第7章 空间图形的初步认识（复习讲义）数学青岛版九年级下册

第7章 空间图形的初步认识（复习讲义） 1．能够识别棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等简单几何体,熟练掌握其特征并且会给这些几何体进行分类。 ①能够识别棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等简单几何体；②熟练掌握各几何体的特征及点、线、面之间的关系；③能熟练的对常见几何体进行分类。 2．理解并掌握圆柱和棱柱的侧面展开图的形状及特点，能计算相关面积。 ①理解并掌握圆柱和棱柱的侧面展开图的形状及特点；②能计算展开图的相关面积；③在探究几何体及其展开图的过程中，体验发现和创造的历程，培养勇于探索的精神和合作交流的意识。 3．理解并掌握圆锥的侧面展开图的形状及特点，能计算相关面积。 ①理解并掌握圆锥的侧面展开图的形状及特点；②理解圆锥展开图各部分的由来并能计算圆锥的側面积；③通过动手操作、想象等方式，发展空间想象能力和几何直观能力。 知识点01 几种常见的几何体 1）由多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的多边形的边叫做多面体的棱，多边形的顶点叫做多面体的顶点。 2）一个多面体 ，顶点数+面数-棱数=2。 知识点02 直棱柱的侧面展开图 1）直棱柱的底面是几边形就叫做直几棱柱，如长方体也叫做直四棱柱。在棱柱中，除上、下底面以外，其他的面叫做它的侧面。相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 2）直棱柱的上、下底面是全等的多边形，各个侧面都是矩形。侧棱数、侧面数都等于底面的边数，相邻的两条侧棱平行且相等。 3）一般的，将一个直棱柱沿它的一条侧棱展开，将各个侧面铺在同一个平面内，所得到的图形叫做这个直棱柱的侧面展开图。直棱柱的侧面展开图是矩形，矩形的宽等于直棱柱的侧棱长，矩形的长等于直棱柱底面的周长。 知识点03 圆柱的侧面展开图 1）将矩形 OAA'O' 以它的一条边 OO′为轴旋转一周，所得到的立体图形是一个圆柱。由矩形的边 OA，O′A′旋转所成的面分别是圆柱的下底面与上底面，矩形的边AA′旋转所成的面是圆柱的侧面。线段AA′叫做圆柱的母线。 2）圆柱的侧面展开图是一个矩形，它的一边是圆柱的母线，另一边的长等于底面圆的周长。圆柱侧面积等于圆柱的侧面展开图的面积，即 S侧 = 2πrl，其中r是圆柱的底面半径，l是圆柱的母线长。 知识点04 圆锥的侧面展开图 1）将 Rt△OAB 以它一条直角边 OA 为轴旋转一周，所得到的立体图形是一个圆锥。另一条直角边 OB 旋转所成的面是圆锥的底面，斜边 AB 旋转所成的面是圆锥的侧面，点 A 叫做圆锥的顶点，线段 AB 叫做圆锥的母线，AO叫做圆锥的高。 2）圆锥的侧面展开图是以圆锥的顶点为圆心、以母线为半径的扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的圆周长。圆锥侧面积等于圆锥的侧面展开图的面积，即S侧 =cl = πrl，其中 c 是圆锥的底面圆的周长，r 是底面圆的半径，l 是圆锥的母线长。 题型一 立体图形的分类 【例1】如图是一个雕刻有花纹的门墩，用数学的眼光可将它看成（    ） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．圆锥 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形的认识，根据“门墩”的形状即可解答． 【详解】解：用数学的眼光可以将“门墩”看成棱柱． 故选：A． 【变式1-1】下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查棱柱，掌握相关知识是解决问题的关键．棱柱有两个互相平行且全等的多边形底面，侧面为四边形且相邻边平行，侧棱平行且相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据棱柱的定义第一个图形是四棱柱， 第四个图形是三棱柱， 第五个图形是五棱柱， 而第二个图形是圆柱，第三个图形是圆锥， ∴共有3个棱柱． 故选：B． 【变式1-2】（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 【答案】（1）正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体；（2）①②③；⑤；④ 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键． （1）根据几何体特征解答即可； （2）根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】（1）解：①正方体；②圆柱体；③长方体；④球体；⑤圆锥体 故答案为：正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体 （2）柱体有①②③；锥体有⑤；球体有④． 故答案为：①②③；⑤；④ 【变式1-3】观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 题型二 从不同方向看几何体 【例2】如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查从不同方向看几何体．画出从上往下看，得到的图形，判断即可． 【详解】解：从上面看到的图形，如图所示： 故选：C． 【变式2-1】如图，这是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的从正面看和从上面看到的形状图，则搭成该几何体所需的小正方体的个数可能是 ． 【答案】7或8或9 【分析】本题考查了根据从不同方向看到的形状还原几何体；在从上面看到的形状图中填上该位置所需小正方体的个数，即可得到所需的小正方体的个数． 【详解】解：在从上面看到的形状图中填上该位置所需小正方体的个数如图所示，所需的小正方体的个数可能是7或8或9． 【变式2-2】如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是根据一定的空间想象能力得出每列的个数．分别从三个方向观察小正方形的数目与位置，然后分别对应画出图形即可． 【详解】解：如图： 【变式2-3】画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的图形． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有______种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2，图见解析 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，简单组合体的表面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． （1）根据三视图的画法，画出这个简单组合体的三视图即可； （2）分别求出最上层，中间层和最下面一层需要涂色的面，即可求解； （3）根据再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：由题意可知，几何体的最上层一共有5个面需要涂色，中间一层一共有12个面需要涂色，最下面一层一共有18个面需要涂色， ∴一共有个面需要涂色， ∴涂上颜色部分的总面积 （3）解：如图所示，一共有2种添加方法： 题型三 截一个几何体 【例3】用一个平面去截下列四个几何体，截面的形状可能是三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了截一个几何体，熟知常见几何体截面的形状是解题的关键，根据截面的位置逐一判断各选项即可． 【详解】解：用不平行于正方体的面去截正方体的一个角，截面可以为三角形，符合题意； 用平面截圆锥，截面可以是三角形，符合题意； 用平行于三棱柱的侧面的面截三棱柱时，截面为三角形，符合题意； 用平面截圆柱时，截面不可能为三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】用一个平面去截如图所示的几何体，若截面形状是长方形，则被截几何体不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查几何体的截面，明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关是解题的关键，根据圆锥、棱柱、圆柱、长方体的特点，以及横截面或纵截面的特点进行判断即可． 【详解】解：A、圆锥有一个平面和一个曲面，截面最多有三条边，截面不可能是长方形，符合题意． B、棱柱的截面可以是长方形，不符合题意； C、圆柱的横截面或纵截面中有一个为长方形，不符合题意； D、长方体的截面可以是长方形，不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】用一个平面去截一个棱柱，截面图形最多是七边形，该棱柱是（   ） A．七棱柱 B．六棱柱 C．五棱柱 D．四棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的截面问题． 截面多边形的边数最多等于棱柱的面数，设该棱柱是n棱柱，则面数为，可知，得，即该棱柱为五棱柱． 【详解】解：设该棱柱是n棱柱，则面数为， 由题，截面最多为七边形，即边数最多为7， ∴， 解得， ∴该棱柱为五棱柱． 故选：C． 【变式3-3】用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（   ）． A．10 B．7 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查正方体的截面与顶点数，解题的关键是分析平面截正方体时不同的截取位置对顶点数的影响． 分析平面截正方体得到三棱锥时，不同截取位置下剩余几何体的顶点数，从而判断不可能的顶点数． 【详解】 解：如图所示，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形，剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，不可能有6个顶点， 故选：D． 题型四 由展开图计算几何体的表面积 【例4】如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图的面积，掌握“圆柱侧面积底面周长高”是解题的关键． 根据“圆柱侧面积底面周长高”即可求解． 【详解】解：由题意得，侧面展开图的面积为． 故答案为：． 【变式4-1】已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)它是几棱柱？多少条棱？ (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)它是六棱柱，有18条棱 (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是 【分析】本题考查了棱柱的特征及表面积，解决本题的关键是熟练运用长方形的面积公式计算． （1）已知该直棱柱有8个面，除了上下底面，它还有6个侧面，所以它是六棱柱．根据棱柱的性质，棱柱有个顶点，条棱．对于六棱柱，，则顶点数量为个，棱的数量为条； （2）根据六棱柱侧面展开后是一个长方形．这个长方形的长就是底面六边形的周长，所以长方形的长为，又已知侧棱长都是，所以长方形宽为，根据长方形面积公式长×宽，可得这个长方形（即棱柱侧面展开图）的面积． 【详解】（1）解：侧面有：个， 因此这是六棱柱，则顶点数量为个，棱的数量为条． 答：它是六棱柱，有18条棱． （2）解：棱柱所有侧面的面积之和为． 答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 【变式4-2】在学校举办的“创意手工大赛”中，小明根据设计图纸裁剪出了一个几何体的表面展开图（如图所示）． (1)该几何体的名称是______； (2)根据图中所给数据，求该几何体的表面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱体 (2)几何体的表面积是、体积是 【分析】本题考查了圆柱的展开图和圆柱的相关计算； （1）根据圆柱的展开图解答即可； （2）根据圆柱的体积和表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由展开图可知，顶部和底部均为圆形，侧面为长方形，符合圆柱体的展开特征，因此该几何体是圆柱体； 故答案为：圆柱体； （2）解：根据图中给出的数据，圆柱的底面直径为，故半径，高， 所以圆柱的体积， 圆柱的表面积． 【变式4-3】如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有_____条棱，有_____个面； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状可能是_____（填序号）： 三角形；长方形；五边形；六边形；圆形； (3)该三棱柱的所有侧面的面积之和是_____． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积等知识，熟练掌握三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积是解题的关键． 三棱柱上底面有条棱，侧面有条棱，下底面有条棱，所以三棱柱有条棱；三棱柱有个上底面，个侧面，个下底面，所以三棱柱有个面； 棱柱的侧面是矩形，矩形的长为，宽为，所以三棱柱的所有侧面的面积之和是个长为，宽为的矩形面积之和． 【详解】（1）解：三棱柱有条棱；个面； 故答案为：，； （2）解：三棱柱有个面， 用一个平面去截该三棱柱，截面形状可能是三角形、长方形、五边形， 不可能是六边形和圆形， 截面形状可能是， 故答案为：； （3）解：三棱柱的侧面是矩形，矩形的长为，宽为， 三棱柱的所有侧面的面积之和为． 题型五 由展开图计算几何体的体积 【例5】已知某种长方体盒子长为，它的展开图如图所示，若利用这种盒子无缝拼成一个大正方体，则最少需要 个这样的盒子；若用8个这样的长方体盒子的无缝拼成一个大长方体，那么拼成后的大长方体的表面积最小为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，找出等量关系是解题的关键． 设长方体盒子的宽为，高为，根据题意列出方程组，进而求出长方体盒子的宽为，高为；根据长方体盒子无缝拼成一个大正方体，需要确保大正方体的边长是盒子尺寸的整数倍． 先求出要使拼成的长方体的表面积最小，就要把尽可能较大的面重合在一起，将 8 个盒子分成 ​2 层（高方向）× 2 排（宽方向）× 2 列（长方向）​​排列，进而得出答案． 【详解】解：长方体盒子的宽为，高为，由题意得 ， 解得， 长方体的体积为：， 为了用长为，长方体盒子的宽为，高为的长方体盒子无缝拼成一个大正方体，需要确保大正方体的边长是盒子尺寸的整数倍．其最小公倍数为12 cm，因此大正方体的边长至少为12 cm． 大正方体的体积为 ，每个小盒子的体积为 ，因此所需盒子数量为 个． 要使拼成的长方体的表面积最小，就要把尽可能较大的面重合在一起， 将 8 个盒子分成 ​2 层（高方向）× 2 排（宽方向）× 2 列（长方向）​​，大长方体尺寸​：（长）（宽）（高）​表面积​：2， 故答案为：，． 【变式5-1】如图，在一个边长为的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子底面面积是，设小正方形的边长为 (1)请用表示长方体的底面的长_____；宽_____； (2)求x的值及长方体盒子的体积． 【答案】(1)； (2)，长方体盒子的体积为 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）利用大正方形的边长减去2个小正方形的边长即可得长方体的底面长；利用大正方形的边长减去2个小正方形的边长，再除以2即可得长方体的底面宽； （2）结合（1）的结果，利用长方形的面积公式建立方程，解方程可得的值，则可得长方体的长、宽、高，再利用长方体的体积公式计算即可得． 【详解】（1）解：由图可知，长方体的底面的长为， 长方体的底面的宽为， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得或（此时，舍去）， 所以长方体盒子的长为，宽为，高为， 所以长方体盒子的体积为， 答：的值为4，长方体盒子的体积为． 【变式5-2】（1）计算该铁皮的面积． （2）它能否做成一个长方体盒子？若能，并计算它的体积；若不能，说明理由． 【答案】（1）22平方米 （2）能，体积为6立方米 【分析】本题的关键是要理解长方体的展开图，再计算该长方体的展开图的面积，长方体的体积等知识． （1）根据图中尺寸计算铁皮的面积； （2）这6个面可能做成一个长方体盒子，已知它的长，宽，高，可计算体积． 【详解】解：（1）该铁皮的面积为． 答：铁皮的面积是22平方米． （2）能做成一个长方体盒子，如图． 其体积为． 【变式5-3】综合与实践 主题：制作无盖长方体形纸盒． 素材：一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． 应用与计算： (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_________； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2)该无盖盒子的体积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，长方体展开图的特点，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键． （1）根据无盖长方体盒子的体积等于底面长方形的长乘以宽的结果乘以其高，根据求出长方体盒子的底面长方形的长和宽，以及其高即可得到答案； （2）无盖长方体盒子的底面的长为，宽为，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的2倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可． 【详解】（1）解：（1）当时， ∴此时，折成的无盖长方体盒子的体积； 故答案为：； （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的底面的长为，宽为， ∴， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为． 答：该无盖盒子的体积为． 题型六 求展开图上两点折叠后的距离 【例6】如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，得出正确的展开图是解题的关键． 先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，为矩形对角线的长， 如图所示： ∵矩形的长为6、宽为3， ∴． 故选B． 【变式6-1】如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短问题，勾股定理及两点之间线段最短，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可，将棱柱的侧面展开图正确画出来是解题的关键． 【详解】解：当沿着正面和侧面爬行时，如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴； 当沿着正面和上底面爬行时，如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴要爬行的最短路程的值为． 故选：． 【变式6-2】如图，把一个棱长为的正方体的每个面都分成个小正方形，所有小正方形的边长都是，点A，B的位置如图所示．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时 s． 【答案】 【分析】本题考查了展开与折叠，勾股定理； 分两种情况对正方体进行展开，然后利用勾股定理计算出最短路径，进而可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图1，展开底面与右面，由勾股定理，得； ②如图2，展开前面与上面，由勾股定理，得． ∵， ∴最短路径长为5cm， ∴这只蚂蚁从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时． 故答案为：． 【变式6-3】如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从顶点出发，经过个面爬到顶点，如果它运动的路径是最短的，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的展开图，勾股定理，两点之间线段最短；根据题意画出正方体的展开图，由两点之间线段最短可找出最短路径，由勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ； 故答案：． 题型七 圆柱的侧面展开图 【例7】下图是（   ）的展开图． A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】根据展开图中的上下底面是圆，侧面是长方形即可判断. 【详解】解：展开图中上下底面是圆，中间是长方形，符合圆柱的展开图. 故答案选：C 【点睛】本题考查学生的空间想象能力，圆柱的展开图中，上下底面是圆，侧面是长方形. 【变式7-1】一批规格相同的圆柱形油桶，高为1.2 m，底面半径为0.4 m，现将这批油桶外侧面刷上防锈漆，每平方米费用是1元．如果花费1000元给油桶刷漆，那么能把油桶外侧面刷满防锈漆的油桶个数是（　　） A．347 B．336 C．332 D．331 【答案】D 【分析】花费是1000元，每平方是1元，因而可以刷1000米，求出油桶的侧面积，用1000除以油桶的侧面积即可求得． 【详解】要先求出油桶的侧面积，即π×2×0.4×1.2=0.96π. 每平方米费用是1元，则每桶的费用为0.96π元， 所以花费1000元给油桶刷漆个数为：1000÷0.96π≈331(个). 故选:D. 【点睛】考查了圆柱侧面积的计算，掌握圆柱侧面积的计算方法是解题的关键. 【变式7-2】已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的长方形，长为，宽为，那么这个圆柱底面圆的半径是多少？ 【答案】2或3 【分析】考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解． 分底面周长为和两种情况讨论，求得底面半径． 【详解】解：①底面周长为时，圆柱底面圆的半径为； ②底面周长为时，圆柱底面圆的半径为． 答：这个圆柱底面圆的半径是2或3． 【变式7-3】明明家打算在一块长为16m，宽为4m的矩形土地上搭建一个截面为半圆形的全封闭蔬菜棚，并全部盖上塑料薄膜（如图所示），则所需薄膜的面积至少为多少平方米？（结果可含π，不考虑埋入土中部分的面积） 【答案】36π(m2)． 【分析】圆柱的表面积=侧面积+两个底面积=底面周长×高+2π半径2．所需薄膜的面积=圆柱表面积的一半． 【详解】所需薄膜的面积即为圆柱的表面积的一半，根据表面积公式可得π×4×16÷2+π×（4÷2）2÷2×2=36π(m2)． 答：所需薄膜的面积至少为36π平方米. 题型八 求圆锥侧面积 【例8】如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，解题的关键是掌握圆锥侧面积公式． 先根据圆锥底面直径求出底面周长，再结合圆锥母线长，利用圆锥侧面积公式计算侧面积． 【详解】解：已知圆锥底面直径为6cm，则底面半径，底面周长． 圆锥母线长， 圆锥的侧面积公式为， 故选：B． 【变式8-1】广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 【变式8-2】圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的底面周长、母线长和侧面积的计算，熟练掌握相关公式是解题的关键．先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 底面半径为，高为，则底面周长等于， 由勾股定理得，母线长， 那么侧面面积， 故答案为：． 【变式8-3】一个圆锥形帐篷的底面直径是，母线长是． (1)制作这个帐篷的侧面需要多少平方米的帆布？（π取3.14） (2)若帐篷的底面也用帆布制作，制作整个帐篷需要多少平方米的帆布？（π取3.14，结果保留一位小数） 【答案】(1)制作侧面需要37.68平方米的帆布 (2)制作整个帐篷需要65.9平方米的帆布 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式是解题的关键． （1）利用圆锥的侧面积公式计算即可； （2）利用圆锥的全面积侧面积底面积解答即可． 【详解】（1）解：圆锥侧面积，底面半径，侧面积， 因此制作侧面需要平方米的帆布； （2）解：整个帐篷的帆布面积侧面积底面积， 底面积； 总面积， 答：制作整个帐篷需要65.9平方米的帆布． 题型九 求圆锥底面半径 【例9】一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是 ． 【答案】/2厘米 【分析】题目主要考查圆锥的侧面积的计算，熟练掌握计算方法是解题关键． 根据圆锥的侧面积公式 ，其中 是侧面积， 是底面半径， 是母线长，代入已知数值求解即可 【详解】解：已知圆锥的侧面积，母线长， ∵， ∴， 解得：， 故底面半径为， 故答案为：． 【变式9-1】如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是圆锥侧面展开图的性质(圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长)正方形的性质(正方形的对角线平分内角，角度为)、扇形弧长公式(，其中为圆心角度数，为扇形半径)．先求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长这一关系，求出圆锥底面半径；涉及正方形性质、扇形弧长公式、圆锥侧面展开图性质等知识点． 【详解】解：∵正方形中，， ∴扇形的圆心角， 已知扇形半径，圆心角， 据扇形弧长公式，可得弧长， 设圆锥底面半径为，圆锥底面圆周长， 又因为圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长， 所以， 解方程可得， 故选：B． 【变式9-2】用一个圆心角为，半径为30的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为， 依题意，， 解得：， 故答案为：10． 【变式9-3】如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 【答案】/ 【分析】本题考查了与圆有关的计算、勾股定理、圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用等腰直角三角形的性质得到，设圆锥的底面圆的半径为，利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 题型十 求圆锥的高 【例10】如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，勾股定理，弧长公式；理解扇形与圆锥之间的关系是解题的关键．由弧长公式得圆锥的底面圆的周长为，再由圆锥的底面圆的半径、高、母线之间的关系，即可求解． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为（）， 故选：C． 【变式10-1】已知圆锥的底面积为，圆锥的侧面积是，则圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，注意：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的侧面积是扇形的面积． 根据圆锥的底面积求得圆锥的底面半径，再由圆锥的侧面积是扇形的面积，求得圆锥的母线长，再求出圆锥的高． 【详解】解：∵圆锥的底面积为， ∴圆锥的底面半径为， ∵圆锥的侧面积是，     ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的高． 故答案为：． 【变式10-2】若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则此圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式、圆锥的展开图、求圆锥的高，由弧长公式求得扇形半径，进而求得底面圆的半径为，再利用求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∵扇形的弧长等于底面圆的周长， ∴底面圆的半径为， ， 故答案为：． 【变式10-3】如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了求圆锥的底面圆半径，求圆锥的高，熟知圆锥的相关知识是解题的关键． （1）设这个圆锥的底面圆半径为r，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长，据此建立方程求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）设这个圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥的底面圆半径为4， 故答案为：4； （2）由题意得，， 故答案为：． 题型十一 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例11】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为．根据题意，圆锥的侧面积是底面积的2倍，可建立方程求出母线长．再利用扇形弧长等于底面周长，即可求出圆心角． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为， 由题意，得： ∴． 又∵，将代入得： ∴； 故选D． 【变式11-1】如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 【变式11-2】若圆锥的底面直径为10，母线长是20，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 【答案】90 【分析】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面直径为10， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数是， 则， 解得， 这个圆锥侧面展开图的圆心角是． 故答案为：． 【变式11-3】圆锥的底面半径是，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角度数，设圆锥侧面展开图的圆心角为，根据扇形弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得 解得， 故答案为：150． 题型十二 圆锥侧面上最短路径问题 【例12】已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 【变式12-1】如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【变式12-2】如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    【答案】 【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算． 【变式12-3】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下面几何体中，属于棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查认识立体图形，熟练掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义直接判断即可． 【详解】解：棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体， A是圆柱，不属于棱柱，故A不符合题意； B是三棱柱，属于棱柱，故B符合题意； C是三棱锥，不是棱柱，故C不符合题意； D是球，不是棱柱，故D不符合题意； 故选：B． 2．如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，下列关于从石墩的三个不同方向看到的形状图的描述中，正确的是（    ） A．从正面和左面看到的形状图相同 B．从正面和上面看到的形状图相同 C．从左面和上面看到的形状图相同 D．从正面、上面、左面看到的形状图都相同 【答案】A 【分析】本题考查了从不同方向看简单组合体，掌握从正面看，从左面看，从上面看的形状图的画法是解题的关键． 【详解】解：从正面看和从左面看，看到的图形相同． 故选：A． 3．一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图与底面周长、高的关系，解题的关键是理解圆柱侧面展开图是正方形时，底面周长和高相等这一隐含条件． 明确圆柱侧面展开为正方形时，底面周长等于高；用直径表示底面周长，进而得到直径与高的比． 【详解】设圆柱的底面直径为，则底面周长为． ∵侧面展开图是正方形， ∴高等于底面周长，即． ∴底面直径与高的比为， 故选：C． 4．如图，将一个长方形纸片的四个角剪去4个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了列代数式，根据长方体盒子的表面积纸片的面积四个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得这个长方体盒子的表面积为， 故选：A． 5．用一个圆心角为，半径为9的扇形制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥的底面直径．先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可． 【详解】解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：D． 二、填空题 6．小明将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面，左面，上面三个方向看到的这摞粉笔形状相同（如图所示），那么这摞粉笔一共有 盒． 【答案】4 【分析】本题考查了由从不同方向看到的图形判断小正方体的个数．根据从正面看到的图形可知，这摞粉笔有两层，根据从上面看到的图形可知，第一层粉笔有3盒，根据从左面看到的图形可知，第二层有1盒，画出图形即可解答． 【详解】解：根据从正面看到的图形可知，这摞粉笔有两层，根据从上面看到的图形可知，第一层粉笔有3盒，根据从左面看到的图形可知，第二层有1盒，如图： ∴这摞粉笔一共有4盒， 故答案为：4． 7．已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题思路是先明确圆锥侧面积的计算公式，再将题目中给定的底面半径和母线长代入公式进行计算． 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长． 已知，， 则． 故答案为：． 8．小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 【答案】64 【分析】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题关键．根据长方体的展开图求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可得． 【详解】解：由展开图可知，长方体的高为，长为，宽为， 所以原长方体包装盒的体积是， 故答案为：64． 9．一个圆锥底面半径是母线长度的，则这个圆锥侧面展开后扇形的圆心角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，圆的面积公式． 设圆锥底面半径为r，则母线长度为，设扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开后扇形的弧长=圆锥的底面积计算即可． 【详解】设圆锥底面半径为r，则母线长度为，设扇形的圆心角是， ∴， 解得： 故答案为：． 10．如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为 ． 【答案】 【分析】根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段． 【详解】解：如图所示，根据题意，长方体的长，宽，高，， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得 ； 第二种展开图中，根据题意，得 ； 第三种展开图中，根据题意，得 ； 故爬行的最短路程为， 故答案为：． 三、解答题 11．将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 12．如图，是由6个大小相同棱长为的小立方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)图中的几何体，如果把露出的表面（不包括底面）涂上颜色，求涂色面积是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)涂色面积是 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； （1）根据几何体的特征可进行求解； （2）由题意及几何体的特征可进行求解． 【详解】（1）解：从不同方向看到的形状图如下图： （2）解：由题意得，涂色面积为； ∴涂色面积是． 13．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 【答案】(1)5m (2)63m2 【分析】（1）如图，构造Rt，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长，根据勾股定理进而得出结论； （2）先求出顶部圆锥的底面圆周长，再求出圆锥的侧面积即可求出所需油毡的面积． 【详解】（1）如图，圆锥的轴截面为， 为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长， 由题意可知，m，m， ∴母线长m； （2）顶部圆锥的底面圆周长为m， ∴圆锥的侧面积为m2， ∴所需油毡的面积至少是m2． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和顶部圆锥的底面圆周长，正确掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 14．在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱，1 (2)该几何体的侧面积为，体积为 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键． （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的侧面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为； 故答案为：圆柱；1； （2）解：该几何体的侧面积； 几何体的体积． 15．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列图形中属于棱柱的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形，根据“棱柱”的形体特征进行判断即可． 【详解】解：图形中各个几何体的名称为①正方体，②长方体，③球，④圆柱，⑤圆锥，⑥四棱柱，⑦三棱柱，⑧五棱锥，⑨六棱柱 由棱柱的形体特征可知，棱柱有①正方体，②长方体，⑥四棱柱，⑦三棱柱，⑨六棱柱，共有5个． 故选：B． 2．如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数记为，棱的条数记为，顶点数记为，则为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】此题考查了截一个几何体，解决本题的关键是找到在原来几何体的基础上增加的面和棱数和顶点数． 分别求出截去一个角后，剩下的几何体面、棱、顶点的个数即可． 【详解】解：如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数是，棱的条数是，顶点数， ∴ 故选：A． 3．如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，根据圆锥的底面圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长可求出侧面展开图扇形的圆心角度数，过点M作于D，分别求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为， 由题意得，， ∴， 如图所示，在扇形中，， 过点M作于D， ∴， ∴， ∴， ∴在展开图中，之间的距离为， 故选：D． 4．如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足的数量关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆柱的底面周长等于剩余长方形的长，列出方程，整理可得答案． 【详解】解：组成圆柱后，圆柱的底面周长=剩余长方形的长． 即 整理得：． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解决本题的关键是得到圆柱的底面周长和剩余长方形的长之间的等量关系． 5．如图，抽纸盒在外国叫，是一种主要盛放卫生纸、纸巾等的盒子，适用于各种场合．抽纸盒是纸盒的包装结构、包装形态与包装艺术的结合，既实用又美观．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程．设长方体的高为，然后表示出其宽为，利用宽是高的2倍列出方程求得小长方体的高后计算其体积即可． 【详解】解：设长方体的高为，则其宽为， 根据题意得：， 解得：， 故长方体的宽为，高为；长为， 则长方体的体积为． 故选：A． 二、填空题 6．如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式． 由题意可知圆锥的母线长为，底面圆直径为，进而根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知圆锥的母线长为，底面圆直径为， ∴底面圆半径为， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 7．如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，勾股定理， 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，再根据扇形的半径等于圆锥的母线，结合勾股定理求出答案． 【详解】解：根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 即， 所以圆锥的高为． 故答案为：． 8．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】3 【分析】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出即可解答． 【详解】解：如图，连接，作于点， ∴即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． ∴蚂蚁爬行的最短距离为3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键． 9．如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭建该几何体最多需要 个小立方块，最少需要 个小立方块． 【答案】 16 10 【分析】本题考查从不同方向看立体图形，有理数的加减混合运算，掌握知识点是解题的关键． 分别画出搭建该几何体需要小立方块最多与最少时的示意图，再逐个计算即可． 【详解】解：如图所示 ∴搭建该几何体最多需要个小立方块， ∴最少需要个小立方块． 故答案为：16，10． 10．在一个长22米，宽为10米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长2米的等边三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是 米． 【答案】26 【分析】将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为22米，得到展开图的矩形长为米，宽为10米，一只蚂蚁从点处到点处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 本题主要考查勾股定理的应用，难度一般，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键． 【详解】解：根据题意，得展开图的矩形长为米，宽为10米， 故， 故答案为：26． 三、解答题 11．某种包装盒的展开图如图所示，边比边的三倍多2，边的长度为3分米（均不考虑包装盒的黏合处） (1)该包装盒的形状是______； (2)设的长为m分米，则边的长度为______分米，边的长度为______分米；（用含m的式子表示） (3)在（2）的条件下，若分米，现对包装盒外表涂色，每平方分米涂料的价格是元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色） 【答案】(1)长方体 (2)， (3)23元 【分析】本题主要考查了几何体的展开图、列代数、求几何体的表面积、整式加减的应用等知识点，确定几何体的长宽高是解题的关键． （1）根据展开图的形状即可判断包装盒的形状； （2）根据边比边的三倍多2以及展开图列代数式即可， （3）先求得的长，进而求出表面积，再乘以每平方分米涂料的价格即可． 【详解】（1）解：由展开图的形状可知：包装盒的形状为长方体． 故答案为：长方体． （2）解：∵边比边的三倍多2，的长为m分米， ，， 故答案为：，． （3）解：当分米时，， ∴长方体的表面积为：（平方分米）， 费用为：（元）． 答：每个包装盒涂色的费用是23元． 12．如图1，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，展开成一个平面图形． (1)下列是该正方体表面展开图的是______（填写序号）； (2)如图2，用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是______．在选择的展开图中，画出截面在正方体表面上形成的截线． 【答案】(1)① (2)三角形，见详解 【分析】本题考查了正方形的展开图，空间想象能力，截一个几何体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，认真思考，运用空间想象能力，即可作答． （2）理解题意，运用空间想象能力，得出用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是三角形，再进行作图解答即可． 【详解】（1）解：观察图中，理解题意，则该正方体表面展开图的是 , 故答案为：①； （2）解：依题意， 如图2，用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是三角形． 在选择的展开图中，画出截面在正方体表面上形成的截线，如图①所示： 13．按要求完成下列视图问题： (1)请画出甲图从上面看到的形状图； (2)如图，乙图是由几个小立方块组成的从上面看到的该几何体的俯视图，小方框内的数字表示这个位置小立方块的个数，请画出乙图从正面看到的形状图； (3)如丙图，它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，从正面、左面、上面三个方向看到的新的几何体的视图与原几何体的视图相比，其中___________（填序号）得到的图形没有发生改变． ①从正面看    ②从左面看   ③从上面看 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)② 【分析】本题考查了从不同方向观察几何体，解题的关键是明确从不同方向观察时小正方体的分布情况． （1）观察甲图从上面的小正方体布局，画出相应形状； （2）根据乙图俯视图的数字确定正面每列小正方体的层数，画出形状； （3）分析移走正方体①后三个方向视图的变化，确定不变的视图． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：移走正方体①后，从左面看的图形未改变， 故选：② 14．如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可； （2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，且点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， 设该纸帽的底面半径为， ∴， 解得； （2）解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点， 此时，，， ∴丝带的最短长度为的长度， ∵， ∴为等边三角形， ∴根据三线合一得，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴丝带的最短长度为． 【点睛】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质． 15．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 空间图形的初步认识（复习讲义） 1．能够识别棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等简单几何体,熟练掌握其特征并且会给这些几何体进行分类。 ①能够识别棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等简单几何体；②熟练掌握各几何体的特征及点、线、面之间的关系；③能熟练的对常见几何体进行分类。 2．理解并掌握圆柱和棱柱的侧面展开图的形状及特点，能计算相关面积。 ①理解并掌握圆柱和棱柱的侧面展开图的形状及特点；②能计算展开图的相关面积；③在探究几何体及其展开图的过程中，体验发现和创造的历程，培养勇于探索的精神和合作交流的意识。 3．理解并掌握圆锥的侧面展开图的形状及特点，能计算相关面积。 ①理解并掌握圆锥的侧面展开图的形状及特点；②理解圆锥展开图各部分的由来并能计算圆锥的側面积；③通过动手操作、想象等方式，发展空间想象能力和几何直观能力。 知识点01 几种常见的几何体 1）由多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的多边形的边叫做多面体的棱，多边形的顶点叫做多面体的顶点。 2）一个多面体 ，顶点数+面数-棱数=2。 知识点02 直棱柱的侧面展开图 1）直棱柱的底面是几边形就叫做直几棱柱，如长方体也叫做直四棱柱。在棱柱中，除上、下底面以外，其他的面叫做它的侧面。相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 2）直棱柱的上、下底面是全等的多边形，各个侧面都是矩形。侧棱数、侧面数都等于底面的边数，相邻的两条侧棱平行且相等。 3）一般的，将一个直棱柱沿它的一条侧棱展开，将各个侧面铺在同一个平面内，所得到的图形叫做这个直棱柱的侧面展开图。直棱柱的侧面展开图是矩形，矩形的宽等于直棱柱的侧棱长，矩形的长等于直棱柱底面的周长。 知识点03 圆柱的侧面展开图 1）将矩形 OAA'O' 以它的一条边 OO′为轴旋转一周，所得到的立体图形是一个圆柱。由矩形的边 OA，O′A′旋转所成的面分别是圆柱的下底面与上底面，矩形的边AA′旋转所成的面是圆柱的侧面。线段AA′叫做圆柱的母线。 2）圆柱的侧面展开图是一个矩形，它的一边是圆柱的母线，另一边的长等于底面圆的周长。圆柱侧面积等于圆柱的侧面展开图的面积，即 S侧 = 2πrl，其中r是圆柱的底面半径，l是圆柱的母线长。 知识点04 圆锥的侧面展开图 1）将 Rt△OAB 以它一条直角边 OA 为轴旋转一周，所得到的立体图形是一个圆锥。另一条直角边 OB 旋转所成的面是圆锥的底面，斜边 AB 旋转所成的面是圆锥的侧面，点 A 叫做圆锥的顶点，线段 AB 叫做圆锥的母线，AO叫做圆锥的高。 2）圆锥的侧面展开图是以圆锥的顶点为圆心、以母线为半径的扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的圆周长。圆锥侧面积等于圆锥的侧面展开图的面积，即S侧 =cl = πrl，其中 c 是圆锥的底面圆的周长，r 是底面圆的半径，l 是圆锥的母线长。 题型一 立体图形的分类 【例1】如图是一个雕刻有花纹的门墩，用数学的眼光可将它看成（    ） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．圆锥 【变式1-1】下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 【变式1-3】观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 题型二 从不同方向看几何体 【例2】如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（  ）    A．   B．   C．   D．   【变式2-1】如图，这是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的从正面看和从上面看到的形状图，则搭成该几何体所需的小正方体的个数可能是 ． 【变式2-2】如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图． 【变式2-3】画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的图形． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有______种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形． 题型三 截一个几何体 【例3】用一个平面去截下列四个几何体，截面的形状可能是三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-1】用一个平面去截如图所示的几何体，若截面形状是长方形，则被截几何体不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】用一个平面去截一个棱柱，截面图形最多是七边形，该棱柱是（   ） A．七棱柱 B．六棱柱 C．五棱柱 D．四棱柱 【变式3-3】用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（   ）． A．10 B．7 C．9 D．6 题型四 由展开图计算几何体的表面积 【例4】如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 【变式4-1】已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)它是几棱柱？多少条棱？ (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【变式4-2】在学校举办的“创意手工大赛”中，小明根据设计图纸裁剪出了一个几何体的表面展开图（如图所示）． (1)该几何体的名称是______； (2)根据图中所给数据，求该几何体的表面积和体积．（结果保留） 【变式4-3】如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有_____条棱，有_____个面； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状可能是_____（填序号）： 三角形；长方形；五边形；六边形；圆形； (3)该三棱柱的所有侧面的面积之和是_____． 题型五 由展开图计算几何体的体积 【例5】已知某种长方体盒子长为，它的展开图如图所示，若利用这种盒子无缝拼成一个大正方体，则最少需要 个这样的盒子；若用8个这样的长方体盒子的无缝拼成一个大长方体，那么拼成后的大长方体的表面积最小为 ； 【变式5-1】如图，在一个边长为的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子底面面积是，设小正方形的边长为 (1)请用表示长方体的底面的长_____；宽_____； (2)求x的值及长方体盒子的体积． 【变式5-2】（1）计算该铁皮的面积． （2）它能否做成一个长方体盒子？若能，并计算它的体积；若不能，说明理由． 【变式5-3】综合与实践 主题：制作无盖长方体形纸盒． 素材：一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． 应用与计算： (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_________； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖长方体盒子的体积． 题型六 求展开图上两点折叠后的距离 【例6】如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，把一个棱长为的正方体的每个面都分成个小正方形，所有小正方形的边长都是，点A，B的位置如图所示．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时 s． 【变式6-3】如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从顶点出发，经过个面爬到顶点，如果它运动的路径是最短的，则的长为 ． 题型七 圆柱的侧面展开图 【例7】下图是（   ）的展开图． A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．圆锥 【变式7-1】一批规格相同的圆柱形油桶，高为1.2 m，底面半径为0.4 m，现将这批油桶外侧面刷上防锈漆，每平方米费用是1元．如果花费1000元给油桶刷漆，那么能把油桶外侧面刷满防锈漆的油桶个数是（　　） A．347 B．336 C．332 D．331 【变式7-2】已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的长方形，长为，宽为，那么这个圆柱底面圆的半径是多少？ 【变式7-3】明明家打算在一块长为16m，宽为4m的矩形土地上搭建一个截面为半圆形的全封闭蔬菜棚，并全部盖上塑料薄膜（如图所示），则所需薄膜的面积至少为多少平方米？（结果可含π，不考虑埋入土中部分的面积） 题型八 求圆锥侧面积 【例8】如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是 ． 【变式8-3】一个圆锥形帐篷的底面直径是，母线长是． (1)制作这个帐篷的侧面需要多少平方米的帆布？（π取3.14） (2)若帐篷的底面也用帆布制作，制作整个帐篷需要多少平方米的帆布？（π取3.14，结果保留一位小数） 题型九 求圆锥底面半径 【例9】一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是 ． 【变式9-1】如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】用一个圆心角为，半径为30的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【变式9-3】如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 题型十 求圆锥的高 【例10】如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知圆锥的底面积为，圆锥的侧面积是，则圆锥的高为 ． 【变式10-2】若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则此圆锥的高为 ． 【变式10-3】如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 题型十一 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例11】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】若圆锥的底面直径为10，母线长是20，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 【变式11-3】圆锥的底面半径是，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 题型十二 圆锥侧面上最短路径问题 【例12】已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【变式12-1】如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【变式12-2】如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    【变式12-3】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下面几何体中，属于棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，下列关于从石墩的三个不同方向看到的形状图的描述中，正确的是（    ） A．从正面和左面看到的形状图相同 B．从正面和上面看到的形状图相同 C．从左面和上面看到的形状图相同 D．从正面、上面、左面看到的形状图都相同 3．一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是（    ） A． B． C． D． 4．如图，将一个长方形纸片的四个角剪去4个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．用一个圆心角为，半径为9的扇形制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．小明将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面，左面，上面三个方向看到的这摞粉笔形状相同（如图所示），那么这摞粉笔一共有 盒． 7．已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 ． 8．小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 9．一个圆锥底面半径是母线长度的，则这个圆锥侧面展开后扇形的圆心角是 ． 10．如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为 ． 三、解答题 11．将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 12．如图，是由6个大小相同棱长为的小立方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)图中的几何体，如果把露出的表面（不包括底面）涂上颜色，求涂色面积是多少？ 13．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 14．在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 15．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列图形中属于棱柱的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数记为，棱的条数记为，顶点数记为，则为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 4．如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足的数量关系是(    ) A． B． C． D． 5．如图，抽纸盒在外国叫，是一种主要盛放卫生纸、纸巾等的盒子，适用于各种场合．抽纸盒是纸盒的包装结构、包装形态与包装艺术的结合，既实用又美观．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面积为 ． 7．如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 8．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 9．如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭建该几何体最多需要 个小立方块，最少需要 个小立方块． 10．在一个长22米，宽为10米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长2米的等边三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是 米． 三、解答题 11．某种包装盒的展开图如图所示，边比边的三倍多2，边的长度为3分米（均不考虑包装盒的黏合处） (1)该包装盒的形状是______； (2)设的长为m分米，则边的长度为______分米，边的长度为______分米；（用含m的式子表示） (3)在（2）的条件下，若分米，现对包装盒外表涂色，每平方分米涂料的价格是元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色） 12．如图1，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，展开成一个平面图形． (1)下列是该正方体表面展开图的是______（填写序号）； (2)如图2，用一个经过，，三个顶点的平面去截这个正方体，截面的形状是______．在选择的展开图中，画出截面在正方体表面上形成的截线． 13．按要求完成下列视图问题： (1)请画出甲图从上面看到的形状图； (2)如图，乙图是由几个小立方块组成的从上面看到的该几何体的俯视图，小方框内的数字表示这个位置小立方块的个数，请画出乙图从正面看到的形状图； (3)如丙图，它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，从正面、左面、上面三个方向看到的新的几何体的视图与原几何体的视图相比，其中___________（填序号）得到的图形没有发生改变． ①从正面看    ②从左面看   ③从上面看 14．如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 15．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $