期末复习讲义：专题02 线与角（考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练）-2025-2026学年四年级上册数学北师大版

该小学数学期末复习讲义以“线与角”为核心，通过分类梳理与对比框架构建知识体系。考点梳理用表格呈现线段、射线、直线的端点、长度、延伸方向等区别联系，以层级关系归纳角的分类及度量方法，结合课桌边、手电筒光线等实例，直观展现知识脉络与重难点。 讲义亮点在于“考点-例题-真题”的递进设计，例题如“大熊猫选最近路线”“破损量角器量角”，培养几何直观与推理意识。练习涵盖基础画图、角度计算及实际应用，适配不同学生，教师可精准教学，学生能自主巩固，提升空间观念与应用能力。

期末复习讲义：专题02 线与角 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、线的认识（线段、射线、直线） 1.线段: （1）定义： 有两个端点，不能向两端无限延伸。 （2）特点： 可以测量长度（有有限长度）。例如：课桌的边、书本的边。 （3）表示方法： 可以用两个端点的大写字母表示，如线段AB或线段BA。 2.射线: （1）定义： 只有一个端点，可以向一端无限延伸。 （2）特点： 无法测量长度（无限长），有方向性。例如：手电筒射出的光、太阳射出的光线。 （3）表示方法： 用端点和射线上另一点的大写字母表示，端点字母写在前面，如射线AB（A是端点，向B的方向延伸）。 3.直线: （1）定义： 没有端点，可以向两端无限延伸。 （2）特点： 无法测量长度（无限长），没有方向性。例如：想象中无限长的直路。 （3）表示方法： 可以用直线上任意两点的大写字母表示，如直线AB或直线l。 4.区别与联系： （1）区别： ①端点个数：线段（2个），射线（1个），直线（0个）。 ②长度：线段（有限），射线和直线（无限）。 ③延伸方向：线段（无），射线（一端），直线（两端）。 （2）联系： ①线段是直线的一部分。 ②射线也是直线的一部分（从一个点向一个方向无限延伸的部分）。 ③把线段向一端无限延伸就得到射线，向两端无限延伸就得到直线。 5.数线段：掌握在复杂图形中数线段条数的方法（有序思考，不重复不遗漏）。例如：一条直线上有3个点A、B、C，线段有AB、AC、BC，共3条。 考点二、相交与垂直 1.相交： （1）定义： 当两条直线或线段交叉在一起时，它们就是相交的。 （2）交点： 两条线相交的那个点叫做交点。 2.垂直： （1）定义： 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 （2）特点： 交点叫做垂足。互相垂直的两条直线中，其中一条直线是另一条直线的垂线。 （3）表示方法： 用符号“⊥”表示垂直。如直线AB垂直于直线CD，记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）。 （4）生活中的例子： 墙角线、门框、黑板相邻的两条边。 3.画垂线： （1）掌握用三角尺画一条直线的垂线的方法（过直线上一点或直线外一点）。 （2）理解点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。 考点三、平移与平行 1.平移： （1）定义： 物体（或图形）在同一平面内沿着某个方向移动一定的距离，这种运动叫做平移。 （2）特点： 平移不改变物体的形状和大小，只改变位置。 2.平行： （1）定义： 在同一平面内，两条直线永不相交，这两条直线就叫做互相平行。 （2）特点： 两条平行线之间的距离处处相等。 （3）表示方法： 用符号“∥”表示平行。如直线AB平行于直线CD，记作：AB∥CD（或CD∥AB）。 （4）生活中的例子： 火车轨道、双杠、梯子的横杆。 3.平行与垂直的关系： （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 （2）垂直是相交的一种特殊情况（相交成直角）。 4.画平行线：掌握用三角尺和直尺（或两把三角尺）画平行线的方法。 考点四、旋转与角 1.旋转： （1）定义： 物体（或图形）绕着一个固定的点转动一定的角度，这种运动叫做旋转。 （2）旋转中心： 固定的点叫做旋转中心。 （3）旋转角度： 转动的角度。 （4）特点： 旋转不改变物体的形状和大小，只改变方向。 2.角的概念： （1）定义： 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。 （2）角的组成： 一个顶点，两条边。 （3）表示方法： 用符号“∠”表示角。通常用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，如∠ABC（B是顶点）。也可以用顶点的一个大写字母表示，如∠B（当顶点处只有一个角时）。 （4）角的大小： 角的大小与两边的张口大小有关，张口越大，角越大；与边的长度无关。 3.角的度量： （1）单位： 度（°）。 （2）工具： 量角器。 （3）量角的方法： ①量角器的中心点对准角的顶点。 ②量角器的0°刻度线与角的一条边重合。 ③看角的另一条边所对准的量角器上的刻度（注意区分内圈刻度和外圈刻度）。 （4）画角的方法： (给定度数的角) ①画一条射线作为角的一条边。 ②量角器的中心点对准射线的端点，0°刻度线与射线重合。 ③在量角器上找到所需度数对应的点，标记点。 ④连接端点（顶点）和标记点，画出另一条射线。 考点五、角的分类 1.直角： （1）定义： 等于90°的角。 （2）特点： 是判断其他类型角的基础。 （3）表示： 在图中通常用一个小正方形标记。 2.平角： （1）定义： 等于180°的角。两条边在同一条直线上，方向相反。 （2）特点： 一条射线绕其端点旋转半周形成的角。 3.周角： （1）定义： 等于360°的角。两条边完全重合（看起来像一条射线）。 （2）特点： 一条射线绕其端点旋转一周形成的角。 4.锐角： （1）定义： 大于0°且小于90°的角。 （2）特点： 比直角小。 5.钝角： （1）定义： 大于90°且小于180°的角。 （2）特点： 比直角大，但比平角小。 6.关系： （1）1直角 = 90°；1平角 = 2直角 = 180°；1周角 = 4直角 = 2平角 = 360°。 （2）锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角。 7.角的分类判断：能根据给定的角度数（或通过测量得到的度数）判断角属于哪一类（锐角、直角、钝角、平角、周角）。 考点六、实际应用 1.方向与角度：结合生活中的方向（东南西北、东北、东南、西北、西南）理解角度。 2.利用平行与垂直设计图案：理解平行线和垂直线在建筑、设计中的作用。 3.解决简单问题： （1）如求图形中某个角的度数（利用平角、周角、直角等关系）。 （2）如数图形中特定角（锐角、直角、钝角）的个数。 （3）如利用点到直线的距离解决最短路线问题。 例题讲解 一、线段、直线、射线的认识及特征 【例题1】（25-26四年级上·四川成都·期中）生活中，激光笔射出的光可以近似看作( )，绷紧的弓弦可以看作( )。（填“线段”“射线”或“直线”） 【例题2】（25-26四年级上·广东佛山·期中）( )、( )都可以无限延长，其中( )没有端点，( )只有一个端点。 【例题3】（25-26四年级上·吉林长春·期中）过A、B画一条直线。 二、两点间线段最短与两点间的距离 【例题1】（25-26四年级上·吉林长春·期中）两点之间（    ）最短。 A．直线 B．线段 C．射线 D．垂线 【例题2】（25-26四年级上·陕西咸阳·月考）大熊猫是中国的“国宝”，也是世界各国人民共同喜爱的“动物明星”。大熊猫花花要去吃竹子，它选择（    ）号路线走最近。 A．① B．② C．③ D．④ 【例题3】（24-25四年级上·安徽亳州·期中）下图是奇思家到中心书城的路线图，有两条路可以走，第( )（填序号）条路最近，因为两点之间所有连线中，( )最短。 三、相交与垂直 【例题1】（25-26四年级上·陕西西安·月考）爸爸去建材市场采购，从停车场到建材市场四个入口的路线如图所示，每条路线的长度分别为99米、138米、187米、80米，其中路线②的长度是( )米。 【例题2】（24-25四年级上·四川成都·期中）过C点，作直线AB的垂线。 【例题3】（25-26四年级上·陕西延安·期中）如图是某小区和河的位置，为了方便小区的人到河边散步，请你帮助设计一条从小区到河边最近的路，在图中画出来，并说明理由。 四、平移与平行 【例题1】（25-26四年级上·广东深圳·期中）如图，画框歪了，田田将挂画的两条绳子调节成一样长，画框就挂正了。这所含的数学原理是（    ）。 A．点到直线间垂线段最短 B．平行线间的距离处处相等 C．两点确定一条直线 D．平行线永不相交 【例题2】（25-26四年级上·福建泉州·期中）下面是几个亚运会场地的示意图，图中有两组平行线的是（    ）。 A． B． C． D． 【例题3】（24-25四年级上·山西吕梁·期中）过A、B两点任意画一组平行线。 五、旋转与角 【例题1】（25-26四年级上·广东湛江·期中）小海把一张正方形彩纸的四个角撕下来拼在一起，拼成的是一个（    ）。 A．周角 B．直角 C．锐角 D．钝角 【例题2】（25-26四年级上·山西吕梁·期中）6时整，时针和分针所形成的角是( )角。从1时到2时，分针旋转了( )，正好旋转成一个( )角。 【例题3】（24-25四年级上·广东汕头·期中）从一点引出两条( )所组成的图形叫做角。一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做( )角。 六、角的大小比较 【例题1】（21-22四年级上·江苏扬州·期末）放风筝比赛时，规定用30米长的线，如果把每根风筝线的一端固定在地面上，风筝线和地面所形成的角如图，风筝（    ）放得最高。 A．① B．② C．③ D．不确定 【例题2】（23-24四年级上·广西桂林·期中）平角比钝角( )，比周角( )。（括号里填“大”或“小”） 【例题3】（23-24四年级上·辽宁鞍山·期中）小芳每天下午5：00放学，晚上9：00睡觉，早上6：00起床。这三个时刻钟面上时针和分针所成的夹角从小到大排列依次是( )角、( )角、( )角。 七、角的度量 【例题1】（25-26四年级上·广东深圳·期中）田田用一个破损的量角器量了一个角（如图），这个角的度数是（    ）。 A．60° B．65° C．120° D．125° 【例题2】（24-25四年级上·福建福州·期中）在测量∠1的度数时，下面四位同学中操作和测量结果正确的是（    ）。 A．∠1＝100° B．∠1＝55° C．∠1＝50° D．∠1＝130° 【例题3】（24-25四年级上·广东湛江·期中）量出下面各角的大小。 ∠1＝( )°           ∠2＝( )°              ∠3＝( )° 八、用量角器画角 【例题1】（25-26四年级上·山西吕梁·期中）画出下列各角。 （1）130°            （2）55° 【例题2】（25-26四年级上·广东湛江·期中）以O为顶点，所给的射线为角的一边，画一个140°的角。 【例题3】（25-26四年级上·广东深圳·期中）画一个比平角小50°的角。（先列式算一算，再画一画） 九、用三角尺画角 【例题1】（25-26四年级上·广东深圳·期中）下列各角中，利用一副三角尺不能画出的是（    ）。 A．150° B．105° C．30° D．20° 【例题2】（25-26四年级上·吉林长春·期中）一个钝角大于( )°且小于( )°，用一副三角尺拼成的最大钝角是( )°。 【例题3】（24-25四年级上·广西桂林·期中）用一副三角尺画出75°和135°的角。（保留作图痕迹） 十、角度的计算 【例题1】（25-26四年级上·福建泉州·期中）如图∠2是∠1的3倍，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【例题2】（24-25四年级上·广东佛山·期中）在上图中∠1是∠2的2倍，∠1＋∠2＝( )°，∠1＝( )°。 【例题3】（23-24四年级上·天津滨海新·期末）如图，已知∠2＝23°，则∠1＝( )°，∠3＝( )°。 考点练习 一、线段、直线、射线的认识及特征 1．（25-26四年级上·陕西西安·期中）在直线、线段、射线中，可以量出长度的是( )，( )没有端点，( )只有一个端点，可以向一个方向无限延长。 2．（25-26四年级上·福建泉州·期中）汽车车灯射出来的光线可以近似地看成是( )（填“射线”“直线”或“线段”），它有( )个端点。 3．（24-25四年级上·广东河源·期中）按要求画一画。 画一条射线AB。 4．（24-25四年级上·广东佛山·期中）画线段AC、画直线AB、画射线CB。 二、两点间线段最短与两点间的距离 1．（25-26四年级上·广东深圳·期中）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线迹的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身。如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，利用的是（    ）。 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段有两个端点 D．垂线段最短 2．（25-26四年级上·山西运城·阶段练习）“口袋公园”是规模较小，具有游憩功能的公共绿化场地。如图，某个修建好的“口袋公园”里有一个圆形草坪，草坪周围修了A、B两条路，一段时间后，附近的居民建议在圆形草坪内部修建一条鹅卵石路C，居民提出该建议依据的原理是( )。 3．（24-25四年级上·河北邯郸·期中）下图是朵朵到学校的3条路线，她去学校如果想用最短的时间到达，应该选路线( )，因为两点之间所有连线中，( )最短。 三、相交与垂直 1．（24-25四年级上·山西晋城·期中）要把水渠中的水引到点A处浇灌农田，李伯伯设计了4条引水沟，分别是AB、AC、AD、AE（如下图），其中最短的引水沟是（    ）。 A．AB B．AC C．AE D．AD 2．（24-25四年级上·浙江衢州·期中）过点A画已知直线L的垂线。 3．（25-26四年级上·广东湛江·期中）如图。 （1）请你画出从艺术楼到教学楼最近的路。 （2）请你画出从艺术楼到操场最近的路。 四、平移与平行 1．（25-26四年级上·广东深圳·期中）奇奇把一张正方形纸连续对折两次，打开后他发现折痕的位置关系是（    ）。 A．折痕互相平行 B．折痕互相垂直 C．折痕互相重合 D．折痕可能互相平行，也可能互相垂直 2．（25-26四年级上·陕西延安·期中）如图各组线中，平行的有( )，相交的有( )。（填序号） 3．（24-25四年级上·福建泉州·期中）在方格纸上画出已知线段的平行线。 4．（25-26四年级上·河北唐山·期中）过点A画直线L的垂线，过点B画直线L的平行线。 五、旋转与角 1．（25-26四年级上·辽宁沈阳·月考）角是由两条( )组成的图形，角的大小与它两边的( )无关。 2．（24-25四年级上·山西晋城·期中）分一分，填序号。 ( )是锐角；( )是直角；( )是钝角；( )是平角；( )是周角。 3．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期中）7时半时，时针与分针成( )角；6时，时针与分针成( )角。 4．（25-26四年级上·黑龙江佳木斯·期中）105°的角比直角大( )度，比平角小( )度。 六、角的大小比较 1．（24-25四年级上·广东深圳·期末）清代诗人高鼎以“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”的诗句，生动描绘了孩子们放学后放风筝的图景。下面示意图画的是四只风筝线长度均为30米的放飞的风筝，飞得最高的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26四年级上·广东深圳·期中）一个15°的角，用放大10倍的放大镜看这个角是（    ）。 A．150° B．30° C．15° D．5° 3．（24-25四年级上·山西吕梁·期中）观察下面这些手势比划出的角，图（    ）中的角最大，图（    ）中的角最小。 ①    ②    ③    ④ A．①② B．②① C．③② D．③④ 七、角的度量 1．（25-26四年级上·河北唐山·期中）欢欢用破损的量角器量∠1的度数。如图，∠1的度数是（    ）。 A．80° B．70° C．90° D．30° 2．（25-26四年级上·吉林长春·期中）量角器是把半圆平均分成了( )份，每一份所对的角都是( )°。 3．（25-26四年级上·陕西咸阳·阶段练习）量一量，填一填。用量角器量度数。 ∠1＝( )°，∠2＝( )°。 4．（25-26四年级上·广东深圳·期中）用量角器量出∠1的度数，再画一个150°的角并标出度数。 ∠1＝（    ）。 八、用量角器画角 1．（25-26四年级上·黑龙江佳木斯·期中）用量角器画一个75°的角，并标出角的各部分名称。 2．（2025四年级上·全国·专题练习）画出70°、120°和90°的角。 3．（24-25四年级上·广东江门·期中）用已知圆点作为角的顶点，画出一个比直角多45°的角。 ● 九、用三角尺画角 1．（24-25四年级上·广东茂名·期中）笑笑用一副三角尺拼出了一个角，图（    ）拼出的是150°。 A． B． C． D． 2．（25-26四年级上·四川成都·期中）下列角度中，用一副三角板不可以拼出的是（    ）。 A．75 B．110 C．150 D．180 3．（25-26四年级上·陕西汉中·月考）用两块三角尺像下面这样拼在一起，拼成的角各是多少度？ ( )度     ( )度     ( )度     ( )度 4．（25-26四年级上·广东深圳·阶段练习）用一副三角尺画一个150°的角，并保留作图痕迹。 十、角度的计算 1．（24-25四年级上·广西桂林·期中）如下图，∠1＝( )°，∠2＝( )°。 2．（25-26四年级上·广东深圳·期中）如图，已知∠1＝28°，∠3＝135°，那么∠2＝( )°，∠4＝( )°。 3．（24-25四年级上·陕西咸阳·期中）如图，把一张正方形纸对折两次，打开后斜对折，再打开。图④中标出的4个角中，45°的角有( )个，∠3是( )°。 4．（25-26四年级上·安徽亳州·阶段练习）已知∠1和∠2组成一个平角，∠1＝75°，求∠2的度数。 5．（25-26四年级上·广东湛江·期中）如图，求出∠1，∠2，∠3的度数。 真题训练 1．（24-25四年级上·安徽六安·期末）以一点为端点可以画出（    ）射线。 A．一条 B．两条 C．四条 D．无数条 2．（24-25四年级上·福建泉州·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身。如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）。 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段有两个端点 D．垂线段最短 3．（24-25四年级上·浙江金华·期末）用一副三角板不能拼出的角是（    ）。 A．160° B．150° C．120° D．75° 4．（24-25四年级上·四川成都·期末）下列说法正确的有（    ）。 ①小明画了一条4厘米长的直线。 ②在一组平行线之间能画无数条与平行线互相垂直的线段。 ③在同一平面上，两条直线的位置关系有平行、垂直、相交三种。 ④平角的两条边成一条直线。 A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 5．（24-25四年级上·四川成都·期末）从直线外一点到直线上可以画( )条线段，其中( )的长度最短。 6．（24-25四年级上·浙江金华·期末）如果在同一平面上的两条直线永远不会相交，那么这两条直线互相( )，这两条直线之间的距离处处( )。 7．（24-25四年级上·四川成都·期末）如下图，过点A向直线L画四条线段，长度分别是4、5、6、7厘米，长度为4厘米的是线段( )。 8．（24-25四年级上·四川成都·期末）∠1的顶点与量角器中心重合时，∠1的一条边与内圈130°刻度线重合，另一条边与外圈170°刻度线重合。∠1＝( )度。 9．（24-25四年级上·浙江金华·期末）两个直角可以拼成( )角，在平角中剪去一个钝角，剩下的角是( )角。 10．（24-25四年级上·山西吕梁·期末）在2024年巴黎奥运会的体育赛事中，7月29日18：00，射击男子10米气步枪决赛，时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月3日00：00，蹦床男子预赛时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月6日21：00，跳水女子10米跳台跳水决赛，时针和分针所形成的较小角可以看作( )角。 11．（24-25四年级上·广东湛江·期末）如图，∠5＝54°，∠1是直角，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 12．（24-25四年级上·广东深圳·期末）按要求画一画。 （1）过点A画出直线m的垂线。 （2）过点B画出直线m的平行线。 13．（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）如图，小猫先去小兔家，然后它们一起到河边钓鱼，请帮小猫分别设计一条最近的路线。 14．（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）画一个比平角小60°的角。 15．（23-24四年级上·黑龙江大庆·期末）利用三角板分别画一个15°和120°的角。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义：专题02 线与角 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、线的认识（线段、射线、直线） 1.线段: （1）定义： 有两个端点，不能向两端无限延伸。 （2）特点： 可以测量长度（有有限长度）。例如：课桌的边、书本的边。 （3）表示方法： 可以用两个端点的大写字母表示，如线段AB或线段BA。 2.射线: （1）定义： 只有一个端点，可以向一端无限延伸。 （2）特点： 无法测量长度（无限长），有方向性。例如：手电筒射出的光、太阳射出的光线。 （3）表示方法： 用端点和射线上另一点的大写字母表示，端点字母写在前面，如射线AB（A是端点，向B的方向延伸）。 3.直线: （1）定义： 没有端点，可以向两端无限延伸。 （2）特点： 无法测量长度（无限长），没有方向性。例如：想象中无限长的直路。 （3）表示方法： 可以用直线上任意两点的大写字母表示，如直线AB或直线l。 4.区别与联系： （1）区别： ①端点个数：线段（2个），射线（1个），直线（0个）。 ②长度：线段（有限），射线和直线（无限）。 ③延伸方向：线段（无），射线（一端），直线（两端）。 （2）联系： ①线段是直线的一部分。 ②射线也是直线的一部分（从一个点向一个方向无限延伸的部分）。 ③把线段向一端无限延伸就得到射线，向两端无限延伸就得到直线。 5.数线段：掌握在复杂图形中数线段条数的方法（有序思考，不重复不遗漏）。例如：一条直线上有3个点A、B、C，线段有AB、AC、BC，共3条。 考点二、相交与垂直 1.相交： （1）定义： 当两条直线或线段交叉在一起时，它们就是相交的。 （2）交点： 两条线相交的那个点叫做交点。 2.垂直： （1）定义： 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 （2）特点： 交点叫做垂足。互相垂直的两条直线中，其中一条直线是另一条直线的垂线。 （3）表示方法： 用符号“⊥”表示垂直。如直线AB垂直于直线CD，记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）。 （4）生活中的例子： 墙角线、门框、黑板相邻的两条边。 3.画垂线： （1）掌握用三角尺画一条直线的垂线的方法（过直线上一点或直线外一点）。 （2）理解点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。 考点三、平移与平行 1.平移： （1）定义： 物体（或图形）在同一平面内沿着某个方向移动一定的距离，这种运动叫做平移。 （2）特点： 平移不改变物体的形状和大小，只改变位置。 2.平行： （1）定义： 在同一平面内，两条直线永不相交，这两条直线就叫做互相平行。 （2）特点： 两条平行线之间的距离处处相等。 （3）表示方法： 用符号“∥”表示平行。如直线AB平行于直线CD，记作：AB∥CD（或CD∥AB）。 （4）生活中的例子： 火车轨道、双杠、梯子的横杆。 3.平行与垂直的关系： （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 （2）垂直是相交的一种特殊情况（相交成直角）。 4.画平行线：掌握用三角尺和直尺（或两把三角尺）画平行线的方法。 考点四、旋转与角 1.旋转： （1）定义： 物体（或图形）绕着一个固定的点转动一定的角度，这种运动叫做旋转。 （2）旋转中心： 固定的点叫做旋转中心。 （3）旋转角度： 转动的角度。 （4）特点： 旋转不改变物体的形状和大小，只改变方向。 2.角的概念： （1）定义： 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。 （2）角的组成： 一个顶点，两条边。 （3）表示方法： 用符号“∠”表示角。通常用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，如∠ABC（B是顶点）。也可以用顶点的一个大写字母表示，如∠B（当顶点处只有一个角时）。 （4）角的大小： 角的大小与两边的张口大小有关，张口越大，角越大；与边的长度无关。 3.角的度量： （1）单位： 度（°）。 （2）工具： 量角器。 （3）量角的方法： ①量角器的中心点对准角的顶点。 ②量角器的0°刻度线与角的一条边重合。 ③看角的另一条边所对准的量角器上的刻度（注意区分内圈刻度和外圈刻度）。 （4）画角的方法： (给定度数的角) ①画一条射线作为角的一条边。 ②量角器的中心点对准射线的端点，0°刻度线与射线重合。 ③在量角器上找到所需度数对应的点，标记点。 ④连接端点（顶点）和标记点，画出另一条射线。 考点五、角的分类 1.直角： （1）定义： 等于90°的角。 （2）特点： 是判断其他类型角的基础。 （3）表示： 在图中通常用一个小正方形标记。 2.平角： （1）定义： 等于180°的角。两条边在同一条直线上，方向相反。 （2）特点： 一条射线绕其端点旋转半周形成的角。 3.周角： （1）定义： 等于360°的角。两条边完全重合（看起来像一条射线）。 （2）特点： 一条射线绕其端点旋转一周形成的角。 4.锐角： （1）定义： 大于0°且小于90°的角。 （2）特点： 比直角小。 5.钝角： （1）定义： 大于90°且小于180°的角。 （2）特点： 比直角大，但比平角小。 6.关系： （1）1直角 = 90°；1平角 = 2直角 = 180°；1周角 = 4直角 = 2平角 = 360°。 （2）锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角。 7.角的分类判断：能根据给定的角度数（或通过测量得到的度数）判断角属于哪一类（锐角、直角、钝角、平角、周角）。 考点六、实际应用 1.方向与角度：结合生活中的方向（东南西北、东北、东南、西北、西南）理解角度。 2.利用平行与垂直设计图案：理解平行线和垂直线在建筑、设计中的作用。 3.解决简单问题： （1）如求图形中某个角的度数（利用平角、周角、直角等关系）。 （2）如数图形中特定角（锐角、直角、钝角）的个数。 （3）如利用点到直线的距离解决最短路线问题。 例题讲解 一、线段、直线、射线的认识及特征 【例题1】（25-26四年级上·四川成都·期中）生活中，激光笔射出的光可以近似看作( )，绷紧的弓弦可以看作( )。（填“线段”“射线”或“直线”） 【答案】 射线 线段 【分析】首先明确线段、射线、直线的定义，再根据激光笔射出的光和绷紧的弓弦的特征来判断属于哪种类型。 线段：直线上两个端点之间的有限部分，有固定长度，可测量。 射线：由线段的一个端点向一端无限延伸所形成的图形，只有一个端点，无固定长度，不可测量。 直线：没有端点，向两端无限延伸的笔直图形，无固定长度，不可测量。 【详解】激光笔射出的光有一个端点（激光笔的发射端），光线会向一个方向无限延伸，符合射线的定义，所以激光笔射出的光可以近似看作射线；绷紧的弓弦有两个明确的端点，且长度是固定的，符合线段的定义，所以绷紧的弓弦可以看作线段。 【例题2】（25-26四年级上·广东佛山·期中）( )、( )都可以无限延长，其中( )没有端点，( )只有一个端点。 【答案】 直线 射线 直线 射线 【分析】直线没有端点，可以向两端无限延长；射线有一个端点，可以向一端无限延长；线段有两个端点，不能无限延长。因此，可以无限延长的是直线和射线，其中直线没有端点，射线只有一个端点。 【详解】根据分析可知： 直线、射线都可以无限延长，其中直线没有端点，射线只有一个端点。 【例题3】（25-26四年级上·吉林长春·期中）过A、B画一条直线。 【答案】见详解 【分析】两点确定一条直线。将直尺分别与A、B两点对齐后，沿尺画线就能得到经过A、B的直线。 【详解】根据分析可知： 二、两点间线段最短与两点间的距离 【例题1】（25-26四年级上·吉林长春·期中）两点之间（    ）最短。 A．直线 B．线段 C．射线 D．垂线 【答案】B 【分析】根据题意作图如下： 由图可知，两点间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 【详解】由分析得，两点之间线段最短。 故答案为：B 【例题2】（25-26四年级上·陕西咸阳·月考）大熊猫是中国的“国宝”，也是世界各国人民共同喜爱的“动物明星”。大熊猫花花要去吃竹子，它选择（    ）号路线走最近。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】两点间所有连线中，线段最短。这条线段叫做两点间的距离。据此解答。 【详解】如图，③号是一条线段，大熊猫花花要去吃竹子，它选择③号路线走最近。 故答案为：C 【例题3】（24-25四年级上·安徽亳州·期中）下图是奇思家到中心书城的路线图，有两条路可以走，第( )（填序号）条路最近，因为两点之间所有连线中，( )最短。 【答案】 ③ 线段 【分析】奇思从家出发，可以经过超市，再去中心书城；或者直接从家去中心书城；连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，两点之间线段最短；据此可知哪条路最近。 【详解】上图是奇思家到中心书城的路线图，有两条路可以走，第③条路最近，因为两点之间所有连线中，线段最短。 三、相交与垂直 【例题1】（25-26四年级上·陕西西安·月考）爸爸去建材市场采购，从停车场到建材市场四个入口的路线如图所示，每条路线的长度分别为99米、138米、187米、80米，其中路线②的长度是( )米。 【答案】80 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。观察图形可知，路线②是从停车场到建材市场各路线中垂直于相关直线的线段，因此路线②是最短的。在给出的长度99米、138米、187米、80米中找出最短的线路即是线路②的长度。据此解答。 【详解】因为80米＜99米＜138米＜187米，所以线路②的长度是80米。 【例题2】（24-25四年级上·四川成都·期中）过C点，作直线AB的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。以此画图即可。 【详解】根据分析画图如下： 【例题3】（25-26四年级上·陕西延安·期中）如图是某小区和河的位置，为了方便小区的人到河边散步，请你帮助设计一条从小区到河边最近的路，在图中画出来，并说明理由。 【答案】图见详解；理由见详解 【分析】根据直线外一点与这条直线上所有点的连线中，垂线段最短，据此过“小区”这一点向“河”那条直线做垂线段即可。 【详解】如图： 因为直线外一点与这条直线上所有点的连线中，垂线段最短。 四、平移与平行 【例题1】（25-26四年级上·广东深圳·期中）如图，画框歪了，田田将挂画的两条绳子调节成一样长，画框就挂正了。这所含的数学原理是（    ）。 A．点到直线间垂线段最短 B．平行线间的距离处处相等 C．两点确定一条直线 D．平行线永不相交 【答案】B 【分析】根据题意可知，要使画框正，就是要让画框上面一条边与墙上的线平行，根据平行线之间的距离处处相等，两条绳子的长度即是画框上面这条边上的两个点到墙上的直线的距离，当两条绳子的长度相同时，说明两条线之间的距离处处相等，即两条线互相平行，画框就挂正了。 【详解】根据分析可知，田田将挂画的两条绳子调节成一样长，画框就挂正了，这是运用了“平行线间的距离处处相等”的原理。 故答案为：B 【例题2】（25-26四年级上·福建泉州·期中）下面是几个亚运会场地的示意图，图中有两组平行线的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的意义，在一个平面内永不相交的一组直线叫作平行线，即可解答。 【详解】A．平行四边行有两组平行线； B．梯形有一组平行线； C．该图形没有平行线； D．该图形没有平行线。 故答案为：A 【例题3】（24-25四年级上·山西吕梁·期中）过A、B两点任意画一组平行线。 【答案】见详解 【分析】作 AB 的平行线 ：先将三角尺的一条直角边与 AB 重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，沿直角边画出另一条直线即可。据此画出AB的平行线即可。 【详解】 五、旋转与角 【例题1】（25-26四年级上·广东湛江·期中）小海把一张正方形彩纸的四个角撕下来拼在一起，拼成的是一个（    ）。 A．周角 B．直角 C．锐角 D．钝角 【答案】A 【分析】锐角大于0°小于90°，直角等于90°，钝角大于90°小于180°，周角等于360°，正方形的四个角为直角，那么四个角撕下来拼在一起所形成的角为90°×4＝360°，据此解答即可。 【详解】90°×4＝360° 周角为360°，所以小海把一张正方形彩纸的四个角撕下来拼在一起，拼成的是一个周角。 故答案为：A 【例题2】（25-26四年级上·山西吕梁·期中）6时整，时针和分针所形成的角是( )角。从1时到2时，分针旋转了( )，正好旋转成一个( )角。 【答案】 平 360 周 【分析】钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角即一个大格为360°÷12＝30°，6时整，时针和分针中间夹了6个大格，夹角为30°×6＝180°，是平角。从1时到2时，分针旋转了一圈，即为360°，是周角，填空即可。 【详解】因为360°÷12＝30°，30°×6＝180°，所以6时整，时针和分针所形成的角是平角。从1时到2时，分针旋转了360，正好旋转成一个周角。 【例题3】（24-25四年级上·广东汕头·期中）从一点引出两条( )所组成的图形叫做角。一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做( )角。 【答案】 射线 平 【分析】角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边；如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角。 【详解】如图： 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。 六、角的大小比较 【例题1】（21-22四年级上·江苏扬州·期末）放风筝比赛时，规定用30米长的线，如果把每根风筝线的一端固定在地面上，风筝线和地面所形成的角如图，风筝（    ）放得最高。 A．① B．② C．③ D．不确定 【答案】A 【分析】因为线的长度是固定的都是30米，所以谁与地面的夹角接近90度，谁的高度就高；观察上图可知，三条线中，①与地面的夹角最接近90度，所以①放的最高，据此解答。 【详解】根据分析得：①与地面的夹角最接近90度，所以①放的最高。 故答案为：A 【例题2】（23-24四年级上·广西桂林·期中）平角比钝角( )，比周角( )。（括号里填“大”或“小”） 【答案】 大 小 【分析】平角是180度角，钝角是大于90度且小于180度角，周角是360度角，据此对比大小即可解答。 【详解】由分析可知：平角比钝角大，比周角小。 【例题3】（23-24四年级上·辽宁鞍山·期中）小芳每天下午5：00放学，晚上9：00睡觉，早上6：00起床。这三个时刻钟面上时针和分针所成的夹角从小到大排列依次是( )角、( )角、( )角。 【答案】 直 钝 平 【分析】钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，钟面上下午5：00，时针和分针之间相差5个大格数，用大格数5乘30°即可；钟面上晚上9：00，时针和分针之间相差3个大格数，用大格数3乘30°；钟面上早上6：00，时针和分针之间相差6个大格数，用大格数6乘30°即可；依此计算并根据角的分类标准填空即可。 【详解】5×30°＝150° 3×30°＝90° 6×30°＝180° 90°＜150°＜180° 这三个时刻钟面上时针和分针所成的夹角从小到大排列依次是直角、钝角、平角。 七、角的度量 【例题1】（25-26四年级上·广东深圳·期中）田田用一个破损的量角器量了一个角（如图），这个角的度数是（    ）。 A．60° B．65° C．120° D．125° 【答案】B 【分析】由图可知，所测量的角的两边，一边所对应的量角器的外圈的刻度是55°，另一条边所对应的量角器的外圈的刻度是120°，用120°减去55°，即为所测量角的度数，据此解答即可。 【详解】120°－55°＝65° 田田用一个破损的量角器量了一个角，这个角的度数是65°。 故答案为：B 【例题2】（24-25四年级上·福建福州·期中）在测量∠1的度数时，下面四位同学中操作和测量结果正确的是（    ）。 A．∠1＝100° B．∠1＝55° C．∠1＝50° D．∠1＝130° 【答案】C 【分析】量角器量角的核心是“两重合、一对应”，即量角器中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，再看角的另一条边对应量角器上的刻度，这个刻度就是角的度数。据此逐项判断。 【详解】A．量角器的中心没有与角的顶点重合，不符合量角器的使用步骤，操作错误，所以A选项错误。 B．量角器的0度刻度线没有与角的一条边重合，不符合量角器的使用步骤，操作错误，所以B选项错误。 C．量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对量角器的刻度为50°，操作和测量结果均正确，所以C选项正确。 D．该角是锐角，应读取量角器内圈刻度，但测量结果130°错误，所以D选项错误。 故答案为：C 【例题3】（24-25四年级上·广东湛江·期中）量出下面各角的大小。 ∠1＝( )°           ∠2＝( )°              ∠3＝( )° 【答案】 140° 40° 120° 【分析】运用量角器量角的方法，即把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所指的量角器上的刻度就是这个角的度数。 【详解】将量角器的中心与∠1的顶点重合，0刻度线与∠1的一条边重合，读取∠1另一条边所指量角器上的刻度，得到∠1＝140°； 把量角器的中心与∠2的顶点重合，0刻度线与∠2的一条边重合，读取∠2另一条边所指量角器上的刻度，得出∠2＝40°； 使量角器的中心与∠3的顶点重合，0刻度线与∠3的一条边重合，读取∠3另一条边所指量角器上的刻度，可知∠3＝120°。 八、用量角器画角 【例题1】（25-26四年级上·山西吕梁·期中）画出下列各角。 （1）130°            （2）55° 【答案】（1）、（2）画法见详解 【分析】画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器130°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出130°的角。同理画出55°的角。 【详解】如图： 【例题2】（25-26四年级上·广东湛江·期中）以O为顶点，所给的射线为角的一边，画一个140°的角。 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的方法：①用量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线与射线重合；②在量角器上找出所要画的角的点，点上点；③以射线的端点过刚画出的点，画出射线即可，据此作图即可。 【详解】作图如下： 【例题3】（25-26四年级上·广东深圳·期中）画一个比平角小50°的角。（先列式算一算，再画一画） 【答案】130°；见详解 【分析】平角等于180°，用180°－50°即可求出这个角的度数；画角：画一条射线用量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，从射线端的0刻度线开始，数到要画的度数，在度数的刻度处点上一个小圆点，从射线的端点起，过刚才画好的小圆点画一条射线。最后再标注上角的符号和度数。 【详解】180°－50°＝130° 如图： 九、用三角尺画角 【例题1】（25-26四年级上·广东深圳·期中）下列各角中，利用一副三角尺不能画出的是（    ）。 A．150° B．105° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】一副三角尺由两个三角尺组成，一个三角尺的三个角分别是90°，45°，45°，另一个三角尺的三个角分别是90°，60°，30°。由题意得，将两个三角尺的角度相加或相减看能否得到选项中的角度即可。 【详解】A．90°＋60°＝150°，即150°的角用一副三角尺可以画出。 B．60°＋45°＝105°，即105°的角用一副三角尺可以画出。 C．30°的角用三角尺可以直接画。 D．经过尝试可知，20°的角不能用一副三角尺画出。 故答案为：D 【例题2】（25-26四年级上·吉林长春·期中）一个钝角大于( )°且小于( )°，用一副三角尺拼成的最大钝角是( )°。 【答案】 90 180 150 【分析】根据题意，明确钝角的定义：钝角是大于90°且小于180°的角。一副三角尺有两个直角三角板，其中一个直角三角板的角度分别是30°，60°，90°，另一个直角三角板的角度分别是45°，45°，90°，结合钝角是大于90°且小于180°的角，即可解答。 【详解】根据分析可知： 30°＋90°＝120° 60°＋45°＝105° 60°＋90°＝150° 一个钝角大于90°且小于180°，用一副三角尺拼成的最大钝角是150°。 【例题3】（24-25四年级上·广西桂林·期中）用一副三角尺画出75°和135°的角。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】根据题意，一副三角尺中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°。75°＝45°＋30°，则用三角尺的45°角和30°角组合在一起，就能拼出75°角。135°＝45°＋90°，则用三角尺的45°角和90°角组合在一起，就能拼出135°角。以此画图即可。 【详解】根据分析画图如下： 十、角度的计算 【例题1】（25-26四年级上·福建泉州·期中）如图∠2是∠1的3倍，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 45 135 【分析】根据平角是180°，令∠1是1份，∠2就是3份，总份数就是1＋3＝4（份），先求出1份是多少，再分别求出∠1和∠2。 【详解】180°÷（1＋3）， ＝180°÷4 ＝45° 45°×3＝135° ∠1＝45°，∠2＝135°。 【例题2】（24-25四年级上·广东佛山·期中）在上图中∠1是∠2的2倍，∠1＋∠2＝( )°，∠1＝( )°。 【答案】 90 60 【分析】从图中可判断出∠1与∠2组成的角是直角，即∠1＋∠2＝90°，又因为∠1是∠2的2倍，把∠2的度数看作1份，∠1的度数就是2份，那么∠1＋∠2的度数就是1＋2＝3（份）。所以1份的度数（即∠2的度数）为90°÷3＝30°，∠1的度数为30×2＝60°。 【详解】90°÷3＝30° 30°×2＝60° ∠1＋∠2＝90°，∠1＝60°。 【例题3】（23-24四年级上·天津滨海新·期末）如图，已知∠2＝23°，则∠1＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 67 157 【分析】如图，∠1和∠2还有一个直角组成一个平角，平角是180°，直角是90°，所以∠1和∠2也是90°。用90°减去∠2的度数，就是∠1的度数。∠2和∠3组成平角，用180°减去∠2度数，就是∠3的度数。 【详解】90°－23°＝67° 180°－23°＝157° 所以，∠1＝67°，∠3＝157° 考点练习 一、线段、直线、射线的认识及特征 1．（25-26四年级上·陕西西安·期中）在直线、线段、射线中，可以量出长度的是( )，( )没有端点，( )只有一个端点，可以向一个方向无限延长。 【答案】 线段 直线 射线 【分析】线段有两个端点，是有限长的，因此可以量出长度；直线没有端点，可以向两个方向无限延长，不可以测量长度；射线只有一个端点，可以向一个方向无限延长，不可以测量长度。 【详解】由分析可知： 在直线、线段、射线中，可以量出长度的是线段，直线没有端点，射线只有一个端点，可以向一个方向无限延长。 2．（25-26四年级上·福建泉州·期中）汽车车灯射出来的光线可以近似地看成是( )（填“射线”“直线”或“线段”），它有( )个端点。 【答案】 射线 1 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可． 【详解】由分析知： 汽车车灯射出来的光线可以近似地看成是射线，它有1个端点。 3．（24-25四年级上·广东河源·期中）按要求画一画。 画一条射线AB。 【答案】见详解 【分析】射线有一个端点可以无限延长，首先画两个点，分别是A、B，然后以点A为端点，连接A、B两点，延长AB即可。 【详解】 4．（24-25四年级上·广东佛山·期中）画线段AC、画直线AB、画射线CB。 【答案】见详解 【分析】线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸。据此解答。 【详解】 二、两点间线段最短与两点间的距离 1．（25-26四年级上·广东深圳·期中）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线迹的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身。如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，利用的是（    ）。 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段有两个端点 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】经过1点可以画无数条直线，经过2点可以画一条直线。据此选择。 【详解】由分析可知，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，利用的是两点确定一条直线。 故答案为：A 2．（25-26四年级上·山西运城·阶段练习）“口袋公园”是规模较小，具有游憩功能的公共绿化场地。如图，某个修建好的“口袋公园”里有一个圆形草坪，草坪周围修了A、B两条路，一段时间后，附近的居民建议在圆形草坪内部修建一条鹅卵石路C，居民提出该建议依据的原理是( )。 【答案】两点间线段的距离最短 【分析】两点间线段的距离最短，而C正好是连接两个路口的线段。 【详解】居民提出该建议依据的原理是两点间线段的距离最短。 3．（24-25四年级上·河北邯郸·期中）下图是朵朵到学校的3条路线，她去学校如果想用最短的时间到达，应该选路线( )，因为两点之间所有连线中，( )最短。 【答案】 ② 线段 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短；据此结合图意进行判断选择即可。 【详解】上图是朵朵到学校的3条路线，她去学校如果想用最短的时间到达，应该选路线②，因为两点之间所有连线中，线段最短。 三、相交与垂直 1．（24-25四年级上·山西晋城·期中）要把水渠中的水引到点A处浇灌农田，李伯伯设计了4条引水沟，分别是AB、AC、AD、AE（如下图），其中最短的引水沟是（    ）。 A．AB B．AC C．AE D．AD 【答案】B 【分析】直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短，判断哪条线段是垂线段即可。 【详解】A．AB不是垂线段； B．AC与水沟垂直，是垂线段； C．AE不是垂线段； D．AD不是垂线段。 即最短的引水沟是AC。 故答案为：B 2．（24-25四年级上·浙江衢州·期中）过点A画已知直线L的垂线。 【答案】见详解 【分析】用三角板的一条直角边与已知直线l重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边经过已知点A，过已知点A沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】过A点做已知直线的垂线，垂足为直角。 画图如下： 3．（25-26四年级上·广东湛江·期中）如图。 （1）请你画出从艺术楼到教学楼最近的路。 （2）请你画出从艺术楼到操场最近的路。 【答案】见详解 【分析】（1）两点之间，线段最短，据此连接两点即可； （2）过直线外一点到直线的连线中，垂线段最短；过直线外一点画已知直线的垂线的方法：三角板的一条直角边与直线重合，沿直线平移，使另一条直角边过那个点，沿另一条直角边作出一条直线就是它的垂线。 【详解】（1） （2） 四、平移与平行 1．（25-26四年级上·广东深圳·期中）奇奇把一张正方形纸连续对折两次，打开后他发现折痕的位置关系是（    ）。 A．折痕互相平行 B．折痕互相垂直 C．折痕互相重合 D．折痕可能互相平行，也可能互相垂直 【答案】D 【分析】正方形对折两次时，若两次沿同一方向对折（如均横向或纵向），折痕互相平行；若两次沿不同方向对折（如横向后纵向），折痕互相垂直。因此折痕可能平行或垂直。 【详解】由分析知：折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 故答案为：D 2．（25-26四年级上·陕西延安·期中）如图各组线中，平行的有( )，相交的有( )。（填序号） 【答案】 ④ ①②③ 【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；在同一平面内，当两条直线有交点叫相交，据此填空即可。 【详解】如图各组线中，平行的有④，相交的有①②③。 3．（24-25四年级上·福建泉州·期中）在方格纸上画出已知线段的平行线。 【答案】见详解 【分析】画已知线段的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一条线段或先让三角尺的直角边与已知线段重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条线段。 【详解】 4．（25-26四年级上·河北唐山·期中）过点A画直线L的垂线，过点B画直线L的平行线。 【答案】见详解 【分析】把直角三角尺的一条直角边与直线L重合，移动三角尺，使得点A在另一条直角边上，过点A沿着这条直角边向直线L画线，即为直线L的垂线。 把直角三角尺的一条直角边与直线L重合，移动三角尺，使得点B在另一条直角边上，将直尺与这条直角边紧靠，移动直尺，使得点B与直尺的边重合，过点B沿着直尺的边画线，即为所要画的平行线。 【详解】如图： 五、旋转与角 1．（25-26四年级上·辽宁沈阳·月考）角是由两条( )组成的图形，角的大小与它两边的( )无关。 【答案】 射线 长短 【分析】角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，角的大小只与两边张开的角度有关，与两边的长度无关，据此解答。 【详解】根据分析可知，角是由两条射线组成的图形，角的大小与它两边的长短无关。 2．（24-25四年级上·山西晋城·期中）分一分，填序号。 ( )是锐角；( )是直角；( )是钝角；( )是平角；( )是周角。 【答案】 ① ⑤ ②③ ⑥ ④ 【分析】根据角的分类可知，小于90°的角是锐角；等于90°的是直角；大于90°小于180°的是钝角；等于180°的是平角；等于360°的是周角。以此填空即可。 【详解】根据分析可知： ①是锐角；⑤是直角；②③是钝角；⑥是平角；④是周角。 3．（25-26四年级上·辽宁沈阳·期中）7时半时，时针与分针成( )角；6时，时针与分针成( )角。 【答案】 锐 平 【分析】大于0°且小于90°的角是锐角，平角是180°的角，钟表上一大格是30°，7时半时，时针指向7和8中间，分针指向6，此时时针与分针的夹角小于3大格；6时，时针指向6，分针指向12，此时时针与分针的夹角是6大格，分别计算出对应的夹角再判断是什么角即可，据此解题。 【详解】3×30°＝90° 30°×6＝180° 7时半时，时针与分针成锐角；6时，时针与分针成平角。 4．（25-26四年级上·黑龙江佳木斯·期中）105°的角比直角大( )度，比平角小( )度。 【答案】 15 75 【分析】平角为180度，直角为90度，一个角的度数与平角和直角相差多少度，就算出这个角的度数与直角、平角度数之差即可。 【详解】105°－90°＝15° 180°－105°＝75° 所以105°的角比直角大15度。比平角小75度。 六、角的大小比较 1．（24-25四年级上·广东深圳·期末）清代诗人高鼎以“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”的诗句，生动描绘了孩子们放学后放风筝的图景。下面示意图画的是四只风筝线长度均为30米的放飞的风筝，飞得最高的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】因为线的长度是固定的，所以风筝线与地面的夹角越大，风筝就越高，据此解答。 【详解】根据图示可知，丁的风筝线与地面的夹角最大，所以风筝飞得最高的是丁。 故答案为：D 2．（25-26四年级上·广东深圳·期中）一个15°的角，用放大10倍的放大镜看这个角是（    ）。 A．150° B．30° C．15° D．5° 【答案】C 【分析】角的大小由两边张开的大小决定，而与两条边的长短无关。由题意得，一个15°的角，用放大10倍的放大镜来看，这个角的两条边被放大了，但两条边张开的大小不变，所以这个角的度数不变。 【详解】由分析得，一个15°的角，用放大10倍的放大镜看这个角，这个角还是15°。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·山西吕梁·期中）观察下面这些手势比划出的角，图（    ）中的角最大，图（    ）中的角最小。 ①    ②    ③    ④ A．①② B．②① C．③② D．③④ 【答案】C 【分析】角的大小与两条边的张口有关，与边的长短无关，张口越大，角越大，张口越小，角越小。锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度小于180度。①是直角，②和④是锐角，且④的张口比②大，③是钝角，所以③＞①＞④＞②，据此解答。 【详解】根据分析可知，③＞①＞④＞②。 观察下面这些手势比划出的角，图③中的角最大，图②中的角最小。 故答案为：C 七、角的度量 1．（25-26四年级上·河北唐山·期中）欢欢用破损的量角器量∠1的度数。如图，∠1的度数是（    ）。 A．80° B．70° C．90° D．30° 【答案】D 【分析】看外圈的读数，角的一边指向80°的位置，角的另一边指向110°的位置，用110°减80°即可求出这个角的度数。 【详解】110°－80°＝30° ∠1的度数是30°。 故答案为：D 2．（25-26四年级上·吉林长春·期中）量角器是把半圆平均分成了( )份，每一份所对的角都是( )°。 【答案】 180 1 【详解】 量角器是基于半圆设计的，半圆对应的角度是180°，如上图量角器的外圈把半圆平均分成了180份，180°÷180＝1°； 量角器是把半圆平均分成了180份，每一份所对的角都是1°。 3．（25-26四年级上·陕西咸阳·阶段练习）量一量，填一填。用量角器量度数。 ∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 45 90 【分析】使用量角器测量角的度数时，将量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此用量角器测量∠1和∠2的度数即可解答。 【详解】经过测量可得： ∠1＝45°，∠2＝90° 4．（25-26四年级上·广东深圳·期中）用量角器量出∠1的度数，再画一个150°的角并标出度数。 ∠1＝（    ）。 【答案】30°；作图见详解 【分析】用量角器量角的度数步骤如下：先把角的顶点和量角器的中心重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边所对应的刻度就是角的度数； 用量角器画角的步骤如下：先画角的顶点和一条边；再将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。据此解答。 【详解】∠1＝30° 八、用量角器画角 1．（25-26四年级上·黑龙江佳木斯·期中）用量角器画一个75°的角，并标出角的各部分名称。 【答案】图见详解 【分析】画出一条射线，用量角器的中心与射线的端点重合，0刻度线与射线重合，然后在量角器75°的地方点一个点，连接这个点与射线的端点就是75°的角；射线的端点是角的顶点，两条射线是角的边；据此标出角的各部分名称。 【详解】 2．（2025四年级上·全国·专题练习）画出70°、120°和90°的角。 【答案】画图见详解 【分析】根据用量角器画角的方法：先画一条射线作为角的一条边，再把量角器的中心点与射线的端点重合，把量角器的0°刻度线与这条射线重合；再从这条0°刻度线数起，找到对应度数的刻度，打上一点，连接第一条射线的端点和这一点并延长作另一条射线，再标上角的符号和度数。据此画角。 【详解】根据分析，画角如下： 3．（24-25四年级上·广东江门·期中）用已知圆点作为角的顶点，画出一个比直角多45°的角。 ● 【答案】见详解 【分析】直角是90°，画一个比直角多45°的角，就是画一个135°的角。 画角时，用给出的点画一条射线，量角器的中心与给出的射线的端点重合，0刻度线与射线重合；再在量角器上对准135°，并点上一点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度；据此画一个135°的角。 【详解】如图： 九、用三角尺画角 1．（24-25四年级上·广东茂名·期中）笑笑用一副三角尺拼出了一个角，图（    ）拼出的是150°。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一副三角尺中有两把三角尺，一把三角尺的三个角分别是90°、45°和45°，另一把三角尺的三个角分别是90°、60°和30°。由题意得，仔细分析选项中两个三角尺的角的度数，然后把两个角的度数加起来，最后看它们的和是否等于150°即可。 【详解】A．两个三角尺的度数分别为：90°，30°。90°＋30°＝120°，即两个三角形拼出的角是120°。不满足题意。 B．两个三角尺的度数分别为：90°，60°。90°＋60°＝150°，即两个三角形拼出的角是150°。满足题意。 C．两个三角尺的度数分别为：45°，30°。45°＋30°＝75°，即两个三角形拼出的角是75°。不满足题意。 D．两个三角尺的度数分别为：45°，90°。45°＋90°＝135°，即两个三角形拼出的角是135°。不满足题意。 故答案为：B 2．（25-26四年级上·四川成都·期中）下列角度中，用一副三角板不可以拼出的是（    ）。 A．75 B．110 C．150 D．180 【答案】B 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。依此计算。 【详解】A．45°＋30°＝75°，因此用一副三角板可以拼出75°的角。 B．用一副三角板不可以拼出110°的角。 C．90°＋60°＝150°，因此用一副三角板可以拼出150°的角。 D．90°＋90°＝180°，因此用一副三角板可以拼出180°的角。 故答案为：B 3．（25-26四年级上·陕西汉中·月考）用两块三角尺像下面这样拼在一起，拼成的角各是多少度？ ( )度     ( )度     ( )度     ( )度 【答案】 180 105 135 75 【分析】两种三角尺中其中一块三角尺三个角度数分别为：90°、45°、45°，另一块三角尺三个角度数分别为：90°、30°、60°； ①观察发现是由两个90°的角拼成的，用加法计算； ②观察发现是由一个60°的角和一个45°的角拼成，用加法计算； ③观察发现是由一个90°的角和一个45°的角拼成，用加法计算； ④观察发现是由一个30°的角和一个45°的角拼成，用加法计算；据此解答。 【详解】根据分析： ①90°＋90°＝180° ②60°＋45°＝105° ③90°＋45°＝135° ④30°＋45°＝75° 如图： 4．（25-26四年级上·广东深圳·阶段练习）用一副三角尺画一个150°的角，并保留作图痕迹。 【答案】作图见详解 【分析】已知一副三角板上的角的度数有90°、45°、45°和90°、60°、30°，且150°＝90°＋60°，所以可以先用三角板上的直角画一个直角，再以直角的顶点为顶点，以直角的一条边为边，在直角外面再画一个60°的角，即画出一个150°的角；据此作图。 【详解】根据分析可知： 150°＝90°＋60° 所以，作图如下： 十、角度的计算 1．（24-25四年级上·广西桂林·期中）如下图，∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 32 90 【分析】根据题意，仔细观察图，明确直角是90度，平角是180度，已知∠2是直角，就是90度，用180减去90，再减去58，就是∠1的度数，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 180°－90°－58° ＝90°－58° ＝32° 如下图，∠1＝32°，∠2＝90°。 2．（25-26四年级上·广东深圳·期中）如图，已知∠1＝28°，∠3＝135°，那么∠2＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 62 45 【分析】根据图示可知，∠1＋∠2＝90°，已知∠1＝28°，所以∠2＝90°－∠1，据此求出∠2的度数，∠3＋∠4＝180°，已知∠3＝135°，所以∠4＝180°－∠3，据此解答即可。 【详解】根据分析可知： ∠2：90°－28°＝62° ∠4：180°－135°＝45° 所以∠2＝62°，∠4＝45°。 3．（24-25四年级上·陕西咸阳·期中）如图，把一张正方形纸对折两次，打开后斜对折，再打开。图④中标出的4个角中，45°的角有( )个，∠3是( )°。 【答案】 2 135 【分析】把一张正方形纸按题中方式对折后，中心的四个角是直角，直角90°，对角线把直角平均分成两个角，每一个小角的度数是45°，∠1和∠2都只包含一个小角，∠3包含一个直角和一个小角，∠4为一个直角。 【详解】90°÷2＝45° 所以图④中标出的4个角中，∠1和∠2为45°，那么45°的角有2个。 90°＋45°＝135° 所以∠3是135°。 4．（25-26四年级上·安徽亳州·阶段练习）已知∠1和∠2组成一个平角，∠1＝75°，求∠2的度数。 【答案】105° 【分析】因为∠1和∠2组成一个平角，而平角等于180°，于是用180°－75°即可求出∠2的度数。 【详解】180°－75°＝105° 答：∠2是105°。 5．（25-26四年级上·广东湛江·期中）如图，求出∠1，∠2，∠3的度数。 【答案】∠1＝42°；∠2＝48°；∠3＝132° 【分析】此题主要考查了角的计算，观察图可知，∠1和48°角组合成一个直角，直角＝90°，用减法可以求出∠1的度数；观察图可知，∠3和48°角组合成一个平角，平角＝180°，用减法可以求出∠3的度数；观察图可知，∠2和∠3组合成一个平角，平角＝180°，用减法可以求出∠2的度数。 【详解】根据分析可知： ∠1＝90°－48°＝42° ∠3＝180°－48°＝132° ∠2＝180°－∠3＝180°－132°＝48° 真题训练 1．（24-25四年级上·安徽六安·期末）以一点为端点可以画出（    ）射线。 A．一条 B．两条 C．四条 D．无数条 【答案】D 【分析】根据射线的特点，射线是直线的一部分，只有一个端点，可以向一端无限延长，即从一点向任意方向引出的笔直的线就是一条射线，所以，以一点为端点可以画出无数条射线。据此解答。 【详解】根据分析可知： 以一点为端点可以画出无数条射线。 故答案为：D 2．（24-25四年级上·福建泉州·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身。如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）。 A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段有两个端点 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】经过1点可以画无数条直线，经过2点可以画一条直线。经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，这正好解释了数学中的两点确定一条直线。 【详解】根据分析可知：墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身。如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线。 故答案为：A 3．（24-25四年级上·浙江金华·期末）用一副三角板不能拼出的角是（    ）。 A．160° B．150° C．120° D．75° 【答案】A 【分析】一副三角尺有以下几个角度：90°，60°，45°，30°；只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角尺拼出，据此解答。 【详解】A．用一副三角尺不能拼出160°的角； B．60°＋90°＝150°，则用一副三角尺能拼出150°的角； C．30°＋90°＝120°，则用一副三角尺能拼出120°的角； D．30°＋45°＝75°，则用一副三角尺能拼出75°的角。 故答案为：A 4．（24-25四年级上·四川成都·期末）下列说法正确的有（    ）。 ①小明画了一条4厘米长的直线。 ②在一组平行线之间能画无数条与平行线互相垂直的线段。 ③在同一平面上，两条直线的位置关系有平行、垂直、相交三种。 ④平角的两条边成一条直线。 A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【答案】D 【分析】①直线没有端点，可以向两端无限延伸，是没有长度的。 ②在一组平行线中的一条直线上，任取一点向另一条直线作垂线段，能作无数条这样的垂线段。 ③同一平面内，两条直线要么相交，要么互相平行，垂线是相交的一种特殊情况。 ④1平角＝180°，此时角的两边在一条直线上。 【详解】①直线没有长度，所以这句话说法错误。 ②在一组平行线之间能画无数条与平行线互相垂直的线段，这句话说法正确。 ③在同一平面上，两条直线的位置关系有平行、相交两种，所以这句话说法错误。 ④平角的两条边成一条直线，这句话说法正确。 说法正确的有②和④。 故答案为：D 5．（24-25四年级上·四川成都·期末）从直线外一点到直线上可以画( )条线段，其中( )的长度最短。 【答案】 无数 垂线段 【分析】从直线外一点到直线上可以画无数条线段，因为直线是无限长的，从直线外一点向直线上的各个方向都可以画线段，有无数种可能，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。据此解答即可。 【详解】从直线外一点到直线上可以画无数条线段，其中垂线段的长度最短。 6．（24-25四年级上·浙江金华·期末）如果在同一平面上的两条直线永远不会相交，那么这两条直线互相( )，这两条直线之间的距离处处( )。 【答案】 平行 相等 【分析】根据平行和垂直的性质和特征可知：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条平行线中可以画无数条垂线段，这些垂直线段的长度叫做这两条平行线之间的距离；这些线段的长度都相等；据此解答即可。 【详解】据分析可得： 如果在同一平面上的两条直线永远不会相交，那么这两条直线互相平行，这两条直线之间的距离处处相等。 7．（24-25四年级上·四川成都·期末）如下图，过点A向直线L画四条线段，长度分别是4、5、6、7厘米，长度为4厘米的是线段( )。 【答案】AD/DA 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离，依此即可解答。 【详解】4厘米＜5厘米＜6厘米＜7厘米，点A到直线L的垂线段是线段AD，因此长度为4厘米的是线段AD（或DA）。 8．（24-25四年级上·四川成都·期末）∠1的顶点与量角器中心重合时，∠1的一条边与内圈130°刻度线重合，另一条边与外圈170°刻度线重合。∠1＝( )度。 【答案】120 【分析】量角器上同一刻度线上内圈度数和外圈度数和是180°，角的一条边和量角器上的外圈170°刻度线重合，也就是这条边和量角器上的内圈10°刻度线重合，另一条边和内圈130°刻度线重合，用130°减10°即为角的度数。 【详解】130°－10°＝120° 所以∠1＝120度。 9．（24-25四年级上·浙江金华·期末）两个直角可以拼成( )角，在平角中剪去一个钝角，剩下的角是( )角。 【答案】 平 锐 【分析】直角是90°，两个90°相加是180°，平角是180°；在平角中剪去一个钝角（大于90°小于180°），剩下的角小于90°，是锐角。 【详解】90°＋90°＝180°；180°－钝角＝锐角 两个直角可以拼成平角；在平角中剪去一个钝角，剩下的角是锐角。 10．（24-25四年级上·山西吕梁·期末）在2024年巴黎奥运会的体育赛事中，7月29日18：00，射击男子10米气步枪决赛，时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月3日00：00，蹦床男子预赛时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月6日21：00，跳水女子10米跳台跳水决赛，时针和分针所形成的较小角可以看作( )角。 【答案】 平 周 直 【分析】7月29日18：00时，时针指向6，分针指向12。 每小时对应的角度是：360°÷12＝30°，时针和分针的夹角为6×30°＝180°。180°的角是平角。 8月3日00：00（午夜12点整）  时针和分针均指向12，完全重合。 此时两针夹角为0°（最小角）或360°（完整圆周）。 在小学数学中，360°的角称为周角，因此填周角。 8月6日21：00时，时针指向9，分针指向12。 时针角度为3×30°＝90°。90°的角是直角。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 360°÷12＝30° 6×30°＝180° 3×30°＝90° 在2024年巴黎奥运会的体育赛事中，7月29日18：00，射击男子10米气步枪决赛，时针和分针所形成的角可以看作平角；8月3日00：00，蹦床男子预赛时针和分针所形成的角可以看作周角；8月6日21：00，跳水女子10米跳台跳水决赛，时针和分针所形成的较小角可以看作直角。 11．（24-25四年级上·广东湛江·期末）如图，∠5＝54°，∠1是直角，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 36 54 126 【分析】直角为90°，通过观察上图可知，∠1＋∠2＋∠5＝180°，所以∠2＝180°－∠1－∠5；∠2＋∠3＝90°，所以∠3＝90°－∠2；∠4＋∠5＝180°，所以∠4＝180°－∠5，据此即可解答。 【详解】根据分析： ∠2＝180°－∠1－∠5＝180－90°－54°＝90°－54°＝36° ∠3＝90°－∠2＝90°－36°＝54° ∠4＝180°－∠5＝180°－54°＝126° 12．（24-25四年级上·广东深圳·期末）按要求画一画。 （1）过点A画出直线m的垂线。 （2）过点B画出直线m的平行线。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）用直角三角尺的一条直角边和直线m重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点A重合，过A点沿直角边向直线m画直线即可。 （2）把三角尺的一条直角边和直线m重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和直线m重合的直角边和B点重合，过B点沿三角尺的直角边画直线即可。 【详解】 13．（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）如图，小猫先去小兔家，然后它们一起到河边钓鱼，请帮小猫分别设计一条最近的路线。 【答案】见详解 【分析】两点之间线段最短，所以小猫去小兔家沿着小猫到小兔家的线段走路程最短；直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，所以从小兔家到河边沿着小兔家到河边的垂线短路程最短；据此即可解答。 【详解】 14．（24-25四年级上·辽宁丹东·期末）画一个比平角小60°的角。 【答案】见详解 【分析】已知平角是180°，比平角小60°的角，即是180°－60°＝120°的角。据此画出120°的角即可。 用量角器画角的方法： （1）画一条射线，使量角器的中心与射线的端点重合，0刻度线与射线重合。 （2）在量角器上找到要画的度数，在正确度数的地方点一个点。 （3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画出另一条射线。 （4）画完后在角上标上符号，写出度数。 以此答题即可。 【详解】根据分析计算作图如下： 180°－60°＝120° 15．（23-24四年级上·黑龙江大庆·期末）利用三角板分别画一个15°和120°的角。 【答案】见详解 【分析】因一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，把它们进行组合可得到：60°－45°＝15°，90°＋30°＝120°，据此解答。 【详解】（1）15°角如下图：    （2）120°角如下图：    试卷第1页，共3页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $