2.3 有理数的乘方【八大考点+八大题型】-2025-2026学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（人教版2024）

2.3 有理数的乘方 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 知识点二：乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 知识点三：.有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 知识点四：科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。 【题型归纳】 题型一：有理数幂的理解 【例1】．（2025·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，有理数幂的概念：表示n个a的乘积，a为底数，n为指数．根据有理数幂的概念解答即可． 【详解】解：A、的底数是，原说法错误，不符合题意； B、表示3个2相乘，原说法错误，不符合题意； C、表示的是3个相乘，表示的是3个2相乘的相反数，二者意义不同，原说法错误，不符合题意； D、的指数是3，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪训练1】．（2025·河南郑州·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，熟练掌握乘法和乘方的意义是解题的关键．根据乘法和乘方的意义求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【跟踪训练2】．（2025·吉林长春·二模）下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和乘方，根据有理数的乘法和乘方的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A、可表示两个5相加，正确，故不符合题意； B、可表示五个2相加，正确，故不符合题意； C、可表示五个2相乘，原说法不正确，故符合题意； D、可表示五个2相乘，正确，故不符合题意； 故选：C． 题型二：有理数的乘方（逆)运算 【例2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （2）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案； （4）原式将分子进行立方运算即可得到答案； （5）根据的偶次方等于1可得结果． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查负数的指数运算，需注意括号的位置对结果符号的影响．解题步骤分为：1.判断底数是否包含负号；2.根据指数奇偶性确定符号；3.计算数值部分．根据运算步骤计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3）． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 题型三：乘方运算的符号规律 【例3】．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 【跟踪训练1】．（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 【跟踪训练2】．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 题型四：含乘方的有理数四则混合运算 【例4】．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （2）根据有理数的乘除法可以解答本题； （3）先算乘方，再算乘法，最后算加减； （4）根据乘法分配律计算； （5）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按运算顺序依次计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算括号里面的，接着计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，再计算括号里面的，接着计算乘，最后计算减； （3）利用乘法分配律即可计算； （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3)6 (4)119 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算的顺序和运算法则． （1）将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开计算。 （2）先算括号内、乘方，再依次进行乘除、加减运算。 （3）先去绝对值、处理符号，再进行加减运算。 （4）先算乘方，再依次进行乘除、加减运算。 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型五：科学记数法 【例5】．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）今年，浙BA十分的火爆，苍南凭借实力出线迎战浙江各个区域，苍南体育馆作为苍南承办这项赛事的主场，总的占地面积约为45000平方米，那么“45000”这个数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪训练1】．（2025·湖南长沙·模拟预测）长沙市自然资源和规划局发布的《长沙市国土空间总体规划(2021—2035年)》中指出，到2035年，长沙市域常住人口规模严格控制在14000000人以内，城镇化率达到．其中数据14000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示方法，正确确定a，n的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：把原数变为a时，当原数的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：C ． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）月日，国家统计局公布年各地区夏粮产量数据，安徽夏粮总产量为亿斤，较上年增加亿斤，居全国第三位．数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：亿， ． 故选：C． 题型六：近似数 【例6】．（23-24七年级上·山西临汾·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法对各选项进行判断即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：、精确到是，该选项正确，不符合题意； 、精确到千分位是，该选项错误，符合题意； 、精确到百分位是，该选项正确，不符合题意； 、精确到是，该选项正确，不符合题意； 故选：． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·海南·开学考试）一个三位小数精确到百分位是，下面关于这个三位小数说法错误的是（   ） A．这个三位小数最小是 B．这个三位小数最大是 C．符合条件的三位小数一共有个 D．符合条件的三位小数一共有个 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，根据精确度逐项判断即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：、这个三位小数最小是，该选项说法正确，不合题意； 、这个三位小数最大是，该选项说法正确，不合题意； 、符合条件的三位小数有，，，，，，，，，，一共有个，该选项说法错误，符合题意； 、符合条件的三位小数一共有个，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数2万与20000的精确度相同 B．近似数0.001精确到千分位 C．近似数精确到百分位 D．近似数38与38.0的精确度相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了精确度，一个数精确到哪一位，即看该近似数的最后一位在什么位就精确到什么位，据此求解即可． 【详解】解：A、2万精确到万位，20000精确到个位，故原说法错误，不符合题意； B、近似数0.001精确到千分位，说法正确，符合题意； C、近似数精确到千位，故原说法错误，不符合题意； D、近似数38精确到个位，38.0精确到十分位，因此原说法错误，故不符合题意； 故选：B． 题型七：程序框图 【例7】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．先根据题意把代入求出代数式的值，再判断出结果的符号，进而可得出结论． 【详解】解：当时， ， 当时， ， ． 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，程序流程图与有理数计算，解题关键是掌握运算的顺序． 根据程序列出算式计算，直接输出即可． 【详解】解：输入的数是4， 则，， 输入的数是， 则，， 则输出的数是， 故选：A． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序．若输入的数是3，则执行了程序后，输出的结果是（   ） A． B．561 C． D．558 【答案】C 【分析】本题考查 程序流程图与有理数计算． 根据题目的要求将已知的数先减去7，再乘以11，判断其结果的绝对值是否大于100；若计算结果的绝对值大于100，则输出，若小于100则将结果重新输入，进一步计算直到结果的绝对值大于100即可． 【详解】解：输入3， ，， 输入， ，， 输出， 故选：C． 题型八：有理数乘方的综合应用 【例8】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）小宇是一个聪明而文富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念，于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，则，又如，记作，则． (1)直接写出计算结果，______________，_________________； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是_____________；（填序号） ①；②；③． (3)计算：． 【答案】(1)1； (2)② (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握除方的法则，是解题的关键： （1）根据除方法则进行计算即可； （2）根据除方法则，逐一进行判断即可； （3）根据除方法则，除方变乘方，进行计算即可． 【详解】（1）解：；． 故答案为：；； （2）∵， ∴，故①错误； ，故②正确； ∵，故③错误； 故答案为：②； （3）∵，，，， ∴． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) (5) (6)7 (7)17 (8) 【分析】本题主要考查有理数加减法，有理数乘法运算律，有理数乘除法混合运算，含乘方的有理数混合运算等，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先根据有理数减法法则变形，然后再进行加减运算即可； （2）原式先根据有理数减法法则变形，然后再根据加法交换律和结合律进行计算即可； （3）原式先计算乘方，再计算乘法，最后进行加减运算即可； （4）原式先计算除法和乘法，再进行加减运算即可； （5）原式自左向右依次进行计算即可； （6）原式运用乘法分配律进行计算即可； （7）原式运用乘法交换律和结合律进行计算即可； （8）原式先计算括号内的乘方、乘法和加减法，再计算除法即可 【详解】（1）解： ． ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·广东清远·期中）（1）计算： ①___________，___________； 有___________（用“”“”“”填空）． ②猜测与的关系： __________． （2）计算： 【答案】（1）①，，；②；（2） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则． （1）根据有理数乘方运算法则逐一计算可得； （2）利用所得规律将原式展开，约分即可得． 【详解】解：（1）①，， ， 故答案为：，，； ②， 故答案为：； （2） 【高分演练】 一、单选题 1．（20-21七年级上·广东东莞·期中）浙教版初中数学课本宽度约为，该近似数18.3精确到（    ） A．千分位 B．百分位 C．十分位 D．个位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，看末位数字实际在哪一位即可． 【详解】解：近似数18.3精确到十分位． 故选：C． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先算乘方，再去括号，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】解： ． 故选A． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是一个三位小数，用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据近似数推断取值范围，当舍去千分位得到时，则它的最大值小于；当的千分位进1得到时，则它的最小值是；据此即可求解； 【详解】解：当舍去千分位得到时，则它的最大值小于； 当的千分位进1得到时，则它的最小值是. ∴所以的取值范围是：， 又因为是一个三位小数， 所以的取值范围是， 故选：D 5．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列计算： ①； ②； ③； ④． 其中错误的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则以及运算顺序逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③错误； ④，故④正确． 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽·期末）下图是计算机的一个计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序和法则是解题的关键．按照计算程序，将输入的值代入，逐步计算，判断结果是否小于，直到得到小于的结果． 【详解】解：当时，，； 再把代入，，． 所以若开始输入，则最后输出的结果是， 故选：A． 7．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0 和1），它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为：9．按此方式，将二进制换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为（    ） A．17， B．17，（1110）2 C．11， D．11， 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据二进制数和十进制数之间的换算方法进行解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴十进制数13转化为二进制的结果为， 故选：C 8．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得到1．如果自然数n恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的n的值是（   ） A．3，15，21，128 B．3，15，20，128 C．3，20，21，128 D．3，20，31，128 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合计算．从最后一步向前进行计算：因为计算的结果应是奇数或偶数，所以分数不符合题意，因为最终结果是1，所以计算中结果是1，不符合题意，根据题中的运算，计算的结果是奇数，应是乘以3加上1得到的，结果是偶数，则是除以2得到的，根据上述的要求来进行解答即可． 【详解】解：第7步运算前的数：；（不符合题意）． 第6步运算前的数：；（不符合题意）． 第5步运算前的数：；（不符合题意）． 第4步运算前的数：；（不符合题意）． 第3步运算前的数：；． 第2步运算前的数：；（不符合题意）；；（不符合题意）． 第1步运算前的数：；；；． 故选：C． 9．（20-21七年级上·福建福州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，……根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，（k为正整数）这一列数，每四个数的末尾数字循环一次，依次为2，4，8，6，据此规律求解即可． 【详解】解：∵，，… ∴（k为正整数）这一列数，每四个数的末尾数字循环一次，依次为2，4，8，6， ∵ ∴的末位数字是8． 故选：D． 10．（25-26七年级上·重庆綦江·开学考试）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ）天 A．84 B．336 C．448 D．510 【答案】D 【分析】根据“满七进一”，可知这是七进制数，需将其转化为十进制数来计算孩子出生后的天数．本题主要考查了进制的转化，熟练掌握七进制数转化为十进制数的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 二、填空题 11．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）按照四舍五入精确到得到的近似数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数．把千分位上数字6进行四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（17-18七年级上·山东青岛·阶段练习）有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是3、7、3、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解决困难，请写出一个成功的算式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算．根据题意写出算式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）根据地区生产总值统一核算结果，前三季度，平凉市地区生产总值为亿元，按不变价格计算，同比增长．亿可用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数时，理解“一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1”是解题的关键． 【详解】解：亿， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了程序图与有理数的运算．根据程序要求先计算，若结果输出，若结果，再次代入，循环计算即可． 【详解】解：当输入x为时，，， 将再次输入； 当输入的数为时，，， 所以输出的结果为． 故答案为：． 15．（10-11七年级上·四川·期中）计算： ， ， 【答案】 / 0 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算、乘方运算及乘法运算律，解题的关键是掌握乘除同级运算从左到右的顺序、负数乘方“奇次幂为负，偶次幂为正”的规律以及巧用乘法运算律简化运算． 计算时，将除法转化为乘法后按从左到右顺序计算；计算时，根据乘方符号规律分别求两个乘方结果再求和；计算时，先根据乘方的定义展开，再利用乘法的交换律与结合律，简化运算． 【详解】①解： 故答案为： ②解：， ∵2009是奇数， ∴； ∵2010是偶数， ∴，则 故答案为：． ③解： 故答案为：． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业），全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 【答案】6 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是对科学记数法表示的数进行还原． 对科学记数法表示的数进行还原即可． 【详解】解：，即原数7的后面有6个0． 故答案为：6． 17．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案中的卦用的是我国古代的计数符号． 八卦中称为阳爻（yáo），对应数字；称为阴爻，对应数字0．如符号表示的二进制数为.则符号表示的二进制数为 ，把二进制数它转化为十进制的数是 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握进位制的转换方法是解题的关键．根据题意，八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，按二进制表示出结果即可；根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】 解：符号表示的二进制数为， ， 即二进制数它转化为十进制的数是， 故答案为：；． 三、解答题 18．（23-24七年级上·北京·开学考试）计算下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据加法交换律计算即可； （2）先将分数通分，再逐步计算即可； （3）先将带分数化为假分数，再计算乘方，然后计算括号里的，最后计算除法； （4）分别根据乘法分配律和乘方进行计算，并将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算：． 下面是小聪的解答过程．请认真阅读并完成下列相关问题． 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)小聪的运算从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)三，没有按照运算顺序进行计算 (2)见详解 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则和运算顺序分析即可； （2）首先进行乘方运算，再进行括号内的运算，然后根据有理数乘除运算法则求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知小聪的运算从第三步开始出现错误， 这一步错误的原因是没有按照运算顺序进行计算． 故答案为：三，没有按照运算顺序进行计算； （2）解：原式 ． 20．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若定义一种新的运算“”，规定有理数．例如：． (1)求的值． (2)求的值． (3)运算“”是否具有交换律，即是否成立？请说明理由． 【答案】(1)10 (2)74 (3)不成立，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可； （3）根据新运算的法则，进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3）不成立；理由如下： ∵， ∴只有时，， ∴运算“”不具有交换律． 21．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（简便运算）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)1 (6) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，灵活利用运算律计算是解题的关键． （1）从左往右计算，即可求解； （2）从左往右计算，即可求解； （3）利用有理数加法运算律计算即可； （4）利用有理数乘法分配律计算即可； （5）先计算乘方，再计算乘除，然后计算减法即可； （6）利用有理数乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 22．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说：“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用0至9十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…．例如，十进制数中的3表示3个百，0表示0个十，4表示4个一，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：．（规定当时，，304右下角的10代表以10为基数） 问题解决： (1)“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：___________； (2)一个位数为6位数的二进制数（此处研究对象为非负数）能表示的十进制数值范围___________； (3)计算（结果转化为十进制）：． 【答案】(1) (2)不小于32且不大于63 (3)259 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解不同进制的数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式是解答本题的关键． （1）根据题目介绍的方法表示即可； （2）分别求出最小和最大二进制的6位数转化后的结果即可； （3）先分别将和转化为十进制数，然后相加即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）∵， ， ∴表示的十进制数值范围是不小于32且不大于63， 故答案为：不小于32且不大于63； （3）∵ ， ， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 有理数的乘方 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 知识点二：乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 知识点三：.有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 知识点四：科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。 【题型归纳】 题型一：有理数幂的理解 【例1】．（2025·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【跟踪训练1】．（2025·河南郑州·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（2025·吉林长春·二模）下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 题型二：有理数的乘方（逆)运算 【例2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 题型三：乘方运算的符号规律 【例3】．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练1】．（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【跟踪训练2】．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型四：含乘方的有理数四则混合运算 【例4】．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨）计算： (1) (2) (3) (4) 题型五：科学记数法 【例5】．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）今年，浙BA十分的火爆，苍南凭借实力出线迎战浙江各个区域，苍南体育馆作为苍南承办这项赛事的主场，总的占地面积约为45000平方米，那么“45000”这个数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（2025·湖南长沙·模拟预测）长沙市自然资源和规划局发布的《长沙市国土空间总体规划(2021—2035年)》中指出，到2035年，长沙市域常住人口规模严格控制在14000000人以内，城镇化率达到．其中数据14000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）月日，国家统计局公布年各地区夏粮产量数据，安徽夏粮总产量为亿斤，较上年增加亿斤，居全国第三位．数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型六：近似数 【例6】．（23-24七年级上·山西临汾·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·海南·开学考试）一个三位小数精确到百分位是，下面关于这个三位小数说法错误的是（   ） A．这个三位小数最小是 B．这个三位小数最大是 C．符合条件的三位小数一共有个 D．符合条件的三位小数一共有个 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．近似数2万与20000的精确度相同 B．近似数0.001精确到千分位 C．近似数精确到百分位 D．近似数38与38.0的精确度相同 题型七：程序框图 【例7】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为( ) A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序．若输入的数是3，则执行了程序后，输出的结果是（   ） A． B．561 C． D．558 题型八：有理数乘方的综合应用 【例8】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）小宇是一个聪明而文富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念，于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，则，又如，记作，则． (1)直接写出计算结果，______________，_________________； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是_____________；（填序号） ①；②；③． (3)计算：． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·广东清远·期中）（1）计算： ①___________，___________； 有___________（用“”“”“”填空）． ②猜测与的关系： __________． （2）计算： 【高分演练】 一、单选题 1．（20-21七年级上·广东东莞·期中）浙教版初中数学课本宽度约为，该近似数18.3精确到（    ） A．千分位 B．百分位 C．十分位 D．个位 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是一个三位小数，用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列计算： ①； ②； ③； ④． 其中错误的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．④ 6．（24-25七年级上·安徽·期末）下图是计算机的一个计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0 和1），它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为：9．按此方式，将二进制换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为（    ） A．17， B．17，（1110）2 C．11， D．11， 8．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得到1．如果自然数n恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的n的值是（   ） A．3，15，21，128 B．3，15，20，128 C．3，20，21，128 D．3，20，31，128 9．（20-21七年级上·福建福州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，……根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（25-26七年级上·重庆綦江·开学考试）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ）天 A．84 B．336 C．448 D．510 二、填空题 11．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）按照四舍五入精确到得到的近似数是 ． 12．（17-18七年级上·山东青岛·阶段练习）有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是3、7、3、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解决困难，请写出一个成功的算式： ． 13．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）根据地区生产总值统一核算结果，前三季度，平凉市地区生产总值为亿元，按不变价格计算，同比增长．亿可用科学记数法表示为 ． 14．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是 ． 15．（10-11七年级上·四川·期中）计算： ， ， 16．（25-26七年级上·全国·课后作业），全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 17．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案中的卦用的是我国古代的计数符号． 八卦中称为阳爻（yáo），对应数字；称为阴爻，对应数字0．如符号表示的二进制数为.则符号表示的二进制数为 ，把二进制数它转化为十进制的数是 ． 三、解答题 18．（23-24七年级上·北京·开学考试）计算下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算：． 下面是小聪的解答过程．请认真阅读并完成下列相关问题． 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)小聪的运算从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请写出正确的解答过程． 20．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若定义一种新的运算“”，规定有理数．例如：． (1)求的值． (2)求的值． (3)运算“”是否具有交换律，即是否成立？请说明理由． 21．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（简便运算）． 22．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）阅读理解：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说：“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用0至9十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位…．例如，十进制数中的3表示3个百，0表示0个十，4表示4个一，于是我们就可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：．（规定当时，，304右下角的10代表以10为基数） 问题解决： (1)“二进制”是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．请把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式：___________； (2)一个位数为6位数的二进制数（此处研究对象为非负数）能表示的十进制数值范围___________； (3)计算（结果转化为十进制）：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $