精品解析：上海市第六十中学2026届高三第一学期11月期中测试数学试题

2025学年第一学期11月期中测试（2025.11.10） 高三年级 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 集合，，则________. 2. 已知向量，则_______________． 3. 已知复数，则__________. 4. 不等式的解集是________. 5. 设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为_____. 6. 已知实数、满足，则的最小值为________． 7. 若直线是曲线在处的切线，则直线的倾斜角为________.（结果可用反三角形式表示） 8. 已知 ，则方程的解集为__________. 9. 函数的最小值为______. 10. 已知，，，函数图象上的每一点纵坐标不动，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，的部分图象如图所示．若，则 ________． 11. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则________秒. 12. 已知平面向量满足，且对任意的实数t ，均有，则的最小值为________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 15. 已知 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若 ，则以下关于“”的选项，结论正确的是（ ） A. 存在 满足 B. 存在锐角 满足 C. 该表达式不存在最大值 D. 该表达式不存在最小值 16. 若存在实数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数 都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.有下列命题：①和之间存在唯一的“隔离直线”；②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为，则（ ） A. ①､②都是真命题 B. ①､②都是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知向量，其中，若函数的最小正周期为. （1）求的单调增区间； （2）在 中，若，求的值. 18. 已知函数是定义在 上的偶函数. （1）当时，，求时，的表达式； （2）当时，，若实数满足，求的取值范围. 19. 如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角，总造价为W元． （1）试将W表示为的函数，并写出的取值范围； （2）问当AM的长为多少时，能使总造价W最小． 20. 如图，已知椭圆： 的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值； （3）若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大． 21. 定义域为 的函数存在导函数，如果对于定义域 上的任意实数 ，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. （1）若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； （2）若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； （3）已知定义域为的函数 的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期11月期中测试（2025.11.10） 高三年级 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 集合，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的概念运算. 【详解】由题意得，. 故答案为： 2. 已知向量，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以， 故答案为： 3. 已知复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共轭复数概念以及实部、虚部概念可得. 【详解】根据可得，， 所以. 故答案为： 4. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】等价于且，得， 故不等式的解集是. 故答案为： 5. 设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 6. 已知实数、满足，则的最小值为________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据对数运算和基本不等式求得正确答案. 【详解】， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：20 7. 若直线是曲线在处的切线，则直线的倾斜角为________.（结果可用反三角形式表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求出. 【详解】因为，所以， 当时，即直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，则， 则直线的倾斜角为. 故答案为： 8. 已知 ，则方程的解集为__________. 【答案】或， 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 综上可得解集为或， 故答案为；或， 9. 函数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 10. 已知，，，函数图象上的每一点纵坐标不动，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，的部分图象如图所示．若，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象的伸缩变换可得，根据可得，即，由图象对称性求得，进而求出的最小正周期，从而可求的值. 【详解】由，函数图象上的每一点纵坐标不动， 横坐标缩短到原来的，得到函数的图象， 因， 即，故，也即， 由图象对称性知，，所以， 则函数的最小正周期， 由，解得， 故答案为：. 11. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则________秒. 【答案】0.018 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得和的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，即可解得答案. 【详解】设 ，设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为 ， 而与的离心率之比为，即 ，即 ， 在图①中， ， 两式相减得：， 即.即 的周长为， 在图②中，的周长为, 由题意可知： ， 则 ，故 （秒）， 故答案为：. 12. 已知平面向量满足，且对任意的实数t ，均有，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，判断出对应坐标满足的轨迹，由此确定正确答案. 【详解】依题意，， 在平面直角坐标系中，设，对应向量， ，对应向量，则，则， 由于，所以对应终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 依题意，恒成立，两边平方并化简得恒成立， 所以，整理得， 设，则， 所以对应点的轨迹是直线 . 则表示圆上的点和直线 上的点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解向量问题可以有两个方向，一个是利用几何法来求解，另一个是利用坐标法来求解.用坐标法来求解，是根据题目的已知条件，建立适当的平面直角坐标系，然后用坐标表示向量，由此来对问题进行求解. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案. 【详解】根据题意，抛物线 上一点到其焦点的距离为5， 则点到抛物线的准线的距离也为5，即，解得 ， 所以抛物线的方程为，则，所以 ，即M的坐标为， 又双曲线 的左顶点，一条渐近线为， 而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，解得. 故选：A 15. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若 ，则以下关于“”的选项，结论正确的是（ ） A. 存在满足 B. 存在锐角满足 C. 该表达式不存在最大值 D. 该表达式不存在最小值 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合正弦定理，由 可得，可得，所以，再结合的取值范围判断各选项的正误即可. 【详解】由题意得，因为 ，所以， 由正弦定理可得，，所以， 所以. 因为，所以， 设，则， 由得， 所以在上递减，在上递增， 又，所以， 所以无解，A错误； 若，则，与锐角相矛盾，B错误；由得C正确，D错误. 故选：C. 16. 若存在实数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.有下列命题：①和之间存在唯一的“隔离直线”；②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为，则（ ） A. ①､②都是真命题 B. ①､②都是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】命题①，和有公共点，故隔离直线过该点，设为点斜式，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解； 命题②，设隔离直线为，则对任意 恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解； 【详解】对于命题①，函数和的图像在处有公共点， 若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点， 设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即 由恒成立，即恒成立， （i）当时，则不恒成立，不符合题意； （ii）当时，令，对称轴， 在上单调递增，且，故不恒成立，不符合题意； （iii）当时，令，对称轴， 则，只有，即直线 下面证明，令, 求导，令，得， 当时，，函数 在区间上单调递减； 当时，，函数 在区间单调递增； 故当时，函数 取得极小值，也是最小值，故，即 所以和之间存在唯一的隔离直线. 对于命题②，设和的隔离直线为， 则对任意 恒成立，即对任意 恒成立， 由恒成立，得 （i）当时，则符合题意； （ii）当时，则对任意 恒成立，令， 对称轴，需，即，故 令，对称轴，需， 即，所以，故 同理可得，即，故 故命题①正确，命题②错误； 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“隔离直线”，解题中理解“隔离直线”的定义，注意利用导数研究函数的单调性及最值时解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于难题. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知向量，其中，若函数的最小正周期为. （1）求的单调增区间； （2）在中，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果； （2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 的最小正周期为. 故， 令，解得， 故函数的单调增区间为 【小问2详解】 设中角所对的边分别是. ，即，解得. ， ， . 18. 已知函数是定义在 上的偶函数. （1）当时，，求时，的表达式； （2）当时，，若实数满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可； （2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. 【小问2详解】 当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 19. 如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角，总造价为W元． （1）试将W表示为的函数，并写出的取值范围； （2）问当AM的长为多少时，能使总造价W最小． 【答案】（1）， （2）米 【解析】 【分析】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得，而切线长需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得的取值范围； （2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案. 【小问1详解】 解：过N作AB的垂线，垂足为F，过M作NF的垂线，垂足为G， 在中，，则， 在中，，则， 由题意易得， 所以， ； 【小问2详解】 解：， 令，得，又，所以， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以当时，总造价W最小，最小值为，此时，，， 所以当米时，能使总造价W最小． 20. 如图，已知椭圆： 的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值； （3）若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大． 【答案】（1） ； （2）证明：显然直线不垂直于坐标轴，设的方程为 ，设 ， 由消去x得： ， ， 则 ，而C是AB的中点，即有，于是， 满足，因此 ，定值为1； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出a，b得椭圆的方程作答. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立结合中点问题推理计算作答. （3）利用（2）中信息求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出面积的函数关系，借助均值不等式求解作答. 【小问1详解】 令椭圆的半焦距为c，依题意，，，解得，则 ， 所以椭圆的方程为 . 【小问2详解】 点C的横坐标是定值，该定值为1.理由略. 【小问3详解】 由直线过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线和直线l的斜率互为相反数， 则由（1）得直线的方程为 ，即 ， 由消去x得： ， ， 设 ，则， ，点 到直线： 的距离， 由C是AB的中点得的面积， 令 ，则，当且仅当，即 时取等号， 所以当 时，的面积取得最大值，此时. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 21. 定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. （1）若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； （2）若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； （3）已知定义域为的函数 的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 【答案】（1）具有“2性质”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【小问1详解】 具有“2性质”，理由如下： 因为，所以， 所以， 所以恒成立，所以具有“2性质”； 【小问2详解】 因为，所以， 因为函数在上具有“1性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以， 因为函数在上具有“2性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当 时，对任意的 ，上式恒成立，符号题意； 当 时，恒成立， 设， ， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当 时，恒成立， 设， ， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 要证对任意的，当时，都有恒成立， 不妨设，则，则， 即证恒成立， 即恒成立， 令，， 即存在，使得在上为增函数， 即存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意，当时，不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $