周测评(二) 空间向量及其运算的坐标表示-【衡水真题密卷】2025-2026全学年高二数学学科素养周测评

·数学· 2025一2026学年度高 数学·空间向量及 一、选择题 1.A【解析】点M(2,1,-3)关于Ox之平面对称 的点的坐标为(2，一1，一3). 2.A【解析】因为a十b=(-2,-1,2),a-b= (4,一3，一2)，所以2a=(2,一4,0)，所以a= (1,一2,0)，b=(-3,1,2),所以a·b=-3-2 +0=一5. 3.C【解析】AB=(6,3,9),AC=(x十1,2-x, 3),由∠BAC为锐角，得AB·AC>0,且AB 与AC不共线，于是6(x+1)+3(2-x)+3 X9>0,解得x>-13,又由十1_2-x=3 6 3-9’ 得x=1,则当AB与AC不共线时，x≠1，所以 x的取值范围是x>一13且x≠1. 4.B【解析】已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1, 一1,5)，根据向量坐标运算可得AB=（一2， 一1,3)，AC=(1,-3,2).根据向量数量积坐标 运算可得AB·AC=(-2)X1+(-1)×(-3) 十3X2=一2+3十6=7，根据向量模长公式，可得 AB|=√(-2)2+(-1)2+32=√4+1+9 √14，|AC|=√12+(-3)2+22=√1+9+4 √14，根据向量的夹角公式可得cos(AB,AC》 m是=含，则 AB·AC 7 7 sin(ABAC)(A) ?.根据平行四边形面积公式S=AB1· |AC·sin(AB,AC),可得S=√14X√14X =75,故AB,AC为邻边的平行四边形的 2 面积为7√3」 二、选择题 5.ACD【解析】点B1的坐标为(4,5,3)，故A正 确；点C1(0,5,3)关于点B(4,5,0)对称的点为 (8,5,一3)，故B错误；点A(4,0,0)关于直线 BD1对称的，点为C1(0,5,3),故C正确；点 C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为 (8,5,0),故D正确. 参考答案及解析 二学科素养周测评（二） 其运算的坐标表示 6.C【图标】对于A因为片昌a与 c不共线，故A错误； 对于B,与a同向的单位向量是a= (信后刘小-停25tB: 对于C,c在a方向上的投影向量是|ccos(a,c〉· lal-laa aa·c 5(1,2,0)=(-1,-2,0),故C 正确； 对于D,因为a·b=3≠0，故a与b不垂直，故 D错误. 三、填空题 7.9【解析】在空间直角坐标系中，过点A(一3,6， 9)作O2x平面的垂线，垂足为点B,则，点B(一3,0， 9),故点B到x轴的距离为9. 8.√5；[1,3]【解析】以A为坐标原点，AB,AD, AA1所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， D B 则B(1,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1), 则BD1=(-1,1,1),CB1=(0,-1,1),所以 d(BD1,CB)=√(-1)2+22+0=√5.因为点 P在上底面A1B1C1D1内（含边界）运动，且 |A=2,则|A1P|=1,即在上底面A1BCD1 内，点P在以A1为圆心，1为半径的圆周上，可设 P(cos0,sin0,1),则AB=(1,0,0),AP= (ms0n0,1.0∈b,引，所以Di,）= |cos0-1|+|sin9|+1=2+sin0-cos0=2+ mg-）,9eb,引则-至≤0-≤至 g》号号以n,ae [1,3]. 3 真题密卷 学科素养周测评 四、解答题 设λa-b=m(a-入b), 9.解：(1)设D(x,y,之)， +1=m(1+λ)， 则AD=(x十2，y-1,之-2)， 则=m, 解得λ=±1. (22分) DB=(-1-x,2-y,2-z), (3分) -2=-2λm, 由AD=2DB, 10.解：(1)A(4,0,2),P(4,0,-2). (3分) 4 (2)由于C(0,6,2),所以CP=(4,0,-2)- x+2=2(-1-x), 3 (0,6,2)=(4,一6，-4)， 则y-1=2(2-y),解得 5 y=3' 所以|CP|=√4+(-6)2+(-4)=2√17. 2-2=2(2-之)， x=2, (13分) 即D(2 (3)因为B1(4,6,0),所以CB1=(4,6,0) (7分) (0,6,2)=(4,0,一2)， (2)由题意得a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), 所以CP.CB1=4X4+(-6)X0+(-4)X 则ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,一4)， (-2)=24, (11分) 又|CB1|=√42+(-2)2=2√5， 因为向量a十b与ka一2b互相垂直， CP.CB 6 所以(ka+b)·(ka-2b)=0, cos(Cp,CB) 1cCB7V8需(20分) 即(k一1)(k+2)+k2-8=0, 所以sinC2,CB1)=√1-cos2(CP,CB) 解得及=一昌或2 (15分) =7v85 85, (3)由(2)知，a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 所以λa-b=(+1,入，-2)， 所以Sca,-21C1 CBsin(C,CB)= a-b=(1+入，1，-2入)， (18分) 14. (30分) 因为向量λa一b与a-λb平行， 2025一2026学年度高二学科素养周测评（三） 数学·空间向量的应用 一、选择题 1.D【解析】因为v1·v2=2+2-4=0,所以v1⊥ v2,所以a⊥b. 2.D【解析】设平面a与平面B的夹角为0，则cos0 m·n 2 √2 =osmn川=m1m=/中X5于43 3.C【解析】设此曲池的高为h,以圆孤的圆心O 则A(0,2,0),D1(2,0,h),故AD1=(2,-2,h), 为原点，CD为x轴，BA为y轴，过圆心O且垂 取平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1)， 直于底面的直线为之轴，建立如图所示的空间 设直线AD1与平面ABCD所成的角为0,0∈ 直角坐标系， 引件a如0-哥没年 42025一2026学年度高 数学·空间向量及 本试卷总分100分 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 答案 1.已知点M(2,1,一3)是空间直角坐标系 Oxyz中的一点，则点M关于Oxx平面 对称的点的坐标为 () A.(2,-1,-3) B.(-2,-1,-3) C.（-2,1,3) D.(2,1,3) 2.若a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3, -2),则a·b= () A.-5 B.-1 C.5 D.7 3.已知A(-1,0,2),B(5,3,11),C(x,2一 x,5),若∠BAC为锐角，则x的取值范 围是 () A.(-13,+∞) B.(1,+∞) C.(-13,1)U(1,+∞) D.(-13,13)U(13,+∞) 4.已知空间中三点A(0,2,3),B(-2,1, 6),C(1,一1,5)，则以AB,AC为邻边的 平行四边形的面积为 () A.2 B.7√3 C.3 D.33 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 6 答案 高二学科素养周测评（二 低头是题海，拍头是未来。 二学科素养周测评（二） 其运算的坐标表示 考试时间40分钟。 5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=5,AD=4,AA1=3,分别以直线 DA,DC,DD1为x轴，y轴，之轴建立空 间直角坐标系，则 () D R A.点B1的坐标为(4,5,3) B.点C1关于点B对称的点为(5,8，一3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为 (8,5,0) 6.已知空间中三个向量a=(1,2,0),b= （-1,2,1),c=(-1,-2,1),则() A.a与c是共线向量 B与。同向的单位向量是停，25d】 C.c在a方向上的投影向量是（一1，一2,0） D.a与b的夹角为90° 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 7.在空间直角坐标系中，点A(一3,6,9)在 Ox平面上的射影为B,则点B到x轴 的距离为 8.对于两个空间向量a=(x1,y1,之1)与 b=(x2,y2,之2)，我们可以定义它们之间 的欧式距离为d(a,b)= √(x1-x2)2+(y1-y2)2+(之1-之2)2， 欧式距离可以简单理解为两点之间的直 线距离，根据需要，还可以定义它们之间 的曼哈顿距离为D(a,b)=x1一x2十 数学第1页（共2页）】 y1一y2十之1一之2，曼哈顿距离最初 指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两 个路口间的最短行车距离，因此也被称为 城市街区距离.如图，在棱长为1的正方 体ABCD-A1B1C1D1中，d(BD1,CB1)= ;若点P在上底面A1B1C1D1 内（含边界）运动，且AP=√2，则 D(AB,AP)的取值范围是 D 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(22分)已知空间三点A(-2,1,2), B(-1,2,2),C(-3,1,4),设AB= a,AC=b. (1)若AD=2DB,求点D坐标； (2)若向量ka十b与ka一2b互相垂直， 求实数k的值； (3)若向量Aa一b与a一b平行，求实数 入的值. 高二学科素养周测评（二 10.(30分)如图，在长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB=6,BC=4,AA1= 2,以D1为原点，直线D1A1,D1C1, D1D分别为x,y,之轴建立空间直角 坐标系，点A关于平面A1B1C1D1的 对称点为P. A A D (1)写出点A,P的坐标； (2)求CP及CP|; (3)求△CPB1的面积. 数学第2页（共2页）