第7章 空间图形的初步认识（复习课件）数学青岛版九年级下册

该初中数学单元复习课件聚焦“空间图形的初步认识”，系统梳理柱体、锥体等空间图形的分类、特征、展开图及表面积体积计算，通过知识图谱串联多面体与旋转体概念，考点串讲明确平面与空间图形联系，构建完整知识网络。 其亮点在于“考点串讲-题型剖析-针对训练”三阶复习策略，题型剖析含“析转判”等步骤指导与变式训练，如最短路线问题通过展开图转化为平面问题，培养空间观念与推理意识，分层设计适配不同学生，助力教师高效备课与学生知识巩固。

单元复习课件 第七章 空间图形的初步认识 青岛版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.深入理解空间图形的基本分类（柱体、锥体、台体、球体等），明确平面图形与空间图形的联系与区别，能通过观察、测量、展开等方式探究空间图形的特征，绘制空间图形的直观图，为后续空间图形的性质研究奠定基础。 3.透彻理解空间图形在实际场景（如建筑设计、包装设计、容器容积计算）中的应用，能结合空间图形的特征分析实际问题中的几何关系，判断设计方案的合理性并提出优化建议。 2. 精准掌握空间图形的相关计算方法（表面积、体积公式法、割补法、等积变换法），能分析空间图形的几何特征与度量关系，熟练运用这些方法求解简单空间图形的表面积和体积；掌握空间图形模型解决实际问题的一般步骤（审、析、算、验、答），能从实际情境中提取空间图形关系并求解。 单元学习目标 空间图形的初步认识 几种常见的几何体 直棱柱的侧面展开图是一个矩形，矩形的一边长是直棱柱的底面周长，另一边长是直棱柱的高 由平面图形旋转得到的空间图形：圆柱、圆锥、球 求直棱柱的侧面积、表面积和体积 直棱柱的侧面展开图 多面体：棱柱、棱锥 单元知识图谱 将矩形以它的一条边所在直线为轴旋转一周，所得的立体图形是一个圆，其中，与轴垂直的两边旋转所成的面分别是圆柱的上底面与下底面，与轴平行的边旋转所成的面是圆柱的侧面 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形的一边长是圆柱的底面圆的周长，另一边长是圆柱的高 圆柱的侧面展开图 圆锥的侧面展开图 求圆柱的侧面积、表面积和体积 把直角三角形以它的一条直角边所在直线为轴旋转一周，所得的立体图形是一个圆锥，另一条直角边旋转所成的面是圆锥的底面，斜边旋转所成的面是圆锥的侧面 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 求圆锥的侧面积、表面积和体积 空间图形的初步认识 单元知识图谱 考点一、多面体 1．由多边形围成的几何体叫做________，围成多面体的多边形的边叫做多面体的______，多边形的顶点叫做多面体的_______。 2．多面体中围成立体图形的面都是____面，没有曲面，而圆柱、圆锥的侧面及球的表面都是曲面，所以它们都不是多面体；多面体是几面体由组成这个立体图形的______决定，正方体、长方体都是六面体，五棱锥也是六面体。 多面体 棱 顶点 平 面数 考点串讲 考点一、多面体 3．从运动的观点来看几何图形的构成： (1) 点动成线：一个点运动形成一条直线或曲线； (2) 线动成面：一条线（直线或曲线）运动可以形成一个面（平面或曲面）； (3) 面动成体：一个面绕着某一条直线（或一个点）旋转运动，它所经过的区域是一个几何体。 考点串讲 均匀地向容器中注水，当水面高度匀速上升时，说明容器的粗细_________，若速度变慢，则容器变_____；若速度变快，则容器变______。 考点二、与立体图形有关的函数图象问题 均匀 粗 细 考点串讲 1．棱柱的相关概念： (1) 棱柱除上、下底面以外其他的面都是______，相邻两个侧面的公共边做棱柱的______。 (2) 棱柱底面的多边形有几条边，就叫做几棱柱，根据底面多边形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……它们底面图形的形状分别是三角形、四边形、五边形…… 考点三、直棱柱的有关概念 侧面 侧棱 考点串讲 2．棱柱的特点： (1) 棱柱的所有侧棱都_________且长度_______，侧棱数、侧面数都等于____________； (2) 棱柱的上、下底面是_____的多边形，且两个底面互相_____； (3) 棱柱的各个侧面都是_______； (4) n棱柱由_____个底面，____个侧面，共_______个面构成，顶点个数为_____，棱的条数为______； (5) 棱柱的侧面积是____________________。 棱柱的表面积是______________________________。 考点三、直棱柱的有关概念 互相平行 相等 底面的边数 全等 平行 矩形 两 n (n+2) 2n 3n 底面周长与侧棱的积 侧面积与上、下底面的面积之和 考点串讲 将棱柱沿一条侧棱剪开，得到棱柱的侧面展开图是一个矩形(或正方形)，矩形的宽等于___________，矩形的长等于______________。 常见的正方体的表面展开图有以下几种形状： (一)“一四一”型： 考点四、直棱柱的侧面展开图和表面展开图 棱柱的侧棱 棱柱底面的周长 考点串讲 (一)“一四一”型： (二)“二三一”型： 考点四、直棱柱的侧面展开图和表面展开图 考点串讲 (三)“三三”型和“二二二”型： 在正方体的展开图中，我们可以看出：①正方体的六个面都是完全相同的正方形；②正方体展开图一行连在一起的正方形最多只能为4个；③以其中一个为底面，前、后、左、右、上面都有，且不重叠；④在同一方向的每间隔一个面的两个面互为对立面． 考点四、直棱柱的侧面展开图和表面展开图 考点串讲 1．圆柱可以看成是由一个_______旋转得到的，如图所示，把矩形ABCD绕直线AB旋转一周得到的图形是一个_______，由边AD和BC旋转所成的面是圆柱的_______，CD旋转所成的面是圆柱的________。 考点五、圆柱的形成及侧面展开图 矩形 圆柱 底面 侧面 考点串讲 1．圆柱可以看成是由一个_______旋转得到的，如图所示，把矩形ABCD绕直线AB旋转一周得到的图形是一个_______，由边AD和BC旋转所成的面是圆柱的_______，CD旋转所成的面是圆柱的________。 2．直线AB叫做圆柱的____，线段AB叫做圆柱 的____，线段CD叫做圆柱的____，圆柱的母线 有______条，母线的长都等于_________，圆柱 的两个底面是两个等圆，且是互相______的。 考点五、圆柱的形成及侧面展开图 矩形 圆柱 底面 侧面 轴 高 母线 无数 圆柱的高 平行 考点串讲 3．如图所示，如果把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，侧面的展开图是_____，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘圆柱的高（圆柱母线的长），圆柱的表面积等于圆柱的侧面积加两个底面的面积。 考点五、圆柱的形成及侧面展开图 矩形 考点串讲 1．圆锥可以看成是一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所形成的图形，斜边旋转而成的曲面叫做_____________，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的______，圆锥是由__________________所围成的。 2．圆锥的母线有________条。 考点六、圆锥的形成 圆锥的侧面 底面 一个底面和一个侧面 无数 考点串讲 考点七、圆锥的侧面积和表面积 1．如图，沿着圆锥上的母线AB，把一个圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，而扇形的半径长等于圆锥的母线AB的长。若圆锥上的母线AB长为l，底面圆的半径长为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积_____________________________。 2．_________________________称为圆锥的表面积。 圆锥的侧面积与底面积的和 考点串讲 题型一、平面图形旋转形成的立体图形 例1：如图，把一个三角形分别沿着它的一条边所在的直线AB旋转一周，各自得到怎样的立体图形？请把旋转后得到的立体图形（下面的一组图形）与相对应的三角形用线段连接起来。 解析：图形(1)旋转后所形成的图形是图形(b)，图形(2)旋转后得到的立体图形是图形(a)，图形(3)旋转后所得到的立体图形是(c)。 题型剖析 1.明确定义步骤——平面图形旋转形成立体图形遵循“析、转、判”。 析图形（分析平面图形的形状、旋转轴），转图形（将平面图形绕旋转轴旋转一周），判形体（判断旋转后形成的立体图形类型及特征）。 2.掌握核心思路——先确定平面图形与旋转轴的位置关系，再想象旋转过程中各边的运动轨迹，后判定形成的立体图形形状，最后分析立体图形的构成与度量特征。 题型一、平面图形旋转形成的立体图形 题型剖析 变式：将选项中的三角形绕直线旋转一周，可以得到如图所示立体图形的是( ) B 题型一、平面图形旋转形成的立体图形 题型剖析 解析：选项A中的三角形绕直线l旋转一周得到的是圆锥，不符合题目所给图形。 选项B中的三角形绕直线l旋转一周得到的是两个底面相同的圆锥底面相对组合而成的立体图形，符合题目所给图形。 选项C中的三角形绕直线l旋转一周得到的是圆锥，不符合题目所给图形。 选项D中的三角形绕直线l旋转一周得到的是圆柱挖去一个圆锥的形状，不符合题目所给图形。 题型一、平面图形旋转形成的立体图形 题型剖析 例2：如图所示是一张铁皮. (1)计算该铁皮的面积； (2)它能否做成一个长方体盒子？若能，画出它的几何图形，并计算它的体积；若不能，请说明理由. 题型二、棱柱的有关计算 题型剖析 解：(1)该铁皮的面积为 (1×3)×2+(2×3)×2+(1×2)×2=6+12+4=22(平方米). (2)能做成一个长方体的盒子，所以它的体积为1×3×2=6(立方米). 题型二、棱柱的有关计算 题型剖析 1.明确定义步骤——棱柱有关计算遵循“析、算、验”。 析棱柱特征（辨底面形状、侧棱数、高与底面边长关系），算棱长和/表面积/体积（依棱柱类型套对应公式），验结果合理性（结合实际意义或公式推导逻辑核对）。 2.掌握核心思路——先分析棱柱的结构特征（确定底面多边形边数、侧棱与底面的位置关系），再选择对应公式计算棱长和、表面积或体积，最后结合棱柱的几何性质验证计算结果是否符合实际。 题型二、棱柱的有关计算 题型剖析 变式：一个四棱柱，它的底面是面积为9的正方形，侧棱长是4，则这个四棱柱的侧面积是_____; 48 题型二、棱柱的有关计算 解析:因为正方形的面积为9,所以边长为3,棱柱的侧面积等于底面周长与侧棱的乘积,所以侧面积为3×4×4=48. 题型剖析 例3：如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______cm. 题型三、最短路线问题 13 题型剖析 题型三、最短路线问题 解：把长方体的侧面展开，如图所示： PA=2×(4+2)=12，QA=5，由勾股定理得PQ=13，故答案为13. . 题型剖析 1.明确定义步骤——最短路径问题遵循“析、转、算”。 析题意（确定动点、定点与约束条件），转模型（化归为“两点之间线段最短”“垂线段最短”或轴对称变换模型），算结果（利用几何定理计算路径长度）。 2.掌握核心思路——先分析实际问题中的几何约束，再通过轴对称、平移等变换将折线路径转化为直线段，最后结合勾股定理、相似三角形等知识求解最短距离并验证合理性。 题型三、最短路线问题 题型剖析 变式：如图，正方体的棱长为4 cm，M是EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为______cm。 题型三、最短路线问题 解析：将正方体包含点B和点M的两个面展开成平面，形成矩形。 正方体棱长为4cm，M是EH中点，故EM = 2cm。 展开后，水平方向长度为4 + 2 = 6cm，竖直方向长度为4cm。 BM = 题型剖析 例4： 如图，哪一个是左边正方体的展开图( ) D 解析： 本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力.在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断.根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D.故选D. 题型四、展开图的对立面 题型剖析 1.明确定义步骤——展开图找对立面遵循“识、判、验”。 识类型（分辨正方体/长方体展开图的11种基本形式），判对面（用“相间Z端”法或隔行隔列法确定对立面），验结果（将展开图还原成立体图形验证对立面是否正确）。 2.掌握核心思路——先识别展开图的结构特征，再利用“同行隔一个、异行隔一列”或“Z字形两端为对立面”的规律判定，最后通过空间想象或实物折叠验证对立面的准确性。 题型四、展开图的对立面 题型剖析 变式：将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，和“创”相对的字是( ) A. 文 B. 明 C. 城 D. 市 B 解析：利用正方体展开图“相间Z端”的对立面判定规律：本题展开图属于“一四一”型，“创”所在位置与“明”呈Z字形两端，符合对立面特征。故选B 题型四、展开图的对立面 题型剖析 题型五、圆柱侧面展开图的应用 例5：如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是( ) A. 68πm² B. 72πm² C. 78πm² D. 80πm² A 解析： 由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积加上两个半圆形截面面积，半圆形截面弧长为2π，那么塑料膜的面积=2π×32 +π×(4÷2)²÷2×2 = 68π(平方米) 题型剖析 1.明确定义内容——圆柱侧面展开图的应用，是指将圆柱侧面沿高展开为矩形，矩形的长为圆柱底面的周长、宽为圆柱的高，核心关联：用矩形的边长对应圆柱的底面周长和高，通过矩形面积计算圆柱侧面积，结合底面图形面积求圆柱表面积。 2.掌握核心思路——解题抓“展、联、算”：将圆柱侧面展开为平面矩形，建立矩形边长与圆柱底面周长、高的对应联系，利用矩形面积公式计算圆柱侧面积，结合圆的面积公式求出圆柱的表面积或解决实际应用中的面积、长度问题。 题型五、圆柱侧面展开图的应用 题型剖析 变式：已知圆柱的底面半径为cm，高为5cm，则圆柱的侧面积是( ) A. 5πcm² B. 20cm² C. 10πcm² D. 20πcm² D 题型五、圆柱侧面展开图的应用 解析：圆柱侧面积公式： = 2πr h（r为底面半径，h为圆柱的高）。 已知r = 2cm，h = 5cm，则 = 2π×2×5 = 20πcm²，故选D 题型剖析 例6：某从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4 cm×11 cm，如图(1)。用尺量出整卷卫生纸的半径(R)与纸筒内芯的半径(r)分别为5.8 cm和2.3 cm，如图(2)。那么该两层卫生纸的厚度为多少？（π取3.14，结果精确到0.001 cm） 题型六、圆柱侧面积、体积公式的应用 题型剖析 题型六、圆柱侧面积、体积公式的应用 解 设两层卫生纸的厚度为x cm， 则11×300×11.4x = 11×(5.8×5.8×3.14 - 2.3×2.3×3.14)， 解得x≈0.026。 答：该两层卫生纸的厚度约为0.026 cm。 题型剖析 1.明确定义内容——圆柱侧面积、体积公式的应用，是指利用圆柱侧面积 =2π rh、体积V=πr²h（r为底面半径，h为高），结合实际问题中圆柱的结构特征，计算侧面积、表面积或体积，核心关联：用公式建立圆柱底面半径、高与面积、体积的数量关系，通过方程思想求解未知量（如厚度、半径等）。 2.掌握核心思路——解题抓“析、套、解”：分析实际问题中的圆柱模型及已知量、未知量，套入侧面积或体积公式列出算式或方程，解方程或计算得出结果，结合实际意义验证答案的合理性。 题型六、圆柱侧面积、体积公式的应用 题型剖析 变式：抛用高为6cm，底面直径为4cm的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为( ) A. 36cm³ B. 24πcm³ C. 36πcm³ D. 40cm³ C 题型六、圆柱侧面积、体积公式的应用 解析：由题意可得圆柱A的底面周长为4πcm，即圆柱B的高为4πcm，又圆柱B的底面半径为 ，所以圆柱B的体积为 。故选C. 题型剖析 题型七、圆锥侧面展开图的应用 例7：如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角。 参考公式：圆锥的侧面积S = πrl，其中r为底面半径，l为母线长。 解 因为2π r = π l，所以l = 2r，所以 ，所以 。 题型剖析 1.明确定义内容——圆锥侧面展开图的应用，是指将圆锥侧面沿母线展开为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长、半径等于圆锥母线长，核心关联：用扇形的弧长和半径对应圆锥的底面周长与母线长，通过扇形面积公式计算圆锥侧面积，结合圆锥的高、底面半径、母线长的勾股关系求解相关几何量。 2.掌握核心思路——解题抓“展、联、算”：将圆锥侧面展开为扇形平面图形，建立扇形弧长、半径与圆锥底面周长、母线长的对应联系，利用扇形弧长、面积公式及勾股定理计算圆锥侧面积、高、底面半径等，结合展开图解决最短路径等实际问题并验证结果的合理性。 题型七、圆锥侧面展开图的应用 题型剖析 变式：圆锥底面圆的半径为3 cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为( ) A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 12 cm 题型七、圆锥侧面展开图的应用 解析：圆锥侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面圆的周长。 设圆锥母线长为lcm，半圆的弧长为πl，圆锥底面圆周长为2π×3 = 6πcm。 πl = 6π 两边同时除以π，得l = 6。故答案为：B B 题型剖析 1. 下列关于棱柱的说法： ①棱柱的所有面都是平面； ②棱柱的所有棱长都相等； ③棱柱的所有侧面都是矩形； ④棱柱的侧面个数与底面边数相等； ⑤棱柱的上、下底面形状相同、大小相等。其中正确的有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 B 针对训练 解析：①棱柱的所有面都是平面： 棱柱由平面围成，该说法正确。 ②棱柱的所有棱长都相等：棱柱的侧棱长相等，但底面棱长与侧棱长不一定相等，该说法错误。 ③棱柱的所有侧面都是矩形：斜棱柱的侧面是平行四边形，只有直棱柱的侧面是矩形，该说法错误。 ④棱柱的侧面个数与底面边数相等： 底面是n边形的棱柱有n个侧面，该说法正确。 ⑤棱柱的上、下底面形状相同、大小相等：棱柱的上下底面是全等的多边形，该说法正确。 综上，①④⑤正确，共3个。故答案为B. 针对训练 2．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则圆柱的侧面积为( ) A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π D 解析：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，即2π，宽为母线长为2， 所以它的面积为4π。 故选：D。 针对训练 3．已知一个圆锥形零件的母线长为3 cm，底面圆的半径为2 cm，则这个圆锥形零件的侧面积为______cm²。（用含π的式子表示） 6π 解析：∵ 底面圆的半径为2cm， ∴ 底面圆的周长=2π·2 = 4π(cm)， ∴ 圆锥形零件的侧面积= ·4π·3 = 6π(cm²)。 针对训练 4．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，将△ ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是______。 由已知得，母线长l = 5，半径r为4， ∴圆锥的侧面积是s = π lr = 5×4×π = 20π， 故答案为：20π. 20π 针对训练 5．如图，有一个圆柱形容器，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为多少？（容器厚度忽略不计） 针对训练 解：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处 ∵ A'D = 0.5m，BD = 1.2m ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A'，连接A'B，则A'B即为最短距离 A'B = = 1.3(m) 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3m。 针对训练 6．如图为圆锥形和圆柱形两个容器，它们的底面半径的比是2:3，高的比是3:2，现在每次用圆锥形容器装满水往圆柱形容器里倒，这样进行若干次后，圆柱形容器满了，圆锥形容器中还剩下200毫升的水，请问圆锥形容器和圆柱形容器的容积分别是多少毫升？ 针对训练 解：圆锥和圆柱的底面半径比是2:3，则底面积比为： 2²:3² = 4:9， 圆锥和圆柱的高的比是3:2， 则圆锥与圆柱的体积比为：(4×3× ):(9×2) = 2:9， 则圆柱的体积是圆锥体积的 ，需到5次圆柱即满， 圆锥的容积：200÷(5 - ) = 200÷ = 400(毫升)， 圆柱的容积：400× = 1800(毫升)； 答：圆锥的容积是400毫升，圆柱的容积是1800毫升。 针对训练 ✅ 知识构建：空间图形的初步认识 空间图形的分类（棱柱、圆柱、圆锥、球）→立体图形特征（棱柱：平面围成，底面全等；圆柱/圆锥：曲面+圆底面）→展开图应用（棱柱：矩形+多边形；圆柱：矩形；圆锥：扇形）→计算（表面积/体积公式）→实际应用（最短路径、用料/容积问题） 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. ✅ 思想方法： 转化与化归(将立体图形问题转化为平面展开图问题，简化空间问题求解) 数形结合(结合立体图形的形状特征与展开图的几何图形，利用图形性质推导表面积、体积公式，如圆柱侧面展开图矩形的长与底面周长的对应关系) 公式建模(根据立体图形的结构特征，建立表面积、体积的计算公式模型，如用πr²h表示圆柱体积，解决实际容积、用料问题) 分类讨论(分析空间图形问题时，对不同立体图形类型分类研究，如棱柱分直棱柱、斜棱柱讨论侧面形状，圆锥结合展开图扇形的不同圆心角分析相关量) 课堂总结 感谢聆听! $