4.2.1等比数列及其通项公式（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

4.2.1等比数列及其通项公式 题型一 等比数列的定义 1．(25-26高二上·上海行知中学·期中)对于下列两个命题真假的判断的正确选项是（    ） 命题甲：存在某个等差数列同时含有三项． 命题乙：存在某个等比数列同时含有三项． A．甲真乙假 B．甲假乙真 C．甲乙都真 D．甲乙都假 【答案】D 【分析】利用等差数列和等比数列的定义进行判断. 【详解】对于命题甲：假设存在等差数列， 设这三项对应的项数分别为，公差为， 则 两式相除得：， 又为无理数， 右边，所以假设不成立，故命题甲为假命题； 对于命题乙：假设存在等比数列， 设这三项对应的项数分别为，公比为， 则，， 不妨设，则， 可得，， 两边分别取以为底的对数，得，， 若，则，矛盾； 若，则， 两式相除得：， 即， 因为为互不相等的正整数，所以为有理数，而为无理数， 有理数不可能等于无理数，产生矛盾。 所以假设不成立， 故命题乙是假命题； 故选：D 2．(24-25高二上·上海吴淞中学·月考)数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，可得，可得数列为递增数列；举反例说明反之不成立，根据充分不必要条件的定义即可得答案. 【详解】设数列的公比为q（）， ， ，可得， 于是数列为递增数列； 反之不成立，例如数列是递增数列，但． “”是“数列为递增数列”的充分不必要条件． 故选：A． 3．(22-23高二下·上海浦东新区·期末)“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既不充分又非必要条件． 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合等比数列的概念即得. 【详解】由“一个数列是常数列”推不出“这个数列是公比为1的等比数列”，如常数列0,0,0，显然不是等比数列， 由“数列是公比为1的等比数列”可推出“这个数列是常数列”， 故“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的必要非充分条件. 故选：B. 题型二 等比数列的通项公式 1．(24-25高三上·上海华东师范大学第二附属中学·月考)设是等比数列，且，，则 . 【答案】或 【分析】求出公比后，由等比数列通项公式得出结论． 【详解】因为是等比数列，且，， 解得，或，则或. 故答案为：或 2．(24-25高二上·上海松江二中·期中)已知数列满足，且，则 . 【答案】128 【分析】由地推公式得出数列是等比数列，由等比数列的通项公式得到的值. 【详解】∵， ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴. 故答案为：128. 3．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)已知数列 满足 ，则 的通项公式为 . 【答案】 【分析】由递推公式构造等比数列，再由基本量法可得. 【详解】由题意可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即， 所以. 故答案为：. 4．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．求数列的通项公式． 【答案】答案见解析 【分析】由已知得是公比为的等比数列，继而得是公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，所以公比， 因为，所以，所以． 由题易知是公比为的等比数列，所以是公比为的等比数列． 因为，所以， 所以，所以，所以． 所以当时，； 当时，． 题型三 等比数列基本量的计算 1．(24-25高二下·上海普陀区长征中学·期末)已知是等比数列，，则公比 . 【答案】/0.5 【分析】根据等比数列的通项公式求解. 【详解】是等比数列，，， ，解得， 故答案为： 2．(24-25高二上·上海格致中学·)各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则 . 【答案】 【分析】由条件可得，即，从而解得公比的值，而，得出答案. 【详解】设数列的公比为，∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，解得. ∵数列各项都是正数，∴，∴，∴. 故答案为： 3．已知等比数列的公比，且，则 ． 【答案】673 【分析】根据等比数列的性质，即可求得答案. 【详解】由于等比数列的公比，且， 故， 故答案为：673 题型四 求一个数列的等比中项 1．(22-23高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期末)实数与的等比中项为 . 【答案】 【分析】利用等比中项的定义求解即可. 【详解】设实数为实数与的等比中项， 则，解得， 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)“ ” 是 “ 是等比数列”的（   ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】举反例可得充分性不成立，由等比中项可得必要性不成立. 【详解】若，则，但 不是等比数列，充分性不成立； 若 是等比数列，则，则，必要性不成立， 所以“ ” 是 “ 是等比数列”的既非充分又非必要条件. 故选：D 3．(23-24高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知等比数列的公比为，且，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据等比数列的性质求，再根据通项公式求. 【详解】由已知得，又， 所以， 则. 故答案为： 题型五 等比中项的应用 1．(23-24高二下·上海浦东新区·期末)在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ． 【答案】或 【分析】由于1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则，从而得解． 【详解】1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列， 则，联立得到，解得或． 当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，符合题意； 当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，符合题意． 综上所得，x、y的值分别是或． 故答案为：或． 2．(23-24高二上·上海七宝中学·期中)已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的韦达定理，根据等比数列的通项公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为， 则，，. 故选：B. 3．已知和均为等差数列，而为等比数列，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差和等比数列定义直接化简所求式子即可. 【详解】由题意知：，，， . 故选：B. 题型六 等比数列的证明 1．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）利用构造法结合等比数列定义可证数列为等比数列，从而求得的通项公式； （2）根据增数列得对任意正整数都成立，化简后可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为. （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以. 2．已知数列满足，， (1)证明：数列是等比数列； (2)求出的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，再计算出数列首项，结合等比数列定义即可得证； （2）借助等比数列的通项公式计算即可得. 【详解】（1）由得， 因为，所以， 所以， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列； （2）由(1)可知，所以数列的通项公式为. 3．已知为等比数列，其公比为．判断下列数列是否为等比数列．如果是，求其公比；如果不是，请说明理由． (1)数列； (2)数列． 【答案】(1)数列是等比数列，公比为. (2)当时，数列不是等比数列；当时，数列为公比为的等比数列. 【分析】（1）根据等比数列的定义判断即可； （2）根据等比数列的定义判断，结合等比数列各项均不为0判断即可. 【详解】（1）为等比数列，其公比为，故，则为常数，故数列为首项是，公比为的等比数列. （2）当时，，故，数列不为等比数列； 当时，，， 此时数列为公比为的等比数列. 题型七 等比数列下标和性质的应用 1．(24-25高二下·上海行知中学·月考)已知在等比数列 中， ，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列通项公式的基本量计算，结合等比数列的性质求值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，即，所以，即. 所以． 故答案为：9. 2．(23-24高二上·上海中学·期末)已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 3．(24-25高二上·上海宝山区海滨中学·期末)已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】10 【分析】由等比数列下标和性质及已知得 【详解】由等比数列的性质知，又， 则， 所以 . 故答案为：10 4．(25-26高二上·上海杨浦区复旦大学附属中学·月考)已知r，s，t，q均为正整数，这下列序号中，命题A是命题B的充要条件的有（    ） ①：命题A：等差数列且    命题B： ②：命题A：等比数列且        命题B： A．①② B．①②都不是 C．① D．② 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的判断方法，结合等差数列、等比数列的性质判定即可. 【详解】已知均为正整数. ①：若，设等差数列的公差为. 则，所以，所以，即. 所以命题A是命题 B的充分条件； 若，则. 若数列为等差数列，设公差为.即. 当时，，即. 当时，恒成立，所以不一定成立，不一定成立. 若数列不是等差数列，如数列各项为：1，2，3，3，2，1.，此时数列不是等差数列且 . 所以命题A不是命题B的必要条件. 综上所述，命题A是命题B的充分不必要条件. ②：若数列是等比数列，设公比为，由 得：. 所以，所以，即. 所以命题A是命题 B的充分条件； 若. 若数列为等比数列，设公比为，则. 因为，所以. 当时，，所以 ； 当时，恒成立，不一定成立 ； 若数列不是等比数列，如：数列各项均为零，则恒成立，不能推出数列等比且r+t=2s 所以命题A不是命题B的必要条件. 综上所述，命题A是命题B的充分不必要条件. 故选：B. 题型八 等比数列的实际应用 1．(22-23高一下·上海财经大学附属中学·期末)我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 【答案】C 【分析】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，而生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，通过数据比较可得结果. 【详解】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，显然单调递增， 而，生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨， 则从第6年起处理生活垃圾的量超过每年增加的量， 故该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是. 故选：C. 2．(22-23高二下·上海七宝中学·)将数列中的所有项排成如下数阵： …… 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数……，成等差数列，且．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则下列结论错误的为（   ） A． B． C．位于第85列 D． 【答案】C 【分析】分析所给数阵的特点，计算出数阵第一列对应等差数列的通项公式，可得A正确；分析计算的表达式，比较可得B正确；通过计算可知位于数阵第行第86列，故C错误；位于数阵第行第个数，代入等比数列通项公式可得D正确. 【详解】将等差数列，，，，…，记为，则公差， 所以，，故A正确； 因为，，故B正确； 第行的项数，第行的项数，，第行的项数，构成以为首项，为公差的等差数列，即第行有项，前行有项， 因为，而，则位于第行从左边数第项，即位于第列，故C错误； ，故D正确. 故选：C. 3．(25-26高二上·上海南洋模范中学·月考)兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等．现将体积为的面条经过第一次拉伸成长为的圆柱形面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，以此类推，若每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计． (1)求第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； (2)若小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求? 【答案】(1) (2)7次 【分析】（1）根据圆柱体积公式 (其中V是体积，r是半径，h是高)，已知体积和长度，可求出半径； （2）先根据指数函数的性质，结合已知条件列出不等式，再求解不等式得到对折拉伸次数． 【详解】（1）设第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径分别为， ； ； 所以第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； （2）由题意得经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， 经过次对折拉伸之后面条的长度为， 设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得， 又直径， ， 又是单调递增函数，且当时，，当时，， 故至少经过7次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求. 题型一 等比数列的单调性 1．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 【答案】B 【分析】构造数列可得为等比数列，进而可得的通项公式，结合，恒成立，求解的值即可. 【详解】因为，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 因为为严格递增数列，所以，恒成立， 即，恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，且当为偶数时，恒成立， 当为奇数时，恒成立， 因为随的增大而减小，所以，故， 当为偶数时，恒成立， 因为随的增大而增大，所以，故， 所以，故， 所以满足条件的数列的个数为个. 故选：B. 2．(24-25高二上·上海交通大学附属中学·)已知，若数列为严格增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对的值分段讨论，根据严格增数列的概念，求的取值范围. 【详解】若，则，所以，由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，为常数数列； 若，则，所以，由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，此时，所以数列一定不是严格增数列； 若，则，，所以. 由 ，该式在时恒成立； 由 . 当时， ，又，所以， 此时：，因为，，所以， 即在时成立. 综上可知，的取值范围为：. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：当时，解不等式，可先令，求出的取值范围，在验证所得结果对取其余非零自然数时仍成立，即可. 3．(20-21高二上·上海格致中学·月考)设数列的首项为常数，且． (1)判断数列是否为等比数列，请说明理由； (2)若数列是递增数列，求的取值范围． 【答案】(1)当时，数列不是等比数列； 当时，数列是以为首项，以为公比的等比数列. (2) 【分析】(1)根据数列的递推公式可得，然后分和两种情况讨论即可求解； (2)根据(1)的结论，当时，显然满足题意；当时，只需，解不等式即可求解. 【详解】（1）因为数列的首项为常数，且， 所以， 所以当时，，数列不是等比数列； 当时，，数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由(1)知：当时，显然满足题意； 当时，数列是以为首项，以为公比的等比数列.所以，则， 若数列是递增数列，则， 也即，解之可得：， 综上所述：的取值范围是. 4．(24-25高二上·上海格致中学·期中)在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)， 【分析】（1）利用迭代思想结合计算器，即可求近似值； （2）利用均值不等式来证明，再用数列的递推法来证明单调性即可； （3）利用给的通项关系式，来构造成等比数列来求通项，最后求极限值. 【详解】（1）根据递推数列，，可依次求得： ，，，， 完成以下表格 n 1 2 3 8 4.125 2.305 n 4 5 6 1.586 1.424 1.414 如图画出线段，，，， （2）证明：由，，可得， 再结合均值不等式得：，当且仅当时取等号， 也就是说只要前一项不等于，后一项就不可能取到， 而首项，所以等号一定不成立，即， 再由， 从而有，所以是严格减数列； （3）由两边加得： ，-------① 由两边减得： --------② 由①除以②得：， 上式两边取常用对数得：， 再由，代入得：， 所以是等比数列，首项， 即， 所以， 解得通项公式为， . 【点睛】方法点睛：（1）利用递推关系证明数列单调性； （2）利用题目中给的条件来构造等比数列求通项. 题型二 等比数列新定义 1．(23-24高三上·上海进才中学·期中)斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足， .给出下列四个结论： ① 存在，使得，，成等差数列； ② 存在，使得，，成等比数列； ③ 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④ 存在正整数，且，使得. 其中所有正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由递推公式得性质后判断， 【详解】对于①，由题意得，故成等差数列，故①正确， 对于②，由递推公式可知，，中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误， 对于③，， 故当时，对任意，，，成等差数列；故③正确， 对于④，依次写出数列中的项为， 可得，故④正确， 故选：C 2．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【分析】根据“线性数列”的定义进行判断 【详解】数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故①正确； 数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故②正确； 故选：A 3．(22-23高二上·上海川沙中学·月考)已知数列的通项公式为（n，a均为正整数）. (1)若、、成等差数列，求a的值； (2)是否存在k（且）与a，使得、、成等比数列？若存在，求出k的取值集合，若不存在，请说明理由； (3)求证：数列中任意一项总可以表示成数列中其它两项之积. 【答案】(1)2 (2)存在， (3)见解析 【分析】（1）由等差数列的性质求解， （2）由等比数列的性质列式后化简求解， （3）根据通项公式构造等式后证明， 【详解】（1）由题意得，即，为正整数，解得， （2）由题意得，即， 化简得， 得，且，为正整数， 可得的取值集合为 （3）对任意， ，即， 故数列中任意一项总可以表示成数列中其它两项之积 1．(25-26高二上·上海复旦大学附属中学·)新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列，称为数列的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为（   ） 命题①：对数函数的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A．①② B．①③ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据新定义，利用等比数列、指数函数、对数函数、幂函数等知识分别分析每个命题，判断其真假性. 【详解】命题①，对于对数函数，当为正整数时，， 设对应数列为,， ，当变化时，不是常数，例如无意义，， 不是等比数列，命题①错误. 命题②，设等比数列为，公比为，， 当时，，此时为指数函数. 所以等比数列的对应函数可能为指数函数. 设指数函数为且，当为正整数时，， 设的对应函数为，则，， ，是常数，是等比数列. 所以指数函数的对应数列一定为等比数列，命题②正确. 命题③，设幂函数，当为正整数时，， 设对应数列为，则，， 幂函数在第一象限的单调性由的正负决定， 当时，在第一象限单调递增；当时，在第一象限单调递减. 由新定义：设x为正整数，则中所有值由小到大排列形成的数列称为的对应数列， 说明数列单调递增，则幂函数在第一象限的单调性与其对应数列不一定相同，命题③错误. 综上，只有命题②正确. 故答案：D 2．(23-24高二上·上海通河中学·期末)已知无穷等比数列满足：，则的通项公式是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，再利用无穷等比数列和的公式得到与，解方程组即可得解. 【详解】因为无穷等比数列，，则，①， 所以是首项为，公比为的等比数列， 又，则②， 由①②可得，③， 由②③可得，，, 故的通项公式为. 故答案为：. 3．(24-25高二上·上海交通大学附属中学·期中)若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列.则下列说法正确的是 ①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列； ②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列： ③存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列： ④存在实数，使得有无穷多个实数，满足数列是常数列； 【答案】②③④ 【分析】取即可说明①②，假设，根据三角函数的性质，即可说明③④. 【详解】对于①②，取，则， 所以对任意实数，数列都是常数列，故①错误②正确； 对于③④， 对于④，令，假设数列是常数列，则， 由可得或， 则或，无法满足， 故假设不成立，即存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列，故③正确； 且实数， 此时，满足数列是常数列，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】关键点睛：本题关键是根据常数列的定义得到，，对于只需举例说明，而对于则需举例加计算出加以说明. 4．已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为 . 【答案】18 【分析】由已知等式得或；首先求出为等差或等比数列时的值，然后讨论为等差与等比的交叉数列，要使最小，则可利用递推关系式所满足的规律进行推导得到结果. 【详解】由知：或； 当时，数列是以为首项，为公差的等差数列， ，则，解得； 当时，数列是以1为首项，为公比的等比数列， ，则，解得：（舍）； 若数列是等差与等比的交叉数列，又，； 若要最小，则，，， ， ， 此时，故的最小值为18. 故答案为：18. 【点睛】关键点睛：本题考查根据数列中的规律求解数列中的项的问题，解题关键是能够根据递推关系式讨论若数列是等差和等比各项交叉所得的数列，则若要使最小，则需尽可能利用对数列中的项进行缩减，进而返回到首项上. 5．已知等差数列共有项，各项与公差均不为零，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数列组成的集合为 . 【答案】 【分析】 利用等差数列通项公式，结合已知条件，讨论依次去掉第一、二、三、四及的项，判断、余下项为等比数列是否成立，即可得结果. 【详解】令等差数列通项为，且， 若去掉第一项，则，可得，不合题设； 若去掉第二项，则，可得，即， 又，故，故数对为； 若去掉第三项，则，可得，又，则， 此时，等差数列为，显然， 否则去掉第三项后数列不成等比数列，故数对为； 若去掉第四项，则，可得，不合题设； 若去掉的项，根据上述分析必会出现情况，不合题设； 综上，所有数列组成的集合为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：应用等差数列通项及已知条件，分类讨论所去掉的项判断是否满足且余项成等比数列. 6．无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围. 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 7．(23-24高二下·上海浦东新区·期末)已知等差数列和等比数列， ，，， (1)求通项公式、； (2)求满足的正整数m． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，可得所求 （2）讨论，当，且m为奇数，当，且m为偶数，结合数列的单调性，可得结论． 【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为． 由，可得， 解得，则 （2）由，可得 即 (*) 当时，成立； 当时，不成立； 当时，不成立； 当时，且为奇数时，显然(*)式不成立； 当时，且为偶数时，设， ， 即，可得(*)式不成立． 综上所得，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.2.1等比数列及其通项公式 题型一等比数列的定义 题型二等比数列的通项公式 题型三等比数列基本量的计算 题型四求一个数列的等比中项 基础达标题 题型五等比中项的应用 等比数列及其通项公式 题型六等比数列的证明 题型七等比数列下标和性质的应用 题型八等比数列的实际应用 题型一等比数列的单调性 能量提升题 题型二等比数列新定义 拓展培优题 基础达标题 题型一等比数列的定义 1.(25-26高二上·上海行知中学.期中)对于下列两个命题真假的判断的正确选项是() 命题甲：存在某个等差数列同时含有1,2，V3三项. 命题乙：存在某个等比数列同时含有1,2,5三项。 A.甲真乙假 B.甲假乙真 C.甲乙都真 D.甲乙都假 2.(24-25高二上上海吴淞中学·月考)数列{an}是各项均为实数的等比数列，则a2>a1>0"是“数列{an} 为递增数列"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(22-23高二下·上海浦东新区期末)“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列"的() A.充分非必要条件； B.必要非充分条件： C.充要条件： 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.既不充分又非必要条件. 题型二等比数列的通项公式 1.(24-25高三上·上海华东师范大学第二附属中学.月考)设{an}是等比数列，且a1=3,a2十a3=18,则 an= 2.(24-25高二上·上海松江二中.期中)已知数列{an}满足a叶1=2an,且a1=1,则a8= 3.(24-25高二下.上海奉贤中学·月考)已知数列{an}满足a1=5,a+1=an+2,则{an}的通项公式 为一 4.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且ya2+Va4+ya=7W2,a3as=64.求数列{an}的 通项公式. 题型三等比数列基本量的计算 1.(24-25高二下.上海普陀区长征中学期末)已知{an}是等比数列，a1=2,4=寺，则公比 2.(24-25高二上上海格致中学洛项均为正数的等比数列{an}中，2a31成等差数列，则 龄 3.己知等比数列{an}的公比q=言，且a1十a3十···十a199=2019,则 a2十a4+··+a200= 题型四求一个数列的等比中项 1.(22-23高一下.上海外国语大学附属外国语学校期末)实数√13+V2与√13-V2的等比中项为 2.(24-25高二下上海奉贤中学月考“b=√ac”是“a,b,c是等比数列的()条件 A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要 3.(23-24高二下.上海同济大学第一附属中学.期中)已知等比数列{an}的公比为方，且a5a3=24,则 a8= 题型五等比中项的应用 1.(23-24高二下.上海浦东新区·期末)在数列1、x、y,15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差 数列，则x、y的值分别是 2.(23-24高二上上海七宝中学.期中)已知等比数列{an},a2a1o是方程x2-13x+14=0的两个实数根， 则a6的值为（). A.t14 B.V14 c.土 D.号 3.己知a,x,b和b,y,c均为等差数列，而a,b,c为等比数列，且xy≠0，则层+的值等于() 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 题型六等比数列的证明 1.(24-25高二下上海宝山区期末)已知数列{an}中，a1=1,an=2a1十1(n≥2)；数列{bn}为等差 数列，且满足：b1=1,bg十2=a5 (1)求证：数列{an十1}为等比数列，并写出数列{an}的通项公式： 2)令cn=log2(an+1)-nbm,若数列{cn}为严格减数列，求实数入的取值范围. 2.己知数列{an}满足a1=2,a+1=4an-3n十1， (1)证明：数列{an~n}是等比数列； (2)求出{an}的通项公式 3.已知{a}为等比数列，其公比为q,判断下列数列是否为等比数列.如果是，求其公比；如果不是，请 说明理由 (1)数列{2an}; (2)数列{an+at1}. 题型七等比数列下标和性质的应用 1.(24-25高二下.上海行知中学·月考)已知在等比数列{an}中，a1a3211=27,则a2g= 2.(23-24高二上上海中学.期末)已知{an}为等比数列，a2a4a5=a36,ag10=-8,则a7= 3.(24-25高二上上海宝山区海滨中学.期末)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6十a4a7=18,则 1og3a1+10g322+…+10g3210= 4.(25-26高二上·上海杨浦区复旦大学附属中学.月考)己知”，s,t,q均为正整数，这下列序号中，命题A 是命题B的充要条件的有() ①：命题A:等差数列an}且r+s=t+q 命题B:ar十as=at+aq ②：命题A:等比数列bn}且r十t=2s 命题B:bg=b:br A.①② B.①②都不是 C.① D.② 题型八等比数列的实际应用 1.(22-23高一下.上海财经大学附属中学.期末)我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引 发的烦恼.某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨.在实施《生活垃 圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需 提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是() A.2026年 B.2027年 C.2028年 D.2029年 2.(22-23高二下·上海七宝中学将数列{an}中的所有项排成如下数阵： 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a1 a2 a3 a4 as a6 a7 ag ag … 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数a1a2a5,成等差数列，且a2=4,a10=10.从第 二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则下列结论错误的为() A.a1=1 B.an<an1 C.a2022位于第85列 0.a2023=黑 3.(25-26高二上·上海南洋模范中学.月考)兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、 毛细、韭叶、二宽、大宽等.现将体积为1000cm的面条经过第一次拉伸成长为100cm的圆柱形面条， 再经过第二次对折拉伸成长为2×100c的面条，，以此类推，若每次对折拉伸相等的长度，面条的粗 细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计. (1)求第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径： (2)若小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm,求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同 学的要求？ B 能力提升题 题型一等比数列的单调性 1.(24-25高二下.上海嘉定区·期末)对任意正整数n有a+1十2an=3n-2,且为严格增数列的{an}的个数 是() A.0 B.1 C.2 D.无穷多 2.(24-25高二上上海交通大学附属中学.)己知n=|g-1,若数列{an}为严格增数列，则实数q的取值 范围是 3.20-21高=上·上海格致中学·月考)设数列an}的首项a1为常数，且aH1=3”+2an(nEN). (1)判断数列{an-3“}是否为等比数列，请说明理由： (2)若数列{an}是递增数列，求a1的取值范围. 4.(24-25高二上上海格致中学期中)在章节“用迭代序列求√2的近似值”中，将方程x2=2等价变形为 x=(x+景)，构造递推数列x+1=吉(xn+忌)来形成一个迭代序列{xn},当n趋于正无穷大时，xn 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 趋近于V2选取初始值X1=8,并令An(xnXH1),Bn(x1X+1),n=1,2,3, (1)完成以下表格，并在图中画出线段A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,AB3;(精确到0.001) 1 3 Xn 白 4 5 6 n y=x 2+3 02468x (2)证明：{n}是严格减数列； (3)设an=】 g ，证明{an}是等比数列，并求出{n}的通项公式及xn的值， n 2 Xn 4.125 2.305 n W 5 6 Xn 1.586 1.424 1.414 题型二 等比数列新定义 1.(23-24高三上·上海进才中学·期中)斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应 用.斐波那契数列an}满足a1=a2=1,an=an1+an2(a≥3，n∈N门给出下列四个结论： ①存在m∈N,使得am,a+1,am+2成等差数列； ②存在m∈N,使得am,a+1,a+2成等比数列； ③存在常数t,使得对任意n∈N,都有an,ta叶2，a叶4成等差数列： ④存在正整数1，i2,…,im,且i1<i2<<im,使得a,+a,十…十a1m=2023 其中所有正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25高二下.上海奉贤中学·月考)对于数列{an},若存在实数p,9,使得aH1=Pan十9对任意正整 数n都成立，则称数列{a}是线性数列，则对于：①等差数列一定是线性数列；②等比数列一定是线 性数列，下列说法正确的是() A.①正确②正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①错误②错误 3.(2-23高二上上海川沙中学月考)已知数列{an}的通项公式为2m=朵(m,a均为正整数). (1)若a1、a24成等差数列，求a的值： (2)是否存在k(k≥10且kEN)与a,使得a1、a3、ak成等比数列？若存在，求出k的取值集合，若不存在， 请说明理由； (3)求证：数列{an}中任意一项an总可以表示成数列{an}中其它两项之积. 拓展培优题 1.(25-26高二上·上海复旦大学附属中学)新定义：设x为正整数，则f(x)中所有值由小到大排列形成的 数列{ax}称为f(x)的对应数列，f(x)称为数列a的对应函数，则下列命题中所有真命题的序号为() 命题①：对数函数f(x)=1gx的对应数列为等比数列 命题②：等比数列的对应函数可能为指数函数，指数函数的对应数列一定为等比数列 命题③：幂函数在第一象限的单调性与其对应数列相同 A.①② B.①③ C.②③ D.② 2.2324商二上上海通河中学期末已知无穷等比数列(}满足：=3，广子=号，则(}的通 项公式是 3.(24-25高二上上海交通大学附属中学期中)若{an}是以a1为首项，d为公差的等差数列；{bm}是以b1为 首项，9为公比的等比数列则下列说法正确的是 ①存在实数a1,使得不存在实数d≠0，满足数列{sin(an)}是常数列： ②存在实数d≠0，使得对任意实数a1,满足数列{sin(an)}都是常数列： ③存在实数b1≠0，使得不存在实数q≠1,0，满足数列{sin(bn)}是常数列： ④存在实数b1≠0，使得有无穷多个实数q≠1,0，满足数列{sin(bn)}是常数列： 4,已知数列{an}的首项a1=1,且满足(aH1an1(a+1-2an=0对任意n∈N都成立，则能使 am=2021成立的正整数m的最小值为 5.己知等差数列共有n(≥4)项，各项与公差d均不为零，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按 6/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 原来顺序)是等比数列，则所有数列(，)组成的集合为 6.无穷等比数列{an}满足首项a1>0,q>1,记ln={x-yxy∈[aa2]U[ana+1]},若对任意 正整数n集合In是闭区间，则q的取值范围是 7.(23-24高二下.上海浦东新区·期末)已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=-4,a4=2, as=8b4, (1)求通项公式anbn: (2)求满足am·bm>1的正整数m. 7/7