精品解析：安徽省六安市皋城中学2025-2026学年上学期九年级阶段性目标检测(四)数学试卷

初三阶段性目标检测（四） 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 2. 的圆心在坐标原点，半径为5，点的坐标为，则点与的位置关系是（） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 点在轴上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过计算点A到圆心O的距离，与圆的半径比较，判断点A在圆上． 【详解】∵圆心O在坐标原点，点A的坐标为， ∴， ∵的半径为5， ∴半径， ∴点A在上． 故选：A． 3. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数平移的规律：左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象的函数关系式为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 4. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 5. 如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是利用位似图形周长比等于相似比求解． 根据位似图形的性质，得出与的相似比为，再结合周长比等于相似比，计算出的周长． 【详解】解：已知与是位似图形，位似中心为，且， 它们的相似比为． 设的周长为，根据“周长比等于相似比”， 可得： 已知的周长为，代入得： 解得． 综上，的周长为9． 故选D． 6. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（    ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 根据题意，利用平行线的性质将进行转化，再结合正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， 由网格可知，，， 则， 不妨令小正方形网格的边长为1， 则由勾股定理得， ， ， 在中， ， 所以． 故选：C． 7. 如图，已知在中，于点，且，．则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形，直角三角形中正弦的定义，勾股定理，根据正弦的定义求得是解题的关键． 根据在中，，进而得到，再由勾股定理得到，结合即可求解． 【详解】， ， 在中，，即，解得， 又， 所以，解得（负值舍去）， ． 故选：C． 8. 如图，在中，点是的中点，连接交对角线于点，交于点．若，则的长是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，然后证明得到 ，进而可求解． 【详解】解：在中，点是的中点， ∴，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，又， ∴， 故选：D． 9. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）．正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数图象与二次函数系数之间的关系是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：开口方向向下，与轴交于正半轴， 即，， 由图象可知：二次函数的对称轴在轴的正半轴， ， ∴ ∵， ， ，故选项①正确； ②观察函数，得出对称轴为直线， 则， ∴， ∴， 故选项②正确； ③观察函数，得出当时，函数值为正数，即函数值大于0， ∵对称轴为直线， ∴由二次函数的对称性知，当时，函数值大于0， 即，故选项③正确； ④观察函数，得出当时，函数值为负数，即函数值小于0， ∵对称轴为直线， ∴由二次函数的对称性知，当时，函数值小于0，， ∵， ∴把代入得，得，故选项④正确； ⑤观察函数，当时，的值最大．此时， 而当时，， ∴， 故， 即，故选项⑤错误． 故①②③④符合题意． 故选：C． 10. 如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项． 【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F， ∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4， ∴DE=CF=4， ∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB， ∴PQ∥DE∥CF， ∵AD=5， ∴, ∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t， ∵, ∴， ∴， 因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D； ∵CD＝3， ∴EF=CD=3， ∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则， 因此当时，对应图像为，即为一条线段； ∵∠ABC＝45°， ∴BF=CF=4， ∴AB=3+3+4=10， ∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x， 同理可得，Q2P2=P2B=10-x， ， 因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11. 如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键． 由旋转性质可判定为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：由旋转性质可知，， 则为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______m才能停下来． 【答案】400 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 当时，函数取得最大值，最大值为400， 即飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：400． 13. 如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握值的几何意义是解题的关键．延长分别交轴，轴于点，易得四边形的面积，即可得解答案． 【详解】解：延长分别交轴，轴于点，如下图， ∵轴，轴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，即为直角三角形， ∵点A在反比例函数的图像上，点B、点C在反比例函数（，）上， ∴，， ∴四边形的面积， ∴． 故答案为：2． 14. 如图，四边形是矩形，点是对角线上一个动点（不与、重合），连接，过点作，交射线于点；已知，，设的长为： （1）当时，______； （2）连接，若的面积为S，则S的最小值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，锐角三角函数，二次函数的性质，关键是灵活应用知识点解题； 过点作于点，延长交于点，可得，利用相似三角形的性质和三角函数用含的代数式表示出，进而求得与的函数关系式，最后求得最小值． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，．　 故答案为：；． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂指数，含特殊角三角函数值的混合运算，负整数指数幂，二次根式及绝对值混合运算等知识点，正确记忆特殊角三角函数值是解题的关键． 代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，绝对值，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】原式 16. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的； 【答案】（1） 所作如图所示： （2） 所作如图所示： 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，中心对称作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数解析式，根据图象确定取值范围等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据图象找出一次函数大于反比例函数的解集即可． 【小问1详解】 解：将A点的横坐标3代入反比例函数，得：， ∴， 将B点的纵坐标3代入反比例函数，得：， ∴， 将，代入中，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：一次函数的值大于反比例函数的值，即， 由图象可知，不等式的解集为：或． 18. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，．，求、的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握相关定理及应用是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而得到是等腰直角三角形，设，根据勾股定理可得，再由垂径定理得到，结合即可得到． 【详解】，， ，又， 是等腰直角三角形． ．设， ，解得， ， ， 过圆心，， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 【答案】小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为. 由题意，得， . 在中，， ∴， . 在中，， ∴. 答：小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为． 20. 如图，在中，，分别是边上两点，交的延长线于点F，连接，． （1）求证： （2）当，时，求的值． 【答案】（1） 证明：，， ，， ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、等边对等角、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，，利用平行线的性质得到，，再利用两角对应相等判定三角形相似即可证明； （2）利用相似三角形对应边成比例的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 超市出售某种商品，每件获利20元时，每周可卖出300件，经过试销分析发现：如果商品售价每降价1元，那么每周可多卖出25件；如果商品售价每涨价1元，那么每周将少卖出10件． （1）如果超市采取降价促销方式，那么商品价格下降多少元时，才能使一周销售利润最大？ （2）如果超市采取涨价增加利润的方式，那么商品价格提升多少元时？才能使一周销售利润达到6250元． 【答案】（1）商品价格下降元时，才能使一周销售利润最大 （2）商品价格提升元时，才能使一周销售利润达到元 【解析】 【分析】本题重点考查了销售问题，利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面，销售问题一般先建立利润与价格之间的函数关系式，求出这个函数关系式的最大值，即求得最大利润，读懂题意，列出二次函数是问题求解的关键． （1）设降价为元，每周所获总利润为，根据“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质求解可得． （2）设涨价a元，根据“总利润=单件利润×销售量”列方程求解可得． 【小问1详解】 解：设降价为元，每周所获总利润为，则 ， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：商品价格下降元时，才能使一周销售利润最大． 【小问2详解】 解：设涨价元，每周所获总利润为，则 根据题意得， ∴当时，的值为， 答：商品价格提升元时，才能使一周销售利润达到元． 22. 如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点交于点，当时，求的值． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形相似的性质是解题的关键． （1）根据可求得； （2）证明，再根据相似比可求； （3）过点N作，垂足为G，证明，得到，从而计算的值． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 【小问2详解】 ， ∴， ∴， ∴，即， ∵，且， ，解得； 【小问3详解】 过点N作，垂足为G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 七、解答题（本大题共14分） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 ①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三阶段性目标检测（四） 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的圆心在坐标原点，半径为5，点的坐标为，则点与的位置关系是（） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 点在轴上 3. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ） A. B. C. D. 4. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（    ） A. B. C. 3 D. 2 7. 如图，已知在中，于点，且，．则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 7 8. 如图，在中，点是的中点，连接交对角线于点，交于点．若，则的长是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 9. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）．正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11. 如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为______． 12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______m才能停下来． 13. 如图，点是反比例函数（）的图像上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数（，）的图像交于点、点，连接，．若四边形的面积为6，则______． 14. 如图，四边形是矩形，点是对角线上一个动点（不与、重合），连接，过点作，交射线于点；已知，，设的长为： （1）当时，______； （2）连接，若的面积为S，则S的最小值是______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算： 16. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的； 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 18. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，．，求、的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 20. 如图，在中，，分别是边上两点，交的延长线于点F，连接，． （1）求证： （2）当，时，求的值． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 超市出售某种商品，每件获利20元时，每周可卖出300件，经过试销分析发现：如果商品售价每降价1元，那么每周可多卖出25件；如果商品售价每涨价1元，那么每周将少卖出10件． （1）如果超市采取降价促销方式，那么商品价格下降多少元时，才能使一周销售利润最大？ （2）如果超市采取涨价增加利润的方式，那么商品价格提升多少元时？才能使一周销售利润达到6250元． 22. 如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点交于点，当时，求的值． 七、解答题（本大题共14分） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $