4.1.1等差数列及其通项公式（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.1.1等差数列及其通项公式 题型一等差数列的判断 一题型二利用定义求等差数列的通项公式 题型三验证是否为等差数列的项 题型四等差数列基本量的计算 题型五等差中项 基础达标题 题型六等差中项的应用 等差数列及其通项公式 题型七等差数列性质的运用 题型八等差数列的证明 题型九等差数列的应用 ,题型十等差数列的实际应用 题型一数列的单调性与最值 能力提升题 题型二数列新定义 拓展培优题 基础达标题 题型一等差数列的判断 1.(23-24高二下.上海宝山区顾村中学.)已知数列{an}是等差数列，下面的数列中①{a2}②{an十a#1} ③{3an+1}④{|an}必为等差数列的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知数列{an}是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是() ①{a2m} ②{an+aH1} ③{3an+1} ④{|anl} A.1 B.2 C.3 D.4 3.(22-23高二下·上海天山中学期中)已知数列{a}是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是一 ①{a2zm}②{an+aH1}③{3an+1}④{|anl} 题型二利用定义求等差数列的通项公式 1.(23-24高二下.上海宝山区顾村中学)在等差数列{an}中，若a3=4,a7=16,则{an}的通项公式 为 2.(23-24高二上上海回民中学.期中)已知数列{an}满足a1=1,a+1=an十1（n∈N,n≥1)，则 an=_ 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(22-23高二下.上海青浦高级中学.期中)等差数列{an}首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为 an= 题型三验证是否为等差数列的项 1.已知等差数列-5，-9，-13，… (1)求该等差数列的第20项。 (2)试问-401是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由， 2.己知等差数列{an}和{bn}中，a1=b1=1,b3=a3十2，a5十bs=22. (1)求{an}和{bn}的通项公式： (2)证明：b1,b3,,b21均是{an}中的项，b2,b4,,b2n均不是{an}中的项 题型四等差数列基本量的计算 1.(24-25高二下.上海浦东新区·期末)已知等差数列{an}满足a2十a3=14,且a4~a2=8,则首项 a1=_, 2.(24-25高二下.上海行知中学.期中)已知等差数列{an}中，公差d>0,且a3a7=-16,4+a6=0,则 a10=-: 3.(24-25高二下.上海华东师范大学第二附属中学，期末)等差数列中已知2=2，则当+十+取到最大值 时，d=一 题型五等差中项 1.(24-25高二下.上海宝山区·期末)等差数列中，2和8的等差中项为 2.10g4与10g69的等差中项为. 3.(23-24高二上上海宝山中学3-2W2与3+2√2的等差中项为 题型六等差中项的应用 1.己知{an}是各项均为正数的等差数列，且a6十2a7十a10=20,则a7ag的最大值为() A.10 B.20 C.25 D.50 2.(24-25高二上·上海松江二中.月考)已知数列{an}是等差数列，a2a14是方程x2-14x十16=0的两个实 数根，则ag的值为() A.7 B.±7 C.4 D.±4 3.己知数列{an}满足2a+1=an十aH2(n为正整数)，且a3+ag十a13=2,则 cos(a7+ag)= 题型七等差数列性质的运用 2/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.23-24高二下.上海青浦高级中学)已知数列{1og3an}是等差数列，且 1og3a1+log2+…+log3210=10,则a5a6= 2.(22-23高二下上海七宝中学期中)已知数列{xn}满足忌=是十一，（如≥2，且x2=肴，4=，则 X6= 3.(21-22高二上·上海虹口高级中学.期末)已知函数f(x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列 {an}是等差数列，a1o11>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…f(a2o2o)+f(a2o21)的值() A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负 题型八等差数列的证明 1.(21-22高二上·上海南洋模范中学期末)已知数列{an}满足an十a+4=a+1十a+3,那么（）是等差 数列 A.{an} B.{a21} C.{a2n} D.{asn} 2.(1)在等差数列(n}中，是否n=3(n≥22)都成立？ (2)在数列{am}中，如果对于任意的正整数n(n≥2)，都有n=如，那么数列{am}一定是等差 数列吗？ 3.各项不为0的数列(n}满足an=霜(n之2，n∈N),且a2=-1, (1)求证：数列{素}为等差数列： 2)若芒≥入对任意n∈N恒成立，求实数的取值范围。 题型九等差数列的应用 1.(22-23高二下.上海金山中学期末)函数f(x)=3x+5-2x十3|，数列a1ya2…,an·,满足 at1=f(an),n>0,n∈N,若要使a1a2…,an…成等差数列，则a1的取值范围为 2.己知首项为2、公差为d的等差数列{an}满足：对任意的不相等的两个正整数i,,都存在正整数k, 使得a;十a=ak成立，则公差d的所有取值构成的集合是 3.(21-22高二上上海位育中学.期末)数列{an}中a1=15,a+1=an-2,则{an}中满足amm叶1<0的m的 值为 题型十等差数列的实际应用 1.在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列若冬至的日影长为18.5尺， 立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为一 3/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(23-24高二下.上海大学附属中学月考)在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被 除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学 史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数"问题后经秦九韶推广，得到了一个普 遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在[1,2024]的整数中，把被4除余数为1， 被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列(an}，则数列{an}的项数为 3.(21-22高二上·上海南洋模范中学期末)现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开 始，第一行依次为1,2，…，67；第二行依次为68,79，…，134；…依次把表格填满.现将此表格的数按另 一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1,2，…，31；第二列从上到下依次为32,33，…，62： …依次把表格填满若b1≤i≤31,1≤j≤67)分别表示第一次和第二次填法中第行第j列的数. (1)求a的表达式（用i,表示）： (2)若两次填写中，在同一小格里两次填写的数相同的个数为N,求N的值. B 能力提升题 题型一数列的单调性与最值 1.已知等差数列{an}的公差为d,数列{bn}满足anbn=1(neN),则"d>0"是“{bn}为递减数列 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 an+5(号EN) 2.22-23高二下云南部分名校在数列{an}中，1=1，a+1= a1(号∈N),则使an≤2023对任 意的n≤k(k∈N)恒成立的k的最大值为」 3.(21-22高二上上海建平中学.月考)已知数列an},且a1=1949,ak=2021, a;-a1∈{4，-3}(2≤i≤k,i∈Z),则正整数k的最大值和最小值之和为 题型二数列新定义 1.己知项数为m的有限数列{an}(m∈N,m≥2)是1,2,3，，m的一个排列.若 1a4≤引a2a时≤≤am1-aml,k=m+2,则所有可能的m值之和为一 2.(24-25高二下.上海七宝中学期中)已知集合M={P1P2…,Pn},n≥3，n∈N是由函数y=snx, x∈[-兀π的图像上两两不相同的点构成的点集，集合 4/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S={a=0驴。·02，i=1,2,…,n,n之23，neN},其中P(0,1、P1(--1).若集合S中的元素按照 从小到大的顺序排列能构成公差为d的等差数列，当d∈{，1}时，则符合条件的点集M的个数为一 3.若数列{是}是等差数列，则称数列{an}为调和数列若实数ab,c依次成调和数列，则称b是a和c的调 和中项， (1)求专和1的调和中项； (2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an}的通项公式. 拓展培优题 1.(23-24高二上·上海闵行（文琦）中学.期末)设{a}是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题： ①“对任意正整数n,都有an<O成立”是"{an}为严格递减数列"的充分不必要条件：②“{an}为严格递增 数列"是“存在正整数No,当n>No时，总有an>0(n∈N)"的充要条件.则说法正确的选项是() A.命题①与②均为真命题 B.命题①为真命题，命题②为假命题 C.命题①为假命题，命题②为真命题 D.命题①与②均为假命题 2.(22-23高二上·上海财经大学附属北郊高级中学.期中)1934年，东印度（今孟加拉国)学者森德拉姆发现 了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是() A.20180 B.20200 C.20220 D.20240 4710 1316 712172227 … 1017 243138 … 13223140 49 1627384960 3.(2425高二上天津静海区第一申学调研)设公差d≠0的等差数列(an}中，满足写=agg,则授的 值为 4.(24-25高二上·上海高境第一中学期中)设实数a1,a2,·,ag是公差为2的等差数列，其中a1≠0且 a3>0.若log2a3,10g2b,1og2g三数依序也成等差数列，其中b为a4,a5,a6,a7,ag其中一数，则 ag= 一·（化为最简分数） 5/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(23-24高二下.上海晋元高级中学.期末)若函数(x)=10g3xa的四个零点从小到大恰好构成等差 数列，则a=一 6.324高二上上海七宝中学已知函数f(Cx)=若项数为8的等差数列(n}公差为1，且使得 f(a1)+f(a2)+f(a3)+···+f(ag)=0,则写出一个符合条件的数列的通项公式为 6/6 4.1.1等差数列及其通项公式 题型一 等差数列的判断 1．(23-24高二下·上海宝山区顾村中学·)已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出等差数列的公差，利用等差数列定义一一判断四个数列，对于④中数列，只需举反例即可说明. 【详解】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个， 故选：C. 2．已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】设的公差为， 对于①，， 是等差数列，故①正确； 对于②，， 是等差数列，故②正确； 对于③，，是等差数列，故③正确； 对于④，若，则不是等差数列，故④错误； 故选：C． 3．(22-23高二下·上海天山中学·期中)已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是 ①   ②   ③   ④ 【答案】① ② ③ 【分析】根据等差数列的通项公式及单调性判断各项是否等差数列即可. 【详解】令的公差为，则， ，即是首项为，公差为的等差数列； ，即是首项为，公差为的等差数列； ，即是首项为，公差为的等差数列； 若，则先递减，后递增，不可能为等差数列. 故答案为：① ② ③ 题型二 利用定义求等差数列的通项公式 1．(23-24高二下·上海宝山区顾村中学·)在等差数列中，若，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据等差数列基本量的计算得公差，即可求解. 【详解】由可得公差， 故， 故答案为： 2．(23-24高二上·上海回民中学·期中)已知数列满足，（，），则 ． 【答案】 【分析】由题意得到为等差数列，公差为1，从而求出通项公式. 【详解】因为（，），故为等差数列，公差为1， 所以. 故答案为： 3．(22-23高二下·上海青浦高级中学·期中)等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为 【答案】 【分析】直接根据基本量写出等差数列通项公式 【详解】设等差数列的公差为，由题意，. 故答案为： 题型三 验证是否为等差数列的项 1．已知等差数列，，，…． (1)求该等差数列的第20项． (2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是这个等差数列的第100项. 【分析】（1）根据给定条件，求出该等差数列的通项公式即可求解作答. （2）利用（1）中通项公式，确定方程的解作答. 【详解】（1）设该等差数列为，由，，得该等差数列的公差， 因此这个等差数列的通项公式为， 所以该等差数列的第20项． （2）假设是这个等差数列中的第项，由（1）得，解得， 所以是这个等差数列的第100项. 2．已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式解得答案； （2）根据（1）的通项公式，设是数列的第k（k为正整数）项，计算得k为正整数，同理设是数列的第m（m为正整数）项，计算的，m不是正整数，从而得证； 【详解】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. （2）证明：由（1）知：，， 设是数列的第k（k为正整数）项， 则，解得，k为正整数， 则是数列的第项， ∴，，…，均是数列中的项； 设是数列的第m（m为正整数）项， 则，解得，所以m不是正整数，则不是数列中的项， ∴，，…，均不是数列中的项. 题型四 等差数列基本量的计算 1．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)已知等差数列满足，且，则首项 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式计算基本量即可. 【详解】由已知数列为等差数列， 所以， 解得， 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知等差数列中，公差，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求得，进而得公差，即可求得. 【详解】由题意，在等差数列中，， 由，解得或， 因为公差，所以，则， 所以公差，所以. 故答案为：10. 3．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)等差数列中已知，则当取到最大值时， ． 【答案】 【分析】应用等差数列通项公式结合基本不等式计算，得出取等条件即可. 【详解】设等差数列的公差为. 因为等差数列中， 所以 ， 设，所以， 当且仅当，即时，取到最小值，取最大值， 所以当取到最大值时，，所以. 故答案为：. 题型五 等差中项 1．(24-25高二下·上海宝山区·期末)等差数列中，2和8的等差中项为 . 【答案】5 【分析】由等差中项的性质即可求解. 【详解】所求为. 故答案为：5. 2．与的等差中项为 【答案】1 【分析】由等差中项的定义可得，由对数的运算性质可得的值，即可得答案． 【详解】依题意，设与的等差中项为， 则， 故，即与的等差中项为1. 故答案为：1 3．(23-24高二上·上海宝山中学·)与的等差中项为 ． 【答案】3 【分析】根据等差中项的定义求解． 【详解】与的等差中项为． 故答案为：3. 题型六 等差中项的应用 1．已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质，化简原式，得到，用基本不等式求最值. 【详解】∵，∴， 由已知，得， ∴，当且仅当时等号成立. 故选：C. 2．(24-25高二上·上海松江二中·月考)已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数之间的关系得到两根的和，再根据等差中项的概念可得到结果. 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∵是的等差中项， ∴， 故选：A. 3．已知数列满足（n为正整数），且，则 ． 【答案】/ 【分析】判断数列为等差数列，根据等差数列的性质即可求得，再根据等差数列的性质即可求得答案. 【详解】因为数列满足，故为等差数列， 则， 故， 故答案为： 题型七 等差数列性质的运用 1．(23-24高二下·上海青浦高级中学·)已知数列是等差数列，且，则 . 【答案】9 【分析】根据等差数列下标和性质，结合对数运算法则可求得结果. 【详解】由等差数列性质知：， 所以， 故答案为：9. 2．(22-23高二下·上海七宝中学·期中)已知数列满足，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据等差中项法判断数列为等差数列，进而利用等差数列的性质求解. 【详解】因为数列满足， 所以数列为等差数列， 所以，又因为，， 所以，解得， 故答案为：. 3．(21-22高二上·上海虹口高级中学·期末)已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（    ） A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为 D．可正可负 【答案】A 【分析】根据函数的性质可判断函数值正负，从而结合等差数列性质推出，进而将结合等差数列的性质即可判断答案. 【详解】因为函数是上的奇函数且是严格增函数， 所以，且当时，； 当时，． 因为数列是等差数列，，故． 再根据，所以，则， 所以． 同理可得，，， 所以 ， 故选：． 题型八 等差数列的证明 1．(21-22高二上·上海南洋模范中学·期末)已知数列满足，那么（    ）是等差数列 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件进行转化，从而求得正确答案. 【详解】由得， ∴，， 故，即有， 故数列是等差数列. 故选：D 2．（1）在等差数列中，是否都成立？ （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？ 【答案】（1）恒成立；（2）数列一定是等差数列 【分析】根据等差数列的定义验证（1）（2）结论即可. 【详解】（1）因为数列为等差数列，故当时，，所以，则恒成立； （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，则，所以 故数列一定是等差数列. 3．各项不为0的数列满足，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据递推公式得到，进而证明数列为等差数列； （2）结合（1）可得，代入对任意恒成立，利用数列的单调性即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为各项不为0的数列满足， 两边同时取倒数，可得，所以， ，，解得. 数列为等差数列，且公差为3，首项为. （2）由（1）可得，， 对任意恒成立，对任意恒成立， 令， 当时，； 当时，； 当时，单调递增，, 所以， 实数的取值范围为. 题型九 等差数列的应用 1．(22-23高二下·上海金山中学·期末)函数，数列，满足，，若要使成等差数列，则的取值范围为 【答案】 【分析】由绝对值的意义可得的分段函数式，根据为等差数列，对分，，进行讨论，结合函数解析式和等差数列的性质，即可得到结论． 【详解】，因为为等差数列， (1)若，此时， 满足条件. (2)若，则 ①若，则， 由，得，解得，不合题意. ②若，则 由，得解得：，不合题意； (3)若，， ①若，则 由，得解得：，不合题意. ②若，则， 由，得解得：，符合题意， 此时，，，， ，符合题意. 综上，的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的增减性，解答本题的关键是分类讨论思想的准确应用，属于难题. 2．已知首项为2、公差为的等差数列满足：对任意的不相等的两个正整数i，j，都存在正整数k，使得成立，则公差d的所有取值构成的集合是 . 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式可得，再求出的范围，即可得解. 【详解】， 由，得， 即， 当时，，矛盾， 所以，则， 因为都是正整数，所以为整数，且不等于， 因为对任意的不相等的两个正整数i，j，都存在正整数k，使得成立， 且， 则当时，， 所以， 所以公差d的所有取值构成的集合是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据等差数列的通项公式得出，是解答本题的关键. 3．(21-22高二上·上海位育中学·期末)数列中，则中满足的的值为 【答案】8 【分析】由已知条件得该数列为等差数列，求出通项公式，代入中，解出不等式根据条件求得的值 【详解】在数列中，因为， 所以数列以首项为，公差的等差数列， 所以， 所以， 即， 解得：，又 所以 故答案为：8. 题型十等差数列的实际应用 1．在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为 . 【答案】12.5尺 【分析】由等差数列相关运算得到公差，进而求出春分的日影长. 【详解】由题意得：为等差数列，公差为，则， 则，故春分的日影长为尺. 故答案为：尺 2．(23-24高二下·上海大学附属中学·月考)在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被4除余数为，被5除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为 【答案】 【分析】首先根据题意得到，然后结合题目所给范围，即可求解. 【详解】将题目问题转化为既是的倍数也是的倍数，也就是的倍数， 所以，即，令， ∴，又因为，所以共项. 故答案为： 3．(21-22高二上·上海南洋模范中学·期末)现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为；第二行依次为；依次把表格填满.现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为；第二列从上到下依次为；依次把表格填满.若分别表示第一次和第二次填法中第行第列的数. (1)求的表达式（用表示）； (2)若两次填写中，在同一小格里两次填写的数相同的个数为，求的值. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）第行的第一个数为，第行的第个数为，得到答案. （2）计算，根据得到，验证得到答案. 【详解】（1）第一种填法中：第行的第一个数为， 第行的第个数为， 即 （2）第二种填法中：第列的第一个数为， 第列的第个数为， 故 当时，在同一小格里两次填的数相同，整理得. 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 故. 题型一 数列的单调性与最值 1．已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性. 【详解】因为，所以且，则， 若，不妨令，则，，，，，， 显然不单调，故充分性不成立， 若为递减数列，则不是常数数列，所以单调， 若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾； 所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立， 故“”是“为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B 2．(22-23高二下·云南部分名校·)在数列中，，则使对任意的恒成立的的最大值为 . 【答案】1211 【分析】根据规律原数列分为三个等差数列，分别计算通项公式，得到三个不等式，分别解不等式得到，，，，，得到答案. 【详解】数列.将原数列分为三个等差数列： ，通项为； 通项为； 通项为. 由，得； 由，得； 由，得. 则，，，，， 所以满足对任意的恒成立的的最大值为1211. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据数列的规律将数列分为三个等差数列分别求通项再解不等式是解题的关键. 3．(21-22高二上·上海建平中学·月考)已知数列，且，，，则正整数的最大值和最小值之和为 ． 【答案】 【分析】由，分析可知当时，取最小值；当和均出现72次时，取最大值.可求得正整数的最大值和最小值，相加可得结果. 【详解】因为，，， 则，且， 则当时，取最小值， 此时，数列是等差数列，且其公差为，则， 解得，所以，的最小值为； 当先出现72次，再出现72次，取最大值， 因为，所以，的最大值为. 因此，正整数的最大值和最小值之和为. 故答案为：. 题型二 数列新定义 1．已知项数为m的有限数列是1，2，3，…，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为 . 【答案】9 【分析】首先通过试值法可知，当或3不满足题意，当或时满足题意，然后证明当，不满足题意即可. 【详解】当时，显然不合题意; 当时,因为, 所以,不符合题意; 当时,数列为，此时, 符合题意， 当时,数列为. 此时,符合题意; 下证当时,不存在满足题意. 令, 则,且, 所以有以下三种可能: ①； ②；  ③ 当时,因为, 即. 所以或. 因为数列的各项互不相同,所以. 所以数列是等差数列. 则是公差为1(或的等差数列. 当公差为1时,由得或, 所以或,与已知矛盾.当公差为时, 同理得出与已知矛盾. 所以当时,不存在满足题意. 其它情况同理可得. 综上，的所有取值为4或5，故所有可能的值之和为9. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题作为填空题易通过试值知或，但对于不合题意的证明是一个难点，我们通过找到的所有情况，选定一种情况，利用题意得到数列是等差数列，则有或，从而得到与已知条件相矛盾的结论. 2．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知集合，，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 . 【答案】 【分析】确定数列中最大值为，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知条件得, 设，则， 因为函数，则， 所以 ， 若，则, 由，得或或， 对应点, 由，得，对应点, 因此产生集合的集合中，点一定存在，至少有一个， 所以集合的个数为. 若，则, 由，得或， 对应点, 由，得或， 对应点, 因此产生集合的集合中， 点一定存在，至少有一个，至少有一个，至少有一个， 所以集合的个数为. 综上，集合的个数为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的 最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数 3．若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和的调和中项； (2)已知调和数列，，，求的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案； （2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式. 【详解】（1）设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列， 所以，解得：， 故和的调和中项为； （2）依题意，是等差数列，设其公差为， 则， 所以， 故. 1．(23-24高二上·上海闵行（文琦）中学·期末)设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 【答案】A 【分析】利用等差数列的通项公式结合函数的图像和性质判断即可. 【详解】由等差数列的通项公式，不妨设. ①“对任意正整数，都有成立”即，那么“为严格递减数列”，故是充分条件；当“为严格递减数列”时，首项不一定为负，所以不是必要条件，①正确； ②由一次函数的图像和性质可得，当单调递增时，存在，当时，总有的充要条件，当时结论仍成立，故“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件，②正确 故选：A 2．(22-23高二上·上海财经大学附属北郊高级中学·期中)1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（    ） A．20180 B．20200 C．20220 D．20240 【答案】B 【分析】先求出第100行的第一个数，再根据第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，从而得到第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200． 【详解】第一列的数字为4，7，10，13，16，……，成等差数列，公差d＝3，其通项公式＝4＋3(n－1)＝3n＋1，故第100行的第一个数为＝301， 再看行，第一行的数是公差为3的等差数列，第二行的数是公差为5的等差数列，第三行的数是公差为7的等差数列，…，第n行的数是公差为3＋2×(n－1)的等差数列， 则第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列， 所以第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200． 故选：B． 3．(24-25高二上·天津静海区第一中学·调研)设公差的等差数列中，满足，则的值为 . 【答案】/ 【分析】先根据已知条件求得，再利用等差数列的性质化简、，即可求得比值. 【详解】因为为等差数列，所以， 所以，，， 因为，所以， 整理得：，即， 因为，所以，根据等差数列的性质，有： ， ， 所以. 故答案为： 4．(24-25高二上·上海高境第一中学·期中)设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 【答案】/ 【分析】由已知可设，，根据等差数列通项公式及对数运算公式可得，由，可得或，分别代入可得数列通项公式，进而可得解. 【详解】由等差数列可知， 又为，，，，其中一数， 不妨设，， 又，，三数依序也成等差数列， 即，即， 所以， 化简可得，则，， 又，所以，即或， 当时，，， 当时，，，与题干矛盾， 综上所述，则. 故答案为：. 5．(23-24高二下·上海晋元高级中学·期末)若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则 . 【答案】/ 【分析】分析出不合要求，时，求出四个零点，并得到大小关系，由等差数列性质得到方程，求出. 【详解】，若，无解，舍去， 若，此时，此时，只有两个零点，舍去， 若，， 若，则，故， 若，则，故， 其中， 因为四个零点从小到大恰好构成等差数列， 所以，故，故，解得. 故答案为： 6．(23-24高二上·上海七宝中学·)已知函数.若项数为的等差数列公差为，且使得，则写出一个符合条件的数列的通项公式为 . 【答案】或其他符合的数列. 【分析】根据题意得函数为奇函数，然后结合数列应满足即符合条件，从而可以写出符合题意的数列. 【详解】由题意得的定义域为，解得，所以， 所以，所以函数为奇函数， 所以对于数列为公差为的等差数列，且满足，就使得， 故答案为：.或其他符合的数列. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $