周测评(十九) 二项式定理-【衡水真题密卷】2025-2026全学年高二数学学科素养周测评

真题密卷 四、解答题 9.解：(1)从16名男生中选4人共有C16=1820 种选法 (6分) (2)如果还要确定第一棒、第二棒的人选，则共 有C16A=21840种选法. (14分) (3)如果每一棒的人选都要确定，则共有CA4 =43680种选法。 (22分) 10.(1)解：设药房共有n味药，则一共可形成C 个“三药组”，且每个“三药组”恰好只包含在一 副药方中， (3分) 22副药方中，每副药方可形成C=10个“三药 组”，合计220个“三药组”， (6分) 所以C%=220,所以n=12,药房中共有12味药. (10分) (2)证明：设共有烈性药x味，假设每副药方中 至多含有3味烈性药，不妨把1味烈性药和2 味非烈性药称为“R一三药组”，则共有C,C,- 个“R一三药组”」 (13分) 另一方面，由题意可得每3种烈性药恰有一副 药方包含它，故有C?副药方恰含有3种烈性药 (15分) 2025一2026学年度高1 数学· 一、选择题 1.D【解析】(x一1)？的展开式中的第五项为T5 =C2x3(一1)4=35x3」 2.D【解析】(x√5十y√)展开式的通项为 T1=Cc(y)"(女，冷4-r+2r 4,7+r=3,解得r=2,所以xy的系数是C 2 =6, 3.C【解析】对于A,由莱布尼茨三角形知，当n 为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值，n =2023为奇数，中间两项同时取得最小值，故 A错误； 对于B,当n=2024时，这一行有2025个数， 1. 最中间为第1013个数，即2025C盟，故B 错误； 对于C,第6行有？个数，第5个数是(6十1)C 1 -105,故C正确： 对于D,由于从第0行开始每一个数均等于其 学科素养周测评 每副这样的药方含有CC=3个“R一三药 组”，其余22-C副药方只含有1种或2种烈 性药，它们中每一副都可形成CC=6或 CC号=6个“R一三药组”， (17分) 故22副药方一共可形成3C?+6(22-C?)个 “R一三药组”， 故C,C2-,=3C,+6(22-C), 得r3-13r2+67r=132. (20分) (1)将r=7代人，得r3-13r2+67r=175≠ 132,即说明若药房中有7味烈性药，全部药方 中一定有一副药方至少含有4味烈性药. (24分) (iⅱ)r3-13r2+67r=132两边考虑都除以5， 右侧余2， 对于r(x2-13r+67),当r取0,1,2,3,4,5 时，均不成立，即说明每副药方中至多含有3 味烈性药的假设不成立， (28分) 所以全部药方中一定有一副药方至少含有4 味烈性药， (30分) 学科素养周测评（十九） 项式定理 1 1 “脚下”两个数之和，故(n十1)C十(n十1)C 一nC可r∈N,l≤r≤n),故D错误. 1 4.C【解析】由题设，左边的通项公式为 T+1=Ciw·(2023x)y+Co·202310-·(-x), =C10·[2023+(-1)·2023100-]·x',r ∈{0,1,2，…，100}. 所以a6=C10·[2023十(-1)·2023100-]， k∈{0,1,2，…，100}. 因为C0>0,所以要使得a。<0成立，则k为 奇数，且2023-2023100-<0恒成立， 等价于2023<2023100-曰k<100一k曰k< 50,又k是正奇数，故k的最大值为49. 二、选择题 5AD【架折】动爱发二溪式5-后厂的袋 开式通项为T=c)(左) =C5(-1)r2号x-(0≤r≤9，r∈N). 对于A,令-2=0，得，=0，所以常数项是T ·数学· =C8(-1)°2岁=162，故A正确； 对于B,当且仅当r=1,3,5,7,9时，对应项的系 数为有理数，即系数为有理数的项共有5项，故 B错误； 对于C,第5项和第6项的二项式系数满足C =C,故C正确； 29 对于D,奇数项的二项式系数之和为2=2 256,故D正确. 6.ACD【解析】对于A,令x-0,可得a=1,故 A正确；对于B,令x=1,可得m=ao十a1十a2十 …十a2o2s=一1，故B错误；对于C,令x=一1，可 得a0-a1十a2-a3十…十a2024-a2o25=32025,所 以(a0十a1十a2十…十a225)-(a0-a1十a2-a3 十十a:4一a4)=-1一3，所以a1 =0 -1-32025 ,所以=-号a=-× -1-3_+1,故C正确；对于D,5 2 8 32025+13X9012+13X(1+8)1012+1 8 6 8 3×(1+Co128+C号o1282+…+C8181o12)+1 8 3X(Co128+Co1282+…+C881o12)+4 8 =3X(Coe+Co28+…+C8服81o1)+2,所以 、1 5-可=2，故D正确. 三、填空题 7.1【解析】因为22025=8675=(7+1)65=C875· 775十C875·7674十…十C8酷·7+C87·1=7X (774+C65·7673+…十C酷)+1，所以原式除以 7的余数是1. 8,40【解析】（经+号+1小2z-)=22x y)5+1（2x-y)+(2z-y)°，(2x-y)5的通 项公式为T,+1=C5(2x)5-,·（-y)”= C525-(-1)'x5-ry',r=0,1,2,3,4,5,当r=2 时，1C2(-1)2xy2=80xy:当r=3时， 1c22(-1)x2y3=-40x2y, 所以x2y2的系数为80一40=40. ·3 参考答案及解析 四、解答题 9.解：(1)根据题意得Cm十C=7,即m十n=7①. (3分) f(x)的展开式中x2的系数为C2+C= m(m-1)1n(n-1)_m2+n2-m-n 2 2 2 将①变形为n=7-m代入上式，得x2的系数 为mm+21=a2}+ (8分) 故当m=3,n=4或m=4,n=3时，x2的系数 取得最小值，最小值为9. 此时x3的系数均为C+C=5. (15分) (2)当m=3,n=4或m=4,n=3 时，f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈ C+C4×0.003+Cg+Cg×0.003≈2.02. (22分) 10.解：(1)令x=1,可得ao十a1+a2+…+am= 7”；令x=0,可得a0=5", (4分) 所以a1十a2十…十am=7”-5". (8分) (2)由题意知(5十2x)”展开式的通项为T,+1 =Cm5m-r(2x)',r=0,1,2,…,n, 所以a,=C%5”-r2,r=0,1,2,…,n.(13分) 由a5是a0,a1,a2,…,am中唯一的最大值， 可得/C5-2>C52, C5m-525>C5m-626, 即51a6所X2>41a-×5, n！ n! n! n! 516m-5)TX5>610m-6×2, 即 1 解得<a<20, 又因为n∈N,所以n的取值为17,18,19. (18分) (3)由题意可得，(2x十5)"=1+2(x十2)]” =C%+Ch2(x+2)+C%22(x+2)2+…+ C%2(x十2)"，所以b,=C2",r=0,1,2,…,n, (23分) 则警-2-c(】 -c号+c()++c() =c+c:+c(++c()-1 =(+)°-1=()°-1. (30分) 5·2025一2026学年度高 卷题 数学· 本试卷总分100分 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 答案 1.(x一1)7的展开式中的第五项为( ) A.-21 B.-21x2 C.35 D.35.x3 2.在(x5十y丘)的展开式中，x3y3的 系数是 ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.将杨辉三角中的每一个数C”都换成 (n十i1)C,得到如图所示的莱布尼茨三 1 角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的 性质，如从第0行开始每一个数均等于 其“脚下”两个数之和，如果n≥2(n为正 整数)，则下列说法正确的是 ( 第0行 1 第1行 2 2 1 1 第2行 3 6 3 第3行 12 12 4 A.当n=2023时，中间的两项相等，且 同时取得最大值 B.当n=2024时，中间一项为2025C册 1 C.第6行第5个数是 105 1 1 1 D.(D( N,1≤r≤n) 高二学科素养周测评（十 你有多学力，就有多特殊。 学科素养周测评（十九） 项式定理 ,考试时间40分钟。 4.已知(1+2023x)1o0+(2023-x)1o0=a0 十a1x十a2.x2+…十a1mx1o,其中a0, a1,a2,…,a1o∈R,若存在k∈{0,1,2，…， 100},使得a<0成立，则k的最大值是 () A.47 B.48 C.49 D.50 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 5 6 答案 9 的展开式，则 ( A.常数项是16√2 B.系数为有理数的项共有4项 C.第5项和第6项的二项式系数相等 D.奇数项的二项式系数之和为256 6.设(1-2x)2025=a0十a1x十a2x2十a3x3 2Q5 十·+a2025x2025,m=a1,5= =0 114 ∑a2:+1,则下列说法正确的是( 4= A.a0=1 B.m=1 32025+1 C.5- 6 D.若[x]表示正数x的整数部分，则s一 时- 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。 7.22o25除以7的余数为 8(侵+12x-的展开式中产y 的系数为 九) 数学第1页（共2页） 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（22分)已知m,n是正整数，f(x)= (1+x)m+(1十x)”的展开式中x的系 数为7. (1)求m,n为何值时，f(x)的展开式中 x2的系数最小，并求出此时x3的 系数； (2)利用(1)中结果，求f(0.003)的近似 值（精确到0.01）. 高二学科素养周测评（十九 10.(30分)已知(2x+5)"=a0+a1x+ a2x2+…十amx". (1)求a1十a2十…十am； (2)若a5是a0,a1,a2,…,an中唯一的 最大值，求n的值； (3)若(2x+5)”=b+b1(x+2)+b2(x 十2)2+…+6.(x+2),求2 13 )数学第2页（共2页）