精品解析：山东省威海市经济技术开发区2025-2026学年九年级上学期12月联考数学试题

**基本信息** 以生活情境（如喷泉抛物线）与文化传承（如黄金矩形）为载体，覆盖初四数学核心知识，梯度设计适配月考能力检测，体现抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二次函数、圆的切线、三视图等|第5题结合坡比与解直角三角形，考查空间观念| |填空题|6/18|抛物线平移、通径概念等|15题引入新定义“通径”，培养创新意识| |解答题|6/66|二次函数应用、圆的证明等|19题喷泉抛物线数据建模，23题黄金矩形探究，发展推理能力与应用意识|

2025-2026学年度第一学期12月质量检测 初四数学试题 一、选择题（共12题，共36分） 1. 如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，抛物线的表达式是（    ） A. y＝x2－x＋2                  B. y＝x2＋x＋2                  C. y＝－x2－x＋2                  D. y＝－x2＋x＋2 3. 二次函数的一次项系数是（ ） A. B. 6 C. D. 4. 由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　) A. (600－250)米 B. (600－250)米 C. (350＋350)米 D. 500米 6. 一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，是弦的中点，于点，若，，则的长为（ ） A. B. 1.5 C. D. 2 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为为格点．为大正方形的内切圆， 交于点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 11. 如图，，是的两条切线，A，B是切点，若，的半径为6，则图中的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，共18分） 13. 将抛物线向右平移______个单位长度后经过点． 14. 用几个小正方体指一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为______． 15. 平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=x2的通径长为______． 16. 已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为______． 17. 如图，点是正比例函数与反比例函数在第一象限内的交点，交轴于点，的面积为4，则的值是_______． 18. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 三、解答题（共6题，共66分） 19. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． （米） 0 1 2 3 4 … （米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 … 请解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． （2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米（精确到0.1）； （3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险． 20. 抛物线经过点；点是抛物线上的点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，比较的大小； （3）若直线与抛物线交于两点，（两点不重合），当时，求的取值范围． 21. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD． （1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由； （2）已知AB=40，求的半径． 22. 如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G． （1）求证：； （2）若，求劣弧的长．(结果保留) 23. 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 24. 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数，，，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）随机的取一张卡片，直接写出抽取的卡片上的数为负数的概率； （2）先随机抽取一张卡片，其上的数记为点的横坐标，然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数记为点的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点在双曲线上的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期12月质量检测 初四数学试题 一、选择题（共12题，共36分） 1. 如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接，首先由切线得到，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可． 【详解】如图所示，连接， 是的切线，切点是 在中， 圆周角与圆心角所对的弧是， ． 故选：B． 2. 如图，抛物线的表达式是（    ） A. y＝x2－x＋2                  B. y＝x2＋x＋2                  C. y＝－x2－x＋2                  D. y＝－x2＋x＋2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可． 【详解】解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， 抛物线过（-1，0），（0，2），（2，0）， 所以， 解得a=-1，b=1，c=2， 这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2． 故选D 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目． 3. 二次函数的一次项系数是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一次项系数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据定义即可得到答案． 【详解】解： 该函数的一次项系数为6 故选：B． 4. 由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，左视图为从左侧看得到的平面图，据此判断即可． 【详解】解：左视图为 故选：D 5. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　) A. (600－250)米 B. (600－250)米 C. (350＋350)米 D. 500米 【答案】B 【解析】 【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k， ∵AB=1300米， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2， 即，解得k=100． ∴AE=1200米，BE=500米． 设EC=x米， ∵∠DBF=60°，∴DF=x米． 又∵∠DAC=30°，∴AC=CD． ∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250． ∴DF=x=600﹣750． ∴CD=DF+CF=600﹣250（米）． ∴山高CD为（600﹣250）米． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；待定系数法的应用． 6. 一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由三视图得出圆柱的底面直径和高，然后根据圆柱的体积=底面积×高计算即可. 【详解】解：由三视图可知圆柱的底面直径为，高为， 底面半径为， ， 故选B． 【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线. 7. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 8. 如图，是的直径，是弦的中点，于点，若，，则的长为（ ） A. B. 1.5 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出∠GOD=90°，由等腰直角三角形OGD得到DG=2，利用垂径定理证明E为CG的中点，从而得到EF为△CDG的中位线即可得解． 【详解】解：如图，延长CE交⊙O于点G，连接OG、OD、GD， 则∠GOD=2∠DCE=2×45°=90°， ∵AB是⊙O的直径，AB=4， ∴OG=OD=2， ∴GD=2， ∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB， ∴CE=EG， ∵F是CD的中点 ∴CF=FD， ∴EF是△CGD的中位线， ∴EF=GD=×2=． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形以及三角形的中位线，解题的关键是能够正确画出辅助线． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为为格点．为大正方形的内切圆， 交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆周角定理得到∠AED=∠ABD，再由勾股定理求出BC的长，即可求出cos∠AED的值． 【详解】解：由题意可得，∠AED=∠ABD 在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得： BC= 所以cos∠AED=cos∠ABD= 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，利用锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，解题的关键是找到直角三角形，从而利用锐角三角函数，勾股定理解直角三角形 10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键．连接网格中适当的格点，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设每个小正方形的边长为1， 根据勾股定理得：，，， ， ， 在中， ， 故选：C． 11. 如图，，是的两条切线，A，B是切点，若，的半径为6，则图中的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可求，从而可求，由即可求解． 【详解】解：，是的两条切线，A，B是切点， ，， ， ， ， 弧长， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，弧长公式，掌握性质及公式是解题的关键． 12. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、反比例函系数的几何意义，作轴于，由矩形的面积得出的面积为，解直角三角形得出，证明，求出，最后根据反比例函系数的几何意义计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴于， ∵矩形的面积是6， ∴的面积为， ∵，， ∴， ∵对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 二、填空题（共6题，共18分） 13. 将抛物线向右平移______个单位长度后经过点． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律及点在抛物线上的性质，设向右平移a个单位，根据二次函数平移规律，得到新抛物线解析式，代入点建立方程求解a的值，并舍去不符合题意的解． 【详解】解：抛物线向右平移a个单位后，解析式为． 将点代入，得，即． 整理得， 解得或，即或． 由于题目要求向右平移，a的值应为正数，故舍去． 故答案为：1． 14. 用几个小正方体指一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则需要的小正方体个数最少为______． 【答案】8 【解析】 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由俯视图可得最底层有个小正方体， 由主视图可得第一列和第三列都有个正方体， 那么最少需要个正方体． 故答案为：． 【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 15. 平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=x2的通径长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以求得通径的长． 【详解】设点A的坐标为（−2a，a），点A在x轴的负半轴， 则a＝×(−2a)2， 解得，a＝0（舍去）或a＝， ∴点A的横坐标是−1，点B的横坐标是1， ∴AB＝1−（−1）＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 16. 已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式， 根据二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把代入解析式即可得出a的值，进而可得出函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 故答案为：． 17. 如图，点是正比例函数与反比例函数在第一象限内的交点，交轴于点，的面积为4，则的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】过作于，根据一次函数的性质得到，则为等腰直角三角形，所以，于是，然后根据反比例函数系数的几何意义即可得到的值． 【详解】解：过作于，如图， 正比例函数的解析式为， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 故答案为4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．也考查了等腰直角三角形的性质． 18. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E， 过点B作BC⊥OA于点C． 由勾股定理，得AO=，BO=， ∵=AB×OE=AO×BC， ∴BC= =， ∴sin∠AOB= =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法是解题的关键． 三、解答题（共6题，共66分） 19. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． （米） 0 1 2 3 4 … （米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 … 请解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． （2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米（精确到0.1）； （3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险． 【答案】（1） 如图所示，建立平面直角坐标系并画图： （2）7.0 （3）游船没有被喷泉淋到的危险 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可； （2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可； （3）把代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 根据图象设二次函数的解析式为， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（舍去）， 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米； 【小问3详解】 解：当时，， ∴游船没有被喷泉淋到的危险． 【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． 20. 抛物线经过点；点是抛物线上的点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，比较的大小； （3）若直线与抛物线交于两点，（两点不重合），当时，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为（-2，-4）； （2）当时，；当时，；当时，； （3）当MN≤5时，m的取值范围时-4<m≤2.25． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式即可； （2）将点P（2，c）代入抛物线y=+4x得c=12，当时，点P（2，12）与点Q（-6，12）关于对称轴x=-2对称，结合图象即可得出结果； （3）设直线MN与抛物线对称轴交于点P，过点N作NE⊥x轴于点E，利用抛物线的基本性质及图象得出N的纵坐标的最大值为2.25，即m的最大值为2.25，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线y=a+bx经过点A（-4，0），B（1，5）， ∴将两点代入抛物线可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y=+4x=， ∴抛物线的顶点坐标为（-2，-4）； 【小问2详解】 将点P（2，c）代入抛物线y=+4x得c=12， 当时，点P（2，12）与点Q（-6，12）关于对称轴x=-2对称， ∴， 由于抛物线开口向上， ∴当时，； 当时，； 当时，； 【小问3详解】 如图所示，设直线MN与抛物线对称轴交于点P，过点N作NE⊥x轴于点E， ∵直线y=m与抛物线y=+4x交于点M，N， ∴M，N关于抛物线对称轴x=-2对称， ∴当MN≤5时，NP≤2.5， ∴N的横坐标最大为2.5-2=0.5， 把代入抛物线得： y=2.25， ∴N的纵坐标的最大值为2.25，即m的最大值为2.25， ∵抛物线的顶点坐标为（-2，-4），且顶点为最低点，M，N不重合， ∴m>-4， ∴当MN≤5时，m的取值范围时-4<m≤2.25． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，包括待定系数法确定函数解析式，基本性质等，理解题意，采用数形结合思想求解是解题关键． 21. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD． （1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由； （2）已知AB=40，求的半径． 【答案】 （1）直线CD与圆O相切，理由如下： 如图，连接 为的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接 证明可得 从而可得答案； （2）由 设 则 再求解 再表示 再利用 列方程解方程，可得答案． 【详解】解：（1）略 （2） 设 则 （负根舍去） 的半径为： 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练应用基础知识，把知识串联起来是解题的关键． 22. 如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G． （1）求证：； （2）若，求劣弧的长．(结果保留) 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形，为的直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是正方形，为直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形 ∴ ∴的长度为． 【点睛】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 23. 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 【答案】任务1：矩形， 任务2：设， 由第一步折叠知：  ， 由第二步折叠知：  ． 在中， ， 由第三步折叠知：  ．  ，  ． 矩形的宽与长的比值为，即矩形为黄金矩形． 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得 设， 四边形，为正方形，  ，， ， ，． 设反比例函数关系式为，把代入，  ． 即点落在的函数图象上． 当时，．  点也落在的函数图象上．  点是在同一个反比例函数图象上． 若为宽，如图，则， 设， 四边形，为正方形， ，，  ． ，． 同理可得：点不在同一个反比例函数图象上． 【解析】 【分析】任务1：先证明，证明即可得到答案； 任务2：先证明，证明即可得到答案； 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得，设，可得，．设反比例函数关系式为，再进一步可得结论；若为宽，如图，则，同法可得结论． 【详解】解：任务1：黄金矩形为矩形． 理由如下： 如图， 设， 由第一步折叠知： ， 由第二步折叠知： ． 在中， ， 由第三步折叠知： ． ， ∴， ∴矩形为黄金矩形； 任务2： 略 任务3： 略 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，黄金矩形的含义，反比例函数的应用，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 24. 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数，，，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）随机的取一张卡片，直接写出抽取的卡片上的数为负数的概率； （2）先随机抽取一张卡片，其上的数记为点的横坐标，然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数记为点的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点在双曲线上的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）由概率公式即可得出结果； （）直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案； 此题考查了树状图法求概率、概率公式、反比例函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，，中有个负数， ∴抽取的卡片上数字为负数的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下， ∵共有种等可能结果，其中点在双曲线上的结果有种， ∴点在双曲线上的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $