包括1、这两个质数和积本身，符合合数的定义。 【详解】A．两个质数相乘，它们的积一定是质数，此说法错误，因为积的因数个数至少包括1、这两个质数和积本身，是合数； B．两个质数相乘，它们的积一定是奇数，此说法错误，比如这两个质数分别为2和3，它们的积是6，是偶数； C．两个质数相乘，它们的积一定是偶数，此说法错误，比如这两个质数分别为3和5，它们的积是15，是奇数； D．两个质数相乘，积的因数个数至少为3个，符合合数定义。 故答案为：D 【例题2】（25-26五年级上·广东惠州·期中）一个两位数的质数，十位数字和个位数字都是质数，且这两个数字的和是8，这个质数是（    ）。 A．35 B．53 C．26 D．62 【答案】B 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数；据此找出两个质数的和是8，进而解答。 【详解】8以内的质数有2，3，5，7； 3＋5＝8 35是合数，不是质数，不符合题意。 53是质数，符合题意。 一个两位数的质数，十位数字和个位数字都是质数，且这两个数字的和是8，这个质数是53。 故答案为：B 【例题3】（25-26五年级上·河南鹤壁·期中）一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数，且长和宽不相等。它的周长是60米，这个长方形的面积可能是多少平方米？ 【答案】161平方米、209平方米或221平方米 【分析】已知长方形周长为60米，根据周长公式可算出长与宽的和是30米；又因为长和宽是不相等的质数，所以要找出和为30的质数对，符合条件的有“7和23”“11和19”“13和17”这三组；最后用长乘宽算出面积，对应的结果分别是7×23＝161平方米、11×19＝209平方米、13×17＝221平方米。因此这个长方形的面积可能是161平方米、209平方米或221平方米。 【详解】求长＋宽： 60÷2＝30（米） 当长＝23米、宽＝7米时： 23×7＝161（平方米） 当长＝19米、宽＝11米时： 19×11＝209（平方米） 当长＝17米、宽＝13米时： 17×13＝221（平方米） 答： 这个长方形的面积可能是161平方米、209平方米或221平方米。 【点睛】根据长方形周长公式，用60除以2算出长与宽的和是30米；再依据质数的定义，找出和为30且不相等的质数对，即7和23、11和19、13和17；最后用长乘宽的面积公式，分别算出三组组合对应的面积为161平方米、209平方米、221平方米，因此这个长方形的面积可能是这三个数值中的任意一个。 九、分解质因数 【例题1】（25-26五年级上·广东深圳·月考）把下面各数写成质数相乘的形式。（示例：12＝2×2×3） 65＝         92＝         38＝         70＝ 【答案】65＝5×13 92＝2×2×23 38＝ 2×19 70＝2×5×7 【分析】根据质数的意义，一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。可以用短除法解决。 【详解】65＝5×13      92＝2×2×23 38＝ 2×19      70＝2×5×7                        【例题2】（25-26五年级上·广东深圳·阶段练习）在括号里填上合适的质数。 18＝( )＋( )＝( )＋( )   30＝( )×( )×( ) 【答案】 5 13 7 11 2 3 5 【分析】根据质数的意义：一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此可以把每个合数分成两个质数的和或多个质数的积的形式，据此解答。 【详解】20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19， 则和， 【例题3】（23-24五年级上·陕西西安·期末）如果两个质数的和是18，积是65，那么它们是( )和( )。 【答案】 13 5 【分析】根据题意得：两个质数的和是18，积是65，可通过分解质因数的方法，可计算得出答案。 【详解】将65分解质因数为：，两个质因数之和为：，符合题干中的条件。即这两个数是13和5。 考点练习 一、因数和倍数的认识 1．（25-26五年级上·广东深圳·月考）王老师买了相同支数的钢笔和圆珠笔，钢笔每支4元，圆珠笔每支3元。那么王老师可能花了（    ）元钱。 A．45 B．60 C．63 D．81 【答案】C 【分析】根据题意，钢笔和圆珠笔的数量相同，总费用为两种笔单价之和的倍数。 【详解】4＋3＝7 A．，非整数倍，此选项错误； B．，非整数倍，此选项错误； C．，整数倍，此选项正确； D．，非整数倍，此选项错误； 故答案为：C 2．（25-26五年级上·广东深圳·阶段练习）希望小学有96名学生准备坐车去秋游，旅行团提供了以下几种车型供选择。选哪一种车能正好将全部学生接送？（    ） A．核载18人 B．核载48人 C．核载45人 D．核载36人 【答案】B 【分析】只要学生人数是核载人数的倍数即可。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 【详解】A．96不是18的倍数，排除； B．48×2＝96，96是48的倍数，可以； C．96不是45的倍数，排除； D．96不是36的倍数，排除。 选核载48人的车能正好将全部学生接送。 故答案为：B 3．（25-26五年级上·广东湛江·期中）18÷6＝3，18是6和3的( )，6和3是18( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数且没有余数，我们就说a是b和商的倍数，b和商是a的因数。据此解答即可。 【详解】因为18÷6＝3，18能被6整除，所以18是6和3的倍数。 因为18÷6＝3，18能被6整除，所以6和3是18的因数。 18÷6＝3，18是6和3的倍数，6和3是18的因数。 4．（25-26五年级上·陕西延安·期中）已知（，都是自然数），则一定是的( )，一定是的( )。（填“因数”或“倍数”） 【答案】 倍数 因数 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答。 【详解】因为，所以a是b和6的倍数，b和6是a的因数。 5．（24-25五年级上·广东湛江·期中）货场有51吨煤，现有三种不同载重的卡车，用( )号卡车正好可以装完，因为( )。 1号车 3吨 2号车 4吨 3号车 5吨 【答案】 1 51是3的倍数，但不是4和5的倍数 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 据此分别用51除以3、4、5，能整除的，说明51是这个数的倍数，那么用这种载重的卡车正好可以装完51吨煤。 【详解】51÷3＝17，能整除，说明51是3的倍数； 51÷4＝12……3，不能整除，说明51不是4的倍数； 51÷5＝10……1，不能整除，说明51不是5的倍数； 所以，用（1）号卡车正好可以装完，因为（51是3的倍数，但不是4和5的倍数）。 二、找一个数的倍数及倍数的特征 1．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）在10~20的数中，7的倍数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用乘法算式，先找出7的倍数，再找出符合在10到20之间的数即可解答。 【详解】7的倍数有：7，14，21，28，35，… 满足在10到20之间的数有：14，因此在10到20之间的数中，7的倍数有1个。 故答案为：A 2．（24-25五年级上·陕西西安·期中）50以内7的倍数有( )。 【答案】7，14，21，28，35，42，49 【分析】找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 7×1＝7，7×2＝14，7×3＝21，7×4＝28，7×5＝35，7×6＝42，7×7＝49，这些积都是50以内7的倍数，据此解答。 【详解】50以内7的倍数有（7，14，21，28，35，42，49）。 3．（24-25五年级上·陕西咸阳·期中）榆林市建立了许多长城保护工作站，数量在60～70之间，若把这些长城保护工作站平均分布在13个辖区，还余下3个长城保护工作站，榆林市的长城保护工作站有多少个？ 【答案】68个 【分析】考虑13的倍数：我们知道13的倍数有13、26、39、52、65、78等等。因为工作站数量在60～70之间，且是平均分给13个辖区后还余3个，所以我们要找13在这个范围内的倍数。在13的倍数中，符合60～70之间的是65。计算工作站总数：因为平均分配后还余下3个工作站，所以总数就是这个倍数加上余数。据此解答。 【详解】13的倍数有13，26，39，52，65，78… 60＜65＜70 65＋3＝68（个） 答：榆林市的长城保护工作站有68个。 三、2、5的倍数特征 1．（24-25五年级上·广东深圳·期中）一本30页的故事书（首页在右边），翻开后看到两个页码，其中一个既是2的倍数又是5的倍数，这两页可能是第 ( )页和第( )页。 【答案】 10 11 【分析】同时是2和5的倍数的特征：个位数字是0，1~30中同时是2和5倍数的数有10、20、30，页码的排列顺序为1（右边）、2（左边）、3（右边）、4（左边）、5（右边）……28（左边）、29（右边）、30（左边），第1页单独在一面，第2页和第3页在同一面，第4页和第5页在同一面……第28页和第29页在同一面，第30页单独在一面，那么翻开的两个页码可能是第10页和第11页，也可能是第20页和第21页，据此解答。 【详解】分析可知，一本30页的故事书（首页在右边），翻开后看到两个页码，其中一个既是2的倍数又是5的倍数，这两页可能是第10页和第11页或第20页和第21页。 2．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）83至少要加上( )是2的倍数，至少减去( )是5倍数。 【答案】 1 3 【分析】2的倍数特征：一个数的个位数字是0、2、4、6、8的数就是2的倍数；5的倍数特征：个位上是0和5的数，据此解答即可。 【详解】83＋1＝84，84是2的倍数，则83至少要加上1是2的倍数； 83－3＝80，则至少减去3是5倍数。 3．（24-25五年级上·山西吕梁·期中）一个两位的偶数，各个数位上的和是4，它还是5的倍数，这个数是( )。 【答案】40 【分析】个位上是0或5的数是5的倍数，各个数位上的和是4，由此可知，这个两位偶数的个位是0，再用4减去0即可求出十位上的数是几。 【详解】根据5的倍数的特征可知，个位是0； 4－0＝4 所以这个两位偶数是40。 4．（25-26五年级上·陕西榆林·期中）在庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，阳光小学的同学们满怀崇敬与热忱，精心制作了125个抗战主题小徽章。若每2个小徽章装成一盒，能正好装完吗？每5个小徽章装成一盒，能正好装完吗？为什么？ 【答案】不能；因为125不是2的倍数，所以若每2个小徽章装成一盒，不能正好装完；能；因为125是5的倍数，所以每5个小徽章装成一盒，能正好装完。 【分析】根据2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数进行分析。 【详解】125不是2的倍数，所以若每2个小徽章装成一盒，不能正好装完； 125÷5＝25（盒） 125是5的倍数，所以每5个小徽章装成一盒，能正好装完。 答：不能正好装完。因为125不是2的倍数，所以若每2个小徽章装成一盒，不能正好装完；能正好装完。因为125是5的倍数，所以每5个小徽章装成一盒，能正好装完。 四、奇数与偶数的认识 1．（24-25五年级上·陕西西安·期中）用“奇数”或“偶数”填空。 奇数＋偶数＝( )        奇数×偶数＝( ) 【答案】 奇数 偶数 【分析】根据奇偶数的运算性质可知，奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，据此解答。 【详解】奇数＋偶数，例如：1＋2＝3，3是奇数；5＋4＝9，9是奇数；则奇数＋偶数＝奇数； 奇数×偶数，例如：1×2＝2，2是偶数；3×4＝12，12是偶数；则奇数×偶数＝偶数。 2．（25-26五年级上·福建泉州·期中）学校要举办元旦晚会，同学们正在布置礼堂。礼堂后排有一盏装饰灯，初始状态是关闭的。为了调试灯光效果，小刚按动开关21次后，这盏灯处于( )状态（填“打开”或“关闭”）。 【答案】打开 【分析】这盏灯初始是关闭状态，按开关的规律是：按奇数次会切换为打开，按偶数次会回到关闭。因为21是奇数，所以小刚按动开关21次后，这盏灯处于打开状态。 【详解】按奇数次会切换为打开，按偶数次会回到关闭。因为21是奇数，这盏灯处于打开状态。 3．（24-25五年级上·山西晋城·期中）两个连续偶数的和是70，这两个偶数分别是( )和( )。 【答案】 34 36 【分析】相邻的两个偶数之间相差2，根据和差问题的解题方法，（两个连续偶数的和－2）÷2＝较小偶数，较小偶数＋2＝较大偶数。 【详解】（70－2）÷2 ＝68÷2 ＝34 34＋2＝36 这两个偶数分别是34和36。 4．（25-26五年级上·福建泉州·期中）学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是( )厘米，最长的是( )厘米。 【答案】 13 17 【分析】根据连续奇数的特点，两个相邻的奇数相差2；用这三个连续奇数的和除以3，求出平均数，即是中间的奇数，再用中间的奇数分别减2、加2，求出这三个奇数中最小和最大的奇数，据此解答。 【详解】中间的奇数：45÷3＝15（厘米） 最小的奇数：15－2＝13（厘米） 最大的奇数：15＋2＝17（厘米） 学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是13厘米，最长的是17厘米。 五、3的倍数特征 1．（24-25五年级上·吉林长春·期中）是3的倍数的三位数是（    ）。 A．100 B．102 C．103 D．104 【答案】B 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。判断各项中各数位数字之和是否为3的倍数即可。 【详解】A．1＋0＋0＝1，1不是3的倍数，不符合题意。 B．1＋0＋2＝3，3是3的倍数，符合题意。 C．1＋0＋3＝4，4不是3的倍数，不符合题意。 D．1＋0＋4＝5，5不是3的倍数，不符合题意。 故答案为：B 2．（25-26五年级上·广东惠州·期中）如果□37是3的倍数，那么□里可能是（    ）。 A．2、5 B．5、8 C．2、5、8 D．1、2、5、8 【答案】C 【分析】根据3的倍数特征，一个数是3的倍数，当且仅当它的各位数字之和是3的倍数。所以，对于数字□、3、7，数字之和是□＋3＋7。计算3＋7＝10，所以数字之和是□＋10。这个和必须是3的倍数。也就是说，□＋10必须被3整除。 【详解】A．2＋10＝12，12÷3＝4，5＋10＝15，15÷3＝5，因此2、5可以填入□； B．5＋10＝15，15÷3＝5，8＋10＝18，18÷3＝6，因此5、8可以填入□； C．2＋10＝12，12÷3＝4，5＋10＝15，15÷3＝5，8＋10＝18，18÷3＝6，因此2、5、8可以填入□； D．1＋10＝11，11÷3＝3……2，2＋10＝12，12÷3＝4，5＋10＝15，15÷3＝5，8＋10＝18，18÷3＝6；因此1不可以填入□。 虽然选项A、B可以填入□，但不如选项C全面。 故答案为：C 3．（25-26五年级上·广东深圳·期中）田田班一共有40名同学，他们准备为即将到来的校运会设计一个队形。如果每3人一组，能正好安排完吗？请说明理由。 【答案】不能；4＋0＝4，4不是3的倍数 【分析】3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】4＋0＝4，4不是3的倍数，40不是3的倍数。 答：如果每3人一组，不能正好安排完，因为4＋0＝4，4不是3的倍数。 4．（25-26五年级上·广东惠州·期中）学校组织学生春游。休息时，徐老师说：“我为每位同学买了一瓶3元的饮料，请大家算一算，一共花了多少钱？”下面三位同学只有一人算对了。谁算对了？为什么？ 【答案】小红；理由见详解 【分析】已知饮料的单价是3元，无论同学的总人数是多少，根据“单价×数量＝总价”可知，买饮料的总价是3的倍数。分析小明、小刚和小红算出的总价中，谁算出的总价是3的倍数，谁就算对了。3的倍数特征是：一个数的各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。因此只需判断数字和是否为3的倍数即可。 【详解】小明：一共花了698元；6＋9＋8＝23，不是3的倍数； 小刚：一共花了736元；7＋3＋6＝16，不是3的倍数； 小红：一共花了726元；7＋2＋6＝15，是3的倍数。 答：上面三位同学只有小红算对了。因为只有小红算的总价是3的倍数。 六、2、3、5的倍数特征综合 1．（24-25五年级上·吉林长春·期中）同时是2，5，3的倍数的数是（    ）。 A．432 B．615 C．720 D．108 【答案】C 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数；5的倍数特征：个位数字是0或5的数是5的倍数；同时是2、3、5的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【详解】A．432不是5的倍数，则432不符合条件，所以该选项错误； B．615不是2的倍数，则615不符合条件，所以该选项错误； C．7＋2＋0＝9，9是3的倍数，720同时是2，5，3的倍数，所以该选项正确； D．108不是5的倍数，则108不符合条件，所以该选项错误。 故答案为：C 2．（24-25五年级上·广东惠州·期中）一个四位数3□80同时是2、3、5的倍数，百位上最小能填（    ）。 A．0 B．9 C．7 D．1 【答案】D 【分析】一个数同时是2、3、5的倍数，个位必须是0，且各位数字之和是3的倍数。据此逐项分析即可。 【详解】A．3＋0＋8＋0＝11，11不是3的倍数，该选项错误。 B．3＋9＋8＋0＝20，20不是3的倍数，该选项错误。 C．3＋7＋8＋0＝18，18是3的倍数，但不是最小，该选项错误。 D．3＋1＋8＋0＝12，12是3的倍数，且最小，该选项正确。 故答案为：D 3．（25-26五年级上·四川成都·期中）同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )，同时是2，3，5的倍数的最小三位数是( )。 【答案】 990 120 【分析】依据2、3、5的倍数特征：个位为0且各位数字和是3的倍数。据此作答。 【详解】同时是2、3、5的倍数的最大三位数，个位是0，要使三位数最大，百位取9，十位尽可能大，因为9＋9＋0＝18，18是3的倍数，所以十位取9。因此，最大三位数是990。 同时是2、3、5的倍数的最小三位数，个位是0，要使三位数最小，百位取1，十位尽可能小，因为1＋2＋0＝3，3是3的倍数，所以十位取2。因此，最小三位数是120。 综上，同时是2、3、5的倍数的最大三位数是990，最小三位数是120。 4．（25-26五年级上·广东深圳·期中）157至少加上( )，才是2的倍数；至少减去( )，才是5的倍数；至少减去( )，才同时是2、3和5的倍数。 【答案】 1 2 7 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数字是0或5；同时是2、3和5的倍数（即30的倍数）特征：数的个位数字是0，且各位数字之和是3的倍数。对于157，分别计算最小加上或减去的数，使其满足相应倍数条件。 157的个位数字是7，不是2的倍数。要使它成为2的倍数，个位数字应为0、2、4、6或8。最小加1（157＋1＝158），个位数字8，是2的倍数。故填1； 157的个位数字是7，不是5的倍数。要使它成为5的倍数，个位数字应为0或5。最小减2（157－2＝155），个位数字5，是5的倍数。故填2； 同时是2、3和5的倍数的数是30的倍数。157÷30＝5……7（30×5＝150，30×6＝180＞157），所以150是小于157的最大30的倍数。157－150＝7，减7后得150，个位数字0，是2和5的倍数；各位数字之和1＋5＋0＝6，是3的倍数，故150是30的倍数。故填7。 【详解】157＋1＝158，158是2的倍数，即157至少加上1，才是2的倍数； 157－2＝155，155是5的倍数，即157至少减去2，才是5的倍数； 157－7＝150，150同时是2、3和5的倍数，即157至少减去7，才同时是2、3和5的倍数。 157至少加上1，才是2的倍数；至少减去2，才是5的倍数；至少减去7，才同时是2、3和5的倍数。 七、找一个数的因数及因数的特征 1．（25-26五年级上·四川成都·期中）在下面的数中，因数个数最少的是（    ）。 A．12 B．20 C．23 D．27 【答案】C 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；由此求出选项中各数的因数，再找出因数个数最少的选项，据此解答。 【详解】A．12÷1＝12 12÷2＝6 12÷3＝4 12的因数有1、2、3、4、6、12，一共6个因数。 B．20÷1＝20 20÷2＝10 20÷4＝5 20的因数有1、2、4、5、10、20，一共6个因数。 C．23÷1＝23 23的因数有1、23，一共2个因数。 D．27÷1＝27 27÷3＝9 27的因数有1、3、9、27，一共4个因数。 综上所述，因数个数最少的是23。 故答案为：C 2．（25-26五年级上·广东深圳·期中）36的因数有：( )；30以内7的倍数有：( )。 【答案】 1、2、3、4、6、9、12、18、36 7、14、21、28 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 7×1＝7、7×2＝14、7×3＝21、7×4＝28、7×5＝35…… 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；30以内7的倍数有：7、14、21、28。 3．（25-26五年级上·四川成都·期中）把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有( )种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有( )种装法。 【答案】 9 2 【分析】因为每个盒子装得同样多，所以每个盒子装的苹果数必须是总苹果数的因数。因此，装法数就是总苹果数的因数个数，分别列举36和37的因数，然后确定答案。 【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个因数，所以有9种装法。 37的因数有：1、37，共2个因数，所以有2种装法。 把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有9种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有2种装法。 4．（25-26五年级上·陕西咸阳·期中）正值金秋时节，兴平的特产辣椒喜获丰收。农户老李精心挑选了一筐红彤彤的兴平辣椒，准备分享给邻里。现在要把这筐辣椒全部取出来，至少分成2堆，且每堆中辣椒的个数相同（至少2个），已知这筐辣椒有60个，那么一共有几种分法？ 【答案】10种 【分析】将60个辣椒平均分成若干堆，每堆个数相同且至少2个，即找出60的因数中满足至少是2堆，且每堆个数至少是2个的因数个数。 【详解】60的因数有：1， 2， 3， 4， 5， 6， 10， 12， 15， 20， 30， 60。 辣椒可以分为2堆，每堆30个；3堆，每堆20个；4堆，每堆15个；5堆，每堆12个；6堆，每堆10个；10堆，每堆6个；12堆，每堆5个；15堆，每堆4个；20堆，每堆3个；30堆，每堆2个，一共有10种。 答：一共有10种分法。 5．（25-26五年级上·广西贺州·期中）在2025年九三阅兵中，地面突击模块共列装54台装备。为确保受阅编队排列整齐，需要分组且每组台数一样多。下面的哪种分组方式正好分完无剩余？为什么？ 【答案】第①种和第④种；理由见详解 【分析】根据题意，要使54台能正好分完无剩余，那么每组的台数一定是54的因数。列举出54的所有因数，再看4种分组方式的每组台数是否是54的因数，据此解答。 【详解】54的因数：1，2，3，6，9，18，27，54； ①3台为一组：3是54的因数，能正好分完无剩余； ②4台为一组：4不是54的因数，不能正好分完； ③5台为一组：5不是54的因数，不能正好分完； ④6台为一组：6是54的因数，能正好分完无剩余。 答：第①种和第④种分组方式正好分完无剩余。因为3和6都是54的因数，4和5不是54的因数。所以3台一组和6台一组都能正好分完无剩余，而4台一组和5台一组不能正好分完。 八、质数与合数的认识与应用 1．（25-26五年级上·陕西汉中·期中）下面的各组数中，三个连续自然数都是合数的是（    ）。 A．9，10，11 B．12，13，14 C．14，15，16 D．17，18，19 【答案】C 【分析】合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数；质数：只有1和它本身两个因数的数（1既不是质数也不是合数）。 【详解】A．9（因数：1、3、9，合数），10（因数：1、2、5、10，合数），11（因数：1、11，质数），含质数，排除。 B．12（因数：1、2、3、4、6、12，合数），13（因数：1、13，质数），14（因数：1、2、7、14，合数），含质数，排除。 C．14（因数：1、2、7、14，合数），15（因数：1、3、5、15，合数），16（因数：1、2、4、8、16，合数），三个都是合数，符合。 D．17（质数），18（因数：1、2、3、6、9、18，合数），19（质数），含质数，排除。 故答案为：C 2．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中符合这个猜想的是（    ）。 A．13＝11＋2 B．20＝3＋17 C．62＝5＋57 D．6＝1＋5 【答案】B 【分析】是2的倍数的数是偶数。自然数中只有1和它本身两个因数的数是质数，如2、3、5、7等；除了1和它本身外还有其他因数的数是合数，如4、6、8、9等。据此逐一验证各选项是否为大于2的偶数等于两个质数之和。 【详解】A．13＝11＋2，13不是2的倍数，所以不是偶数，不符； B．20＝3＋17，20是偶数，3和17是质数，符合； C．62＝5＋57，57＝3×19，所以57是合数，不是质数，不符； D．6＝1＋5，1不是质数，不符。 符合这个猜想的是20＝3＋17。 故答案为：B 3．（25-26五年级上·陕西汉中·期中）36的因数有( )，其中质数是( )，合数是( )，( )既不是质数又不是合数。 【答案】 1，2，3，4，6，9，12，18，36 2，3 4，6，9，12，18，36 1 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个大于1的数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个大于1的数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】36＝1×36 36＝2×18 36＝3×12 36＝4×9 36＝6×6 36的因数有（1，2，3，4，6，9，12，18，36），其中质数是（2，3），合数是（4，6，9，12，18，36），（1）既不是质数又不是合数。 4．（25-26五年级上·四川成都·期中）在1，2，7，43，28，57，69，91，97中，( )既是偶数又是质数，既是奇数又是合数的有( )个。 【答案】 2 3 【分析】首先，根据偶数和质数的定义，偶数是能被2整除的整数，质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数。在给定数字中，只有2同时满足偶数和质数的条件。其次，根据奇数和合数的定义，奇数是不能被2整除的整数，合数是大于1且有除了1和它本身以外的因数的自然数。从给定数字中筛选出奇数，再判断哪些是合数，最后统计个数。 【详解】既是偶数又是质数的数：给定数字中，偶数为2和28。2是质数（因数只有1和2），28是合数（因数有1、2、4、7、14、28），因此只有2既是偶数又是质数。 既是奇数又是合数的数：给定数字中，奇数为1、7、43、57、69、91、97。1既不是质数也不是合数；7、43、97是质数（因数分别只有1和7、1和43、1和97）；57是合数（57＝3×19）；69是合数（69＝3×23）；91是合数（91＝7×13）。因此，既是奇数又是合数的数有57、69、91，共3个。 5．（25-26五年级上·广东深圳·期中）在我国的历史长河中，唐朝是中国历史上继隋朝后的大一统中原王朝，历经了□□□年。已知这个数的个位上是9的最大因数，十位上是一位数中最大的偶数，百位上是最小的质数，这个三位数是( )。 【答案】289 【分析】根据题意，百位上是最小的质数，即2；十位上是一位数中最大的偶数，即8；个位上是9的最大因数，即9。因此，这个三位数是289。 【详解】百位数字：最小的质数是2，所以百位是2。 十位数字：一位数中最大的偶数是8，所以十位是8。 个位数字：9的因数有1、3、9，最大因数是9，所以个位是9。 因此，这个三位数是289。 6．（25-26五年级上·陕西汉中·期中）为了响应“绿色出行，低碳生活”的号召，阳光小区规划出一片长方形区域用于停放自行车。长方形的周长是56米，长、宽都是整米数，且数值都是质数。这个长方形的长、宽可能是多少米？这片长方形区域的面积最大是多少平方米？ 【答案】长、宽可能是23米与5米，11米与17米；这片长方形区域的面积最大是187平方米。 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，用56米除以2即可求出长与宽的和，且长、宽都是整米数，且数值都是质数，即可找到所有长与宽的可能性，再根据长方形的面积＝长×宽即可求出面积最大的情况。 【详解】56÷2＝28（米） 28＝5＋23＝11＋17，即长、宽可能是23米与5米，11米与17米。 5×23＝115（平方米） 11×17＝187（平方米） 115平方米＜187平方米 答：长、宽可能是23米与5米，11米与17米；这片长方形区域的面积最大是187平方米。 九、分解质因数 1．（20-21五年级上·广东揭阳·期末）已知两个质数的积是35，这两个质数的和是( )。 【答案】12 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。据此将35拆分成两个质数相乘，再求出这两个数的和即可。 【详解】35＝5×7 5＋7＝12 已知两个质数的积是35，这两个质数的和是12。 【点睛】本题主要考查了质数的认识和应用，掌握质数的定义是解答本题的关键。 2．（24-25五年级上·山西运城·期中）质数被称为自然数的“数根”。任何一个大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积，如：。 下面四个数可以写成几个质数乘积的形式吗？可以的试着写一写，不可以的在括号里画“×”。 39＝（    ）      23＝（    ）      36＝（    ）      41＝（    ） 上面四个数中，质数有（    ）；合数有（    ）；由此，我们可以推断：几个质数的乘积一定是（    ）数。 【答案】；×；；×； 23，41；39，36；合 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数；分解质因数只针对合数，写成几个质数相乘的形式，实际运算时可采用逐步分解的方式。 质数就是只能被1和它自身整除的数，合数就是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数。 【详解】23只能写成，41只能写成，1不是质数，则23和41不能写成几个质数乘积的形式，39和36能写成几个质数乘积的形式； 即39＝（3×13）；23＝（×）；36＝（2×2×3×3）；41＝（×）； 质数有23，41；合数有39，36；由此，我们可以推断：几个质数的乘积一定是合数。 3．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）茶叶店把84个小青柑装在不同的盒子里，每个盒子装的小青柑个数相同且为质数个，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？ 【答案】3种；每盒装2个，需要42个盒子，每盒装3个，需要28个盒子，每盒装7个，需要12个盒子。 【分析】首先对84分解质因数，得到84＝2×2×3×7，有几个不同的质因数就有几种不同的装法；题目要求每个盒子装同样多小青柑且为质数个，所以可以将2、3、7看作小青柑的数量，用总个数分别除以每盒装的个数，可得需要几个盒子。 【详解】由分析可得： 84＝2×2×3×7，分别有2、3、7三种不同质因数，所以有3种不同装法； 84÷2＝42（个） 84÷3＝28（个） 84÷7＝12（个） 答：有3种不同的装法。每盒装2个，需要42个盒子，每盒装3个，需要28个盒子，每盒装7个，需要12个盒子。 【点睛】本题考查了分解质因数的灵活运用，解题的关键是明确分解出来的质因数就是每个盒子装的小青柑的个数。 真题训练 1．（24-25五年级上·陕西渭南·期末）根据“3×5＝15”，下列说法正确的是（    ）。 A．15是倍数 B．15是5和3的因数 C．5是15的因数 D．5是15和3的倍数 【答案】C 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非零的自然数）中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数，据此解答。 【详解】A．15是3的倍数，15也是5的倍数，该选项说法错误； B．15是5和3的倍数，该选项说法错误； C．5是15的因数，该选项说法正确； D．5是15的因数，15是5和3的倍数，该选项说法错误。 故答案为：C 2．（24-25五年级上·四川成都·期末）要使306□既是2的倍数又是5的倍数，□里填（    ）。 A．1 B．2 C．0 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，既是2的倍数又是5的倍数的数，末尾数字需同时满足2的倍数（末尾是0、2、4、6、8）和5的倍数（末尾是0或5）的特征，所以末尾数字只能是0，据此解答。 【详解】2的倍数末尾为0、2、4、6、8； 5的倍数末尾为0、5；同时满足的末尾数是0。 选项中只有C符合。 故答案为：C 3．（24-25五年级上·浙江金华·期末）下列各数中，是质数又是偶数的是（    ）。 A．2 B．3 C．6 D．30 【答案】A 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，可以应用列乘法算式法判断质数；如果一个整数能够被2整除，那么它就是一个偶数，据此解答。 【详解】A．2÷2＝1，说明2是偶数；2＝1×2，说明2是质数，符合题意； B．3÷2＝1.5，说明3不是偶数；3＝1×3，说明3是质数，不符合题意； C．6÷2＝3，说明6是偶数；6＝1×6，6＝2×3，说明6不是质数，不符合题意； D．30÷2＝15，说明30是偶数；30＝1×30，30＝2×15，30＝3×10，30＝6×5，说明30不是质数，不符合题意。 故答案为：A 4．（24-25五年级上·辽宁锦州·期末）电影《长安三万里》某日在某平台上播放次数既是2的倍数，又是3的倍数，这部电影当天播放的总次数可能是（    ）。 A．2914 B．3364 C．5796 D．4531 【答案】C 【分析】既是2的倍数，又是3的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；且各位数上的数字之和是3的倍数；据此解答即可。 【详解】A．2914个位上是4，各位上数组之和是2＋9＋1＋4＝16，不是3的倍数，故选项错误； B．3364个位上是4，各位上数组之和是3＋3＋6＋4＝16，不是3的倍数，故选项错误； C．5796个位上是6，各位上数组之和是5＋7＋9＋6＝27，是3的倍数，故选项正确； D．4531个位上是1，不是2的倍数，故选项错误； 故答案为：C 5．（24-25五年级上·辽宁沈阳·期末）要使2□40既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数，□中最小填（    ）。 A．3 B．0 C．6 D．9 【答案】B 【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此解答。 【详解】A．□内填3；2340是2的倍数； 2＋3＋4＋0＝9；9能被3整除； 2340是5的倍数。□内可以填3。 B．□内填0；2040是2的倍数； 2＋0＋4＋0＝6；6能被3整除，是3的倍数； 2040是5的倍数。□内可以填0。 C．□内填6；2640是2的倍数； 2＋6＋4＋0＝12；12能被3整数； 2640是5的倍数。□内可以填6。 D．□内填9；2940是2的倍数； 2＋9＋4＋0＝15；15能被3整除； 2940是5的倍数。□内可以填9。 □内可以填3，0，6，9。 0＜3＜6＜9，□内最小填0。 要使2□40既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数，□中最小填0。 故答案为：B 6．（24-25五年级上·河南商丘·期末）在2、3、4、10、18、35、60、84中，( )是2的倍数，( )是3的倍数，( )是5的倍数，( )同时是2，3和5的倍数。 【答案】 2、4、10、18、60、84 3、18、60、84 10、35、60 60 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数； 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数是3的倍数； 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数； 同时是2、3、5的倍数的特征：个位为0且各个数位上的数字之和是3的倍数。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 在2、3、4、10、18、35、60、84中，2、4、10、18、60、84是2的倍数，3、18、60、84是3的倍数，10、35、60是5的倍数，60同时是2，3和5的倍数。 7．（24-25五年级上·四川成都·期末）北宋哲学家邵雍，写了一首诗叫《山村咏怀》。这首诗的原文：一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。在这首诗的原文中。 (1)所有的质数有：( )。 (2)所有的合数有：( )。 【答案】(1)2、3、5、7 (2)4、6、8、9、10 【分析】一个大于1的数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数就是质数；一个大于1的数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数就是合数，1既不是质数也不是合数。原文中数字是1～10，10以内的质数有2、3、5、7，10以内（包括10）的合数有4、6、8、9、10，据此解答。 【详解】（1）分析可知，在这首诗的原文中所有的质数有：2、3、5、7。 （2）分析可知，在这首诗的原文中所有的合数有：4、6、8、9、10。 8．（24-25五年级上·山西吕梁·期末）一个三位数，百位上是合数，十位上是奇数，这个数同时又是2和5的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 410 990 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。因此这个数的个位一定是0，要想这个数最小，百位和十位分别选择最小的合数和奇数；要想这个数最大，百位和十位分别选择10以内最大的合数和奇数。 【详解】10以内的合数有4、6、8、9，奇数有1、3、5、7、9。 一个三位数，百位上是合数，十位上是奇数，这个数同时又是2和5的倍数，这个数最小是410，最大是990。 9．（24-25五年级上·陕西渭南·期末）《水浒传》成功塑造了水泊梁山108位好汉的形象。108的最大因数是( )，比108小的三位数中，既是偶数，又有因数3的数有( )。 【答案】 108 102 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】108的最小因数是1，最大因数是108。 比108小的三位数有：100、101、102、103、104、105、106、107； 其中是偶数的有：100、102、104、106； 偶数中又是3的倍数的有：102。 填空如下： 108的最大因数是（108），比108小的三位数中，既是偶数，又有因数3的数有（102）。 10．（24-25五年级上·山西晋城·期末）天天去帮妈妈取快递，妈妈告诉天天，快递取件码是一个没有零的四位数，最高位上的数既是偶数又是质数，百位上的数既是奇数又是合数，十位上的数比最小的合数大1，个位上的数既不是质数也不是合数。快递取件码是( )。 【答案】2951 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】最高位上的数既是偶数又是质数，即2； 百位上的数既是奇数又是合数，即9； 十位上的数比最小的合数大1，最小的合数是4，4＋1＝5，即十位上的数是5； 个位上的数既不是质数也不是合数，即1； 快递取件码是2951。 11．（24-25五年级上·浙江金华·期末）一张扑克牌正面朝上放在桌子上，翻动1次反面朝上，翻动2次正面朝上，如此翻动99次后，( )面朝上，翻动500次后，( )面朝上。 【答案】 反 正 【分析】一张扑克牌正面朝上放在桌上，翻动1次反面朝上，翻动2次正面朝上，翻动3次反面朝上，翻动4次正面朝上……也就是扑克牌翻动1次、3次……反面朝上，翻动2次、4次……正面朝上，即翻动奇数次后，扑克牌的反面朝上，翻动偶数次后，扑克牌的正面朝上；结合奇数和偶数的定义：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；判断99和500分别是奇数还是偶数，即可判断扑克牌是哪个面朝上。 【详解】由分析可得：99是奇数，因此翻动99次后，扑克牌的反面朝上；500是偶数，因此翻动500次后，扑克牌的正面朝上。 12．（24-25五年级上·河南商丘·期末）一个数最小的倍数是24，这个数是( )，它有( )个因数，这些因数中，质数分别为( )。 【答案】 24 8 2和3 【分析】一个数的最小倍数是其本身，反推这个数就是24。应用列乘法算式法找出24的所有因数。一个数若只有1和本身两个因数，则这个数是质数，据此解答。 【详解】24的最小倍数是24，所以这个数是24。 因为24＝1×24，24＝2×12，24＝3×8，24＝4×6，所以24的因数有1、2、3，4、6、8、12、24。其中只有2＝1×2，3＝1×3，所以这些因数中质数是2和3。故一个数最小的倍数是24，这个数是24，它有8个因数，这些因数中，质数分别为2和3。 13．（23-24五年级上·陕西咸阳·期末）有56瓶饮料，选哪种包装盒能正好把这些饮料全部装完？ 【答案】选4瓶/盒 【分析】根据整除的意义，谁能整除56，就选哪种包装盒的，据此解答即可。 【详解】56÷4＝14（盒）   56÷5＝11（盒）……1（瓶） 56是4的倍数，不是5的倍数。 答：选4瓶/盒的包装盒能正好把这些饮料全部装完。 14．（24-25五年级上·河南商丘·期末）食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？请用因数倍数的知识说明。 【答案】每盒装4个；4是56的因数 【分析】要想正好能把56个月饼装完，包装盒每盒装的个数必须是56的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8 56的因数有：1、2、4、7、8、14、28、56。 答：选用每盒装4个的包装盒正好能把56个月饼装完，因为4是56的因数。 15．（23-24五年级上·广东湛江·期中）用一根32厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都是质数。这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】55平方厘米 【分析】根据长方形的长与宽的和＝周长÷2，即32÷2＝16（厘米），根据一个数只有1和它本身这两个因数，那么这个数就是质数，可知满足条件的有：长为13厘米，宽为3厘米，面积为13×3＝39（平方厘米），长为11厘米，宽为5厘米，面积为11×5＝55（平方厘米），比较后即可得解。 【详解】32÷2＝16（厘米） 长、宽都为质数的有： 13＋3＝16（厘米） 13×3＝39（平方厘米） 11＋5＝16（厘米） 11×5＝55（平方厘米） 55平方厘米＞39平方厘米 答：这个长方形的面积最大是55平方厘米。 【点睛】本题考查质数的应用，掌握质数的概念是关键。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $