（温故知新-寒假专供）专题02 倍数和因数（知识回顾+十四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共43题）-北师大版数学五年级上册培优讲义

专题02 倍数和因数 （知识回顾+十四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共43题） 【解析版】 知识回顾 2 知识点01：整数和自然数 2 知识点02：倍数与因数 2 知识点03：2、5、3的倍数的特征 2 知识点04：找因数 3 知识点05：质数与合数 3 题型讲练 3 重点难点题型一：找—个数的倍数及倍数的特征 3 重点难点题型二：根据倍数的特征解决问题 4 重点难点题型三：2、5的倍数特征 5 重点难点题型四：奇数与偶数的认识 6 重点难点题型五：运算性质（奇数和偶数) 6 重点难点题型六：3的倍数特征 7 重点难点题型七：2、3、5的倍数特征综合 8 重点难点题型八：9的倍数特征 9 重点难点题型九：找一个数的因数及因数的特征 10 重点难点题型十：根据因数的特征解决问题 12 重点难点题型十一：倍数和因数的综合应用 12 重点难点题型十二：质数与合数的认识 14 重点难点题型十三：质数与合数的综合应用 15 重点难点题型十四：分解质因数 16 拔尖训练 17 知识点01：整数和自然数 整数：像 -3、 -2、 -1、0、1、2、3……这样的数统称为整数，整数包括正整数、0和负整数，没有最大或最小的整数。 自然数：像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数，自然数包括正整数和0，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 知识点02：倍数与因数 倍数与因数的意义：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。例如3×4=12，则3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 两者关系：倍数与因数是相互依存的关系，不能单独说一个数是倍数或因数。比如不能说“12是倍数”“3是因数”，而应表述为“12是3和4的倍数”“3是12的因数”。 研究范围：在研究倍数和因数时，所说的自然数指的是不包括0的自然数。 求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积都是这个数的倍数。例如，3的倍数有3×1=3，3×2=6，3×3=9……所以3、6、9等都是3的倍数。 判断两个数成倍数关系的方法： 列乘法算式：看能否通过两个数相乘得到另一个数，用积来判断。 列除法算式：如果商是整数且没有余数，那么这两个数就成倍数关系，反之则不是。例如24÷6=4，商是整数且没有余数，所以24是6的倍数。 倍数与因数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点03：2、5、3的倍数的特征 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。例如10、12、14等都是2的倍数。 奇数和偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。例如2、4、6是偶数，1、3、5是奇数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。如10、15、20等都是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如123，各位数字之和为1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 知识点04：找因数 列乘法算式：从1开始，一对一对地找，哪两个自然数的乘积等于这个数，这两个自然数就是这个数的因数。例如找12的因数，因为1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 列除法算式：用这个数除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是这个数的因数。 知识点05：质数与合数 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。例如2、3、5、7等，它们都只有1和自身两个因数。 合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数。例如4、6、8、9等，4的因数有1、2、4，除了1和4还有因数2。 特殊数：1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 重点难点题型一：找—个数的倍数及倍数的特征 【例1】（25-26五年级上·广东深圳·期中）妈妈买了相同质量（整千克）的柑橘和梨，柑橘每千克5元，梨每千克3元。妈妈可能花了（    ）元。 A．30 B．40 C．45 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】因为买的柑橘和梨质量一样，那么每买1千克柑橘和1千克梨，总共花费就是5＋3＝8（元）。所以不管买多少千克，总花费一定是8元的倍数。逐项分析每个数是否是8的倍数即可。 【完整解答】A．30，我们用30除以8，30÷8＝3……6，这说明30不能被8整除，所以30不是8的倍数，不符合妈妈可能花的钱数； B．40，40÷8＝5，没有余数，这就意味着40能被8整除，所以40是8的倍数，符合妈妈可能花的钱数； C．45，45÷8＝5……5，45除以8有余数，说明45不能被8整除，不是8的倍数，不符合妈妈可能花的钱数。 故答案为：B 【变式】（24-25五年级上·山西·期中）我们探究了2、3、5的倍数特征，那么4的倍数有什么特征呢？ 请认真观察：12÷4＝3、216÷4＝54、2028÷4＝507。 36÷4＝9、440÷4＝110、4032÷4＝1008。 48÷4＝12、808÷4＝202、6420÷4＝1605。 我发现了： 。 请列举一个更大的数是4的倍数，并验证： 。 【答案】 一个数末两位数是4的倍数，这个数一定是4的倍数 9816，9816÷4＝2454，则9816是4的倍数 【思路引导】观察可知，除法算式中的被除数12、216、2028、36、440、4032、48、808、6420的末两位数都是4的倍数，同时这些数也都是4的倍数，由此写出一个更大的数使它的末两位数是4的倍数，并求出这个数除以4的商验证该数是否为4的倍数，据此解答。 【完整解答】我发现了：一个数末两位数是4的倍数，这个数一定是4的倍数。 请列举一个更大的数是4的倍数，并验证：9816，9816÷4＝2454，则9816是4的倍数。（答案不唯一） 重点难点题型二：根据倍数的特征解决问题 【例2】（24-25五年级上·陕西榆林·期中）有甲、乙、丙三种不同型号的包装盒。现有93个彩蛋，选用哪种包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完？请说明理由。 【答案】选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；理由见详解 【思路引导】用彩蛋的总数分别除以每种包装盒可以装的个数，找出没有余数的，即为选用的包装盒。 【完整解答】93÷3＝31（盒） 93÷6＝15（盒）……3（个） 93÷8＝11（盒）……5（个） 答：选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；因为用另外两种包装盒都有剩余的彩蛋。 【变式】（23-24五年级上·四川成都·期中）舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来（    ）名同学才能排好队形。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【思路引导】每9名排成一队，每队人数一样多，人数应是9的倍数，据此解答。 【完整解答】19÷9＝2（队）……1（名） 9－1＝8（名） 舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来8名同学才能排好队形。 故答案为：B 重点难点题型三：2、5的倍数特征 【例3】（25-26五年级上·辽宁沈阳·期中）若是25的倍数，则A可以是( )（写出所有符合条件的数）；若是125的倍数，则B可以是( )（写出所有符合条件的数）。 【答案】 2/7 2/7 【思路引导】①根据25的倍数特征，一个数是25的倍数，它的最后两位数字组成的数是25的倍数，即00、25、50或75。 ②根据125的倍数特征，一个数是125的倍数，它的最后三位数字组成的数是125的倍数，即000、125、250、375、500、625、750或875。 【完整解答】①因为是25的倍数，所以最后两位数字必须是25的倍数。 能被25整除的数末两位有25、50、75、00。末位是5，因此符合条件的只有25和75。 因此，A可以是2、7。 ②因为是125的倍数，所以最后三位数字必须是125的倍数。 能被125整除的数末三位有125、250、375、500、625、750、875、000。末位是0，因此符合条件的只有250和750。 因此，B可以是2、7。 综上，①的答案是2或7，②的答案是2或7。 【变式】（25-26五年级上·广东深圳·期中）园林工人在某保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 【答案】最少103棵；最多198棵 【思路引导】种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，由此可知，种树的棵数大于100小于200，根据5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数，据此找出大于100而小于等于200的5的最小倍数和最大倍数，再减去2即可解答。 【完整解答】100到200之间大于100的5的最小倍数是105，最大倍数是200； 105－2＝103（棵） 200－2＝198（棵） 答：这些梭梭树最少有103棵，最多有198棵。 重点难点题型四：奇数与偶数的认识 【例4】（25-26五年级上·四川成都·期中）在一条河的两边分别有两个寨子，索道是在两个寨子间运送物资的唯一交通工具。某日，货物箱最初在甲寨，经过25次（往返算两次）后，货物箱停在( )寨。 【答案】乙 【思路引导】货物箱最初在甲寨，经过1次则货物箱在乙寨，经过2次则货物箱在甲寨，经过3次则货物箱在乙寨，经过4次则货物箱在甲寨，……，则经过奇数次运输货物箱在乙寨，经过偶数次运输货物箱在甲寨，由此即可推定。 【完整解答】25次为奇数次，则经过25次后，货物箱停在乙寨。 【变式】（25-26五年级上·福建泉州·期中）学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是( )厘米，最长的是( )厘米。 【答案】 13 17 【思路引导】根据连续奇数的特点，两个相邻的奇数相差2；用这三个连续奇数的和除以3，求出平均数，即是中间的奇数，再用中间的奇数分别减2、加2，求出这三个奇数中最小和最大的奇数，据此解答。 【完整解答】中间的奇数：45÷3＝15（厘米） 最小的奇数：15－2＝13（厘米） 最大的奇数：15＋2＝17（厘米） 学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是13厘米，最长的是17厘米。 重点难点题型五：运算性质（奇数和偶数) 【例5】（25-26五年级上·四川成都·期中）填“奇数”或“偶数”。 1＋3＋5＋7＋…＋97＋99＝( ) 1＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋99×100＝( ) 【答案】 偶数 奇数 【思路引导】偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：0、2、4、6、8等；奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等。偶数个奇数相加等于偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数个偶数相加等于偶数，奇数＋偶数＝奇数，由此填空即可。 【完整解答】因为1＋3＋5＋7＋…＋97＋99是由50个奇数相加，所以1＋3＋5＋7＋…＋97＋99＝偶数。 因为2×3、3×4、4×5……99×100均为偶数且有98个，所以1＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋99×100＝奇数。 【变式】（25-26五年级上·辽宁丹东·月考）不计算，在结果是偶数的算式后面括号里打“√”，是奇数的算式后面括号里打“×”。 5689－2147( )  447×25( )  26×495( )  7864＋5412( ) 【答案】 √ × √ √ 【思路引导】判断算式的奇偶性时，可根据奇偶数的运算性质：奇数与奇数的差是偶数；奇数与奇数的积是奇数；偶数与奇数的积是偶数；偶数与偶数的和是偶数。通过分析每个数个位上的数来确定其奇偶性，再应用运算性质判断结果。 【完整解答】算式5689－2147：5689的个位是9，是奇数；2147的个位是7，是奇数。奇数减奇数等于偶数，所以结果是偶数，打“√”。 算式447×25：447的个位是7，是奇数；25的个位是5，是奇数。奇数乘奇数等于奇数，所以结果是奇数，打“×”。 算式26×495：26的个位是6，是偶数；495的个位是5，是奇数。偶数乘奇数等于偶数，所以结果是偶数，打“√”。 算式7864＋5412：7864的个位是4，是偶数；5412的个位是2，是偶数。偶数加偶数等于偶数，所以结果是偶数，打“√”。 重点难点题型六：3的倍数特征 【例6】（25-26五年级上·山西吕梁·期中）9月20日是爱牙日，学校给100名单亲家庭的学生发牙膏，每人1支，这些牙膏的编号从1到100，编号是偶数的有( )支，编号是3的倍数中，最大的奇数是( )号。 【答案】 50 99 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【完整解答】从1到100，一半是奇数，一半是偶数，100÷2＝50（支） 编号是偶数的有50支，编号是3的倍数中，最大的奇数是99号。 【变式】（25-26五年级上·陕西西安·期中）37至少加上( )是2的倍数，至少减去( )是5的倍数，至少加上( )既是2的倍数，又是3的倍数。 【答案】 1 2 5 【思路引导】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5的数；3的倍数特征：各个数位上的数的和是3的倍数。据此解答。 【完整解答】38是2的倍数，37＋1＝38，所以37至少加上1是2的倍数。 35是5的倍数，37－2＝35，所以37至少要减去2是5的倍数。 42的个位是2，所以是2的倍数，4＋2＝6，6÷3＝2，所以42也是3的倍数，42－37＝5。 故37至少加上1是2的倍数，至少减去2是5的倍数，至少加上5既是2的倍数，又是3的倍数。 重点难点题型七：2、3、5的倍数特征综合 【例7】（25-26五年级上·陕西宝鸡·期中）在15，18，25，30，40中，2的倍数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2和5的倍数的有( )，同时是2，3和5的倍数的数有( )。 【答案】 18，30，40 15，25，30，40 15，18，30 30，40 30 【思路引导】2的倍数（个位是0、2、4、6、8）、5的倍数（个位是0或5）、3的倍数（各位数字之和是3的倍数）的特征，逐一判断每个数字。同时是2和5的倍数需个位为0；同时是2，3和5的倍数需个位为0且各位数字之和是3的倍数，据此判断。 【完整解答】个位是0、2、4、6、8的有18，30，40，所以2的倍数有18，30，40； 个位是0或5的有15，25，30，40，所以5的倍数有15，25，30，40； 1＋5＝6，6是3的倍数，1＋8＝9，9是3的倍数，3＋0＝3，3是3的倍数，所以3的倍数有15，18，30； 同时是2和5的倍数的有30，40； 同时是2，3和5的倍数的数有30。 【变式】（25-26五年级上·陕西宝鸡·期中）183至少增加( )就是5的倍数，至少减少( )就是2的倍数，至少减少( )个就是3的倍数，至少加上( )就同时是2和5的倍数。 【答案】 2 1 0 7 【思路引导】5的倍数个位是0或5；2的倍数个位是0、2、4、6、8；3的倍数各位数字之和是3的倍数；同时是2和5的倍数个位必须是0。根据183的个位数字和各位数字之和，分别计算需要增加或减少的最小值。 【完整解答】183的个位是3，5的倍数个位是0或5。要使183成为5的倍数，至少增加2（3＋2＝5），得185，个位是5，是5的倍数。 183的个位是3，是奇数，不是2的倍数。要使183成为2的倍数，至少减少1（183－1＝182），个位是2，是2的倍数。 183的各位数字之和为1＋8＋3＝12，12是3的倍数，所以183已经是3的倍数。因此，至少减少0，183仍是3的倍数。 同时是2和5的倍数个位必须是0。183的个位是3，要使个位变为0，至少加上7（3＋7＝10），得190，个位是0，同时是2和5的倍数。 所以183至少增加2就是5的倍数，至少减少1就是2的倍数，至少减少0个就是3的倍数，至少加上7就同时是2和5的倍数。 重点难点题型八：9的倍数特征 【例8】（24-25五年级上·广东深圳·期中）下列说法中，有（    ）个是正确的。 ①一个数的最小的倍数是它本身。 ②2×3＝6，所以2和3是因数，6是倍数。 ③一个数至少有两个因数。 ④各个数位上数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 ②因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。 ③如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数，举例说明即可。 ④各个数位上数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 【完整解答】①一个数的最小的倍数是它本身，说法正确，如5的最小倍数是5。 ②2×3＝6，所以2和3是6的因数，6是2和3的倍数，原说法错误。 ③一个数至少有两个因数，说法错误，如1的因数只有1。 ④各个数位上数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数，说法正确，如36、81、108…都是9的倍数，各个数位上数字的和都是9。 有2个是正确的。 故答案为：B 【变式】（24-25五年级上·四川成都·期中）在中，□里填数字( )才能使这个数是9的倍数。 【答案】3 【思路引导】9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。先计算出2019个2是多少，再除以9，余数与9相差几，□里就填几。 【完整解答】2×2019＝4038 4038÷9＝448……6 9－6＝3 □里填数字3才能使这个数是9的倍数。 重点难点题型九：找一个数的因数及因数的特征 【例9】（25-26五年级上·四川成都·期中）有一把万能钥匙可以同时打开以下4把锁（如下图），这把钥匙上的数可能是( )。 【答案】15 【思路引导】奇数：个位数字是1、3、5、7、9的数。 5的倍数特征：个位数字是0或5的数。 由第一把锁、第二把锁、第三把锁上的信息可确定这个两位数的个位数字是5，且符合这三个条件的两位数有15、25、35、45、55、65、75、85、95；又由第四把锁上的信息可知这个两位数所有因数的和为24，那么这个两位数要比24小（举例：如果是25，那么25的因数是1、25、5，1＋25＋5＝31，31＞24。所以比24大的两位数的所有因数的和都会大于24。）；15、25、35、45、55、65、75、85、95这些数中，只有15小于24，因为1×15＝15，3×5＝15，所以15的因数有：1、3、5、15，1＋3＋5＋15＝24，符合要求。据此判断这把钥匙上的数可能是15。 【完整解答】符合条件的两位数有15、25、35、45、55、65、75、85、95 15小于24，因为1×15＝15，3×5＝15，所以15的因数有：1、3、5、15，1＋3＋5＋15＝24，符合要求。 这把钥匙上的数可能是15。 【变式】（25-26五年级上·福建泉州·期中）为了推广国家级非遗美食“闽南鱼丸”，美食工坊准备将制作好的鱼丸进行精美包装。工坊现制作了64颗手工鱼丸、77颗虾滑丸和72颗墨鱼丸，计划每8颗丸子装成一盒作为伴手礼。 (1)这三种丸子的数量中，奇数有( )，偶数有( )（填64、77或72）。 (2)丸子数量是11的倍数的是( )，既是2的倍数又是3的倍数的是( )。（填“手工鱼丸”“虾滑丸”或“墨鱼丸”） (3)在这些丸子的数量中，64的因数有( )。 (4)工坊最多能装( )盒伴手礼。 【答案】(1) 77 64、72 (2) 虾滑丸 墨鱼丸 (3)1、2、4、8、16、32、64 (4)26 【思路引导】（1）整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8，不是2的倍数的数叫作奇数，奇数的个位数字为1、3、5、7、9； （2）在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数； （3）求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，由此求出64的所有因数； （4）先求出这三种丸子的总数量，再除以每盒里面装丸子的数量，余下的丸子装不满一个盒子时直接舍去，结果用“去尾法”取整数，据此解答。 【完整解答】（1）分析可知，这三种丸子的数量中，奇数有77，偶数有64、72。 （2）77÷11＝7，则77是11的倍数，所以丸子数量是11的倍数的是虾滑丸；6＋4＝10，10不是3的倍数，则64不是3的倍数，7＋2＝9，9是3的倍数，则72是3的倍数，72的个位数字是2，那么72同时是2和3的倍数，所以既是2的倍数又是3的倍数的是墨鱼丸。 （3）64÷1＝64 64÷2＝32 64÷4＝16 64÷8＝8 所以，在这些丸子的数量中，64的因数有1、2、4、8、16、32、64。 （4）（64＋77＋72）÷8 ＝213÷8 ≈26（盒） 所以，工坊最多能装26盒伴手礼。 重点难点题型十：根据因数的特征解决问题 【例10】（25-26五年级上·四川成都·期中）把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有( )种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有( )种装法。 【答案】 9 2 【思路引导】因为每个盒子装得同样多，所以每个盒子装的苹果数必须是总苹果数的因数。因此，装法数就是总苹果数的因数个数，分别列举36和37的因数，然后确定答案。 【完整解答】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个因数，所以有9种装法。 37的因数有：1、37，共2个因数，所以有2种装法。 把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有9种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有2种装法。 【变式】（25-26五年级上·陕西榆林·期中）刘老师带领五年级一班的同学去植树，一共植树148棵，已知刘老师和每个同学植的树都一样多，五年级一班的同学正好能站成三路纵队。你知道每人植了几棵树吗？五年级一班有多少个同学？ 【答案】4棵树；36个同学 【思路引导】刘老师和每个同学植的树都一样多，总植树148棵，是“总人数×每人植树棵数”的结果，先找148的因数：1、2、4、37、74、148。总人数是老师1人＋同学人数，同学能站三路纵队，即同学人数是3的倍数，所以总人数是3的倍数＋1。 如果总人数148：同学有148－1＝147人（不是3的倍数）；总人数74：同学有74－1＝73人（不是3的倍数）；总人数37：同学是37－1＝36人（36是3的倍数，符合班级人数）；总人数4：同学4－3＝3人（太少，不合理）。所以总人数应是37人，每人植树148÷37＝4棵。 【完整解答】148的因数：1、2、4、37、74、148。 同学人数是3的倍数，所以总人数是3的倍数＋1。 总人数37：同学是37－1＝36（人）（36是3的倍数） 148÷37＝4（棵） 答：每人植了4棵树，五年级一班有36个同学。 重点难点题型十一：倍数和因数的综合应用 【例11】（24-25五年级上·安徽·期中）小优、乐乐和小凯是同班同学，他们班有40名学生。小优的学号是3号，乐乐的学号是27号，小凯的学号是小优的学号的倍数，并且是乐乐的学号的因数，小凯的学号是（    ）号。 A．6 B．9 C．15 D．30 【答案】B 【思路引导】小优学号是3，因此小凯学号必须是3的倍数；乐乐学号是27，因此小凯学号必须是27的因数。27的因数有1、3、9、27（在1－40范围内），3的倍数在1－40范围内有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39。同时是27的因数和3的倍数的学号有3、9、27，去除3和27，可以得出小凯的学号是9。 【完整解答】27的因数有1、3、9、27（在1－40范围内）， 3的倍数在1－40范围内有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39， 同时是27的因数和3的倍数的学号有3、9、27，去除3和27，可以得出小凯的学号是9。 故答案选：B 【变式】（24-25五年级上·广东深圳·期中）在学校运动会开幕式上，48人组成了一支体操队，表演时需要变换队形。 （1）如果站成长方形队列，根据给出的行数填写下表。 行数 2 3 4 6 每行人数 （2）如果站成正方形队列，至少要去掉多少人？ 或者至少增加多少人？ 【答案】 （1）24，16，12，8 （2）至少要去掉12人或者至少增加1人 【思路引导】（1）据题意得：每行人数×行数＝总人数，已知总人数是48人，行数分别为2、3、4、6，运用除法计算得出答案； （2）站成正方形队列，则需要行数＝每行人数，即总人数＝行数×行数。据此可得到比48小的最大人数，比48大的最小人数。据此可得出答案。 【完整解答】（1）每行人数计算如下： 行数2时：48 ÷ 2 ＝ 24（人） 行数3时：48 ÷ 3 ＝ 16（人） 行数4时：48 ÷ 4 ＝ 12（人） 行数6时：48 ÷ 6 ＝ 8（人） 填表结果依次为24、16、12、8。 （2）比48小的最大人数是6×6＝36，需去掉48−36＝12人； 比48大的最小人数是7×7＝49，需增加49−48＝1人。 答：至少去掉12人或增加1人。 重点难点题型十二：质数与合数的认识 【例12】（25-26五年级上·陕西宝鸡·期中）智能“退换货”现在已经解决了社区居民网上购物的各类问题。荣阿姨在购物过程中通过手机操作获得了小程序发出的取件码，根据下面的描述，荣阿姨的取件码是（    ）。 取件码是由ABCD四个大于0的数字组成，其中A的因数有1，3，9，B比既是质数又是偶数的数大3，C同时又是2和3的倍数，D是最小的合数。 A．3364 B．3564 C．9364 D．9564 【答案】D 【思路引导】如果整数a除以整数b（b≠0）的商是整数且没有余数，那么b就是a的因数。一个大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数，这样的数叫质数。能被2整除的整数（包括0），叫做偶数。如果整数a除以整数b（b≠0）的商是整数且没有余数，那么a就是b的倍数。一个大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数，这样的数叫合数。 根据题意，一个数的因数有1，3，9，这个数是9。既是质数又是偶数的数是2。同时是2和3的倍数的，且是一位数的是6。最小的合数是4。据此解答。 【完整解答】根据分析，A是9，B是比2大3的数，所以是5，C是6，D是4。那么取件码是9564。 故答案为：D 【变式】（25-26五年级上·陕西西安·期中）陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝( )×( )＋( )；24＝( )＋( )×( )。 【答案】 3 5 3 2 2 11 【思路引导】首先要明确质数的定义（大于1的自然数，除了1和自身外无其他因数），枚举出质数如下：2、3、5、7、11、13等。 （1）找到三个质数a、b、c，使得18＝a×b＋c。 若c＝3，则a×b＝18－3＝15，而15＝3×5（3和5均为质数），满足定理，即18＝3×5＋3。 若c＝2，则a×b＝18－2＝16，16可拆为2×8（8不是质数）、4×4（4不是质数），均不满足。 若c＝5，则a×b＝18－5＝13，13是质数，只能拆为1×13（1不是质数），不满足。 （2）找到三个质数m、n、p，使得24＝m＋n×p。 若m＝2，则n×p＝24－2＝22，22＝2×11（2和11均为质数），满足定理，即24＝2＋2×11。 若m＝3，则n×p＝24－3＝21，21＝3×7（3和7均为质数），满足定理，即24＝3＋3×7。 若m＝5，则n×p＝24－5＝19，19是质数，拆为1×19（1不是质数），不满足。 【完整解答】根据分析可知： 陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝3×5＋3；24＝2＋2×11（或24＝3＋3×7）。 重点难点题型十三：质数与合数的综合应用 【例13】（25-26五年级上·广东湛江·期中）广东的龙舟竞渡是极具特色的传统民俗活动，实验小学五年级的同学们要以班级为单位排练龙舟操，需要将各班学生平均分成人数相等的小组（每个小组人数大于1），便于队列整齐。哪几个班可以？哪几个班不可以？为什么？ 班级 1班 2班 3班 4班 人数 37 41 39 40 【答案】3班、4班可以；1班、2班不可以；因为39和40是合数，37和41是质数。 【思路引导】如果人数是合数就能平均分成人数相等的小组，如果是质数就不能平均分成人数相等的小组。据此解答。 【完整解答】37＝1×37 41＝1×41 39＝1×39＝3×13 40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 答：3班、4班可以分成人数相等的小组，1班、2班不可以，因为39和40是合数，37和41是质数。 【变式】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）读一读，做一做。 哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。例如： ，，，… 哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。例如： ，，… 对于哥德巴赫猜想的奇数情形，目前已经证明， 对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“”。例如： ，，… 阅读了以上材料，请你在下面的括号里填上合适的质数。 ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) 【答案】 7 3 2 2 7 13 3 2 2 11 23 17 2 2 17 【思路引导】40以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37；再根据10、16、40分别是两个质数的和，11、15、21分别是3个质数的和，从40以内的质数，找到合适的质数即可。 【完整解答】； （答案不唯一）；（答案不唯一） （答案不唯一）；（答案不唯一） 【考点再现】本题考查质数，解答本题的关键是掌握质数的特征。 重点难点题型十四：分解质因数 【例14】（23-24五年级上·陕西西安·期末）如果两个质数的和是18，积是65，那么它们是( )和( )。 【答案】 13 5 【思路引导】根据题意得：两个质数的和是18，积是65，可通过分解质因数的方法，可计算得出答案。 【完整解答】将65分解质因数为：，两个质因数之和为：，符合题干中的条件。即这两个数是13和5。 【变式】（2024六年级下·辽宁·专题练习）四个小朋友的年龄一个比一个大1岁，四人年龄的乘积是3024.问：最小的几岁，最大的几岁？ 【答案】6岁；9岁 【思路引导】先分解质因数，把3024写成几个质数相乘的形式，再把这些质数写成4个相邻的数的乘积，即可得出答案。 【完整解答】3024＝2×2×2×2×3×3×3×7 即为6×7×8×9。 答：最小的为6岁，最大的为9岁。 1．（24-25五年级上·福建泉州·期末）妙想手中有若干个完全相同的正方形，若她尝试用全部正方形拼成长方形，且恰好只有3种摆法，那么妙想手中正方形的总数，（    ）。 A．是一个质数 B．只有3个因数 C．3一定是它的因数 D．有5或6个因数 【答案】D 【思路引导】根据题意，妙想用n个相同的正方形拼成长方形，只有3种摆法。每种摆法对应长和宽的乘积为n，且长≥宽。 设正方形的总数为n。用n个正方形拼成长方形，摆法的种数取决于n的因数对的数量。每种摆法对应一对因数（长和宽），且长≥宽，以避免重复。 当n有t个因数时： 若n不是平方数，则因数成对出现，摆法种数为t÷2。 若n是平方数，则有一个因数是乘两次，则摆法种数为（t＋1）÷2。 由题意，摆法种数为3。 若n不是平方数，则t÷2＝3，得t＝6。 若n是平方数，则（t＋1）÷2＝3，得t＋1＝6，t＝5。 因此，n的因数总数是5或6。 【完整解答】A．质数只有2个因数（如2、3、5），摆法只有1种（长＝n，宽＝1），不符合题意（摆法种数不为3）。此选项错误。 B．只有3个因数的数是质数的平方（如4＝2²，因数1、2、4），摆法有2种（1×4、2×2），不符合题意（摆法种数不为3）。此选项错误。 C．3不一定是n的因数，例如n＝16（因数1、2、4、8、16，摆法1×16、2×8、4×4），3不是16的因数，但摆法有3种。此选项错误。 D．有5或6个因数，符合上述分析（如n＝12有6个因数，摆法3种；n＝16有5个因数，摆法3种）。此选项正确。 故答案为：D 2．（25-26五年级上·四川成都·期中）a、b、c、d是不同的质数，甲＝a×b×c，乙＝a×b×c×d，下面说法不正确的是（    ）。 A．甲是乙的倍数，乙是甲的因数 B．d不是甲的因数，d是乙的因数 C．乙÷甲＝d D．a×b×c的积是甲和乙的因数 【答案】A 【思路引导】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，说明甲和乙都是合数，在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此逐项分析。 【完整解答】A．乙÷甲 ＝a×b×c×d÷（a×b×c） ＝a×b×c×d÷a÷b÷c ＝a÷a×b÷b×c÷c×d ＝d 分析可知，乙是甲的倍数，甲是乙的因数，该选项说法错误。 B．甲＝a×b×c，乙＝a×b×c×d，则d是乙的因数，d不是甲的因数，该选项说法正确。 C．由A可知，乙÷甲＝d，该选项说法正确。 D．假设a×b×c＝M，则甲＝M，乙＝M×d，那么M是甲的因数，M也是乙的因数，所以M是甲和乙的因数，即a×b×c的积是甲和乙的因数，该选项说法正确。 故答案为：A 3．（25-26五年级上·四川成都·期中）学校的花圃种了若干行（不止一行）向日葵，每行的棵数都相等。三位同学数向日葵的棵数，小悦说有53棵，小亮说有57棵，小明说有59棵。他们之中只有一人数对了，（    ）数对了。 A．小悦 B．小亮 C．小明 D．不确定 【答案】B 【思路引导】由于种向日葵是若干行（不止一行）且每行的棵数都相等，因此总棵数应为：行数×每行棵数，即总棵数需要时合数（能分解两个大于1的整数的乘积）；据此判断判断53、57、59是否为合数；53和59是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；57是合数，符合条件。因此小亮数对了。 【完整解答】53只有1和53两个因数，59只有1和59两个因数，53和59都是质数，无法能分解两个大于1的整数的乘积，所以小悦和小明都数错了。    57有1、3、19、57四个因数，所以57是合数，能分解两个大于1的整数的乘积，所以小亮数对了。 故正确答案为：B 4．（25-26五年级上·四川成都·期中）清代《蚕》一诗提到“八茧称佳种，三眠贵早成。”关于横线上的数，说法错误的是（    ）。 A．它是合数 B．它有4个因数 C．它的因数都是偶数 D．它可以写成两个质数相加 【答案】C 【思路引导】A．合数是指除了1和它本身以外还有其他因数的数； B．因数是指能够整除给定数的整数； C．偶数是能够被2所整除的整数； D．质数是指只有1和它本身两个因数的数。 【完整解答】A．8的因数有1、2、4、8，共4个因数，除了1和8本身，还有2和4两个因数，所以8是合数，选项A正确； B．8的因数有1、2、4、8，共4个，所以选项B正确； C．8的因数有1、2、4、8，其中1不能被2整除，不是偶数，所以选项C错误； D．3和5都是质数，且3＋5＝8，所以8可以写成两个质数相加，选项D正确。 故答案为：C 【考点再现】本题的核心考查点是合数、因数、质数、偶数的概念辨析与实际应用，解题的关键在于精准掌握各类数的定义，并通过列举、计算、推理逐一验证选项的正误。 5．（24-25五年级上·福建泉州·期末）“哥德巴赫猜想”是世界三大数学难题之一，目前尚未被完全证明。我国数学家陈景润在1966年证明了“1＋2”，即“任意一个足够大的偶数＝质数＋质数×质数”（三个质数可以相同，也可以不同），是目前最接近完全证明“哥德巴赫猜想”的成果。请用“1＋2”的方式表示24与36。 24＝( )＋( )×( )，36＝( )＋( )×( )。 【答案】 3 3 7 3 3 11 【思路引导】根据对“哥德巴赫猜想”的“1＋2”形式的理解，即将一个偶数表示为“质数＋质数×质数”的形式。 质数是指大于1且只能被1和自身整除的自然数。对于24和36，需要找到合适的质数组合，使得等式成立。通过尝试较小的质数乘积，并计算其与偶数的差是否为质数，即可找到符合条件的表示方式。 对于24：尝试质数乘积，3×7＝21，24－21＝3，且3是质数； 对于36：尝试质数乘积，3×11＝33，36－33＝3，且3是质数。 【完整解答】24＝3＋3×7，36＝3＋3×11。（答案不唯一） 6．（24-25五年级上·福建泉州·期末）把书打开，将左右两页的页码加起来，奇思认为可能得到一个偶数。奇思的想法是( )的（填“对”或“错”）。你的理由： 。 【答案】 错 奇数＋偶数＝奇数 【思路引导】左右两页的页码是相邻的两个自然数，如果一个页码是奇数，则另一个页码一定是偶数，根据奇数＋偶数＝奇数，进行分析。 【完整解答】把书打开，将左右两页的页码加起来，奇思认为可能得到一个偶数。奇思的想法是错的。理由：左右两页的页码分别是奇数和偶数，奇数＋偶数＝奇数。 7．（25-26五年级上·四川成都·期中）已知a是质数，b是奇数，且a2＋b＝2025，则a＋b＝( )。 【答案】2023 【思路引导】根据题意，a2＋b＝2025，b是奇数，2025是奇数，根据偶数＋奇数＝奇数，可知a2为偶数，a2表示两个相同的数相乘，根据偶数×偶数＝偶数，可知a为偶数，又因为a是质数，根据既是质数又是偶数的数只有2，即可确定a的值，进而求得b的值，最后求得a＋b的值。 【完整解答】根据分析可知：a＝2；则a2＝2×2＝4 b＝2025－a2＝2025－4＝2021 a＋b＝2＋2021＝2023 因此，已知a是质数，b是奇数，且a2＋b＝2025，则a＋b＝2023。 【考点再现】本题考查的是质数、偶数、奇数的定义，需明确偶数＋奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数，且熟知在所有偶数中只有2是质数。 8．（25-26五年级上·辽宁沈阳·期中）非0自然数中的任意的连续三个数中一定有合数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】合数是指大于1且除了1和本身还有其他因数的自然数。可举例验证是否存在三个连续的非0自然数全为非合数（即质数或1）。 【完整解答】如连续三个非0自然数1、2、3：1既不是质数也不是合数，2和3均为质数，这三个数中没有合数。因此，非0自然数中的任意连续三个数中一定有合数的说法错误。 故答案为：× 9．（25-26五年级上·陕西榆林·期中）一个两位数的十位和个位数字都是质数，那么这个两位数一定是质数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2；结合举例说明即可。 【完整解答】根据质数的定义，两位数的十位和个位数字均为质数（即2、3、5、7），但组成的两位数不一定是质数。例如，52、32、25、75等均为合数，故原题说法错误。 故答案为：× 10．（21-22五年级上·广东韶关·单元测试）脱式计算。 82.6÷4÷0.25　　　3.4＋9.6÷0.75　　  2.4×（2.1－0.8）÷1.2 【答案】82.6；16.2；2.6 【思路引导】82.6÷4÷0.25可改写成82.6÷（4×0.25）进行简算； 3.4＋9.6÷0.75先算除法，再算加法； 2.4×（2.1－0.8）÷1.2先算小括号中的减法，再按从左到右的顺序进行计算。 【完整解答】82.6÷4÷0.25 ＝82.6÷（4×0.25） ＝82.6÷1 ＝82.6 3.4＋9.6÷0.75 ＝3.4＋12.8 ＝16.2 2.4×（2.1－0.8）÷1.2 ＝2.4×1.3÷1.2 ＝3.12÷1.2 ＝2.6 11．（25-26五年级上·广东茂名·期中）小可爱精品店运来36个玩具小熊，如果每2个装一个盒子，能正好装完吗？如果每5个装一个盒子，能正好装完吗？至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完？为什么？ 【答案】能；不能；4个；原因见详解 【思路引导】能不能正好装完，就是看2和5是不是36的因数，是36的因数就可以正好装完，不是36的因数就不能正好装完。至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完，也就是玩具小熊的数量同时是2和5的公倍数，先利用求一个数的倍数的方法，求出2和5的倍数，再找出两个数的公倍数，在这些公倍数中，找出刚好比36大的数，再与36作差即可解答。 【完整解答】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 2是36的因数，所以每2个装一个盒子，能正好装完。 5不是36的因数，所以每5个装一个盒子，不能正好装完。 2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50… 5的倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50… 2和5的公倍数有10、20、30、40、50… 40比36大； 所以至少再运来4个，能使上述两种装法都能正好装完。 答：每2个装一个盒子，能正好装完；每5装一个盒子，不能正好装完；至少再运来4个，能使上述两种装法都能正好装完。 12．（25-26五年级上·四川成都·期中）缫丝工需要操作缫丝机，将熟茧制成生丝。张师傅将48位缫丝工分成人数相等的小组（每组人数大于1，不止1组），可以分几组？列表写出所有方案。 【答案】见详解 【思路引导】先列举48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。已知每组人数大于1、组数不止1组，排除因数1（每组人数需大于1）和48（若每组48人则只有1组，不符合“不止1组”的要求），剩余有效因数为：2、3、4、6、8、12、16、24。根据“每组人数＝总人数÷分组数”的数量关系，依次选取符合条件的分组数，分别计算对应的每组人数。将计算得出的分组数与每组人数一一对应，最终通过列表形式整理出所有满足题意的分组方案，清晰呈现结果。 【完整解答】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 因为每组人数大于1且不止1组，所以分组数不能是1和48。 当分组数为2组时，每组人数为48÷2＝24（人）； 当分组数为3组时，每组人数为48÷3＝16（人）； 当分组数为4组时，每组人数为48÷4＝12（人）； 当分组数为6组时，每组人数为48÷6＝8（人）； 当分组数为8组时，每组人数为48÷8＝6（人）； 当分组数为12组时，每组人数为48÷12＝4（人）； 当分组数为16组时，每组人数为48÷16＝3（人）； 当分组数为24组时，每组人数为48÷24＝2（人）。 列表如下： 组数 每组人数 2 24 3 16 4 12 6 8 8 6 12 4 16 3 24 2 答：可分的组数为：2组、3组、4组、6组、8组、12组、16组、24组。 13．（25-26五年级上·广西贺州·期中）从1980年东风系列导弹首次全程试射成功，到2025年“DF－5C”洲际战略核导弹亮相阅兵仪式，其中包含了我国无数科学家的智慧和汗水。这两个年份数都是3的倍数吗？你是怎么判断的？ 【答案】这两个年份数都是3的倍数，理由见详解 【思路引导】3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；据此把两个年份各个数位上的数字相加，如果和能被3整除，则是3的倍数，如果不能被3整除，则不是3的倍数。 【完整解答】1＋9＋8＋0＝18 因为18÷3＝6，所以1980是3的倍数； 2＋0＋2＋5＝9 因为9÷3＝3，所以2025是3的倍数。 答：这两个年份数都是3的倍数，因为它们的所有数位之和都能被3整除。 14．（25-26五年级上·四川成都·期中）一个长方形的周长是56厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，并且都是质数，那么这样的长方形面积最大是多少平方厘米？ 【答案】187 平方厘米 【思路引导】已知周长是56厘米，根据长方形的周长公式为：周长＝（长＋宽）×2，所以长与宽的和等于周长除以2。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。需要找出两个质数相加等于28的所有组合小于28的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23，其中和为28的质数对有：5＋23＝28，11＋17＝28。根据长方形的面积公式为：面积＝长×宽，分别计算两组质数对对应的面积，再比较大小得出最大面积。 【完整解答】56÷2＝28（厘米） 两个质数相加等于28的所有组合小于28的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23， 其中和为28的质数对有：5＋23＝28，11＋17＝28。 当长为23厘米、宽为5厘米时，面积为23×5＝115（平方厘米） 当长为17厘米、宽为11厘米时，面积为17×11＝187（平方厘米） 因为115＜187，所以最大面积是187平方厘米。 答：这样的长方形面积最大是187平方厘米。 【考点再现】本题的核心考查点是质数概念与长方形周长、面积公式的综合应用，解题的关键在于通过周长公式推导出长与宽的和，再结合质数的定义筛选出符合条件的长和宽，最终利用面积公式比较大小。 15．（25-26五年级上·陕西西安·期中）一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是56厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】 187平方厘米 【思路引导】根据长方形的周长公式，周长＝（长＋宽）×2，已知周长为56厘米，可求出长与宽的和为28厘米；长和宽均为质数，需找出所有和为28的质数对，计算对应的面积，并比较得出最大值；质数定义为大于1且只能被1和自身整除的自然数，据此解答。 【完整解答】根据分析可得： 长方形的周长公式为：周长＝（长＋宽）×2 已知周长为56厘米，则： （长＋宽）×2＝56 长＋宽＝56÷2＝28（厘米） 长和宽均为质数，且和为28厘米 可能的质数对有： 长为23厘米，宽为5厘米（23和5均为质数） 长为17厘米，宽为11厘米（17和11均为质数） 计算面积： 长为23厘米，宽为5厘米：面积＝23×5＝115（平方厘米） 长为17厘米，宽为11厘米：面积＝17×11＝187（平方厘米） 比较面积：187＞115 因此，最大面积为187平方厘米。 答：这个长方形的面积最大是187平方厘米。 【考点再现】本题考查的质数的综合应用，熟练掌握什么是质数，哪些数是质数是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 倍数和因数 （知识回顾+十四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共43题） 【原卷版】 知识回顾 2 知识点01：整数和自然数 2 知识点02：倍数与因数 2 知识点03：2、5、3的倍数的特征 2 知识点04：找因数 3 知识点05：质数与合数 3 题型讲练 3 重点难点题型一：找—个数的倍数及倍数的特征 3 重点难点题型二：根据倍数的特征解决问题 3 重点难点题型三：2、5的倍数特征 4 重点难点题型四：奇数与偶数的认识 4 重点难点题型五：运算性质（奇数和偶数) 4 重点难点题型六：3的倍数特征 5 重点难点题型七：2、3、5的倍数特征综合 5 重点难点题型八：9的倍数特征 5 重点难点题型九：找一个数的因数及因数的特征 5 重点难点题型十：根据因数的特征解决问题 6 重点难点题型十一：倍数和因数的综合应用 6 重点难点题型十二：质数与合数的认识 7 重点难点题型十三：质数与合数的综合应用 7 重点难点题型十四：分解质因数 8 拔尖训练 8 知识点01：整数和自然数 整数：像 -3、 -2、 -1、0、1、2、3……这样的数统称为整数，整数包括正整数、0和负整数，没有最大或最小的整数。 自然数：像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数，自然数包括正整数和0，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 知识点02：倍数与因数 倍数与因数的意义：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。例如3×4=12，则3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 两者关系：倍数与因数是相互依存的关系，不能单独说一个数是倍数或因数。比如不能说“12是倍数”“3是因数”，而应表述为“12是3和4的倍数”“3是12的因数”。 研究范围：在研究倍数和因数时，所说的自然数指的是不包括0的自然数。 求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积都是这个数的倍数。例如，3的倍数有3×1=3，3×2=6，3×3=9……所以3、6、9等都是3的倍数。 判断两个数成倍数关系的方法： 列乘法算式：看能否通过两个数相乘得到另一个数，用积来判断。 列除法算式：如果商是整数且没有余数，那么这两个数就成倍数关系，反之则不是。例如24÷6=4，商是整数且没有余数，所以24是6的倍数。 倍数与因数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点03：2、5、3的倍数的特征 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。例如10、12、14等都是2的倍数。 奇数和偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。例如2、4、6是偶数，1、3、5是奇数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。如10、15、20等都是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如123，各位数字之和为1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 知识点04：找因数 列乘法算式：从1开始，一对一对地找，哪两个自然数的乘积等于这个数，这两个自然数就是这个数的因数。例如找12的因数，因为1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 列除法算式：用这个数除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是这个数的因数。 知识点05：质数与合数 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。例如2、3、5、7等，它们都只有1和自身两个因数。 合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数。例如4、6、8、9等，4的因数有1、2、4，除了1和4还有因数2。 特殊数：1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 重点难点题型一：找—个数的倍数及倍数的特征 【例1】（25-26五年级上·广东深圳·期中）妈妈买了相同质量（整千克）的柑橘和梨，柑橘每千克5元，梨每千克3元。妈妈可能花了（    ）元。 A．30 B．40 C．45 D．无法确定 【变式】（24-25五年级上·山西·期中）我们探究了2、3、5的倍数特征，那么4的倍数有什么特征呢？ 请认真观察：12÷4＝3、216÷4＝54、2028÷4＝507。 36÷4＝9、440÷4＝110、4032÷4＝1008。 48÷4＝12、808÷4＝202、6420÷4＝1605。 我发现了： 。 请列举一个更大的数是4的倍数，并验证： 。 重点难点题型二：根据倍数的特征解决问题 【例2】（24-25五年级上·陕西榆林·期中）有甲、乙、丙三种不同型号的包装盒。现有93个彩蛋，选用哪种包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完？请说明理由。 【变式】（23-24五年级上·四川成都·期中）舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来（    ）名同学才能排好队形。 A．7 B．8 C．9 D．10 重点难点题型三：2、5的倍数特征 【例3】（25-26五年级上·辽宁沈阳·期中）若是25的倍数，则A可以是( )（写出所有符合条件的数）；若是125的倍数，则B可以是( )（写出所有符合条件的数）。 【变式】（25-26五年级上·广东深圳·期中）园林工人在某保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 重点难点题型四：奇数与偶数的认识 【例4】（25-26五年级上·四川成都·期中）在一条河的两边分别有两个寨子，索道是在两个寨子间运送物资的唯一交通工具。某日，货物箱最初在甲寨，经过25次（往返算两次）后，货物箱停在( )寨。 【变式】（25-26五年级上·福建泉州·期中）学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是( )厘米，最长的是( )厘米。 重点难点题型五：运算性质（奇数和偶数) 【例5】（25-26五年级上·四川成都·期中）填“奇数”或“偶数”。 1＋3＋5＋7＋…＋97＋99＝( ) 1＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋99×100＝( ) 【变式】（25-26五年级上·辽宁丹东·月考）不计算，在结果是偶数的算式后面括号里打“√”，是奇数的算式后面括号里打“×”。 5689－2147( )  447×25( )  26×495( )  7864＋5412( ) 重点难点题型六：3的倍数特征 【例6】（25-26五年级上·山西吕梁·期中）9月20日是爱牙日，学校给100名单亲家庭的学生发牙膏，每人1支，这些牙膏的编号从1到100，编号是偶数的有( )支，编号是3的倍数中，最大的奇数是( )号。 【变式】（25-26五年级上·陕西西安·期中）37至少加上( )是2的倍数，至少减去( )是5的倍数，至少加上( )既是2的倍数，又是3的倍数。 重点难点题型七：2、3、5的倍数特征综合 【例7】（25-26五年级上·陕西宝鸡·期中）在15，18，25，30，40中，2的倍数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2和5的倍数的有( )，同时是2，3和5的倍数的数有( )。 【变式】（25-26五年级上·陕西宝鸡·期中）183至少增加( )就是5的倍数，至少减少( )就是2的倍数，至少减少( )个就是3的倍数，至少加上( )就同时是2和5的倍数。 重点难点题型八：9的倍数特征 【例8】（24-25五年级上·广东深圳·期中）下列说法中，有（    ）个是正确的。 ①一个数的最小的倍数是它本身。 ②2×3＝6，所以2和3是因数，6是倍数。 ③一个数至少有两个因数。 ④各个数位上数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（24-25五年级上·四川成都·期中）在中，□里填数字( )才能使这个数是9的倍数。 重点难点题型九：找一个数的因数及因数的特征 【例9】（25-26五年级上·四川成都·期中）有一把万能钥匙可以同时打开以下4把锁（如下图），这把钥匙上的数可能是( )。 【变式】（25-26五年级上·福建泉州·期中）为了推广国家级非遗美食“闽南鱼丸”，美食工坊准备将制作好的鱼丸进行精美包装。工坊现制作了64颗手工鱼丸、77颗虾滑丸和72颗墨鱼丸，计划每8颗丸子装成一盒作为伴手礼。 (1)这三种丸子的数量中，奇数有( )，偶数有( )（填64、77或72）。 (2)丸子数量是11的倍数的是( )，既是2的倍数又是3的倍数的是( )。（填“手工鱼丸”“虾滑丸”或“墨鱼丸”） (3)在这些丸子的数量中，64的因数有( )。 (4)工坊最多能装( )盒伴手礼。 重点难点题型十：根据因数的特征解决问题 【例10】（25-26五年级上·四川成都·期中）把36个苹果装在盒子里，要求每个盒子装得同样多，有( )种装法；把37个苹果装在盒子里，也要求每个盒子装得同样多，有( )种装法。 【变式】（25-26五年级上·陕西榆林·期中）刘老师带领五年级一班的同学去植树，一共植树148棵，已知刘老师和每个同学植的树都一样多，五年级一班的同学正好能站成三路纵队。你知道每人植了几棵树吗？五年级一班有多少个同学？ 重点难点题型十一：倍数和因数的综合应用 【例11】（24-25五年级上·安徽·期中）小优、乐乐和小凯是同班同学，他们班有40名学生。小优的学号是3号，乐乐的学号是27号，小凯的学号是小优的学号的倍数，并且是乐乐的学号的因数，小凯的学号是（    ）号。 A．6 B．9 C．15 D．30 【变式】（24-25五年级上·广东深圳·期中）在学校运动会开幕式上，48人组成了一支体操队，表演时需要变换队形。 （1）如果站成长方形队列，根据给出的行数填写下表。 行数 2 3 4 6 每行人数 （2）如果站成正方形队列，至少要去掉多少人？ 或者至少增加多少人？ 重点难点题型十二：质数与合数的认识 【例12】（25-26五年级上·陕西宝鸡·期中）智能“退换货”现在已经解决了社区居民网上购物的各类问题。荣阿姨在购物过程中通过手机操作获得了小程序发出的取件码，根据下面的描述，荣阿姨的取件码是（    ）。 取件码是由ABCD四个大于0的数字组成，其中A的因数有1，3，9，B比既是质数又是偶数的数大3，C同时又是2和3的倍数，D是最小的合数。 A．3364 B．3564 C．9364 D．9564 【变式】（25-26五年级上·陕西西安·期中）陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝( )×( )＋( )；24＝( )＋( )×( )。 重点难点题型十三：质数与合数的综合应用 【例13】（25-26五年级上·广东湛江·期中）广东的龙舟竞渡是极具特色的传统民俗活动，实验小学五年级的同学们要以班级为单位排练龙舟操，需要将各班学生平均分成人数相等的小组（每个小组人数大于1），便于队列整齐。哪几个班可以？哪几个班不可以？为什么？ 班级 1班 2班 3班 4班 人数 37 41 39 40 【变式】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）读一读，做一做。 哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。例如： ，，，… 哥德巴赫猜想（奇数情形）：任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。例如： ，，… 对于哥德巴赫猜想的奇数情形，目前已经证明， 对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上不超过两个质数的乘积的形式，通常称“”。例如： ，，… 阅读了以上材料，请你在下面的括号里填上合适的质数。 ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) ( )＋( )   ( )＋( )＋( ) 重点难点题型十四：分解质因数 【例14】（23-24五年级上·陕西西安·期末）如果两个质数的和是18，积是65，那么它们是( )和( )。 【变式】（2024六年级下·辽宁·专题练习）四个小朋友的年龄一个比一个大1岁，四人年龄的乘积是3024.问：最小的几岁，最大的几岁？ 1．（24-25五年级上·福建泉州·期末）妙想手中有若干个完全相同的正方形，若她尝试用全部正方形拼成长方形，且恰好只有3种摆法，那么妙想手中正方形的总数，（    ）。 A．是一个质数 B．只有3个因数 C．3一定是它的因数 D．有5或6个因数 2．（25-26五年级上·四川成都·期中）a、b、c、d是不同的质数，甲＝a×b×c，乙＝a×b×c×d，下面说法不正确的是（    ）。 A．甲是乙的倍数，乙是甲的因数 B．d不是甲的因数，d是乙的因数 C．乙÷甲＝d D．a×b×c的积是甲和乙的因数 3．（25-26五年级上·四川成都·期中）学校的花圃种了若干行（不止一行）向日葵，每行的棵数都相等。三位同学数向日葵的棵数，小悦说有53棵，小亮说有57棵，小明说有59棵。他们之中只有一人数对了，（    ）数对了。 A．小悦 B．小亮 C．小明 D．不确定 4．（25-26五年级上·四川成都·期中）清代《蚕》一诗提到“八茧称佳种，三眠贵早成。”关于横线上的数，说法错误的是（    ）。 A．它是合数 B．它有4个因数 C．它的因数都是偶数 D．它可以写成两个质数相加 5．（24-25五年级上·福建泉州·期末）“哥德巴赫猜想”是世界三大数学难题之一，目前尚未被完全证明。我国数学家陈景润在1966年证明了“1＋2”，即“任意一个足够大的偶数＝质数＋质数×质数”（三个质数可以相同，也可以不同），是目前最接近完全证明“哥德巴赫猜想”的成果。请用“1＋2”的方式表示24与36。 24＝( )＋( )×( )，36＝( )＋( )×( )。 6．（24-25五年级上·福建泉州·期末）把书打开，将左右两页的页码加起来，奇思认为可能得到一个偶数。奇思的想法是( )的（填“对”或“错”）。你的理由： 。 7．（25-26五年级上·四川成都·期中）已知a是质数，b是奇数，且a2＋b＝2025，则a＋b＝( )。 8．（25-26五年级上·辽宁沈阳·期中）非0自然数中的任意的连续三个数中一定有合数。( )（判断对错） 9．（25-26五年级上·陕西榆林·期中）一个两位数的十位和个位数字都是质数，那么这个两位数一定是质数。( )（判断对错） 10．（21-22五年级上·广东韶关·单元测试）脱式计算。 82.6÷4÷0.25　　　3.4＋9.6÷0.75　　  2.4×（2.1－0.8）÷1.2 11．（25-26五年级上·广东茂名·期中）小可爱精品店运来36个玩具小熊，如果每2个装一个盒子，能正好装完吗？如果每5个装一个盒子，能正好装完吗？至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完？为什么？ 12．（25-26五年级上·四川成都·期中）缫丝工需要操作缫丝机，将熟茧制成生丝。张师傅将48位缫丝工分成人数相等的小组（每组人数大于1，不止1组），可以分几组？列表写出所有方案。 13．（25-26五年级上·广西贺州·期中）从1980年东风系列导弹首次全程试射成功，到2025年“DF－5C”洲际战略核导弹亮相阅兵仪式，其中包含了我国无数科学家的智慧和汗水。这两个年份数都是3的倍数吗？你是怎么判断的？ 14．（25-26五年级上·四川成都·期中）一个长方形的周长是56厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，并且都是质数，那么这样的长方形面积最大是多少平方厘米？ 15．（25-26五年级上·陕西西安·期中）一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是56厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $