期末复习讲义：专题02 分数混合运算（考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练）-2025-2026学年六年级上册数学北师大版

该小学数学期末复习讲义围绕分数混合运算，通过考点梳理系统构建知识体系，涵盖运算顺序、简便运算、实际应用、常见错误及例题思路解析，以清晰框架呈现重难点分布与内在联系，帮助学生把握知识脉络。 讲义亮点在于例题讲解注重方法指导，如用线段图法培养几何直观，简便运算题强化运算能力，结合真题训练设计分层练习。通过典型应用题引导建立模型意识，助力不同层次学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

期末复习讲义：专题02 分数混合运算 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、分数混合运算的顺序 1.核心规则： 分数混合运算的运算顺序与整数混合运算顺序完全相同。 2.具体顺序： （1）同级运算：从左往右依次计算。 （2）不同级运算：先算乘除，后算加减。 （3）有括号：先算括号里面的，再算括号外面的。 考点二、分数乘除法的简便运算 1.乘法交换律和结合律： （1）a × b = b × a （2）(a × b) × c = a × (b × c) （3）应用：改变运算顺序使计算简便，特别是能约分时优先约分。 2.乘法分配律： （1）(a + b) × c = a × c + b × c （2）a × c + b × c = (a + b) × c （3）(a - b) × c = a × c - b × c （4）应用：用于含加、减法与乘法混合的算式，能有效简化计算。 3.除法性质： （1）a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) （连续除以两个数等于除以这两个数的积） （2）应用：将连续除法转化为除以一个数，有时可简化运算。 考点三、分数混合运算的实际应用（解决问题） 1.解题关键： 正确理解题意，找出单位“1”，分析数量关系。 2.常见类型： （1）连续求一个数的几分之几是多少。 （2）求比一个数多（少）几分之几的数是多少。 （3）已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 （4）总量和部分量关系。 3.解题步骤： （1）审题，找出关键信息。 （2）画线段图帮助理解（尤其推荐）。 （3）确定单位“1”，分析数量关系。 （4）列出综合算式或方程。 （5）计算求解。 （6）检验结果是否符合题意。 考点四、运算中的常见错误及注意事项 1.运算顺序错误： 未按正确顺序（先乘除后加减、先括号内后括号外）计算。 2.简便方法应用不当： 错误套用运算律，特别是乘法分配律 (a × (b + c) ≠ a × b + c)。 3.通分、约分错误： （1）加减法时未通分或通分错误。 （2）乘除法中约分不完全或约分错误。 4.抄错数字或符号： 计算过程中看错、写错数字或运算符号。 5.结果未化简： 计算结果未约成最简分数。 考点五、典型例题思路解析 1.简便计算题： 观察算式特点（数字、运算符号、括号），优先考虑能否运用运算律（交换、结合、分配）或性质（除法）进行简便计算。注意有时需要先拆数或转化。 2.应用题： （1）线段图法： 对于涉及“多几分之几”、“少几分之几”、“已知部分求整体”等问题，画线段图是理清数量关系的有效工具。 （2）找单位“1”： 明确题目中把哪个量看作整体（单位“1”），这是解题的基础。 （3）列综合算式： 在理解数量关系的基础上，尝试列出综合算式，体现解题思路。 （4）方程辅助： 对于逆向思维的问题（已知一个数的几分之几是多少，求这个数），设未知数列方程有时更直观。 例题讲解 一、分数的乘、除法的混合运算 【例题1】（25-26六年级上·山西运城·期中）计算下面各题。                            【答案】；； 【分析】，按照运算顺序，从左往右依次计算，即可解答； ，除以一个分数等于乘它的倒数，把原式写成，再按照运算顺序，从左往右依次计算，即可解答； ，除以一个分数等于乘它的倒数，按照运算顺序，从左往右依次计算，即可解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【例题2】（25-26六年级上·广东惠州·期中）合唱队有40人，舞蹈队的人数是合唱队的，美术组的人数是舞蹈队的，美术组有多少人？ 【答案】 16人 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。先用40乘计算出舞蹈队的人数；再用舞蹈队的人数乘即可计算美术组的人数。 【详解】 ＝ ＝16（人） 答：美术组有16人。 【例题3】（25-26六年级上·陕西西安·期中）王老师做事认真有规律，她每天睡觉前都会查看自己当天手机使用时间的分类统计。上周星期六，社交时间是32分钟，占当天手机使用总时间的，阅读占当天手机使用总时间的。王老师当天用手机阅读的时间是多少分钟？ 【答案】48分钟 【分析】已知社交时间是32分钟，占当天手机使用总时间的，则把当天手机使用时间看作单位“1”，根据分数除法的意义，用社交时间除以，即可求出当天手机使用总时间；又已知阅读占当天手机使用总时间的，根据分数乘法的意义，则用当天手机使用总时间乘，即可求出阅读时间。 【详解】 （分） 答：王老师当天用手机阅读的时间是48分钟。 二、整数乘法运算定律推广到分数乘法 【例题1】（25-26六年级上·广东湛江·期中）能简算的要简算。                           【答案】68；； 【分析】66 ×（＋），根据乘法分配律，原式化为：66×＋66×，再进行计算。 87×，把87化为86＋1，原式化为：（86＋1）×，再根据乘法分配律，原式化为：86×＋1×，再进行计算。 ×－÷，把除法换算成乘法，原式化为：×－×，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：（－）×，再进行计算。 【详解】66 ×（＋） ＝66×＋66× ＝24＋44 ＝68 87× ＝（86＋1）× ＝86×＋1× ＝3＋ ＝ ×－÷ ＝×－× ＝（－）× ＝× ＝ 【例题2】（25-26六年级上·陕西汉中·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。            【答案】12；； 【分析】，从左往右计算，除以一个数等于乘这个数的倒数； ，根据乘法分配律，分别与小括号里的数相乘，再相减； ，将除法改写成乘法，逆用乘法分配律，先算，再与相乘。 【详解】 【例题3】（24-25六年级上·辽宁沈阳·期末）脱式计算，能简算的要简算。 （1）             （2）      （3） （4）               （5）           （6） 【答案】（1）；（2）26；（3） （4）8；（5）；（6） 【分析】（1）根据乘法分配律，把式子转换成×（＋）计算； （2）根据乘法分配律，把式子转换成×21＋×21计算； （3）根据运算顺序，先算乘法，再算减法； （4）根据运算顺序，先算除法，再算乘法； （5）把26看作（25＋1），再根据乘法分配律，把式子转换成25×＋计算； （6）根据除以一个不为0的数等于乘它的倒数，把式子转换成，再根据乘法分配律，把式子转换成×（9＋）计算。 【详解】（1） ＝×（＋） ＝×1 ＝ （2） ＝×21＋×21 ＝18＋8 ＝26 （3） ＝－ ＝－ ＝ （4） ＝ ＝×14 ＝8 （5） ＝（25＋1）× ＝25×＋ ＝24＋ ＝ （6） ＝ ＝×（9＋） ＝× ＝ 三、解分数方程 【例题1】（25-26六年级上·广东深圳·月考）解方程。                      【答案】；； 【分析】，根据等式的性质1和2，两边同时加15，再同时除以计算即可。 ，根据等式的性质1和2，两边同时加24，再同时除以计算即可。 ，根据等式的性质1和2，两边同时加，再同时除以计算即可。 【详解】 解： 解： 解： 【例题2】（25-26六年级上·陕西渭南·期中）解方程。 （1）            （2）        （3） 【答案】（1）x＝；（2）x＝；（3）x＝ 【分析】（1）根据等式的基本性质，等式左右两边同时除以6，即可求解； （2）根据等式的基本性质，等式左右两边同时乘5，即可求解； （3）根据等式的基本性质，等式左右两边先同时乘，接着等式左右两边同时除以，即可求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【例题3】（25-26六年级上·安徽淮北·期中）解下列方程。                                  【答案】；； 【分析】（1）根据等式的性质2，等式两边同时乘即可得解； （2）先化简等式左边的式子，变等式为：，再根据等式的性质2，等式两边同时乘即可得解； （3）根据等式的性质2，等式两边先同时乘，再同时乘即可得解。 【详解】 解： 解： 解： 四、求比一个数多/少几分之几的数是多少 【例题1】（25-26六年级上·陕西西安·期中）自动驾驶汽车又叫无人驾驶汽车，是通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。无人驾驶的刹车反应距离在4G网络下为1.4米，在5G网络下无人驾驶的刹车反应距离比4G网络下减少了。在5G网络下无人驾驶刹车的反应距离是多少米？ 【答案】0.028米 【分析】已知无人驾驶的刹车反应距离在5G网络下无人驾驶的刹车反应距离比4G网络下减少了，把在4G网络下无人驾驶刹车的反应距离看作单位“1”，则在5G网络下无人驾驶刹车的反应距离是4G的（1－），单位“1”已知，用在4G网络下无人驾驶刹车的反应距离乘（1－），求出在5G网络下无人驾驶刹车的反应距离。 【详解】1.4×（1－） ＝1.4× ＝1.4×0.02 ＝0.028（米） 答：在5G网络下无人驾驶刹车的反应距离是0.028米。 【例题2】（25-26六年级上·陕西西安·期中）据统计，到2023年底，我国的高铁营业里程为45000千米，到2024年底我国的高铁营业里程比2023年增加了。2024年底我国的高铁营业里程是多少千米？ 【答案】48000千米 【分析】将2023年底我国的高铁营业里程看作单位“1”，2024年底我国的高铁营业里程是2023年的（1＋），2023年底我国的高铁营业里程×2024年对应分率＝2024年底我国的高铁营业里程。 【详解】45000×（1＋） ＝45000× ＝48000（千米） 答：2024年底我国的高铁营业里程是48000千米。 【例题3】（25-26六年级上·陕西西安·月考）阳光小区去年安装智能充电桩的家庭有120户，今年比去年多。阳光小区今年安装智能充电桩的家庭有多少户？解决这个问题时，笑笑和淘气画图进行了分析。 笑笑： 淘气： （1）笑笑和淘气画的对吗？请写出你的理由。 （2）画出你的线段图，再列式解决这个问题。 【答案】（1）不对；理由见详解 （2）图见详解；150户 【分析】（1）笑笑：上面的线段表示去年安装智能充电桩有120户，下面的线段表示今年安装智能充电桩的户数，把今年的看作单位“1”，平均分成4份，去年有5份，比今年的多了，表示去年安装智能充电桩的有120户，比今年多了。 淘气：上面的线段表示去年安装智能充电桩有120户，下面的线段表示今年安装智能充电桩的户数，把去年的看作单位“1”，平均分成3份，今年有4份，今年比去年多了，表示去年安装智能充电桩的有120户，今年比去年多了。 （2）上面的线段表示去年安装智能充电桩的有120户，下面的线段表示今年安装智能充电桩的户数，把去年的看作单位“1”，平均分成4份，今年就有5份，今年比去年的多了；今年的户数是去年的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算可知，120乘（1＋）等于今年的户数，据此即可解答。 【详解】（1）笑笑和淘气画的图都不对。笑笑画的图表示去年安装智能充电桩的有120户，比今年多了，与题意不符，画法错误。淘气画的图表示去年安装智能充电桩的有120户，今年比去年多了，与题意不符，画法错误。 （2） 120×（1＋） ＝120× ＝150（户） 答：阳光小区今年安装智能充电桩的家庭有150户。 五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【例题1】（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）小红和小华参加口算比赛，两人10分钟内共做了460道题，小红做的题数是小华的，小华10分钟内做了( )道口算题。 【答案】220 【分析】将小华做的题数看作单位“1”，总题数是小华做的题数的（1＋），总题数÷对应分率＝小华做的题数，据此列式计算。 【详解】460÷（1＋） ＝460÷ ＝460× ＝220（道） 小华10分钟内做了220道口算题。 【例题2】（25-26六年级上·福建泉州·期中）科学课上，同学们测试了多种纸桥的承重力。第二种纸桥可承受的质量比第三种纸桥多，第二种纸桥可承受多重的质量？ 【答案】320克 【分析】根据题意，把第二种纸桥承受的质量看作单位“1”，第一种纸桥可承受的质量比第二种纸桥可承受的质量少，第一种纸桥承受的质量是第二种的（1），对应的是240克，用240÷（1），即可求出第二种的纸桥可承受多重的质量，据此解答。 【详解】240÷（1） ＝240 ＝240× ＝320（克） 答：第二种纸桥可承受320克重的质量。 【例题3】（24-25六年级上·安徽亳州·期中）育才小学六年级有学生752人，比五年级少。五年级有多少人？ （1）请画图表示五年级与六年级人数之间的关系。 （2）列方程解答。 【答案】（1）图见详解 （2）940人 【分析】（1）把五年级学生人数看作单位“1”，六年级比五年级少，那么六年级人数是五年级的（）。画线段图时，用一条线段表示五年级的学生人数，把这条线段平均分成5份，每一份是。六年级比五年级少，相当于少一份，所以六年级画4份。 （2）把五年级学生人数看作单位“1”。根据单位“1”的量×对应分率＝对应量列方程解决。把五年级学生人数设为x人，等量关系：五年级学生人数×（）＝六年级学生人数。 【详解】（1）画图如下 （2）解：设五年级有x人。 答：五年级有940人。 考点练习 一、分数的乘、除法的混合运算 1．（25-26六年级上·辽宁朝阳·期中）成人体内血液的质量约占体重的，血液中约含的水。周叔叔的体重是69kg，他的血液中约含多少千克的水？求的是( )；求的是( )。求的是( )。 【答案】 周叔叔体内的血液质量 水占体重的几分之几 周叔叔体内血液中水的质量 【分析】算式，其中69是周叔叔的体重，是成人体内血液的质量约占体重的分率；根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可知的意思是求69kg的是多少kg，也就是求周叔叔体内的血液质量； 算式，其中是成人体内血液的质量约占体重的分率，是血液中水占血液质量的分率；根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可知是求的是多少，也就是求水占体重的几分之几； 算式，其中69是周叔叔的体重，是水占体重的分率；根据分数乘法的意义可知，是求周叔叔体内血液中水的质量。 【详解】求的是（周叔叔体内的血液质量）；求的是（水占体重的几分之几）。求的是（周叔叔体内血液中水的质量）。 2．（25-26六年级上·陕西咸阳·月考）脱式计算。                                         【答案】；；； 【分析】，从左到右依次计算。 ，从左到右依次计算。 ，先算除法，再算乘法。 ，从左到右依次计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 3．（25-26六年级上·陕西西安·期中）看图列式并计算。 【答案】（米/分） 【分析】汽车的速度是1200米/分，摩托车的速度是汽车的，自行车的速度是摩托车的，求自行车的速度是多少。先把汽车的速度看作单位“1”，用汽车的速度乘，就是摩托车的速度，再把摩托车的速度看作单位“1”，用摩托车的速度乘，就是自行车的速度；据此解答。 【详解】 ＝ ＝250（米/分） 所以自行车的速度是250米/分。 4．（25-26六年级上·辽宁朝阳·期中）看图列式计算。 【答案】112÷÷＝160（人） 【分析】先把五年级的人数看作单位“1”，四年级的人数是五年级的，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，则五年级的人数＝四年级的人数÷，再把六年级的人数看作单位“1”，五年级的人数是六年级的，则六年级的人数＝五年级的人数÷，即六年级的人数＝四年级的人数÷÷，据此解答。 【详解】112÷÷ ＝112×× ＝140× ＝160（人） 所以，六年级有160人。 5．（25-26六年级上·广东深圳·期中）《论语·为政》中有年龄代称，耳顺之年是指60岁，知命之年所指年龄是耳顺之年所指年龄的，弱冠之年所指年龄是知命之年所指年龄的，弱冠之年是指多少岁？ 【答案】20岁 【分析】把耳顺之年所指年龄看作单位“1”，知命之年所指年龄是耳顺之年所指年龄的，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”代入数据计算，即可求出知命之年所指的年龄；然后把知命之年所指年龄看作单位“1”，弱冠之年所指年龄是知命之年所指年龄的，同理用乘法代入数据计算，即可求出弱冠之年所指的年龄。据此解答。 【详解】 ＝20（岁） 答：弱冠之年是指20岁。 6．（24-25六年级上·四川成都·期末）学校图书馆有故事书800本，占总书本数的，科技书占总书本数的，科技书有多少本？ 【答案】900本 【分析】故事书800本，占总书本数的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，要用除法。用800除以得出总书本数，科技书占总书本数的，用总数本书乘即可得出科技书有多少本。 【详解】 （本） 答：科技书有900本。 二、整数乘法运算定律推广到分数乘法 1．（25-26六年级上·广东深圳·期中）递等式计算，能简便运算的就简便运算。 【答案】；3； 【分析】（1）按照运算顺序，先算乘法，再算除法（除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数）； （2）根据乘法分配律a×（b－c）＝a×b－a×c得，分别相乘，再相减； （3）按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ 2．（25-26六年级上·陕西渭南·期中）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）        （2）        （3） 【答案】17；； 【分析】（1）根据乘法分配律把算式展开，再进行简便运算。 （2）先把除法转化为乘法（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数），再按从左到右的顺序计算。 （3）根据乘法分配律，提取公因数后，进行简便计算。 【详解】（1） ＝17 （2） （3） 3．（25-26六年级上·安徽亳州·期中）下面各题，怎样算简便就怎样算。                                                          【答案】；4；1； 36；；18 【分析】（1）分数乘法中，分数乘以分数，分子和分母可以先约分，再按照分数乘法法则进行简便运算； （2）根据四则运算规律，先算小括号里面的乘法，约分进行简算，之后再算括号外面的除法，将除法转化为乘除数的倒数，最后结果化成整数； （3）分数乘除法同级运算按照从左往右的顺序运算，先进行乘法运算，再进行除法运算，将除法转化为乘除数的倒数，再按照分数乘法法则运算； （4）根据乘法分配率：进行运算，将题目中两个式子的相同因数36提取出来，先算括号里面的分数加法，再算乘法； （5）分数乘除法同级运算按照从左往右的顺序运算，先进行乘法运算，能约分的要约分，再进行除法运算，将除法转化为乘除数的倒数，再按照分数乘法法则运算； （6）有括号的混合运算，先分别计算出两个括号内的加法。异分母加法先通分，将两个分母化成两个分母的最小公倍数，再按照同分母分数的加法法则计算；然后计算括号外的除法，将除法转化为乘除数的倒数，能约分的要约分，再按照分数乘法法则运算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 （4） ＝ ＝ ＝36 （5） ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝18 三、解分数方程 1．（24-25六年级上·辽宁沈阳·期中）解方程。                 【答案】；； 【分析】（1）先化简等式左边的式子，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可得解； （2）先化简等式左边的式子，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可得解； （3）先根据等式的性质1，等式两边同时减去87，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可得解。 【详解】 解： 解： 解： 2．（25-26六年级上·吉林长春·期中）解方程。                       【答案】；； 【分析】（1）先把等式左边合并成，再根据等式的性质，等式两边同时除以，据此解方程。 （2）根据等式的性质，等式两边先减去，再两边同时除以，据此解方程。 （3）根据等式的性质，等式的两边同时乘，再两边同时除以，据此解方程。 【详解】（1）   解：            （2）    解：        （3） 解： 3．（24-25六年级上·广东茂名·期中）解方程。                     【答案】；； ； 【分析】（1）先根据乘法分配律整理方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以求解； （2）先计算，再依据等式的性质，方程两边同时乘求解； （3）依据等式的性质，方程两边同时加上，再减去，最后同时除以求解； （4）依据等式的性质，方程两边同时乘，再同时除以求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 四、求比一个数多/少几分之几的数是多少 1．（25-26六年级上·广东深圳·月考）一件上衣原价100元，降价，现价（    ）元。 A．90 B．99 C．100 D．110 【答案】A 【分析】上衣原价100元，降价，把原价看作单位“1”，则现价是原价的（1－），然后用100乘（1－）计算即可。 【详解】把原价看作单位“1”。 100×（1－） ＝100× ＝90（元） 上衣现价是90元。 故答案为：A 2．（25-26六年级上·广东清远·期中）看图列式计算。 【答案】240千克 【分析】香蕉的质量是320千克，由图可知苹果比香蕉少，也就是说苹果是香蕉的，即苹果的质量是320的，用320乘即可。 【详解】320×（1－） ＝320× ＝240（千克） 3．（25-26六年级上·四川成都·期中）一个垃圾处理厂上周收到240吨生活垃圾，本周收到的生活垃圾比上周多。这个垃圾处理厂本周收到的生活垃圾有多少吨？ 【答案】300吨 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。本周收到的生活垃圾比上周多，上周收到的生活垃圾是单位“1”，则本周收到的生活垃圾＝上周收到的生活垃圾×。据此解答。 【详解】 （吨） 答：这个垃圾处理厂本周收到的生活垃圾有300吨。 4．（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）华山作为中国著名的五岳之一，以其险峻著称于世，被誉为“奇险天下第一山”。从西安去华山可以乘坐C182或G1712次列车。某天C182列车的运行时间约是102分，G1712的运行时间比C182列车的运行时间少，G1712的运行时间约是多少分？ 【答案】28分 【分析】分析题目，把C182列车的运行时间看作单位“1”，则G1712的运行时间是（1－），根据求一个数的几分之几是多少用乘法列式计算即可。 【详解】102×（1－） ＝102× ＝28（分） 答：G1712的运行时间约是28分。 5．（25-26六年级上·广东茂名·期中）某儿童乐园在“六一”儿童节开园了。第一天的门票收入是840元，第二天的门票收入比第一天增加了，第二天的门票收入是多少元？（请画线段图表示数量关系，再解答） 【答案】线段图见详解；980元 【分析】把该儿童乐园第一天的门票收入看作单位“1”，第二天的门票收入比第一天增加了，把单位“1”平均分成6份，第二天的门票收入占（6＋1）份，由此画出线段图并标出已知条件和所求问题；第二天的门票收入＝第一天的门票收入×（1＋），据此解答。 【详解】分析可知： 840×（1＋） ＝840× ＝980（元） 答：第二天的门票收入是980元。 五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 1．（25-26六年级上·吉林长春·期中）我国民航部门规定：儿童（2－12周岁）乘坐国际航班的票价比成人低。从北京飞往巴黎的航班儿童票价是2250元，成人票价是( )元。 【答案】3000 【分析】根据题意，将国际航班的成人票的价格看作单位“1”，国际航班的儿童票价比成人票价低，即儿童票价是成人票价的； 已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决，已知儿童票价为2250元，求成人票价，需用儿童票价除以对应的分率。 【详解】 （元） 即成人票价是3000元。 2．（25-26六年级上·陕西延安·期中）看图列式并计算。 【答案】140÷（1－）＝175（本） 【分析】根据题意，文艺书的本数比科技书少，把科技书的本数看作单位“1”，则文艺书的本数相当于科技书的（1－），已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，用文艺书本数÷（1－），即可解答。 【详解】140÷（1－） ＝140÷ ＝140× ＝175（本） 所以科技书有175本。 3．（25-26六年级上·广东惠州·期中）六（1）班有学生40人，比六（2）班人数多，六（2）班有学生多少人？ 【答案】32人 【分析】把六（2）班人数看作单位“1”，那么六（1）班人数就是六（2）班人数的；根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”用40除以即可计算六（2）班学生人数。 【详解】 ＝ ＝ ＝32（人） 答：六（2）班有学生32人。 4．（25-26六年级上·福建泉州·期中）2024年，某教育科技公司推出了一款虚拟现实（VR）学习平台“MetaLearn”。2025年该平台注册用户数达到480万，比2024年多。2024年该平台注册用户数是多少？（列方程解答） 【答案】300万 【分析】把2024年该平台的注册用户数看作单位“1”，2025年比2024年多，即2025年是2024年的；设2024年该平台注册用户数是万，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”列出等量关系式：2024年该平台的注册用户数×＝2025年该平台注册用户数，代入数值列出方程解答即可。 【详解】解：设2024年该平台注册用户数是万。 ＝480 ＝480 ＝ ＝ ＝300 答：2024年该平台注册用户数是300万。 5．（25-26六年级上·辽宁丹东·期中）四号干线通车后，万达广场到金山镇的车程仅需30分钟，比原来的车程节省了，原来的车程是多少分钟？（用方程解） 【答案】120分钟 【分析】设原来的车程是分钟，将原来的车程看作单位“1”，则现在车程对应的分率为；求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；用原来的车程分钟乘对应分率等于现在的车程30分钟，由此即可列方程并解方程。 【详解】解：设原来的车程是x分钟。 答：原来的车程是120分钟。 真题训练 1．（23-24六年级上·四川成都·期末）某小区今年拥有电脑的家庭有1200户，比去年增加了。小区去年拥有电脑的家庭有多少户？正确的列式为（    ）。 A． B．1200×（1－） C． D．1200÷（1－） 【答案】C 【分析】把该小区去年有电脑的户数看作单位“1”，比去年增加了，也就是今年有电脑的户数相当于去年的（1＋），已知一个数的几分之几是多少，用除法解答，据此解答。 【详解】1200÷（1＋） ＝1200÷ ＝1200× ＝960（户） 所以小区去年拥有电脑的家庭有960户。 故答案为：C 2．（2024·陕西咸阳·小升初真题）蛇冬眠的时间大约是180天，熊冬眠的时间是蛇的，是青蛙的，青蛙冬眠的时间大约是（　　）天。 A．216 B．150 C．120 D．96 【答案】B 【分析】将蛇冬眠的时间看成单位“1”，熊的冬眠时间蛇的，根据分数乘法的意义，用180×列式求出熊冬眠时间，再把青蛙冬眠的时间看作单位“1”，单位“1”未知，用蛇冬眠的时间除以即可求出青蛙冬眠的时间。 【详解】180×÷ ＝120÷ ＝120× ＝150（天） 所以青蛙冬眠的时间大约是150天。 故答案为：B 3．（24-25六年级上·福建南平·期末）大熊猫是我国特有的珍稀动物。2003年全国野生大熊猫总数量为1600只，2022年全国野生大熊猫数量比2003年增加了。2022年全国野生大熊猫约有多少只？三位同学运用画图的方法来表示题目的意思，其中正确的是（    ）。 A．淘气和奇思 B．奇思和笑笑 C．淘气和笑笑 D．淘气、奇思和笑笑 【答案】C 【分析】根据题意可知，把2003年大熊猫的数量看作单位“1”，2022年全国野生大熊猫数量比2003年增加了，把2003年大熊猫的数量平均分成5份，2022年大熊猫的数量比2003年多其中的一份，2022年全国野生大熊猫数量为2003年数量的（1＋），据此逐项分析，进行解答。 【详解】 奇思：，奇思把2003年大熊猫的数量看作单位“1”，平均分成4份，所以2022年大熊猫的数量是2003年的（1＋），不是，方法错误。 淘气：，淘气把2003年大熊猫的数量看作单位“1”，平均分成5份，所以2022年大熊猫的数量是2003年的（1＋），方法正确。 笑笑：，笑笑把2003年大熊猫的数量看作单位“1”，平均分成5份，2022年大熊猫的数量是2003年的（1＋），方法正确。 三位同学运用画图的方法来表示题目的意思，其中正确的是淘气和笑笑。 故答案为：C 4．（24-25六年级上·吉林长春·期末）计算时，应先算( )法，再算( )法，结果是( )。 【答案】 乘 加 42 【分析】分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序相同。没有括号时，只有乘除或只有加减，就从左到右依次计算；既有乘除又有加减，先算乘除，后算加减。有括号时，先算括号里面的，括号里也是先乘除后加减。 【详解】 ＝ ＝ 即计算时，应先算乘法，再算加法，结果是42。 5．（24-25六年级上·广东深圳·期中）十一黄金周，游乐场第一天的门票收入为1260元，第二天比第一天增加了。第二天的门票收入是( )元。 【答案】1470 【分析】把游乐场第一天的门票收入看作单位“1”，则第二天的门票收入是第一天的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用1260×（1＋）列式解答。 【详解】1260×（1＋） ＝1260× ＝1470（元） 所以第二天的门票收入是1470元。 6．（24-25六年级上·四川成都·期末）2024年5月1日，我国第三艘航空母舰福建舰开展首次航行试验。福建舰满载排水量约8万吨，比中国第一艘航空母舰辽宁舰满载排水量多，辽宁舰的满载排水量约为( )万吨。 【答案】6.75/ 【分析】根据题意，把辽宁舰的满载排水量看作单位“1”，那么福建舰的满载排水量是辽宁舰的（1＋），单位“1”未知，用除法求得，即列式为：8÷（1＋），计算出答案即可。 【详解】8÷（1＋） ＝8÷ ＝8× ＝ ＝6.75（万吨） 因此，福建舰满载排水量约8万吨，比中国第一艘航空母舰辽宁舰满载排水量多，辽宁舰的满载排水量约为6.75（或）万吨。 7．（24-25六年级上·四川成都·期末）脱式计算，能简算的要简算。                                                            【答案】；；； ；； 【分析】（1）乘除混合，先转除法为乘法，再约分计算。 （2）21是3和7的公倍数，用乘法分配律简算。 （3）根据先乘除后加减的顺序进行计算。 （4）两项都有，用乘法分配律逆运算简算。 （5）先算小括号内的减法，再算乘法。 （6）先算小括号，再算中括号，最后算括号外的除法。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 8．（24-25六年级上·陕西宝鸡·期末）解方程。             【答案】； 【分析】（1）先计算等式左边的减法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解； （2）先计算等式右边的乘法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时乘，计算即可得解。 【详解】 解： 解： 9．（24-25六年级上·陕西延安·期末）看图列式计算。 【答案】720件 【分析】根据题意，把10月的件数看作单位“1”，则11月的件数是10月的（1＋），已知10月有600件，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用600乘（1＋）即可求出11月的件数。 【详解】600×（1＋） ＝600× ＝720（件） 则11月有720件。 10．（24-25六年级上·安徽安庆·期末）一堆货物共有480吨，第一天运走它的，第二天运走第一天的，第二天运走货物多少吨？ 【答案】64吨 【分析】已知货物总质量为480吨，第一天运走它的，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，可得第一天运走的货物质量为：（480×）吨。第二天运走第一天的，第一天运走（480×）吨，所以第二天运走的货物质量为（480××）吨。 【详解】480×× ＝80× ＝64（吨） 答：第二天运走货物64吨。 11．（23-24六年级上·安徽淮南·期末）为净化空气，某宾馆负责人决定在室内、外摆放一些多肉、绿萝和万年青三种植物。多肉植物品种多样又容易养殖，他打算购买56盆多肉植物，万年青的盆数是多肉盆数的，是绿萝盆数的。他打算买多少盆绿萝呢？ 【答案】32盆 【分析】已知打算购买56盆多肉植物，万年青的盆数是多肉盆数的，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，可得万年青的盆数；因为万年青的盆数是绿萝盆数的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，所以再除以，即可计算出购买绿萝的盆数。 【详解】56×÷ ＝24÷ ＝24× ＝32（盆） 答：他打算买32盆绿萝。 12．（24-25六年级上·安徽安庆·期末）某小学六年级有学生300人，五年级学生比六年级学生少，五年级有学生多少人？ 【答案】250人 【分析】已知五年级学生比六年级学生少，把六年级学生人数看作单位“1”，则五年级学生人数占六年级学生人数的比例为（1－）。六年级有学生300人，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，可得五年级学生人数为300×（1－）人。 【详解】把六年级学生人数看作单位“1”。 300×（1－） ＝300× ＝250（人） 答：五年级有学生250人。 13．（24-25六年级上·广东深圳·期末）某电器商店今年下半年销售了1500台电脑，比今年上半年减少了，今年上半年销售了多少台电脑？ 【答案】2000台 【分析】把今年上半年销售台数看作单位“1”，则下半年销售的台数是上半年的（1－），已知下半年销售了1500台电脑，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用1500除以（1－），即可求出今年上半年销售了多少台电脑。 【详解】1500÷（1－） ＝1500÷ ＝1500× ＝2000（台） 答：今年上半年销售了2000台电脑。 14．（24-25六年级上·安徽淮南·期末）我国的长江是世界第三大长河，全长6300千米，比世界第二长河亚马逊河仅短。亚马逊河全长多少千米？（用方程解） 【答案】6480千米 【分析】设亚马逊河全长x千米；长江比世界第二长河亚马逊河仅短，即长江全长是亚马逊河全长的（1－），用亚马逊河全长×（1－）＝长江全长，列方程：x×（1－）＝6300，解方程，即可解答。 【详解】解：设亚马逊河全长x千米。 x×（1－）＝6300 x＝6300 x＝6300÷ x＝6300× x＝6480 答：亚马逊河全长6480千米。 15．（24-25六年级上·四川成都·期末）中国重器走向太空的同时，也不断向深海进军，蛟龙号作为第一款国产深海潜水器被人们所熟知。蛟龙号载人潜水器目前已成功突破7000米，蛟龙号载人潜水器现在的潜水深度比七年前的潜水深度多了，七年前蛟龙号的潜水深度约多少米？ （1）画图表示蛟龙号目前最大潜水深度和七年前潜水深度之间的关系。 （2）写出等量关系，列方程解决问题。 【答案】（1）见详解 （2）七年前的潜水深度×＝7000；4800米 【分析】（1）蛟龙号载人潜水器现在的潜水深度比七年前的潜水深度多了；将七年前蛟龙号的潜水深度平均分成24份，取其中11份再加上七年前蛟龙号的潜水深度即为蛟龙号载人潜水器目前的潜水深度，由此即可画图。 （2）根据题意可知，蛟龙号载人潜水器现在的潜水深度比七年前的潜水深度多了，不妨设七年前蛟龙号的潜水深度约米。求比一个数多或少几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；用七年前蛟龙号的潜水深度米乘对应分率即： ； 求出即可求出七年前蛟龙号的潜水深度。 【详解】（1）画图表示蛟龙号目前最大潜水深度和七年前潜水深度之间的关系。如下图所示： （2）等量关系：七年前的潜水深度×＝7000 解：设七年前蛟龙号的潜水深度约米 答：七年前蛟龙号的潜水深度约4800米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义：专题02 分数混合运算 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 考点梳理 考点一、分数混合运算的顺序 1.核心规则： 分数混合运算的运算顺序与整数混合运算顺序完全相同。 2.具体顺序： （1）同级运算：从左往右依次计算。 （2）不同级运算：先算乘除，后算加减。 （3）有括号：先算括号里面的，再算括号外面的。 考点二、分数乘除法的简便运算 1.乘法交换律和结合律： （1）a × b = b × a （2）(a × b) × c = a × (b × c) （3）应用：改变运算顺序使计算简便，特别是能约分时优先约分。 2.乘法分配律： （1）(a + b) × c = a × c + b × c （2）a × c + b × c = (a + b) × c （3）(a - b) × c = a × c - b × c （4）应用：用于含加、减法与乘法混合的算式，能有效简化计算。 3.除法性质： （1）a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) （连续除以两个数等于除以这两个数的积） （2）应用：将连续除法转化为除以一个数，有时可简化运算。 考点三、分数混合运算的实际应用（解决问题） 1.解题关键： 正确理解题意，找出单位“1”，分析数量关系。 2.常见类型： （1）连续求一个数的几分之几是多少。 （2）求比一个数多（少）几分之几的数是多少。 （3）已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 （4）总量和部分量关系。 3.解题步骤： （1）审题，找出关键信息。 （2）画线段图帮助理解（尤其推荐）。 （3）确定单位“1”，分析数量关系。 （4）列出综合算式或方程。 （5）计算求解。 （6）检验结果是否符合题意。 考点四、运算中的常见错误及注意事项 1.运算顺序错误： 未按正确顺序（先乘除后加减、先括号内后括号外）计算。 2.简便方法应用不当： 错误套用运算律，特别是乘法分配律 (a × (b + c) ≠ a × b + c)。 3.通分、约分错误： （1）加减法时未通分或通分错误。 （2）乘除法中约分不完全或约分错误。 4.抄错数字或符号： 计算过程中看错、写错数字或运算符号。 5.结果未化简： 计算结果未约成最简分数。 考点五、典型例题思路解析 1.简便计算题： 观察算式特点（数字、运算符号、括号），优先考虑能否运用运算律（交换、结合、分配）或性质（除法）进行简便计算。注意有时需要先拆数或转化。 2.应用题： （1）线段图法： 对于涉及“多几分之几”、“少几分之几”、“已知部分求整体”等问题，画线段图是理清数量关系的有效工具。 （2）找单位“1”： 明确题目中把哪个量看作整体（单位“1”），这是解题的基础。 （3）列综合算式： 在理解数量关系的基础上，尝试列出综合算式，体现解题思路。 （4）方程辅助： 对于逆向思维的问题（已知一个数的几分之几是多少，求这个数），设未知数列方程有时更直观。 例题讲解 一、分数的乘、除法的混合运算 【例题1】（25-26六年级上·山西运城·期中）计算下面各题。                            【例题2】（25-26六年级上·广东惠州·期中）合唱队有40人，舞蹈队的人数是合唱队的，美术组的人数是舞蹈队的，美术组有多少人？ 【例题3】（25-26六年级上·陕西西安·期中）王老师做事认真有规律，她每天睡觉前都会查看自己当天手机使用时间的分类统计。上周星期六，社交时间是32分钟，占当天手机使用总时间的，阅读占当天手机使用总时间的。王老师当天用手机阅读的时间是多少分钟？ 二、整数乘法运算定律推广到分数乘法 【例题1】（25-26六年级上·广东湛江·期中）能简算的要简算。                           【例题2】（25-26六年级上·陕西汉中·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。            【例题3】（24-25六年级上·辽宁沈阳·期末）脱式计算，能简算的要简算。 （1）              （2）      （3） （4）               （5）           （6） 三、解分数方程 【例题1】（25-26六年级上·广东深圳·月考）解方程。                      【例题2】（25-26六年级上·陕西渭南·期中）解方程。 （1）            （2）        （3） 【例题3】（25-26六年级上·安徽淮北·期中）解下列方程。                                  四、求比一个数多/少几分之几的数是多少 【例题1】（25-26六年级上·陕西西安·期中）自动驾驶汽车又叫无人驾驶汽车，是通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。无人驾驶的刹车反应距离在4G网络下为1.4米，在5G网络下无人驾驶的刹车反应距离比4G网络下减少了。在5G网络下无人驾驶刹车的反应距离是多少米？ 【例题2】（25-26六年级上·陕西西安·期中）据统计，到2023年底，我国的高铁营业里程为45000千米，到2024年底我国的高铁营业里程比2023年增加了。2024年底我国的高铁营业里程是多少千米？ 【例题3】（25-26六年级上·陕西西安·月考）阳光小区去年安装智能充电桩的家庭有120户，今年比去年多。阳光小区今年安装智能充电桩的家庭有多少户？解决这个问题时，笑笑和淘气画图进行了分析。 笑笑： 淘气： （1）笑笑和淘气画的对吗？请写出你的理由。 （2）画出你的线段图，再列式解决这个问题。 五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【例题1】（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）小红和小华参加口算比赛，两人10分钟内共做了460道题，小红做的题数是小华的，小华10分钟内做了( )道口算题。 【例题2】（25-26六年级上·福建泉州·期中）科学课上，同学们测试了多种纸桥的承重力。第二种纸桥可承受的质量比第三种纸桥多，第二种纸桥可承受多重的质量？ 【例题3】（24-25六年级上·安徽亳州·期中）育才小学六年级有学生752人，比五年级少。五年级有多少人？ （1）请画图表示五年级与六年级人数之间的关系。 （2）列方程解答。 考点练习 一、分数的乘、除法的混合运算 1．（25-26六年级上·辽宁朝阳·期中）成人体内血液的质量约占体重的，血液中约含的水。周叔叔的体重是69kg，他的血液中约含多少千克的水？求的是( )；求的是( )。求的是( )。 2．（25-26六年级上·陕西咸阳·月考）脱式计算。                                         3．（25-26六年级上·陕西西安·期中）看图列式并计算。 4．（25-26六年级上·辽宁朝阳·期中）看图列式计算。 5．（25-26六年级上·广东深圳·期中）《论语·为政》中有年龄代称，耳顺之年是指60岁，知命之年所指年龄是耳顺之年所指年龄的，弱冠之年所指年龄是知命之年所指年龄的，弱冠之年是指多少岁？ 6．（24-25六年级上·四川成都·期末）学校图书馆有故事书800本，占总书本数的，科技书占总书本数的，科技书有多少本？ 二、整数乘法运算定律推广到分数乘法 1．（25-26六年级上·广东深圳·期中）递等式计算，能简便运算的就简便运算。 2．（25-26六年级上·陕西渭南·期中）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）        （2）        （3） 3．（25-26六年级上·安徽亳州·期中）下面各题，怎样算简便就怎样算。                                                          三、解分数方程 1．（24-25六年级上·辽宁沈阳·期中）解方程。                 2．（25-26六年级上·吉林长春·期中）解方程。                       3．（24-25六年级上·广东茂名·期中）解方程。                     四、求比一个数多/少几分之几的数是多少 1．（25-26六年级上·广东深圳·月考）一件上衣原价100元，降价，现价（    ）元。 A．90 B．99 C．100 D．110 2．（25-26六年级上·广东清远·期中）看图列式计算。 3．（25-26六年级上·四川成都·期中）一个垃圾处理厂上周收到240吨生活垃圾，本周收到的生活垃圾比上周多。这个垃圾处理厂本周收到的生活垃圾有多少吨？ 4．（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）华山作为中国著名的五岳之一，以其险峻著称于世，被誉为“奇险天下第一山”。从西安去华山可以乘坐C182或G1712次列车。某天C182列车的运行时间约是102分，G1712的运行时间比C182列车的运行时间少，G1712的运行时间约是多少分？ 5．（25-26六年级上·广东茂名·期中）某儿童乐园在“六一”儿童节开园了。第一天的门票收入是840元，第二天的门票收入比第一天增加了，第二天的门票收入是多少元？（请画线段图表示数量关系，再解答） 五、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 1．（25-26六年级上·吉林长春·期中）我国民航部门规定：儿童（2－12周岁）乘坐国际航班的票价比成人低。从北京飞往巴黎的航班儿童票价是2250元，成人票价是( )元。 2．（25-26六年级上·陕西延安·期中）看图列式并计算。 3．（25-26六年级上·广东惠州·期中）六（1）班有学生40人，比六（2）班人数多，六（2）班有学生多少人？ 4．（25-26六年级上·福建泉州·期中）2024年，某教育科技公司推出了一款虚拟现实（VR）学习平台“MetaLearn”。2025年该平台注册用户数达到480万，比2024年多。2024年该平台注册用户数是多少？（列方程解答） 5．（25-26六年级上·辽宁丹东·期中）四号干线通车后，万达广场到金山镇的车程仅需30分钟，比原来的车程节省了，原来的车程是多少分钟？（用方程解） 真题训练 1．（23-24六年级上·四川成都·期末）某小区今年拥有电脑的家庭有1200户，比去年增加了。小区去年拥有电脑的家庭有多少户？正确的列式为（    ）。 A． B．1200×（1－） C． D．1200÷（1－） 2．（2024·陕西咸阳·小升初真题）蛇冬眠的时间大约是180天，熊冬眠的时间是蛇的，是青蛙的，青蛙冬眠的时间大约是（　　）天。 A．216 B．150 C．120 D．96 3．（24-25六年级上·福建南平·期末）大熊猫是我国特有的珍稀动物。2003年全国野生大熊猫总数量为1600只，2022年全国野生大熊猫数量比2003年增加了。2022年全国野生大熊猫约有多少只？三位同学运用画图的方法来表示题目的意思，其中正确的是（    ）。 A．淘气和奇思 B．奇思和笑笑 C．淘气和笑笑 D．淘气、奇思和笑笑 4．（24-25六年级上·吉林长春·期末）计算时，应先算( )法，再算( )法，结果是( )。 5．（24-25六年级上·广东深圳·期中）十一黄金周，游乐场第一天的门票收入为1260元，第二天比第一天增加了。第二天的门票收入是( )元。 6．（24-25六年级上·四川成都·期末）2024年5月1日，我国第三艘航空母舰福建舰开展首次航行试验。福建舰满载排水量约8万吨，比中国第一艘航空母舰辽宁舰满载排水量多，辽宁舰的满载排水量约为( )万吨。 7．（24-25六年级上·四川成都·期末）脱式计算，能简算的要简算。                                                            8．（24-25六年级上·陕西宝鸡·期末）解方程。             9．（24-25六年级上·陕西延安·期末）看图列式计算。 10．（24-25六年级上·安徽安庆·期末）一堆货物共有480吨，第一天运走它的，第二天运走第一天的，第二天运走货物多少吨？ 11．（23-24六年级上·安徽淮南·期末）为净化空气，某宾馆负责人决定在室内、外摆放一些多肉、绿萝和万年青三种植物。多肉植物品种多样又容易养殖，他打算购买56盆多肉植物，万年青的盆数是多肉盆数的，是绿萝盆数的。他打算买多少盆绿萝呢？ 12．（24-25六年级上·安徽安庆·期末）某小学六年级有学生300人，五年级学生比六年级学生少，五年级有学生多少人？ 13．（24-25六年级上·广东深圳·期末）某电器商店今年下半年销售了1500台电脑，比今年上半年减少了，今年上半年销售了多少台电脑？ 14．（24-25六年级上·安徽淮南·期末）我国的长江是世界第三大长河，全长6300千米，比世界第二长河亚马逊河仅短。亚马逊河全长多少千米？（用方程解） 15．（24-25六年级上·四川成都·期末）中国重器走向太空的同时，也不断向深海进军，蛟龙号作为第一款国产深海潜水器被人们所熟知。蛟龙号载人潜水器目前已成功突破7000米，蛟龙号载人潜水器现在的潜水深度比七年前的潜水深度多了，七年前蛟龙号的潜水深度约多少米？ （1）画图表示蛟龙号目前最大潜水深度和七年前潜水深度之间的关系。 （2）写出等量关系，列方程解决问题。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $