5.2解一元一次方程【七大考点+七大题型】《考点•题型•技巧》讲与练突破-2025-2026学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦解一元一次方程核心知识点，先梳理移项的概念及依据（等式性质1），再系统归纳去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的完整步骤，形成从基础概念到规范步骤的学习支架，为后续不同题型应用奠定基础。 资料亮点在于分层递进的题型设计，通过“例题+变式”模式（如合并同类项、去括号等基础题型到参数问题、新定义方程、绝对值方程等综合题型），培养学生运算能力与推理意识。融入新定义（如“和谐方程”“友好方程”）和绝对值方程探究，发展创新意识与模型意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

5.2解一元一次方程 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：移项 移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。 移项的依据： （1） 移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1； （2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。 移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。 注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。 知识点二：解一元一次方程步骤 ①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号；去分母与分母化整是两个概念，不能混淆； ②去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号；不要漏乘括号的项；不要弄错符号； ③移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号） 移项要变号； ④合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式； ⑤系数化为1：:字母及其指数不变系数化成1，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。不要分子、分母搞颠倒。 【题型探究】 题型一：合并同类项、移项解方程 【例1】．（25-26七年级上·全国课堂例题）解下列方程： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6)． 【变式1】．（25-26七年级上·福建厦门·期中）解方程 (1)； (2)． 【变式2】．（25-26七年级上·全国）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：去括号解方程 【例2】．（24-25七年级下·全国·假期作业）解方程：． 解：去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏·期中）方程的解为 ． 【变式2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）解方程：． 方法1：去括号，得 ．移项，得 ．化简，得 ．方程的两边都除以，得 ． 方法2：方程的两边都除以，得 ．移项，得 ．化简，得 ． 题型三：去分母解方程 【例3】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）解方程： (1)． (2) 【变式1】．（25-26七年级上·广西南宁·月考）解方程 (1)； (2)． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）解方程： (1)． (2)． 题型四：用合适的方法解一元一次方程 【例4】．（25-26七年级上·云南昆明·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·期中）解一元一次方程： (1) (2) (3) (4) 题型五：一元一次方程的解求参数问题 【例5】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解3倍，求k的值． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·期末）关于x的方程的解比方程的解大2． (1)求方程的解； (2)求m的值． 【变式2】．（25-26七年级上·重庆·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 题型六：解新定义方程问题 【例6】．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是_____；（填写序号即可） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 【变式2】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 题型七：绝对值方程问题 【例7】．（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【变式1】．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 【高分达标】 一、单选题 1．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如果关于x的方程的解，那么k的值是（ ） A． B．10 C．2 D． 2（25-26七年级上·河南周口·月考）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·陕西延安·月考）解关于的一元一次方程时，合并同类项得，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．9 4．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）任意给一个数，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）若关于x的一元一次方程与关于x的一元一次方程的解相同，则m的值为（    ） A． B．9 C．3 D． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）下列各方程的变形中，去分母错误的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，方程正确的解为（   ） A． B．13 C．4 D．5 9．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是2或4．定义为数表中第a行第b列的数．例如，数表第行第列所对应的数是，所以．若，则的值为（    ） 第1列 第2列 第3列 第1行 2 2 2 第2行 4 4 4 第3行 2 4 2 A．0，2 B．1，2 C．，1 D．，2 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于的方程有正整数解，则满足条件的所有整数的值为 ． 12．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）若与互为相反数，则的值为 ． 13．（25-26七年级上·四川成都·月考），那么 ． 14．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程有无数多个解，试求 的解为 ． 15．（25-26七年级上·重庆合川·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 三、解答题 16．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 17．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）若是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若表示不大于的最大整数，求的值． 18．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）求解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）我们规定x的一元一次方程的解恰好等于，则称该方程是“差解方程”，例如：，解得：，因为，所以方程是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： (1)下面方程中是差解方程的是______． ①；②；③；④ (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，求的值． (3)已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 20．（25-26七年级上·山东济宁·月考）阅读下列材料，完成后面的任务： 我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”．例如方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 任务： (1)下列关于 x 的一元一次方程是“和解方程”的有 ．(填序号) ①；②；③． (2)若关于 x 的一元一次方程是“和解方程”，求a 的值． 21．（25-26七年级上·广东广州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，则_____． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求的值． (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元一次方程：．（只需要补充含有的代数式）． 22．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2解一元一次方程 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：移项 移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。 移项的依据： （1） 移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1； （2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。 移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。 注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。 知识点二：解一元一次方程步骤 ①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号；去分母与分母化整是两个概念，不能混淆； ②去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号；不要漏乘括号的项；不要弄错符号； ③移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号） 移项要变号； ④合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式； ⑤系数化为1：:字母及其指数不变系数化成1，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。不要分子、分母搞颠倒。 【题型探究】 题型一：合并同类项、移项解方程 【例1】．（25-26七年级上·全国课堂例题）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：， ∴， ∴． （2）解：， ∴， ∴， ∴． （3）解：， ∴， ∴， ∴． （4）解：， ∴， ∴， ∴． （5）解：， ∴， ∴， ∴． （6）解：， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．（25-26七年级上·福建厦门·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解本题的关键． （1）方程移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解； （2）方程合并同类项，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：合并同类项得， 系数化为得． 【变式2】．（25-26七年级上·全国）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：，移项得：，合并同类项得：； （2）解：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：； （3）解：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：； （4）解：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：． 题型二：去括号解方程 【例2】．（24-25七年级下·全国·假期作业）解方程：． 解：去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 【答案】 11 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程在步骤即可解答． 【详解】解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：；；；11 【变式1】．（25-26七年级上·江苏·期中）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先去括号，再移项，最后合并同类项即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 故答案为: ． 【变式2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）解方程：． 方法1：去括号，得 ．移项，得 ．化简，得 ．方程的两边都除以，得 ． 方法2：方程的两边都除以，得 ．移项，得 ．化简，得 ． 【答案】 / 10 / 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 方法1：方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 方法2：方程的两边都除以，移项即可求出解． 【详解】解：， 方法1：去括号，得 移项，得 化简，得 方程的两边同时除以，得； 方法2：方程的两边同时除以，得 移项，得 化简，得． 故答案为：，，10，，，，． 题型三：去分母解方程 【例3】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）解方程： (1)． (2) 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：，去分母，得，去括号，得， 移项及合并同类项，得，系数化为1，得． （2）解： 去分母，得，去括号，得 移项、合并同类项，得系数化为1，得． 【变式1】．（25-26七年级上·广西南宁·月考）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化进行求解即可． （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，正确掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 题型四：用合适的方法解一元一次方程 【例4】．（25-26七年级上·云南昆明·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （4）根据先化整，再去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ； （4）， ， ， ， ， ． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． （1）按照“移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （2）按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （3）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （4）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·期中）解一元一次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：，，，； （2）解：，，，， （3）解：，，，， ； （4）解：，，，，， ． 题型五：一元一次方程的解求参数问题 【例5】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知 是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解3倍，求k的值． 【答案】(1)a的值是4，方程的解是 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟知一元一次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义可得，且，据此求出a的值，代入原方程，再解方程即可得到答案； （2）根据（1）可知，关于x的方程的解为，再把代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，且， ，且， ， 将代入方程，得， 解得， ∴a的值是4，方程的解是； （2）解：由题意得，关于x的方程的解为， 将代入方程，得， 解得． ∴k的值是． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·期末）关于x的方程的解比方程的解大2． (1)求方程的解； (2)求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． （1）首先去括号，移项、合并同类项可得的值； （2）根据（1）中的值可得方程的解为，然后把的值代入可得关于的方程，再解即可． 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 解得． （2）由题意，得方程的解为， 把代入方程，得， 所以， 解得． 【变式2】．（25-26七年级上·重庆·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先求解方程，然后利用“和谐方程”的定义得到方程的解，将解代入方程即可求得的值； （2）根据“和谐方程”的定义可表示出另一个方程的解，再根据“和谐方程”的两个解的差为，列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 关于的方程与方程是“和谐方程”， 方程的解是， 把代入方程得：， ； （2）解：“和谐方程”的两个解的和为，其中方程的一个解为， 另一个方程的解为， 又“和谐方程”的两个解的差为， ，即， 或， 或． 题型六：解新定义方程问题 【例6】．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是_____；（填写序号即可） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】此题主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解题的方法，结合题目中“友好方程”的概念，是解题的关键； （1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解； （2）先表示出含参数的一元一次方程的解，利用“友好方程”的条件，即可列出等式，求得参数的值； （3）根据已知方程的解，代入方程，求得m的值，再结合方程是“友好方程”，列出等式，即可求得n的值． 【详解】（1）解：①，解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； ②，解得：， 因为， 所以该方程是“友好方程”； ③，解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； 故答案为：② （2）解：，解得： 因为关于的一元一次方程是“友好方程”， 所以， 解得：； （3）解：因为的一元一次方程的解为， 所以， 因为， 所以， 因为一元一次方程是“友好方程”， 所以， 所以， 解得：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，理解题中定义是解答的关键． （1）先解两个方程，再根据定义判断即可； （2）先解方程得到，解方程得，根据两个方程为“互反方程得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：方程与为“互反方程．理由： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与为“互反方程； （2）解：解方程，得， 解方程， 得， 则， 即， 解得， ∵两个方程为“互反方程”，， ∴是方程的解， ∵， ∴． 【变式2】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查新定义“m的后移方程”的定义、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，理解“m的后移方程”是解题的关键． （1）先分别求解两个方程，再计算解的差，判断是否为正整数即可解答； （2）根据两个方程的解满足差值2，得到关于n的方程求解即可； （3）根据两个方程的解满足差值4，得到b与c的关系，然后再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：解方程可得：， 方程可得：， ∵，即两方程解的差值为正整数， ∴方程是的“m的后移方程”． 故答案为：是． （2）解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”， ∴，解得：． （3）解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”， ∴，整理得：， ∴． 题型七：绝对值方程问题 【例7】．（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或 (2)，， (3)的最小值为． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据阅读材料，即可得数轴上表示和的两点之间的距离，由， 可得或，即可得的值； （2）根据绝对值的几何意义，求解即可； （3），，，，，，共个数，中间两个数为和，根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，取，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值， 的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值， ∴当时,的最小值是． 故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 【变式1】．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解绝对值方程． （1）仿照题干作答即可； （2）对于形如的方程，等价于或，因此，解方程，只需解与即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：或， 解得：或x； （2）解：由绝对值的意义得：或， 解得：或． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2)5或1 (3)或 (4)1秒或2秒或3秒或秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离的求解方法． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）由得到或，再解方程即可； （3）分类讨论去绝对值，再解一元一次方程即可； （4）点表示的数为，设运动时间为,当时，点表示的数为，点表示的数为，则由题意得，；当时，点表示的数为，点表示的数为，由题意得，，再分别解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为， 故答案为：， 故答案为：； （2）解： 则或 解得或， 故答案为：5或1； （3）解： 时，，解得； 时，，不符合题意，舍； 时，，解得， ∴当或时，， 故答案为：或； （4）解：∵点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧， ∴点表示的数为， 秒， 设运动时间为 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则由题意得，， 即或 解得或； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 即或 解得或， 综上：运动1秒或2秒或3秒或秒后，点P与点Q相距1个单位长度． 【高分达标】 一、单选题 1．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如果关于x的方程的解，那么k的值是（ ） A． B．10 C．2 D． 【答案】B 【分析】把解代入方程，解方程求得k值即可． 本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程的解， ∴， 解得， 故选：B． 2（25-26七年级上·河南周口·月考）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的去分母步骤，关键是正确乘以最小公倍数．根据一元一次方程的去分母的方法，等式两边同时乘以分母的最小公倍数6，以消除分母． 【详解】解：∵ 方程 ，分母的最小公倍数为6， ∴ 两边同时乘以6，得 ， 即， ∴ 去分母后为 ，对应选项B． 故选：B 3．（25-26七年级上·陕西延安·月考）解关于的一元一次方程时，合并同类项得，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的合并同类项及系数运算，解题的关键是根据合并后x的系数建立关于的方程． 将原方程左边合并同类项得到，结合合并后结果，令系数相等求解． 【详解】解：原方程合并同类项得， 由合并后为，得， 解得． 故选：A． 4．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）任意给一个数，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 故选：B． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）若关于x的一元一次方程与关于x的一元一次方程的解相同，则m的值为（    ） A． B．9 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题． 分别求出两方程的解，根据解相同列方程求解即可． 【详解】解：解得：； 解得：； ∵关于x的一元一次方程与关于x的一元一次方程的解相同， ∴， 解得：． 故选：C． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，将方程中的视为整体，与已知方程对比，利用整体代换求解． 【详解】解：在方程中， 设，则方程化为， 又∵方程的解为， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）下列各方程的变形中，去分母错误的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程过程中去分母的变形．解题的关键在于去分母时方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘常数项．逐一检查各选项方程两边是否每一项都乘即可． 【详解】解： A：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； B：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； C：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； D：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘应得 ，但选项中为 ，常数项未乘，错误．符合题意． 故答案为：D． 8．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，方程正确的解为（   ） A． B．13 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据小明错误去分母得到的方程，将代入求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：∵小明去分母时，左边的1没有乘以10， ∴错误方程为：， 将代入错误方程， ， 解得， 那么原方程为：， 那么， 解得， ∴方程正确的解为， 故选：B． 9．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是2或4．定义为数表中第a行第b列的数．例如，数表第行第列所对应的数是，所以．若，则的值为（    ） 第1列 第2列 第3列 第1行 2 2 2 第2行 4 4 4 第3行 2 4 2 A．0，2 B．1，2 C．，1 D．，2 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的运算，一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据数表确定的值，再根据第2列的值分布，令等于该值，解方程求x． 【详解】解：∵表示第2行第3列的数，由数表可知为4． 又∵表示第行第2列的数， 第2列的数：第1行为2，第2行为4，第3行为4， ∴ 要使，则或． 当时，； 当时，． ∴ x的值为或1． 故选C． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．由第一个方程的解代入得到 的关系式，然后将第二个方程化简，利用该关系式求解，即可作答． 【详解】解：∵方程 的解为， ∴代入得 ， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 移项得， ∴， 把代入，得， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题 11．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于的方程有正整数解，则满足条件的所有整数的值为 ． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查了根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，先解方程得到，根据原方程的解为正整数可推出是正整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则，故这种情况不存在， 当时，则， ∵关于的方程有正整数解， ∴是正整数， 又∵k为整数， ∴或， 解得或， 故答案为：0或2． 12．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数，解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 由互为相反数的两数之和为零，建立方程并求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 去分母，方程两边同乘3，得， 合并同类项，得， 移项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·四川成都·月考），那么 ． 【答案】 或 【分析】本题考查绝对值方程，先计算等号右边的绝对值，得到，再根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：，即， 则或， 解得或． 故答案为：或． 14．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程有无数多个解，试求 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，由方程有无数多个解，可知其系数和常数项均为零，从而求出和的值．再将和代入方程 中，计算并求解 ． 【详解】解：方程 移项得 ． ∵方程有无数个解，， ∴且， 解得，． 代入方程， 得：， 即， ， 解得； 故答案为：． 15．（25-26七年级上·重庆合川·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法及新定义“美好方程”的应用，解题的关键是先利用美好方程的定义求出对应方程的解，再通过换元法求解关于的方程． 先解出方程的解，利用“美好方程”的定义求出另一个方程的解；再将关于的方程变形为与该方程同形式的方程，通过换元法求出的值． 【详解】解：，得. ∵两方程为“美好方程”， ∴的解为 将关于的方程 整理为， 令，则方程为，此方程与形式相同，其解为， 即，解得. 故答案为：. 三、解答题 16．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1），，，，； （2），，，，，，； （3）， ， ， ， ； （4）， ， ， ． 17．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）若是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若表示不大于的最大整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义即可解答； （2）根据一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程，即可解答； （3）根据题意即可解答． 【详解】（1）解：由题意得且， 所以． 答：的值为． （2）解：由（1）可知，， 则方程可化为， 解得，． 将代入方程， 得， 即， 解得，． 答：的值为． （3）解：， ． 答：的值为． 18．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）求解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查一元一次方程的解法，掌握好解方程的基本步骤是解题关键． （1）移项、合并同类项后，系数化“1”即可； （2）移项、合并同类项后，系数化“1”即可； （3）去括号、移项、合并同类项后，系数化“1”即可； （4）去分母、去括号、移项、合并同类项后，系数化“1”即可； 【详解】（1）， 移项合并后得，， 系数化“1”得，； （2）， 移项合并后得，， 系数化“1”得，； （3）， 去括号得，， 移项合并后得，， 系数化“1”得，； （4）， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并后得，， 系数化“1”得，． 19．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）我们规定x的一元一次方程的解恰好等于，则称该方程是“差解方程”，例如：，解得：，因为，所以方程是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： (1)下面方程中是差解方程的是______． ①；②；③；④ (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，求的值． (3)已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．（1）根据差解方程的定义一一进行验证即可；（2）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之得出a、b的值即可得出答案； （3）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵的解为， ∴是差解方程； ②∵的解为， ∴不是差解方程； ③∵的解为， ∴是差解方程； ④∵的解为， ∴是差解方程； 故答案为：①③④； （2）解：由题意可知，由一元一次方程可知， 又方程的解为， ∴，，解得，， ∴； （3）解：∵一元一次方程和都是“差解方程”， ∴，， ∴，，两式相减得，， ∴ ． 20．（25-26七年级上·山东济宁·月考）阅读下列材料，完成后面的任务： 我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”．例如方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 任务： (1)下列关于 x 的一元一次方程是“和解方程”的有 ．(填序号) ①；②；③． (2)若关于 x 的一元一次方程是“和解方程”，求a 的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）根据“和解方程”的定义逐一判断即可得到答案； （2）先求出方程的解，再根据“和解方程”的定义可得关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程”； ②解方程得， ∵， ∴方程不是“和解方程” ③解方程得， ∵， ∴方程是“和解方程”； 故答案为：③； （2）解：解方程得， ∵关于的一元一次方程是“和解方程”， ∴， ∴， 解得． 21．（25-26七年级上·广东广州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，则_____． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求的值． (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元一次方程：．（只需要补充含有的代数式）． 【答案】(1) (2)3或 (3)，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）首先求出两个方程的解，然后根据题意列方程求解即可； （2）根据题意得到或，进而求解即可； （3）根据题意得到的解是，，进而求解即可． 【详解】（1）解：解，得； 解，得； ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴ 解得； （2）∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5， 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）∵关于x的一元一次方程的解是， ∴的解是， ∵，则， 则的解是， 即：的解是， 故答案为：，． 22．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 【答案】(1)；10 (2)或 (3)这个定值为15； 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）先表示出t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为，再根据点与点之间的距离为4个单位长度，列出方程，解方程即可； （3）先表示出t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：，再表示出，然后根据在运动过程中为定值，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是10； （2）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为， ∵点与点之间的距离为4个单位长度， ∴， 解得：或， 即当或时，点与点之间的距离为4个单位长度； （3）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：， 当P、D相遇时，， ∵当相遇时停止运动， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵在运动过程中为定值， ∴， 解得：， ∴这个定值为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $