4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时） 题型一：片段和性质的应用 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，进而列方程求解即可. 【详解】由题知成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：D. 2．已知等差数列的前项和为.若，则 . 【答案】12 【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解. 【详解】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得. 故答案为：12 3．在等差数列中，已知，，则 . 【答案】60 【分析】根据等差数列片段和的性质即可求解. 【详解】由于成等差数列，所以成等差数列，故，故， 故答案为：60 4．在等差数列中，，则 ． 【答案】24 【分析】利用等差数列片段和性质即可得到成等差数列，再代入计算即可. 【详解】由等差数列片段和性质知成等差数列， 所以， 所以. 故答案为：24. 5．已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质可知、、成等差数列可求得的值. 【详解】由题意可得，， 因为等差数列的前项和为， 由等差数列片断和的性质可知、、成等差数列， 所以，所以. 故选：A. 6．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 【答案】B 【分析】利用等差数列的片段和性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知：成等差数列，即成等差数列， 所以. 故选：B. 7．记为等差数列的前项和.若，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的片段和的性质有为等差数列，应用等差中项的性质列方程求解. 【详解】由题设为等差数列，则， 所以，则. 故答案为： 8．设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】18 【分析】利用等差数列前项和的定义及性质先求出，再求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以 . 故答案为：18 题型二：Sn与n的比所组成的等差数列 1．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 2．在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 【答案】B 【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可. 【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以. 故选：B. 3．已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列性质，可得数列为等差数列，求出其公差和首项，利用等差数列前项和公式求解. 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. 4．已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为 . 【答案】70 【分析】根据题意得到，再求前5项和即可. 【详解】因为，所以数列的首项为， 故， 所以， 故数列的前5项和为. 故答案为：70 5．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为，求数列前10项的和． 【答案】 【分析】先求得，然后求得，进而求得数列前10项的和. 【详解】， 所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 其前项和为. 题型三：求等差数列前n项和的最值 1．已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，项的正负得出结论． 【详解】设等差数列公差为，因为，， 所以，，所以，． 所以该数列单调递减，且, 所以当时，取得最大值． 故选：A． 2．已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值= . 【答案】4 【分析】根据等差数列的定义和求和公式即可得到答案. 【详解】因为，则数列为公差为2的等差数列， 则， 则当时，取得最小值. 故答案为：. 3．已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由等差数列前项和的性质可得公差，再利用二次函数性质可求最大值. 【详解】设等差数列的公差为，， ， 解得，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 4．记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式确定数列的项的正负情况，即可求得答案. 【详解】由题意知为等差数列， 由，知数列为递增数列， 且当时，，当时，， 所以当的取值为22时，取最小值. 故选：B. 5．已知 是等差数列 的前 项和， ，则 的最大值为 . 【答案】3 【分析】利用等差数列是单调数列，结合数列的正数项可判断前 项和的最大值. 【详解】由等差数列性质可得：,即 ， 因为 ,所以当且仅当 时, , 所以 的最大值为 或，则， 故答案为： 6．若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和公式可得，再结合等差数列的性质判断的符号，即可得出答案. 【详解】由，得， 又，则，所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最小. 故选：A 题型一：根据等差数列前n项和的最值求参数 1．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质化简，得到，结合，判断公差，得到即可判断. 【详解】由可得，由等差数列的性质可得：， 因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列， 故，即取最小值时，的值为14. 故选：C. 2．已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 【答案】8 【分析】由等差数列的性质得到，公差，为递增数列，从而得到当时，取得最小值 【详解】由已知数列为等差数列，则，又，所以， 所以，数列为递增数列， 则当时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 3．在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意得到数列是递减数列，由求解. 【详解】因为等差数列中，当且仅当时取得最大值， 所以数列是递减数列， 又，所以 ， 解得， 所以d的取值范围为. 故答案为： 4．已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前 项和最大，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由条件求，再代入等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】由条件可知，当时，，， 解得：，因为， 所以，得， ，解得：或（舍）. 故选：D 5．已知当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，若，则公差为的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，可知，列出不等式组即可求解. 【详解】由已知可得， ，又，所以 解得 故选：A 6．设等差数列的前项和为，且，则当最大时，（   ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 所以， 则数列是前1012项为正数，从第1013项开始为负数的递减数列， 故当最大时，， 故选：C 7．已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析得，，应用等差数列的通项公式列不等式求范围. 【详解】由题知，当且仅当时，取得最大值， 又 ，故只需，即可， 若数列公差为，即，，解得， 则的取值范围为. 故选：A 8．已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，列出不等式组，即可求解． 【详解】由题意可得，，，即，解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 9．已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可得，公差，且，，分别求出，讨论的符号即可求解． 【详解】因为当且仅当时，取得最大值， 所以，公差，且，． 所以，，， 故时，． 当时，，则满足的最大的正整数为； 当时，，则满足的最大的正整数为， 故满足的最大的正整数可能为与． 故选：BC． 题型二：求数列{|an|}的前n项和问题 1．已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【分析】利用数列的通项公式，可判断各项的正负，去绝对值，再求数列的前12项的和即可. 【详解】设数列的前项和为， 则， 因为当时，，当时，， 所以. 故选：D. 2．，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 3．在数列 中，已知 ，则 . 【答案】 【分析】首先求等差数列的通项公式，再去绝对值，根据求和公式，即可求解. 【详解】由，得， 所以数列是公差为4的等差数列，且， 所以，， 当时，，时，， 所以 . 故答案为： 4．已知为等差数列,,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量关系求解即可； （2）设的前n项和为的前n项和为，再根据的正负，利用表示即可. 【详解】（1）因为，，所以，； 所以，，. （2）设的前n项和为的前n项和为. 因为； 令，得， 所以当时，，当时，, 故当时，; 当时， 故. 5．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可； （2）根据绝对值的性质，运用分类讨论思想，结合等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）设的公差为. 由， 可得 解得 则. （2）由（1）可知，当时，，则， 则. 当时，，则， 则. 故 6．在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的值． 【答案】(1)，； (2) . 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案； （2）确定数列的正负项，分类讨论，去绝对值可求答案. 【详解】（1）设其公差为d，由题意可得． 解得，， ∴，． （2）设数列的前n项和为，则由（1）可得，，， 由（1）知，令，得，当时，， 当时，可得， 当时，可得 ， 因为，所以， 所以 ． 7．设是数列的前n项和，. (1)求的通项公式，并求的最小值； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）代入计算，当时，令，计算结果即可求出的通项公式； （2）写出数列与数列的关系，结合数列的前n项和公式即可求出数列的前n项和. 【详解】（1）由数列的前n项和， 当时，； 当时， ；   令时，，满足题意， 所以数列的通项公式，   由得， ∴时，时， ∴的最小值为. （2）由（1）知，当时，； 时，，， 当时，.   当时，，   ∴. 题型三：等差数列前n项和公式的应用 1．某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【答案】B 【分析】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【详解】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B 2．某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（    ） A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式列式，再利用单调性确定答案. 【详解】依题意，该会场的座位构成以为首项，2为公差的等差数列，其前项和， 则，显然数列是递增数列， ，由，得， 所以该会场的座位至少有21排. 故选：B 3．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，设每排的座位数构成等差数列，其中且，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 4．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值．关于该问题，下列结论正确的是（    ） A． B．此人第三天行走了一百一十里 C．此人前七天共行走了九百里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 【答案】D 【分析】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为，由题意可得出关于、方程组，解出的值，可判断A选项；利用等差数列的通项公式可判断B选项；利用等差数列的求和公式可判断CD选项. 【详解】解：设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列， 记数列的前项和为， 由题意可得，解得， 所以，，，， 故选：D 5．小明从店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（   ） A．28.5万元 B．30.6万元 C．31.8万元 D．32.2万元 【答案】B 【分析】设每次付款数组成数列，结合题意可得数列是首项3.4，公差为的等差数列，进而结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】首付11万元，余款14万元，按题意可知是分7次还清， 设每次付款数组成数列， 则（万元）， （万元）， （万元），， （万元）， 因而数列是首项3.4，公差为的等差数列， 则（万元）， 因此购车款最后实际共付万元. 故选：B. 1．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 【详解】在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 所以， 即. 故选：C 2．在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 【答案】C 【分析】设公差为，可得出也为等差数列，根据条件得出其公差，从而得出其通项公式，从而得出答案. 【详解】由是等差数列，设公差为，则 所以，（常数），则也为等差数列. 由，则数列的公差为1. 所以 所以，所以 故选：C 3．已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列. 4．等差数列中，为的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则取得最大值时，或 D．必为等差数列 【答案】AD 【分析】根据等差数列的性质即可判断A；根据等差数列前项和公式即可判断B；由，且，得出及时的范围，即可判断C；根据等差数列前项和公式结合等差数列的定义即可判断D. 【详解】对于A，在等差数列中， 因为，所以，则， 则，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，设公差为， 由，得， 则，又因，所以， 则当时，，当时，， 所以当或时，取得最大值，故C错误； 对于D，， 则， 因为，所以必为等差数列，故D正确. 故选：AD. 5．在等差数列中， 的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 6．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设各层的小球个数为数列，利用，可得，，利用数列的求和公式，求得，根据题意，列出方程，求得的值，进而求得该垛积的第一层的小球个数. 【详解】设各层的小球个数为数列， 由题意得，，，， 因为，可得， ， ， ， 则， 因为前层小球总个数为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个. 故选：B. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时） 题型一：片段和性质的应用 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 2．已知等差数列的前项和为.若，则 . 3．在等差数列中，已知，，则 . 4．在等差数列中，，则 ． 5．已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 7．记为等差数列的前项和.若，则 . 8．设等差数列的前项和为，若，则 . 题型二：Sn与n的比所组成的等差数列 1．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 2．在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 3．已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 . 4．已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为 . 5．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为，求数列前10项的和． 题型三：求等差数列前n项和的最值 1．已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值= . 3．已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为 ． 4．记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 5．已知 是等差数列 的前 项和， ，则 的最大值为 . 6．若为等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型一：根据等差数列前n项和的最值求参数 1．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 2．已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 3．在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为 . 4．已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前 项和最大，则当时，（    ） A． B． C． D． 5．已知当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，若，则公差为的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．设等差数列的前项和为，且，则当最大时，（   ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 7．已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 . 9．（多选）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数可能为（   ） A． B． C． D． 题型二：求数列{|an|}的前n项和问题 1．已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 2．，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 3．在数列 中，已知 ，则 . 4．已知为等差数列,,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 5．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 6．在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的值． 题型三：等差数列前n项和公式的应用 1．某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 2．某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（    ） A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 3．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 4．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值．关于该问题，下列结论正确的是（    ） A． B．此人第三天行走了一百一十里 C．此人前七天共行走了九百里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 5．小明从店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（   ） A．28.5万元 B．30.6万元 C．31.8万元 D．32.2万元 1．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 3．已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 4．（多选）等差数列中，为的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则取得最大值时，或 D．必为等差数列 5．在等差数列中， 的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 6．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $