第07课 露在外面的面（导学案）五年级数学寒假自学课（北师大版）

第07课 露在外面的面 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察、操作和分析，理解“露在外面的面”的含义，能区分露在外面的面与长方体表面积的不同，掌握单个及多个长方体组合时露在外面的面的数量及总面积的计算方法。 （2）能根据长方体不同的摆放方式（如横排、竖排、叠放等），运用“方向观察法”有序判断露在外面的面的数量，理解遮挡关系对露在外面的面的影响，准确计算露在外面的面的总面积。 （3）在探究长方体露在外面的面的过程中，进一步发展空间观念和几何直观能力，能运用所学知识解决生活中与物体堆放、包装等相关的实际问题，感受数学与生活的联系。 2.重难点 重点：掌握多个长方体组合时露在外面的面的数量计算方法，能准确计算露在外面的面的总面积。 难点：理解长方体不同摆放方式下的遮挡关系，建立“从不同方向观察”的有序思考模式，区分露在外面的面与表面积的差异。 模块二 预习引导 一、露在外面的面的概念理解 1.定义： 当长方体摆放在桌面上或与其他长方体组合时，没有被桌面遮挡且未被其他长方体遮挡，能直接观察到的面叫作露在外面的面。 2.与表面积的区别： 长方体的表面积是6个面的总面积（无论是否被遮挡）；露在外面的面是实际能看到的面的面积总和（需排除被桌面遮挡或被其他长方体遮挡的面）。 示例：1个长3cm、宽2cm、高1cm的长方体放在桌面上，露在外面的面有5个（上、前、后、左、右），底面（长×宽的面）被桌面遮挡，露在外面的面的总面积=上面（3×2）+前面（3×1）+后面（3×1）+左面（2×1）+右面（2×1）=6+3+3+2+2=16cm²。 二、单个长方体露在外面的面 1.基本情况： 放在桌面上时，露在外面的面有5个（上、前、后、左、右），底面被遮挡； 若长方体有2个相对面是正方形（如长=宽≠高），需注意不同面的面积计算（如上面是正方形，前、后、左、右是长方形）。 2.特殊情况： 若长方体悬挂在空中（无任何遮挡），露在外面的面有6个，即其表面积。 三、多个长方体组合时露在外面的面（基础摆放方式） 1.横排或竖排摆放（无叠放，如n个相同长方体排成一排放在桌面上） 观察方法：从不同方向有序观察——上面、前面、后面、左面、右面（底面被遮挡，不计算）。示例：2个长a、宽b、高h的长方体并排放在桌面上（左右排列，宽重合）： 上面：能看到2个面（每个长方体的上面），面积=2×(a×b) 前面：能看到1个面（2个长方体前面重合为1个大面），面积=a×h 后面：与前面相同，面积=a×h 左面：能看到1个面（左侧长方体的左面），面积=b×h 右面：能看到1个面（右侧长方体的右面），面积=b×h总露在外面的面的面积=2ab+2ah+2bh 规律总结：每增加1个长方体（横排），露在外面的面增加2个侧面（左/右）和上面，减少1个重合面（重合的侧面面积需减去）。 2.叠放摆放（如n个相同长方体竖直叠放在桌面上，高重合） 观察方法：侧面（前、后、左、右）均为1个大面，上面为1个面，底面被遮挡。 示例：2个长a、宽b、高h的长方体叠放在桌面上： 上面：1个面，面积=a×b 前面：1个面（2个长方体前面叠合为1个大面），面积=a×(2h) 后面：与前面相同，面积=a×(2h) 左面：1个面，面积=b×(2h) 右面：与前面相同，面积=b×(2h)总露在外面的面的面积=ab+2a(2h)+2b(2h)=ab+4ah+4bh 规律总结：竖直叠放时，侧面面积随叠放个数增加而增大，上面始终为1个面。 3.多层多列摆放（如2×2的长方体组合，即底层2个并排，上层2个并排叠放） 方法：“方向观察法”——分别从上面、前面、右面观察，数出每个方向能看到的面的数量，计算每个方向的面积总和（相对方向面积相同，如前面=后面，左面=右面，可算一个方向再乘2）。 示例：2×2的长方体组合（每个长a、宽b、高h）： 上面：4个面（每个长方体的上面），面积=4ab 前面：2个面（底层前面1个，上层前面1个），面积=2ah 后面：与前面相同，面积=2ah 左面：2个面（左侧底层1个，左侧上层1个），面积=2bh 右面：与左面相同，面积=2bh总露在外面的面的面积=4ab+4ah+4bh 四、动手操作与规律探究 实物摆放：用3-4个相同的长方体小木块（如橡皮擦、文具盒），尝试以下摆放方式，观察并记录露在外面的面的数量及面积： ①1个长方体放在桌面上；②2个横排摆放；③2个叠放；④2×2组合摆放。记录表格： 摆放方式 露在外面的面的数量 总面积（假设长=2cm，宽=1cm，高=1cm） 单个长方体 5个 2×1+2×1×2+1×1×2=2+4+2=8cm² 2个横排 8个 2×(2×1)+2×(2×1)+2×(1×1)=4+4+2=10cm² 2个叠放 8个 2×1+2×(2×2)+2×(1×2)=2+8+4=14cm² 画图分析：画出不同摆放方式的长方体组合，从上面、前面、右面三个方向画出“视图”，标注每个方向看到的面的长和宽，验证计算的总面积是否正确。 五、实际应用与生活联系 1.堆放问题：仓库里的长方体纸箱堆放时，为什么尽量让大面重合？（减少露在外面的面，降低灰尘附着面积，节省空间）。 2.包装问题：将4盒牛奶（长方体，长6cm、宽4cm、高10cm）捆扎在一起，怎样摆放能使露在外面的面最少？（提示：让最大的面重合，如长×高的面重合，减少暴露的大面积）。 3.建筑问题：观察家里的书柜，书籍竖直摆放时露在外面的面是哪些？横放时与竖放时露在外面的面有什么不同？ 六、易错点提示 1.漏算或重复计算：数面时容易忽略“被遮挡后剩余的小面”（如多个长方体叠放时，侧面可能有部分未被完全遮挡），建议用“方向观察法”（上、前、右各观察一次，相对方向乘2）有序计数。 2.忽略底面遮挡：只要物体放在桌面上，底面永远不外露，计算时一定不要计入；若物体悬空（如挂在墙上），则需考虑所有面是否外露。 3.混淆长方体与正方体：正方体是特殊的长方体（长=宽=高），计算露在外面的面时，单个面面积=棱长×棱长，可直接用“面的数量×单个面面积”；长方体需区分不同面的长和宽，不能简单用固定面积计算。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．从一个长方体上面挖去一个小正方体(如图)，这个长方体的表面积(　　)。 A．不变 B．减少了 C．增加了 D．无法确定 2．将4个完全相同的正方体纸箱堆放在墙角，露在外面的面积最小的是(　　) A． B． C． D． 3．用小正方体搭成如图的大正方体，如果（　　）块小正方体，剩下图形的表面积最大。 A．拿走任意 B．拿走A C．拿走B D．拿走C 4．4个棱长10厘米的正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？（　　） A．90 B．900 C．360 5．文文和明明分别用7个相同的小正方体搭成两个立体图形，他俩搭的立体图形露在外面的面(　　)。 A．文文的比较多 B．明明的比较多 C．一样多 D．无法比较 6．如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，要使剩下的图形表面积最大，应该（　　） A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号 7．如图，桌子上一共有_____个棱长1dm的小正方体，这个组合体的表面积是_____dm2。（不计算接触桌面的部分） （　　） A．11，30 B．9，38 C．11，38 D．以上都不对 8．用27个棱长1厘米的小正方体摆出图①所示的正方体模型。从这个正方体模型中拿走2个小正方体，可以得到图②、图③、图④所示的立体模型，与图①的表面积比较，下面说法正确的是(　　) A．图②的表面积减少 1c m2 B．图③的表面积增加 4c m2 C．图③的表面积增加 2c m2 D．图④的表面积增加 3cm2 二、判断题 9．3个相同的正方体放在墙角处，至少有9个面露在外面。( ) 10．三个相同的正方体排成一列放在墙角，有7个面露在外面。(　　) 11．如图是5个小正方体堆放在墙角处，露在外面的面有9个。（　　） 12．3个棱长为2cm的正方体放在墙角(如图)，露在外面的面积是28cm2。(　　) 三、填空题 13．先观察下图，找出小正方体的个数与露在外面的面的个数变化的规律，然后把表格填完整。 小正方体的个数 1 2 3 4 ... 8 ... n 露在外面的面/个 5 9 　 　 ... 　 ... 　 14．如下图，4个棱长都是2厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是　 　平方厘米。 15．如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有　 　个，露在外面的面积是　 　cm2。 16．一个棱长为12的正方体是由1728个木制棱长是1的小正方体堆垒而成的，那么，你从一个角度最多能看到　 　个棱长是1的小正方体。 17．李老师把棱长为3分米的正方体纸箱放在墙角处(下图)，一共放了　 　个纸箱，有　 　个面露在外面，露在外面的面积是　 　平方分米。 18．如图是由125个大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色，两面涂色的小正方体有　 　个，一面涂色的小正方体有　 　个。 19．1000个体积为1立方厘米的小正方体和在一起成为一个边长是10厘米的大正方体大正方体表面涂油漆后在分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是　 　 个。 20．有100 个棱长为士厘米的正方体木块，表面均为白色；还有25个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为蓝色。将这125个正方体木块粘在一起，形成一个大正方体，则大正方体的表面为白色的面积至少是　 　平方厘米。 21．把若干个1分米的小正方体摆成2层放在墙角处(如图所示)，我们能看到的图形是它的　 　面，看到图形是它的　 　面，看到是它的　 　面。这个立体图的体积是　 　立方分米。 22．一个正方体木块，棱长5厘米，现在在它的六个面上都涂土红色，然后把它锯成棱长是1厘米的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，三个面有红色的小正方体是　 　块；两个面有红色的小正方体是　 　块；一个面有红色的小正方体是　 　块；六个面都没有红色的小正方体是　 　块，是　 　立方厘米。 四、解答题 23．将小正方体木块按下图所示的方式摆在墙角，数一数，一共有多少个面露在外面？ 24．在一个正方体木块的6个面都涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1 cm的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体共有多少个？ 提示：根据两百涂红色的个数，可推算出一条棱上有多少个两面是涂红色的。 25．现有一个长6cm、宽5 cm、高3 cm的长方体木块，先在它的六个面上都涂上红色，然后把它锯成棱长为1 cm的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？一面呢？没有涂红色的呢？ 26．如下图，将若干个棱长为1分米的小正方体堆放在墙角。 （1）墙角一共堆放了多少个小正方体？ （2）这些小正方体露在外面的小正方形一共有多少个？露在外面的总面积是多少平方分米？ 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07课 露在外面的面 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察、操作和分析，理解“露在外面的面”的含义，能区分露在外面的面与长方体表面积的不同，掌握单个及多个长方体组合时露在外面的面的数量及总面积的计算方法。 （2）能根据长方体不同的摆放方式（如横排、竖排、叠放等），运用“方向观察法”有序判断露在外面的面的数量，理解遮挡关系对露在外面的面的影响，准确计算露在外面的面的总面积。 （3）在探究长方体露在外面的面的过程中，进一步发展空间观念和几何直观能力，能运用所学知识解决生活中与物体堆放、包装等相关的实际问题，感受数学与生活的联系。 2.重难点 重点：掌握多个长方体组合时露在外面的面的数量计算方法，能准确计算露在外面的面的总面积。 难点：理解长方体不同摆放方式下的遮挡关系，建立“从不同方向观察”的有序思考模式，区分露在外面的面与表面积的差异。 模块二 预习引导 一、露在外面的面的概念理解 1.定义： 当长方体摆放在桌面上或与其他长方体组合时，没有被桌面遮挡且未被其他长方体遮挡，能直接观察到的面叫作露在外面的面。 2.与表面积的区别： 长方体的表面积是6个面的总面积（无论是否被遮挡）；露在外面的面是实际能看到的面的面积总和（需排除被桌面遮挡或被其他长方体遮挡的面）。 示例：1个长3cm、宽2cm、高1cm的长方体放在桌面上，露在外面的面有5个（上、前、后、左、右），底面（长×宽的面）被桌面遮挡，露在外面的面的总面积=上面（3×2）+前面（3×1）+后面（3×1）+左面（2×1）+右面（2×1）=6+3+3+2+2=16cm²。 二、单个长方体露在外面的面 1.基本情况： 放在桌面上时，露在外面的面有5个（上、前、后、左、右），底面被遮挡； 若长方体有2个相对面是正方形（如长=宽≠高），需注意不同面的面积计算（如上面是正方形，前、后、左、右是长方形）。 2.特殊情况： 若长方体悬挂在空中（无任何遮挡），露在外面的面有6个，即其表面积。 三、多个长方体组合时露在外面的面（基础摆放方式） 1.横排或竖排摆放（无叠放，如n个相同长方体排成一排放在桌面上） 观察方法：从不同方向有序观察——上面、前面、后面、左面、右面（底面被遮挡，不计算）。示例：2个长a、宽b、高h的长方体并排放在桌面上（左右排列，宽重合）： 上面：能看到2个面（每个长方体的上面），面积=2×(a×b) 前面：能看到1个面（2个长方体前面重合为1个大面），面积=a×h 后面：与前面相同，面积=a×h 左面：能看到1个面（左侧长方体的左面），面积=b×h 右面：能看到1个面（右侧长方体的右面），面积=b×h总露在外面的面的面积=2ab+2ah+2bh 规律总结：每增加1个长方体（横排），露在外面的面增加2个侧面（左/右）和上面，减少1个重合面（重合的侧面面积需减去）。 2.叠放摆放（如n个相同长方体竖直叠放在桌面上，高重合） 观察方法：侧面（前、后、左、右）均为1个大面，上面为1个面，底面被遮挡。 示例：2个长a、宽b、高h的长方体叠放在桌面上： 上面：1个面，面积=a×b 前面：1个面（2个长方体前面叠合为1个大面），面积=a×(2h) 后面：与前面相同，面积=a×(2h) 左面：1个面，面积=b×(2h) 右面：与前面相同，面积=b×(2h)总露在外面的面的面积=ab+2a(2h)+2b(2h)=ab+4ah+4bh 规律总结：竖直叠放时，侧面面积随叠放个数增加而增大，上面始终为1个面。 3.多层多列摆放（如2×2的长方体组合，即底层2个并排，上层2个并排叠放） 方法：“方向观察法”——分别从上面、前面、右面观察，数出每个方向能看到的面的数量，计算每个方向的面积总和（相对方向面积相同，如前面=后面，左面=右面，可算一个方向再乘2）。 示例：2×2的长方体组合（每个长a、宽b、高h）： 上面：4个面（每个长方体的上面），面积=4ab 前面：2个面（底层前面1个，上层前面1个），面积=2ah 后面：与前面相同，面积=2ah 左面：2个面（左侧底层1个，左侧上层1个），面积=2bh 右面：与左面相同，面积=2bh总露在外面的面的面积=4ab+4ah+4bh 四、动手操作与规律探究 实物摆放：用3-4个相同的长方体小木块（如橡皮擦、文具盒），尝试以下摆放方式，观察并记录露在外面的面的数量及面积： ①1个长方体放在桌面上；②2个横排摆放；③2个叠放；④2×2组合摆放。记录表格： 摆放方式 露在外面的面的数量 总面积（假设长=2cm，宽=1cm，高=1cm） 单个长方体 5个 2×1+2×1×2+1×1×2=2+4+2=8cm² 2个横排 8个 2×(2×1)+2×(2×1)+2×(1×1)=4+4+2=10cm² 2个叠放 8个 2×1+2×(2×2)+2×(1×2)=2+8+4=14cm² 画图分析：画出不同摆放方式的长方体组合，从上面、前面、右面三个方向画出“视图”，标注每个方向看到的面的长和宽，验证计算的总面积是否正确。 五、实际应用与生活联系 1.堆放问题：仓库里的长方体纸箱堆放时，为什么尽量让大面重合？（减少露在外面的面，降低灰尘附着面积，节省空间）。 2.包装问题：将4盒牛奶（长方体，长6cm、宽4cm、高10cm）捆扎在一起，怎样摆放能使露在外面的面最少？（提示：让最大的面重合，如长×高的面重合，减少暴露的大面积）。 3.建筑问题：观察家里的书柜，书籍竖直摆放时露在外面的面是哪些？横放时与竖放时露在外面的面有什么不同？ 六、易错点提示 1.漏算或重复计算：数面时容易忽略“被遮挡后剩余的小面”（如多个长方体叠放时，侧面可能有部分未被完全遮挡），建议用“方向观察法”（上、前、右各观察一次，相对方向乘2）有序计数。 2.忽略底面遮挡：只要物体放在桌面上，底面永远不外露，计算时一定不要计入；若物体悬空（如挂在墙上），则需考虑所有面是否外露。 3.混淆长方体与正方体：正方体是特殊的长方体（长=宽=高），计算露在外面的面时，单个面面积=棱长×棱长，可直接用“面的数量×单个面面积”；长方体需区分不同面的长和宽，不能简单用固定面积计算。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．从一个长方体上面挖去一个小正方体(如图)，这个长方体的表面积(　　)。 A．不变 B．减少了 C．增加了 D．无法确定 【答案】C 【解析】解：从一个长方体上面挖去一个小正方体，表面积比原来少了2个小正方体的面，又增加了4个小正方体的面，所以表面积增加。 故答案为：C。 【分析】比较挖去前小正方体面的个数是增加还是减少，小正方体面的个数增加了，表面积就增加，小正方体面的个数减少了，表面积就减少。 2．将4个完全相同的正方体纸箱堆放在墙角，露在外面的面积最小的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A：露在外面的有9个面； B：露在外面的有9个面； C：露在外面的有8个面； D：露在外面的有9个面。 故答案为：C。 【分析】分别数出每个选项中的图形有几个面露在外面，然后选择露在外面的面积最小的图形。 3．用小正方体搭成如图的大正方体，如果（　　）块小正方体，剩下图形的表面积最大。 A．拿走任意 B．拿走A C．拿走B D．拿走C 【答案】D 【解析】解：如果拿走C块小正方体，剩下图形的表面积最大。 故答案为：D。 【分析】拿走A块小正方体，少了3个正方形的面积，同时也增加了3个正方形的面积，表面积不变；拿走B块小正方体，少了2个正方形的面积，同时也增加了4个正方形的面积，表面积增加了2个正方形的面积；拿走C块小正方体，少了1个正方形的面积，同时也增加了5个正方形的面积，表面积增加了4个正方形的面积。 4．4个棱长10厘米的正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？（　　） A．90 B．900 C．360 【答案】B 【解析】解：3×3＝9（个） 10×10×9 ＝100×9 ＝900（平方厘米）。 故答案为：B。 【分析】露在外面的面积=每个正方体的棱长×棱长×露在外面的面的个数。 5．文文和明明分别用7个相同的小正方体搭成两个立体图形，他俩搭的立体图形露在外面的面(　　)。 A．文文的比较多 B．明明的比较多 C．一样多 D．无法比较 【答案】B 【解析】解：文文搭的露在外面的面有4×5=20个，明明搭的露在外面的面有6×2+4×2+4=24个，所以明明的比较多。 故答案为：B。 【分析】与地面接触的部分不是露在外面的面。文文搭的图形上面、左右面、前后面露在外面的都是4个面；明明搭的图形前后面分别露在外面6个；左右面分别露在外面4个，上面露在外面4个；由此分别判断露在外面面的个数即可。 6．如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，要使剩下的图形表面积最大，应该（　　） A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号 【答案】A 【解析】解：取走①号后减少了小正方体一个面的面积，增加了5个小正方体面的面积，则剩下的表面积最大。 故答案为：A。 【分析】观察取出一块小正方体后增加小正方体面的个数，增加面的个数最多时，增加的表面积最大。 7．如图，桌子上一共有_____个棱长1dm的小正方体，这个组合体的表面积是_____dm2。（不计算接触桌面的部分） （　　） A．11，30 B．9，38 C．11，38 D．以上都不对 【答案】A 【解析】解：1+2+8=11（个） 桌子上一共有11个棱长1dm的小正方体， 5+7+18=30（平方分米） 这个组合体的表面积是30平方分米。 故答案为：A。 【分析】最上面一层的小正方体数+中间一层的小正方体数+最下面一层的小正方体数=小正方体的总数；最上面一层露在外面的面+中间一层露在外面的面+最下面一层露在外面的面=一共露在外面的面；1个面的面积是1平方分米，露在外面几个面，露在外面的面的面积就是几平方分米。 8．用27个棱长1厘米的小正方体摆出图①所示的正方体模型。从这个正方体模型中拿走2个小正方体，可以得到图②、图③、图④所示的立体模型，与图①的表面积比较，下面说法正确的是(　　) A．图②的表面积减少 1c m2 B．图③的表面积增加 4c m2 C．图③的表面积增加 2c m2 D．图④的表面积增加 3cm2 【答案】B 【解析】解：A项：图②的表面积与图①相等，原题干说法错误； B项：7-3=4（平方厘米），图③的表面积增加4平方厘米，原题干说法正确； C项：7-3=4（平方厘米），图③的表面积增加4平方厘米，原题干说法错误； D项：8-1=7（平方厘米），图④的表面积增加7平方厘米，原题干说法错误。 故答案为：B。 【分析】分别数出拿走2个小正方体后增加、减少小正方体面的个数就是增加或减少的面积。 二、判断题 9．3个相同的正方体放在墙角处，至少有9个面露在外面。( ) 【答案】错误 【解析】解：3个相同的正方体放在墙角处，有7个面露在外面。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】把正方体放在墙角处，靠墙和与地面接触的面都不是露在外面的面。 10．三个相同的正方体排成一列放在墙角，有7个面露在外面。(　　) 【答案】正确 【解析】解：3+2+2=7（个） 即有7个面露在外面，所以原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】根据题意可知三个相同的正方体排成一列放在墙角时，最上面的正方体外露3个面，其他两个正方体都外露2个面，因此，一共有3+2+2=7个外露面，据此可以判断。 11．如图是5个小正方体堆放在墙角处，露在外面的面有9个。（　　） 【答案】错误 【解析】解：如图是5个小正方体堆放在墙角处，露在外面的面有10个。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】上面露在外面的有5个，前面露在外面的有2个，右面露在外面的有3个，露在外面的面共10个。 12．3个棱长为2cm的正方体放在墙角(如图)，露在外面的面积是28cm2。(　　) 【答案】正确 【解析】解：2×2×7 =4×7 =28（cm2） 故答案为：正确。 【分析】观察图形，露在外面的面积为7个正方形的面积，已知正方体的棱长，即正方形的边长，根据“正方形面积=边长×边长”进行计算即可。 三、填空题 13．先观察下图，找出小正方体的个数与露在外面的面的个数变化的规律，然后把表格填完整。 小正方体的个数 1 2 3 4 ... 8 ... n 露在外面的面/个 5 9 　 　 ... 　 ... 　 【答案】 小正方体的个数 1 2 3 4 ... 8 ... n 露在外面的面/个 5 9 13 17 ... 33 ... 4n+1 【解析】解：3个小正方体：4×3+1=13（个）；4个小正方体：4×4+1=17（个）；8个小正方体：4×8+1=33（个）；n个小正方体：4n+1（个） 故答案为：13；17；33；4n+1。 【分析】看图可知有2个小正方体时与1个小正方体比较露在外面的面的个数只增加了4个侧面，上面个数不变是1个，3个小正方体即再增加一个小正方体时露在外面的面的个数也只增加了4个侧面，因此，规律是：4×小正方体的个数+1个上面=露在外面的面的总个数。 14．如下图，4个棱长都是2厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是　 　平方厘米。 【答案】36 【解析】解：根据题意，可得 2×2×（4＋3＋2） ＝4×9 ＝36（平方厘米） 答：露在外面的面积是36平方厘米 故答案为：36 【分析】根据图形可知，正面外露4个正方形面，上面外露3个正方形面，右面外露2个正方形面，根据正方形的面积公式计算出每一个面的面积乘总的面数即可。 15．如图是由棱长为2cm的小正方体在墙角堆成的，露在外面的面共有　 　个，露在外面的面积是　 　cm2。 【答案】13；52 【解析】解：3＋5＋5=13（个） 2×2×13 =4×13 =52（平方厘米）。 故答案为：13；52。 【分析】露在外面的面共有的个数=前面露出面的个数＋右 面露出面的个数＋上面露出面的个数； 露在外面的面积=正方体的棱长×棱长× 露在外面的面共有的个数。 16．一个棱长为12的正方体是由1728个木制棱长是1的小正方体堆垒而成的，那么，你从一个角度最多能看到　 　个棱长是1的小正方体。 【答案】397． 【解析】解：从一个角度最多能看到棱长是1的小正方体的个数为：12×12＋12×11＋11×11＝144＋132＋121＝397（个）． 故答案为：397． 【分析】由于从一个角度最多能看到正方体的三个面，找到这三个面的正方体的个数即可求解． 17．李老师把棱长为3分米的正方体纸箱放在墙角处(下图)，一共放了　 　个纸箱，有　 　个面露在外面，露在外面的面积是　 　平方分米。 【答案】9；16；144 【解析】解：1+3+5=9（个）； 3×5+1 =15+1 =16（个）； 3×3×16 =9×16 =144（平方分米） 故答案为：9；16；144。 【分析】看图及根据题意可知：最下面一层有5个正方体纸箱，中间一层有3个正方体纸箱，最上面一层有1个正方体纸箱，因此，一共有1+3+5=9个正方体纸箱；看图可知外露3个面的有5个正方体纸箱，外露1个面的有1个正方体纸箱，因此，一共有3×5+1=16个面露在外面；棱长×棱长=一个面的面积，棱长×棱长×露在外面的面的个数=露在外面的面积和。 18．如图是由125个大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色，两面涂色的小正方体有　 　个，一面涂色的小正方体有　 　个。 【答案】36；54 【解析】解：5×5×5=125（个），（5-2）×12=36（个），所以两面涂色的小正方体有36个；（5-2）×（5-2）×6=54（个），所以一面涂色的小正方体有54个。 故答案为：36；54。 【分析】边长是5的正方体，面积是125； 正方体中，两面涂色的正方体的个数=（大正方体的每条边有小正方体的个数-2）×12；一面涂色的正方体的个数=（大正方体的每条边有小正方体的个数-2）×（大正方体的每条边有小正方体的个数-2）×6。 19．1000个体积为1立方厘米的小正方体和在一起成为一个边长是10厘米的大正方体大正方体表面涂油漆后在分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是　 　 个。 【答案】488 【解析】解：处在顶点的， 有三面涂色的： 8 个； 处在棱的中间的， 有两面涂色的： (个)； 处在每个面的中间的： (个)； 至少有一面被涂过的： (个) 故答案为：488。 【分析】根据题意至少有一面被涂过就是找拼成的大正方体所有外露面的个数，有三种外露面的情况：大正方体八个顶点所在位置的小正方体外露3个面，大正方体每条棱所在位置的小正方体外露2个面，其他大正方体表面位置的小正方体外露1个面； 因此外露面的小正方体的个数为：①八个顶点处的外露3个面的有8个小正方体； ②每一条棱长－2个顶点处的小正方体=一条棱上的外露2个面的小正方体个数，即外露2个面的小正方体有：（每一条棱长－2个顶点处的小正方体）×12条棱； ③（每一条棱长－2）×（每一条棱长-2）=每一个面上的外露1个面的小正方体的个数，因此一共有：（每一条棱长－2）×（每一条棱长-2）×6个面=总的外露1个面的小正方体的个数； 综上分析，至少有一面被涂过的小正方体有：8+（每一条棱长－2个顶点处的小正方体）×12条棱+（每一条棱长－2）×（每一条棱长-2）×6个面=总的外露面的小正方体个数，据此可以解答。 20．有100 个棱长为士厘米的正方体木块，表面均为白色；还有25个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为蓝色。将这125个正方体木块粘在一起，形成一个大正方体，则大正方体的表面为白色的面积至少是　 　平方厘米。 【答案】92 【解析】要使蓝色露在表面的面积和最大，首先把8个蓝色小正方体放在组成的大正方体的顶点上，再把剩下的 17 个放在组成的大正方体的棱上 (棱上可以放 个)； 这样露在表面的蓝色面积和最大， 为： (平方厘米)； 白色的面积为： (平方厘米) 故答案为：92. 【分析】要使组成的大正方体的表面积白色的面积最小，则应该使蓝色露在表面的面积和最大；125个小正方体正好组成一个棱长为5厘米的正方体，由此求得大正方体的表面积，减去蓝色的面积即为白色的面积。 21．把若干个1分米的小正方体摆成2层放在墙角处(如图所示)，我们能看到的图形是它的　 　面，看到图形是它的　 　面，看到是它的　 　面。这个立体图的体积是　 　立方分米。 【答案】前；右；上；7 【解析】解：把若干个1分米的小正方体摆成2层放在墙角处(如图所示)，我们能看到的图形是它的前面，看到图形是它的右面，看到是它的上面。这个立体图的体积是7立方分米。 故答案为：前；右；上；7。 【分析】从不同的方向观察图形，判断出观察到的图形有几个正方形以及每个正方形的位置，然后判断观察的方向。判断出这个图形由几个正方体组成即可确定其体积。 22．一个正方体木块，棱长5厘米，现在在它的六个面上都涂土红色，然后把它锯成棱长是1厘米的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，三个面有红色的小正方体是　 　块；两个面有红色的小正方体是　 　块；一个面有红色的小正方体是　 　块；六个面都没有红色的小正方体是　 　块，是　 　立方厘米。 【答案】8；36；54；27；27 【解析】【分析】根据题意可知，三个面有红色的小正方体是大正方体8个顶点处的小正方体，一共有8个； 大正方体的棱长是5厘米，锯成棱长是1厘米的小正方体木块，每条棱上顶点处的2个小正方体有3面涂色，则剩下的3个小正方体有2个面涂色，12条棱就有3×12=36个小正方体两面涂色； 一个面涂色的是每个面中间的部分，每个面中间有3×3=9个小正方体1个面涂色，6个面一共有9×6=54个； 长方体的体积=棱长×棱长×棱长，由此可以求出可以锯成的小正方体个数，5×5×5=125个，总个数-3面涂色的小正方体个数-两面涂色的小正方体个数-1个面涂色的小正方体个数=六个面都没有涂色的小正方体数量，每个小正方体的体积是1立方厘米，据此求出体积。 四、解答题 23．将小正方体木块按下图所示的方式摆在墙角，数一数，一共有多少个面露在外面？ 【答案】解：(1+2+3+4+5+6)×3=63(个) 答：一共有63个面露在外面。 【解析】【分析】每层都有三个面露出来，从上至下依次有1到6个正方体，所以一共有(1+2+3+4+5+6)×3=63个露在外面。 24．在一个正方体木块的6个面都涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1 cm的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体共有多少个？ 提示：根据两百涂红色的个数，可推算出一条棱上有多少个两面是涂红色的。 【答案】解：108÷12 +2=11(个) (11 -2)2×6 =486(个) 答：只有一面涂红色的小正方体共有486个。 【解析】【分析】用n(n≥3)表示正方体每条棱上小正方体的个数，两面涂红色的小正方体位于棱上，每条棱上有(n-2)个，共有12(n-2)个，据此可求出n。将n代人6(n-2)2即可求出一面涂红色的小正方体的个数。 25．现有一个长6cm、宽5 cm、高3 cm的长方体木块，先在它的六个面上都涂上红色，然后把它锯成棱长为1 cm的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？一面呢？没有涂红色的呢？ 【答案】解：三面涂有红色：8个 两面涂有红色： [(6-2)+(5-2) +(3-2)] ×4=32(个) 一面涂有红色： [(6-2)×(5-2)+(6-2)×(3-2)+(5-2)×(3-2)]×2=38(个) 没有涂红色：(6-2)×(5-2)×(3-2)=12(个) 答：三面涂有红色的有8个，两面涂有红色的有32个，一面涂有红色的有38个，没有涂红色的右12人。 【解析】【分析】对于长方体切割成小正方体后不同涂色情况的小正方体数量，有其特定规律。三面涂色的小正方体在长方体的顶点处；两面涂色的小正方体在每条棱除两端顶点外的位置；一面涂色的小正方体在每个面除去棱边的位置；没有涂色的小正方体在长方体内部。根据长方体的长、宽、高以及小正方体棱长来分别计算不同涂色情况的小正方体数量。 26．如下图，将若干个棱长为1分米的小正方体堆放在墙角。 （1）墙角一共堆放了多少个小正方体？ （2）这些小正方体露在外面的小正方形一共有多少个？露在外面的总面积是多少平方分米？ 【答案】（1）解：1+5+8=14(个) 答：墙角一共堆放了14个小正方体。 （2）解：8+7+6=21(个) 1×1×21=21(平方分米) 答：这些小正方体露在外面的小正方形一共有21个，露在外面的总面积是21平方分米。 【解析】【分析】本题通过数小正方体的个数和数露在外面的小正方形的个数，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力。 (1)数小正方体的个数可分上、中、下三层，分别数出每层个数，上层有1个，中间层有5个，下层有8个，再相加。 (2)这个几何体露在外面的部分包括从上面、前面和右面这三个方向看到的图形，从上面可以看到8个小正方形，从前面可以看到7个小正方形，从右面可以看到6个小正方形，再相加。 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $