福建省同安第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题

同安一中2024-2025学年（上）高三数学摸底考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（　　） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 3. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上单调递减，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 命题，命题：函数在上单调，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数 C. 的解集为 D. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为8 11. 已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，，，，，，…，.写出满足上述条件的一个函数：______. 13. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是___________. 14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前项和. 16. 如图，已知平行四边形，点E为的中点，，.将沿折起，使点D到达点P的位置，且与夹角的余弦值为. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这名学生日平均阅读时间的中位数（保留到小数点后两位）； （2）为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中、、、、.当最大时，写出的值，并说明理由. 18. 在椭圆E：上任取一点，过作轴的垂线为垂足，点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线交椭圆于，交曲线于，当最大时，求． 19. 定义：对于空间向量，，其“导数积”为.已知空间向量，为常数，记. （1）当时，证明：； （2）若为的极大值点，求正实数的取值范围； （3）设，，，且满足，，证明：. 同安一中2024-2025学年（上）高三数学摸底考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】（答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 当时，，则， 因为①， 所以时，②， 由①－②得，时，，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2） 【16题答案】 【答案】（1） 取中点，连结，，由于是中点，可知， 所以为等边三角形，即， 又因为与夹角的余弦值为，， 所以与的夹角就是，即， 由余弦定理得：， 所以，即， 因为，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为: （3），理由如下： 由频率分布直方图，得， 解得， 所以，学生日平均阅读时间在内的概率为， 从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，日平均阅读时间在内的学生人数， 则， 所以，其中， 由组合数的性质，得当时，最大，则最大. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） 依题意，， 即， 当时，，， 当时，；当时，， 因此，在上单调递减，在上单调递增， 故，得证. （2）； （3） 依题意，在上不单调，由（2）知，且，此时， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增，从而有， 要证，只需证， 由于在单调递减，且，， 故只需证，即证， 设，， ，设，则，， 当时，有，又因为在上单调递增， 于是有，即， 从而在上递增，即在上递增， 于是有，从而在上递增， 于是有，式得证，故原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $