专题02 实数（含二次根式及其运算）（3大知识点+9大考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02实数（含二次根式及其运算） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 围重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 食举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 回复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 卜》思维导图串知识 知识点01实数的相关概念 知识点02平方根与立方根 知识点 知识点03二次根式及其运算 【考点1无理数的识别】 实数（含二次根式 【考点2求一个数的平方根与立方根】 及其运算) 【考点3平方根与立方根的综合应用】 【考点4判断是否为二次根式、最简二 次根式、同类二次根式】 考点 【考点5利用二次根式的性质化简】 【考点6判断二次根式运算是否正确】 【考点7二次根式的混合运算】 【考点8二次根式中的新定义型问题】 【考点9二次根式中的规律探究问题】 重点速记 同知识点01实数的相关概念 -实数的分类：按概念可分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数；按正负 性可分为正实数、0、负实数。 aa≥0 实数的性质：实数的相反数是-a,a与(a≠0)互为倒数，实数a的绝对值a= l-a(a<0)° -实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应。 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同知识点02平方根与立方根 -平方根：若x2-a,则x叫a的平方根，记作x=土V,正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方 根。 -算术平方根：正数α的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根是0，算术平方根具有双重非负性。 立方根：若x3-a,则x叫a的立方根，记作x=，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立 方根是0。 同知识点03二次根式及其运算 -二次根式的概念：形如Va(a≠0)的式子叫二次根式，二次根式有意义的条件是被开方数a≥0。 衣t:02F--(6 a(a≥0 .二次根式的乘除5·5Vba≥0b≥0.号V层a≥0b>0. -二次根式的加减：先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的最简二次根式。 -二次根式的混合运算：有括号先算括号里的，无括号时先乘方，再乘除，最后加减，有理数运算律、多项 式乘法法则、乘法公式仍然适用。 核心考点举一反三 【考点1无理数的识别】 【例1】(25-26八年级上全国期末)下列各组数中都是无理数的为() 2 A.Q.07,3元B.0.7,x,V2 C.√2，6，π D.√25，π，5 【变式1】(24-25七年级下湖北荆州期末)下列各数：-2,0，π，55,0.23，其中无理数的个数 是() A.1个 B.2个 C.3个 D.5个 【变式2】(2425八年级上企国期未)在实数号，31415926，一5,6，分，5,13131131…（相 邻两个3之间1的个数逐次加1)中，无理数的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变武式3】(2425七年级下广东汕头期末)在下列各数，31415926,023， 2,5,0202020002 (每两个2之间依次多1个0)中，无理数的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【考点2求一个数的平方根与立方根】 【例2】(23-24八年级上江苏苏州期末)2的平方根是」 ⑧1的算术平方根是 √万-3的绝对值是 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末)16的算术平方根是」 V-3)2= -27= 【变式2】(24-25七年级下·湖北荆门期中)25的平方根是 32的立方根是一： √36的算术平 8 方根是· 【变式3】(24-25八年级上·甘肃酒泉期末)-27的立方根为，V16的平方根为 的倒数 2 【考点3平方根与立方根的综合应用】 【例3】（24-25七年级下·吉林·期末)x是-64的立方根，y是14的算术平方根，求x+y2+6的平方根， 【变式1】(24-25七年级下·陕西榆林·期末)已知2a-1的立方根是3，a+3b-1的算术平方根是4，求 ab+2的平方根. 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州期末)已知3m-2的平方根是±2，m+2n+4的立方根是2. (1)求m,n的值： (2)求2mn+5的算术平方根， 【变式3】(24-25七年级下陕西安康期末)已知a+3的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是4. (1)求a,b的值； (2)求a+2b的平方根. 【考点4判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式】 【例4-1】(24-25八年级下·广东广州·期末)下列式子一定是二次根式的是（) A.√-I B.√2 c.√a D.a 【例4-2】(24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A月 B.xy C.a2+1 D.18 【例4-3】(2425九年级上·甘肃武威期末)下列二次根式中，与-5√5是同类二次根式的是() A.18 B.√0.3 C.√30 D.V300 【变式1】(24-25八年级下·山西吕梁期末)下列各式中，一定是二次根式的是() 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.6 C.-2 D.√ 【变式2】(24-25八年级下·云南丽江期末)下列各式中，是最简二次根式的是() A.√16 B.0.3 C.10 D 【变式3】(24-25八年级下山东烟台期末)若最简二次根式√2m-8与√m+5可以合并，则√3m+6的值 是(). A.35 B.35 C.45 D.45 【考点5利用二次根式的性质化简】 【例5】(24-25八年级下·吉林延边·期末)计算： 2-5= 【变式1】(24-25七年级下·湖南长沙期末)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 Va-b2-(b-a-2)的结果是一 -3-2-1012 【变式2】(2425八年级下·江苏宿迁·期末)实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 Va-4+Va-12结果为一 05a10→ 【变式3】(2425八年级下·吉林长春.期末)已知实数a的取值范围是-5<a<-1,化简代数式. Va2+√36+12a+a2的值为 【考点6判断二次根式运算是否正确】 【例6】（25-26八年级上·广东佛山期末)下列计算正确的是() A.±V16+1=±5 B.V32÷V2=4 C.V5x2W6=6√5 D.（4+1=1 【变式1】(24-25八年级下·河南郑州期末)下列计算正确的是() A.5-2=5-2 B.2+=√5 C.√6÷5=V5 D.√2x√5=10 【变式2】(24-25八年级上·广东深圳期末)下列算式中，正确的是() A.32-√2=3 B.√4+5=3 C.（5-2=5-26 D.8÷=4 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(24-25八年级下·广东广州期末)下列计算中，正确的是() A.匝-6 B.V-3)2=-3 C.3√5-=3 D.（5-25+2)=1 【考点7二次根式的混合运算】 【例7】(25-26八年级上·江西期末)计算： )2x6-2 5 2(5+2(5-2+V-22. 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州期末)计算： 0-5-5x6+得 ②V50xVs 6 【变式2】（24-25八年级下山东烟台期末)计算： @025-5is+a 22-v6)月 4 (32+48)8-45) 【变式3】.（2425八年级下·四川绵阳·期末)计算： ()5(6-3)+2+1 2(50-⑧÷2 i-得a6 【考点8二次根式中的新定义型问题】 【例8】(24-25八年级下-山东潍坊期末)定义运算：a*b=4a2-b2.例如*(-l)=4×(5-(-12=11 .若a*5=√5*a,则a的值是_ 【变式1】(24-25八年级下·福建福州期末)对于任意正实数a,b,定义一种新的运算：a⑧b=√a-√ab ,如3⑧4=√5-√3×4=-√5，请你计算7⑧9= 【变式2】(24-25八年级下江苏苏州期末)定义：我们将a+B)与（后-6）称为一对“对偶式”. 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为(a+)(a-)=(a-()=a-b,可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式” 来解决 例如：已知V2-x-√8-x=2,求√12-x+√8-x的值，可以这样解答： 因为(12-x-8-xx12-x+8-x)=(2-x-8-x=12-x-8+x=4, 所以V12-x+V8-x=2. 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)己知：V18-x+V6-x=6,则18-x-√6-x= 1 ②化简：6+5 ；5-5 (3)计算： 1 1 1 1+5t5+5+5+V++2023+2025 ×1+V2025 【变式3】(2425八年级下山东德州期末)为我们定义一种运算—取一个实数的整数部分，即取出不 超过实数x的最大整数，简称取整，记为x].这里[x=x-a,x+a=x,其中[x是一个整数，0≤a<1, a称为实数x的“小数部分”，记作(Zn},所以有x=x]+{Z}.例如，2.5=2，【-14.3]=-15， {Z25}=2.45-[2.45]=2.45-2=0.45,{Z16}=-1.6-[-1.6]=-1.6-(-2)=0.4. 关于取整运算有部分性质如下： ①x-1<x]≤x: ②若n为整数，则[x+n=[x+n. 请根据以上材料，解决问题： ()「0]=；若m=[-,n=(Z},则m2+mn= (用含π的式子表示)； 1 1 2记M=2++B+22+5 1 …十 2026+V2025,求[M]; 【考点9二次根式中的规律探究问题】 【例9】(24-25八年级下·山东威海期末)【观察】 写252-5g-4g 【归纳】(1)若n为自然数，且n≥1，将上述规律用含n的式子表达出来； 【推理】(2)对(1)中的结论进行证明. 【变式1】(24-25八年级下·安微合肥期末)观察下列一组等式，然后解答后面的问题： 2+1(2-=1;(5+25-2)=1: 6/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4+5)4-5=1；(5+4(5-4)=1 (1)观察以上规律，请写出第5个等式： (2)观察以上规律，请写出第n个等式： (n为正整数)； (3)请利用上面的规律，比较√20-√19与√9-√8的大小 【变式2】(24-25八年级下山东聊城期末)先阅读，再解答：（万+5）万-5)=(7)-(V5=2可 以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化 因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.例如： 1 万-5 √万-5 √7+5(7+5√7-5) 2 请完成下列问题： (1)√5-√的有理化因式是： (2)化去式子分母中的根号： 3 3-√6 (直接写结果) 1 (3)利用你发现的规律计算： 2+1+5+2+4+5+…+ √2025+V2024 V2025+1. 【变式3】(24-25八年级下·安徽铜陵·期末)小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般' 的方法探究下面二次根式的运算规律， 下面是小石的探究过程，请补充完整： ()具体运算，发现规律 特例1： 2-1 -2=V2-V2 特例2： 2×5-2 2×5-1) 2-5V 5 5 =25 特例3： 3 3×10-3 3×(10-1) 3 10=V10 10 10 特例4： 4 特例5： 5 5 (填写运算结果)· V°2 (2)观察、归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： (3)应用运算规律 (a,b均为正整数)，则a+b的值为一· 7/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 上复习提升 一、单选题 1.(24-25八年级下·吉林·期末)在下列四个式子中，最简二次根式为() B.3 C.V-) D.√24 2.(2425八年级上河北石家庄期未)在实数)9，⑧，5-1，乃11212122巾，无理数的个数 为() A.2 B.3 C.4 D.5 3.(23-24八年级下山东期末)下列等式成立的是() A.√2+√5=√5B.18=2√5 C.25=V5 D.√6÷√5=√2 4.(24-25八年级下.重庆巴南期末)对实数x,y定义一种新运算△，规定：△x,y)=ax+bxy+2(其中 a,b均为非零常数)，例如：△5,7=a×5+b×5×7+2.若△(2,3)=-1，△(-4,4)=6.则下列结论： ①a=-3,b=2 1 ②若△(2a)=(-3a+1°，则△(2a,同=15-125， ③若ap,9=-6,则p,9有且仅有5组整数解； ④如果anx,y)=any,x,那么n=0或x=y; 其中正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 5.(25-26八年级上广东佛山期末)3-√7的小数部分是 6.(24-25九年级下山东烟台期末)若最简二次根式√2a-5与二次根式√12能够合并，则a的值是】 7.(24-25八年级下·四川南充期末)为了比较√26与√5+3的大小，可以构造如图所示的图形进行推算， 其中LB=90°，AB=l,BC=2,BD=5.通过计算可得√26_√5+3.（填“>”或“<”或“=”） 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.对于任意两个不相等的数a,b,定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b= Ja+b ,如：3⊕2= Va-b 3+2-5, √3-2 那么12⊕4= 三、解答题 9.(23-24七年级下辽宁营口期末)(1)计算：25-8+2-5 (2)己知4(x-1)=1,求x的值 10. (24-25八年级下·黑龙江绥化期末)计算： (1)⑧xV6-36÷2 r+6-2日 11.(24-25七年级下陕西延安期末)己知2a-5的算术平方根是√7，a-5b+1的立方根是-2. (1)求a与b的值； (2)求5a-b的立方根 12.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，M=Va+2-Vb-2+√a-b+V. 0 (1)化简M; (2)当a=3-√2，b=-2√2时，求M的值. 13.(23-24七年级下·陕西延安·期末)先阅读下面文字，再解答问题：大家知道√2是一个无理数，而无理 数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于1<√2<2，所以√2的整数部 分为1，将√2减去其整数部分1，差就是小数部分为2-1. (①)厅的整数部分是一，小数部分是一； (2)若a是√95的整数部分，b是√7的小数部分，求2a+b-√7的平方根. 14.（24-25八年级下·安微阜阳期末)观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式： 1 +=2V 第2个等式： 21 4 =34 第3个等式： 3+5=45 5 (1)请直接写出第5个等式： (不用化简)； (2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式(n为正整数)，并证明等式成立； 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)利用(2)的结论计算： 2022+ ×V2024- 2024 2021+ ×√2023. 2023 15.(2425八年级上湖南永州期末)像√4-2√5，√√48-√45，这样的根式叫做复合二次根式.有一些 复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： V4-25=V3-25+1=V5-25x1+12=5-1°=5-1再如： 5+26=3+26+2=5°+2x5x2+(2=+2=5+2 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：√10+2√21； (2)化简：√14-85； (3)计算：V3-2√2+√5-26+V7-22+…+V2023-21023132+V2025-2W1012x1013. 10/10 专题02 实数（含二次根式及其运算） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 实数的相关概念 -实数的分类：按概念可分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数；按正负性可分为正实数、0、负实数。 -实数的性质：实数的相反数是-a，a与(a≠0)互为倒数，实数a的绝对值。 -实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应。 知识点02 平方根与立方根 -平方根：若x2=a，则x叫a的平方根，记作x=，正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 -算术平方根：正数a的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根是0，算术平方根具有双重非负性。 -立方根：若x3=a，则x叫a的立方根，记作x =，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 知识点03 二次根式及其运算 -二次根式的概念：形如(a≠0)的式子叫二次根式，二次根式有意义的条件是被开方数a0。 -二次根式的性质：()2=a(a0)，=。 -二次根式的乘除=(a0,b0)，=(a0,b0)。 -二次根式的加减：先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的最简二次根式。 -二次根式的混合运算：有括号先算括号里的，无括号时先乘方，再乘除，最后加减，有理数运算律、多项式乘法法则、乘法公式仍然适用。 【考点1 无理数的识别】 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中都是无理数的为（    ） A．0.07，，π B．，π， C．，，π D．，π， 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，解此题需掌握无理数的定义．无理数是不能表示为两个整数之比的数，如：π、、等，它们的小数部分是无限不循环的，判断四个选项每组的数是否为无理数即可． 【详解】解：A、0.07，，π中的0.07、不是无理数，不符合题意； B、，π，中的不是无理数，不符合题意； C、，，π中的，，π都是无理数，故符合题意； D、，π，中的不是无理数，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）下列各数：，0，，，，，其中无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，解答此题的关键就是熟知无理数的定义：无理数为无限不循环小数． 根据无理数与有理数的概念进行判断即可得． 【详解】解：是整数，即为有理数； 0是整数，即为有理数； 是无限不循环小数，即为无理数； 是分数，即为有理数； 是无限不循环小数，即为无理数； 是有限小数，即为有理数； 所以，无理数一共有2个， 故选B． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念及常见形式是关键．无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有π的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1），由此即可求解． 【详解】解：，3.1415926，是有理数； ， ，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）是无理数，无理数有4个． 故选D． 【变式3】（24-25七年级下·广东汕头·期末）在下列各数 ，3.1415926，0.23，， ，0.2020020002……（每两个2之间依次多1个0）中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了无理数的概念，解题的关键是熟练掌握无理数的概念．无理数：无限不循环小数．根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：，，0.2020020002……（每两个2之间依次多1个0）是无理数，其它是有理数， 故无理数一共有3个， 故选：C． 【考点2 求一个数的平方根与立方根】 【例2】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）的平方根是 ，的算术平方根是 ，的绝对值是 ． 【答案】 3 / 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、绝对值，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根、绝对值的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； ∵，， ∴的算术平方根是3； ∵， ∴的绝对值是； 故答案为：；3；． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）16的算术平方根是 ； ； ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的求解方法是解题关键．根据，，，计算算术平方根与立方根即可得． 【详解】解：∵， ∴16的算术平方根是4； ； ∵， ∴； 故答案为：4，3，． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）的平方根是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据平方根、立方根、算术平方根的定义判断即可． 【详解】的平方根是；的立方根是；的算术平方根是， 故答案为：；； ． 【变式3】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）的立方根为 ，的平方根为 ，的倒数是 ． 【答案】 / 【分析】直接利用立方根的性质、平方根的定义、倒数的定义分别得出答案． 【详解】的立方根为， 的平方根为， 的倒数是， 故答案为：，，． 【点睛】此题主要考查了立方根的性质、平方根的定义、倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 【考点3 平方根与立方根的综合应用】 【例3】（24-25七年级下·吉林·期末）是的立方根，是14的算术平方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根的概念，掌握这些概念是解题的关键．根据是的立方根，是14的算术平方根，求出x、的值，代入求值即可得结果． 【详解】解：是的立方根，是14的算术平方根， ， 的平方根为． 【变式1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，以及算术平方根和平方根，利用立方根及算术平方根的定义列出方程，得到a与b的值，确定出的值，即可求出的平方根．熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【变式3】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【考点4 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式】 【例4-1】（24-25八年级下·广东广州·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负,逐一分析各选项中被开方数的取值范围，判断其是否恒为非负数． 【详解】A、，被开方数为，显然为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式； B、，被开方数为，恒为正数，因此一定是二次根式； C、，被开方数为，当时有意义，但可能为负数（如），此时无意义，故不一定是二次根式； D、，被开方数为，需满足即，但可能为正数（如），此时无意义，故不一定是二次根式； 故选：B． 【例4-2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项． 【详解】选项A， 的被开方数含有分母， 不是最简二次根式； 选项B， 中， 能开方为 ， 可化简为 ，不是最简二次根式； 选项C， 的被开方数为和形式，无平方因子，且不能化简， 是最简二次根式； 选项D， = = ，可化简， 不是最简二次根式； 故选C． 【例4-3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，被开方数相同的两个二次根式叫做同类二次根式，据此先化简对应选项中的二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，判断选项即可．本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：A. 不是二次根式，不符合题意；     B. 是二次根式，符合题意；     C. 不是二次根式，不符合题意； D. 中，的取值不确定，不能确定是二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，掌握判断最简二次根式的依据是解本题的关键．根据最简二次根式的特征：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，逐项判断解答即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故A不符合题意； B. ，不是最简二次根式，故B不符合题意； C. 是最简二次根式，故C符合题意； D. ，不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 【考点5 利用二次根式的性质化简】 【例5】（24-25八年级下·吉林延边·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质及应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键，根据二次根式的性质求解即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键． 先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 【变式2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据数轴得，然后利用二次根式的性质得到，再去绝对值，合并即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：7． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知实数a的取值范围是，化简代数式．的值为 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式的性质，结合，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 【考点6 判断二次根式运算是否正确】 【例6】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义及二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．分别计算每个选项的表达式，依据平方根、算术平方根的定义及二次根式的运算法则判断正误． 【详解】解：， 或，故A项错误． ，故B项正确． ，故C项错误． ，故D项错误． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算判断即可． 【详解】A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）下列算式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的加减、乘除运算以及完全平方公式的应用．对于每个选项，需要根据相应的运算法则进行计算，然后判断其正确性．本题主要考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：选项A：，此选项错误． 选项B：∵，， ∴，此选项错误． 选项C：∵ ，此选项正确， 选项D：∵，此选项错误． 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·广东广州·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．分别计算各项即可求解． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确 ； 故选：D． 【考点7 二次根式的混合运算】 【例7】（25-26八年级上·江西·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）直接使用二次根式运算性质计算，化简结果即可； （2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算二次根式的乘除，再运用二次根式的性质进行化简，最后运算加减法，即可作答． （2）先整理原式，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和二次根式乘法计算法则去括号，然后计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再计算括号内的减法，最后计算二次根式除法即可得到答案； （3）先化简二次根式和计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【考点8 二次根式中的新定义型问题】 【例8】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）定义运算：．例如．若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求平方根、二次根式的乘法，理解题干中的运算定义是解答的关键．根据题干中运算定义得到，进而得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，由得 ∴ 解得 故答案为： 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二次根式的加减运算，先根据新定义列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【详解】（1）解：因为， 所以， 故答案为：； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：原式 ． 【变式3】（24-25八年级下·山东德州·期末） 为我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数，简称取整，记为．这里，其中是一个整数，，a称为实数x的“小数部分”，记作，所以有．例如，，，，． 关于取整运算有部分性质如下： ①； ②若n为整数，则． 请根据以上材料，解决问题： (1)________；若，则________（用含的式子表示）； (2)记，求； (3)若，求x的值． 【答案】(1)3；； (2) (3)或． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义直接求解即可； （2）先进行分母有理化，找出无理数的取值范围，再根据定义求解即可； （3）先得出，再求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴；； （2） ， ， ， ； （3）， ， ， 解得； ； 是整数， 或， 解得或． 【考点9 二次根式中的规律探究问题】 【例9】（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察】，，，…… 【归纳】（1）若n为自然数，且，将上述规律用含n的式子表达出来； 【推理】（2）对（1）中的结论进行证明． 【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，解此题的关键是能根据已知得出规律． （1）根据已知的等式即可写出第n个式子； （2）根据二次根式的运算法则进行验证． 【详解】解：（1）根据已知等式可得． （2）等式左边． ∵， ∴等式右边． ∴， 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题关键． （1）观察已知等式规律作答即可； （2）观察已知等式规律作答即可； （3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小． 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）先阅读，再解答：由可以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ． 请完成下列问题： (1)的有理化因式是______； (2)化去式子分母中的根号：______；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题考查了二次根式的运算、分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）利用有理化因式，化去分母中的根号即可； （3）利用的规律化简式子，再利用平方差公式即可计算． 【详解】（1）解：， 所以的有理化因式是． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：； （3）解：， 原式 ． 【变式3】（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）观察各个特例可知：等式左边被开方数的被减数等号右边二次根式的系数特例序号，等式左边被开方数的减数等号右边的被开方数，由此规律求出答案即可； （2）按照（1）中的特例找出规律，进行解答即可； （3）根据（2）中找出规律，求出a，b，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在实数，，，，，中，无理数的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查无理数，算术平方根，化简二次根式．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数的类型，即可求解． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； ，其中是无理数，故是无理数； ，其中是无理数，故是无理数； ，其中是无理数，故是无理数； 是有限小数，属于有理数。 ∴ 无理数有 、、 共3个． 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算规则，运用定义判断法，解题关键是准确掌握二次根式的运算性质，易错点是混淆同类二次根式及运算公式，解题思路是依据二次根式的加减、乘除及化简规则逐一分析选项． 【详解】解：选项A：和不是同类二次根式，不能直接相加， ，不符合题意； 选项B：，，不符合题意；    选项C：，，不符合题意； 选项D：， 符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）对实数，定义一种新运算△，规定：（其中，均为非零常数），例如：．若，．则下列结论： ①，； ②若，则； ③若，则，有且仅有5组整数解； ④如果，那么或； 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此本题考查了实数的运算，①由新运算法则得到关于a，b的方程组，解之即可求出a，b的值，判断即可；②已知等式利用题中新定义化简，求出d的值，求出的值，判断即可；③已知等式利用题中新定义化简，把a与b的值代入，根据p、q为正整数，判断即可；④已知等式利用题中新定义化简，整理得到关系式，判断即可． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：，故选项①正确； ②根据题意得：，，∴，解得，∴，故②错误； ③，∴，整理得：，当时，，∴p、q有且仅有3组正整数解，选项③错误； ④如果，则， ∴，即， ∴或，即或，选项④正确， 综上所述，结论正确的个数有2个． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·广东佛山·期末）的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算． 先估算的范围，确定的整数部分，再根据小数部分的求法计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 因此小数部分为． 故答案为：． 6．（24-25九年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二根式的性质、同类二次根式、最简二次根式、解一元一次方程等知识点，掌握同类二次根式定义是解题的关键． 先把化简为，然后再根据最简二次根式与二次根式能够合并，由同类二次根式的定义可得，然后解一元一次方程即可解答． 【详解】解：， 最简二次根式与二次根式能够合并， ∴最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ，解得：. 故答案为：4． 7．（24-25八年级下·四川南充·期末）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，勾股定理，三角形三边的关系，利用勾股定理可求出，由线段的和差关系可得，根据即可得到答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由三角形三边的关系可得，， ∴， 故答案为：． 8．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题 9．（23-24七年级下·辽宁营口·期末）（1）计算：     （2）已知，求x的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了立方根，二次根式的加法运算，运用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值和立方根，再运算加减，即可作答． （2）先将方程两边同时乘，再根据平方根解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ∴， 解得． 10．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． （1）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算； （2）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算． 【详解】（1） （2） 11．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，； (2)3 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根的定义可直接求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，； （2）当，时，， ∴的立方根为3． 12．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，实数的运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，，从而得出，，，再计算算术平方根后合并同类项即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ； （2）解：当，时， 原式． 13．（23-24七年级下·陕西延安·期末）先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题主要考查无理数的估算，求平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，求出a，b的值，然后代入求值，再根据平方根定义解答即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 14．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请直接写出第5个等式：______（不用化简）； (2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（为正整数），并证明等式成立； (3)利用（2）的结论计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、规律型数字的变化美，解决本题的关键是根据示例发现规律写出式子． （1）根据示例，可得第5个等式：不用化简； （2）； （3）利用（2）的结论，将数据代入计算即可． 【详解】（1）解：第5个等式是：不用化简， 故答案为：； （2）第n个等式为正整数为：， 证明：因为n为正整数， 所以有： ； （3） ． 15．（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $