精品解析：河北省唐山市迁安市第四高级中学（迁安市第一中学西校区）2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

迁安市第四高级中学2025-2026学年度第一学期高二年级12月月考 数 学 ★预祝同学们学习生活愉快★ 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本试卷共19题，4页，考试时间120分钟. 4.本文档为格式优化修订版，考试中若有通知更正的题目已做修改. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：B 2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用可得，逐一检验即可得正确选项. 【详解】若，则需，即. 对于选项A：，故选项A不正确； 对于选项B：，故选项B不正确； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D不正确. 故选:C. 3. 已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得长轴长和短轴长，由题意列方程求解即可. 【详解】椭圆：的长轴长为，短轴长为， 由题意，平方化简得，又，解得． 故选：B 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】，为中点， 故. 故选：B 5. 实数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，分析出当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值.利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离求出，即可得解. 【详解】将变形可得， 可知圆心，半径. 令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值. 此时，圆心到直线的距离， 即，解得. 所以的最大值为. 故选：C 6. 已知F₁， F₂是双曲线C: 的两个焦点，P为C上一点，且 若的面积是 则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理及双曲线的定义求出，再由面积公式计算可得. 【详解】根据双曲线定义得， 所以，即①， 由余弦定理可得：， 即②， 由②-①得：，即， 所以， 又的面积是 所以，解得， 故选：A 7. 已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，设直线l方程为，，，由得①，联立可得，由点P的任意性知，即可求得椭圆方程. 【详解】由长轴长为4得，解得， 设，直线l方程为，，， 则，， 由得，，即， 所以①， 又P在椭圆上，所以，即， 代入①式得，即， 因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与无关， 所以，解得， 所以所求椭圆方程为． 故选：D． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 8. 已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定信息，结合几何图形得当以为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线上存在两点，使得成立， 得以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图， 圆心到直线的距离， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C不正确； 由，所以D正确． 故选：BD． 10. 以下四个命题是真命题的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线：与：互相垂直，则 C. 已知直线：与：平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：分离参数求定点，得.选项B：用一般式垂直的条件算得.选项C：用一般式平行条件，并且检验直线重合的情况.选项 D：分截距为0和不为0两种情况推导. 【详解】对于A，可化为， 令 ，解得定点为， 直线恒过定点，所以A错误． 对于B，若，则，解得，所以B正确． 对于C，若，则，解得或， 当时，：，：，所以符合题意， 当时，：，：，所以符合题意，所以C错误． 对于D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以直线方程为，故D正确． 故选：BD 11. 已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 直线的斜率的最大值为 D. 若，则直线的斜率为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题设易得，进而得到抛物线：，，进而求解判断即可；对于B，设，，：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及向量运算可得为钝角，进而判断即可；对于C，表示出直线的斜率为，进而分析判断即可；对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，结合抛物线的定义可得为的中点，可得平行于轴，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题可知，则，则抛物线：，， 故，故A错误； 对于B，显然直线的斜率不为0，设，，：， 联立，得， 则， 且，，则， 所以， 所以，因为， 所以一定为钝角，故为钝角三角形，故B正确； 对于C，由B知，的中点的纵坐标为， 横坐标为， 所以直线的斜率为， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，， 因为，所以， 因为为的中点，所以平行于轴， 因为，所以，则，即， 故直线的斜率为2，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与圆: 相交于两点，则弦长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式，即可求解. 【详解】由得到， 所以圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为， 故答案为：. 13. 已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD的中点为，则C的离心率是______． 【答案】2 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程，利用点差法，可求得，代入离心率公式，即可得答案. 【详解】设，则， 两式作差可得：，即， 因为为BD中点， 所以， 又直线BD斜率为1， 所以，代入可得，， 所以C的离心率. 故答案为：2 14. 已知圆，点是直线上一点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若直线上仅有一点，使得，则的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，由圆的切线性质可得点在的外接圆上，再由唯一性可得，进而列式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 由，得点在的外接圆上，当时，， 该圆直径，由直线上仅有一点，使得，得的外接圆与直线相切， 即，于是，解得或， 所以的值为或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，与圆相交于，两点，，求的一般式方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）线段的中点为，，可得线段的垂直平分线方程，与圆心所在直线联立，即可求得圆心，再结合两点间距离可求得半径，即可得到圆的方程； （2）根据直线与圆相交的弦长公式，先求得圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线距离公式，即可求解. 【小问1详解】 由题可知，的中点坐标为， 所以线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以由，解得，即． 又点在圆上，所以， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 由，得圆心到直线的距离． 当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为，即， 则，解得，所以的方程为． 故直线的一般式方程为或． 16. 1.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且BM⊥PD. （1）证明：CD⊥面PAD； （2）求点M到平面PAC的距离； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）很容易得到CD⊥AD和PA⊥CD这两个条件，进而证明出CD⊥面PAD；（2）建立空间直角坐标系，设出点M的坐标，利用求出M的坐标，再利用空间向量的方法求解点M到平面PAC的距离；（3）再第二问的基础上，用空间向量的方法求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 ∵底面ABCD是矩形 ∴CD⊥AD ∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD ∴PA⊥CD ∵ ∴CD⊥面PAD 【小问2详解】 ∵PA⊥平面ABCD，，平面ABCD ∴， ∵底面ABCD是矩形 ∴AB⊥AD ∴如图所示，选点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ∵PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点 ∴，，，，， ∴， ∵BM⊥PD. ∴，即，解得： ∴ 设平面PAC的法向量为 则，即，令得：，，所以 设点M到平面PAC的距离为 则 【小问3详解】 ∵AB⊥平面PAD，PD平面PAD ∴AB⊥PD ∵BM⊥PD， ∴PD⊥平面ABM ∴平面ABM的法向量为 设平面ACM的法向量为 则，即，令得：，，所以 则 设二面角的大小为，由题意知，为锐角 则 17. 设椭圆的一个焦点为，四条直线，所围成的区域面积为. （1）求的方程； （2）设过的直线与交于不同的两点，若以弦为直径的圆恰好经过原点，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意知、面积以及列出方程组，即可求出的方程； （2）根据题意设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，且根据向量数量积列出关系式，求出斜率，即可得直线的方程. 【详解】（1）依题意得， 解得， 椭圆的方程为． （2）易知直线的斜率存在，并设直线方程为，将其代入， 化简得， 设、， ， 且， 依题意可知， ， 即 将代入上式得 化简得，所以 故所求的直线方程为. 【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.综合性强，是中档题. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 在菱形中，连接，得等边， 因为是的中点，所以， 因为平面平面，所以． 因为平面平面，且， 所以平面． （2） （3）存在满足条件的点， 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理直接证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接求面面角的余弦值即可； （3）设，即可表示出，由线面平行可得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，则有， 由(1)知，故两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则 令得， 又因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设， 则， 若平面，则， 解得，故存在满足条件的点，且． 19. 已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． （1）求的值； （2）倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； （3）是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【答案】（1）2 （2）16 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求解即可． （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可． （3）设出点、、的坐标及直线及切线，的方程，联立抛物线方程，根据得到切线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点． 【小问1详解】 抛物线的焦点， 由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程为，， 所以直线的方程为，设，， 联立，得， ， 所以，， . 【小问3详解】 设，，的方程为． 由，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为， 由，得． 由，解得， 所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为． 设，代入直线、中，，， 即，， 所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 【点睛】 1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迁安市第四高级中学2025-2026学年度第一学期高二年级12月月考 数 学 ★预祝同学们学习生活愉快★ 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本试卷共19题，4页，考试时间120分钟. 4.本文档为格式优化修订版，考试中若有通知更正的题目已做修改. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 实数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知F₁， F₂是双曲线C: 的两个焦点，P为C上一点，且 若的面积是 则 （ ） A. B. C. D. 2 7. 已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 10. 以下四个命题是真命题的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线：与：互相垂直，则 C. 已知直线：与：平行，则 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或 11. 已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 直线的斜率的最大值为 D. 若，则直线的斜率为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与圆: 相交于两点，则弦长为_____ 13. 已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD的中点为，则C的离心率是______． 14. 已知圆，点是直线上一点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若直线上仅有一点，使得，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线经过点，与圆相交于，两点，，求的一般式方程． 16. 1.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且BM⊥PD. （1）证明：CD⊥面PAD； （2）求点M到平面PAC的距离； （3）求二面角的余弦值. 17. 设椭圆的一个焦点为，四条直线，所围成的区域面积为. （1）求的方程； （2）设过的直线与交于不同的两点，若以弦为直径的圆恰好经过原点，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． （1）求的值； （2）倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； （3）是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $