第三章 圆（必备知识+14大题型+分层训练）（复习讲义）数学北师大版九年级下册

该初中数学圆的复习讲义通过模块化框架系统梳理知识体系，将圆的性质、位置关系、正多边形与圆、弧长扇形面积等核心内容分四个知识点模块呈现，结合定义、定理、推论的层级梳理和辅助线做法总结，搭配图形示例构建清晰知识脉络，突出垂径定理、切线判定、圆周角定理等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与素养导向的方法指导，设置十三个专题题型，如“垂径定理解决月亮门高度问题”培养几何直观，“切线判定双条件推理”强化推理意识，例题与变式题结合基础巩固和能力提升练习，助力不同层次学生掌握，教师可据此实施精准化复习教学。

第三章 圆（复习讲义） 1. 了解圆、圆心角、圆周角、正多边形等相关概念的意义，体会圆与正多边形、扇形与圆柱圆锥等之间的整体联系。 2. 能用垂径定理、切线的性质与判定定理、切线长定理等进行推理证明，能计算弧长、扇形面积以及圆内正多边形相关量。 3. 理解并利用点与圆、直线与圆的位置关系，圆内接四边形的性质等解决实际问题。 【知识点01】圆的有关性质 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：（1）圆心；（2）半径。 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 3.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：（1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； （2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 4.圆心角、圆周角的概念 （1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 （2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点02】点和圆、直线和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。 2.过三点的圆 （1）过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 （3）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 3.三角形的内切圆和内心 （1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 4.直线与圆的位置关系 （1）直线与圆相离 无交点； （2）直线与圆相切 有一个交点； （3）直线与圆相交 有两个交点； 5.切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 6.切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线；∴；平分 【知识点03】正多边形和圆 1.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形∴ ∴ 2.圆内正多边形的计算 （1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，. 3.与正多边形有关的概念、对称性 正多边形有关的概念 （1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （4）中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 正多边形的对称性 （1）正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 （2）正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 （3）正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【知识点04】弧长和扇形面积 1.扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】如图，是的直径，，，则 ．    【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 【变式1-1】如图，已知、是的直径，，，则 【答案】/64度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条． 【答案】3 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接，，根据圆心角、弧的关系求出，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 图中与相等的线段有条， 故答案为：． 【变式1-3】如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，    根据轴对称的性质可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴ 此时最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵A是半圆上一个三等分点， ∴， 又∵点B是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值是． 故答案为：． 题型二 利用垂径定理求值 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，直径弦于点，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，推导出是解题的关键． 如图：由于D点，，得，，而，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，是直径，是弦，且于D点，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用及勾股定理．利用垂径定理和勾股定理求出的长度，再用求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，半径， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接，．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，再根据勾股定理进行列式，得，解出，再结合中位线的性质，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，． 【变式2-3】（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 题型三 利用圆周角定理求角 【例3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，A、B、C是上的三个点，若，则 ． 【答案】/34度 【分析】由，根据圆周角定理得，于是得到问题的答案． 此题重点考查圆周角定理，推导出是解题的关键． 【详解】解：、B、C是上的三个点， ， ， ， 故答案为 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是⊙O的直径，，，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了圆周角定理，由题意得：，然后根据平行线的性质得到； 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴． 故答案为： 【变式3-2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，是边上一点，以为直径的经过点，是直径上一点（不与点、重合），连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形外角的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到，再由，即可得结论； （2）由得到，进而得到，再根据三角形的外角的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 又， ； （2）解：是直径， ， ， ， ， ． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是的直径，弦于点E，G是上一点，，的延长线交于点，连接， (1)如图1，若E为半径的中点．求的度数； (2)连接求证：； (3)若，，的半径为求弦的长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由题易知，进而得解； 由垂径定理可得，所以，由圆内接四边形可得，进而得证； 过点C作交于点K，连接，再过点K作于点H，易证为等边三角形，从而得到，再解三角形即可得解． 【详解】（1）如图，连接， 为半径的中点， ， 又， ∴， ， ， ， 的度数为 （2）如图，连接， ， ， ， 又四边形内接于， ， ； （3）如图，过点C作交于点K，连接， 再过点K作于点， ， ， 为等边三角形． ，， ， 又的半径为6， ， 在中，， ， 在中，， ； 弦的长为 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例4】如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若， ． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先根据圆的性质得到，，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵的角平分线与交于点， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】如图，是的直径，弦，若，则 ． 【答案】65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的特征，根据直径所对的圆周角是直角，再利用平行线的性质得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， ， 故答案为：65． 【变式4-2】如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆周角定理．熟练运用圆周角定理的推论是解题的关键．连接，根据圆周角定理的推论可得，进而，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】如图，将一个半圆形量角器放置在矩形上，刻度线的两端点，分别在边，上滑动，，点在半圆上，且在（或）刻度处． （1）若点在靠近点处，连接，则 ； （2）当点与点的距离最大时， ． 【答案】 /10度 或 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等边对等角 【分析】（1）由直径所对圆周角是直角，和，确定点在半圆量角器的半圆所在的圆上，由点在靠近点处，确定的度数，根据同弧所对圆周角，是其圆心角的一半，即可求解， （2）根据两边之和大于第三边，得到为的直径，分两种情况进行讨论，即可求解， 本题主要考查了，直径所对圆周角是直角，圆周角定理以及推论，等边对等角的性质，解题的关键是：得出点在半圆形量角器所在的圆上． 【详解】（1）解：在矩形中，， 点在半圆量角器的半圆所在的圆（记为）上， 若点在靠近点处，即点在刻度处，连接，， ， ， （2）当点与点的距离最大时，为的直径， ， 若点在刻度处， ， ， , 若点在刻度处，， ， ， 故答案为：；或． 题型五 90°的圆周角所对的弦是直径 【例5】如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用． 【详解】如图， ∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】如图，在正方形中，，点是对角形上的一个动点，且不与端点重合，连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在为直径的上运动，进而勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式5-2】如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接，设， 则，进而得出，勾股定理求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设， 则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是的直径， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴，则是等边三角形 ∴，则 ∴ 在中， 在中， ∵是的直径， ∴当取得最小值时，的面积最小， ∴当时，的面积最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，二次函数的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键 题型六 已知圆内接四边形求角度 【例6】如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是 ．    【答案】/160度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-1】如图，的内接四边形，E为延长线上一点．若，则的度数为 ． 【答案】/119度 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答． 【详解】解：四边形是的内接四边形，是四边形的一个外角， ， 故答案为：． 【变式6-2】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，，则 °.    【答案】60 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理．先根据是的直径得出，故可得出，由可知，故可得出，故，根据可知，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：是的直径，   ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ，即， ． 故答案为：60． 【变式6-3】如图，四边形是的内接四边形，平分，连接， ． 【答案】 【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，根据圆内接四边形的对角互补求出，根据垂径定理得到，进而求出，根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 题型七 点与圆的位置关系 【例7】已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在 （选填“圆内”，“圆上”，“圆外”）． 【答案】圆外 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题的关键． 【详解】解：点到圆心的距离， 点在外． 故答案为：圆外． 【变式7-1】若的面积为，在同一平面内有一点，若，则点在 （填内或上或外）． 【答案】内 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内是解题的关键． 根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可． 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为， ∵， ∴点在内， 故答案为：内． 【变式7-2】在中，，，．以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是 ． 【答案】点B在上 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点到圆心的距离等于半径，则点在圆上，进行判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是：点B在上， 故答案为∶点B在上．    【点睛】此题主要是考查了点与圆的位置关系，能够熟记点到圆心的距离等于半径，则点在圆上是解题的关键． 【变式7-3】已知的半径为5，线段的长为d，若点A在外，则d的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，，即可得到答案． 【详解】解：若点A在外， ． 故答案为：． 题型八 正多边形和圆 【例8】如图，在正六边形中，连接、相交于点，则的值为 ．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 由正六边形的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，证出，根据正六边形的边长等于半径可得，进而可得出答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ， ， 根据正六边形的边长等于半径，得 ， ， ． 故答案为：． 【变式8-1】如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为，高为， ∴正六边形的面积为， 故答案为：. 【变式8-2】如图，已知正五边形，经过C，D两点的与分别相切于点M，N，连接，则 °. 【答案】36 【知识点】多边形内角和问题、切线的性质定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了切线的性质，正多边形，圆周角定理，连接，根据切线的性质和正多边形内角，可求得的度数，再利用圆周角定理，可得的度数，熟练求出正多边形的内角，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与分别相切于点M，N， ， 五边形是正五边形， ， ， ． 故答案为：36． 【变式8-3】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为 （结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，点是正六边形的中心，过作于，    在正六边形中， ，则， ，， ， ∴正六边形的面积为， ， ， 的近似值为， 故选：B． 题型九 求弧长 【例9】已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式9-1】如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为 ．    【答案】 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、求弧长 【分析】本题考查了圆的基本性质，弧长公式；连接，，，由同弧所对的圆周角相等得，由圆周角定理得，再由弧长公式即可求解；掌握性质及弧长公式，添加辅助线，求出所对的圆心角是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，   ， ， ， ， ， 的长为， 故答案：． 【变式9-2】扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为 ． 【答案】50 【知识点】求弧长 【分析】本题考查求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．先求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，的长为， ∴，， ∴的长为； 故答案为：50． 【变式9-3】已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、已知圆内接四边形求角度、求弧长 【分析】取点在上的对应点E，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得，然后利用勾股定理求得，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 题型十 求扇形的面积 【例10】已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积公式，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：扇形的面积为 故答案为：． 【变式10-1】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 【变式10-2】中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得，则由线段，弧，线段，弧围成扇面的面积是 （结果保留）． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 扇面的面积为： ． 故答案为：． 【变式10-3】如图，，是的两条切线，切点分别为，，．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．    【答案】 【知识点】切线的性质定理、求扇形面积 【分析】题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和得到，再根据扇形面积公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十一 与圆锥有关的计算问题 【例11】圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面展开图的面积； 故填：． 【变式11-1】用一个圆心角为，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与圆锥的底面半径之间的关系，设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题． 【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意： ， 解得． 故答案为：． 【变式11-2】某圆锥形生日帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解． 【详解】设侧面展开扇形的圆心角为，则， ． 故答案为：． 【变式11-3】如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 （用表示）． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求弧长、求扇形面积、求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查勾股定理，扇形面积的计算，根据勾股定理可得母线长，弧长，再根据扇形面积的计算方法即可求解，掌握扇形面积的计算是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长，， ∴． 故答案为：． 题型十二 与垂径定理有关的计算问题 【例12】如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用． （）根据垂径定理即可求解； （）根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得，． 【变式12-1】如图，在中，是直径，且弦于点，于点，，且．求： (1)弦的长； (2)的直径． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）利用垂径定理得，再证明，利用相似三角形的性质得出即可； （）设的半径为，先由勾股定理求出，在中，由，，，再通过勾股定理，求出即可； 本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，且， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）设的半径为， 在中，， ∴， 在中，∵，，， ∴，解得， ∴的直径为． 【变式12-2】如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、根据三线合一证明 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 是半径， ， ， ， ， ； （2）解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 【变式12-3】如图，已知是的直径，是弦，过点作于，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、三角形内角和定理的应用、等边对等角、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）及三角形内角和定理，根据题意得出是的中位线是解答此题的关键． （1）先得出为的中点，再由得出是的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论； （2）连接，先根据等边对等角得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）是的直径， 为的中点， 又，即为的中点， ∴是的中位线， ； （2）如图所示，连接， ，且， ， ． 题型十三 与圆周角有关的计算问题 【例13】如图，C，D是圆上的两点，，且C为弧的中点，，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2)5 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用． （1）由已知条件可得出，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得出， 根据角的和差关系可得出， 最后根据三角形内角和即可得出答案． （2）由，可得出为直径，过点E作，证明，由全等三角形的性质可得出，，设，则，由勾股定理可得出，即可得出圆的半径． 【详解】（1）解：∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴为圆的直径． 过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ∴， 即半径为5． 【变式13-1】如图，在中，，以为直径的分别交于点D，E，过点C作于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若，求值． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了等边对等角以及圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边对等角得，结合圆周角定理得，因为，故，证明，即可作答． （2）先因为，，所以，因为为直径，，因为，则，即，证明，故，代数计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：连接， ∵，， ∴， 设， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 即， ∴， 即． 【变式13-2】如图，为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理． （1）先证，得，进而得，再由，得，计算可得答案； （2）作的平分线交于点G，得，进而得，，再由平行线的性质得，设，则，再由，得，再由勾股定理得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， ∴， 解得， ， ∴， ∴，即， ； （2）解：作的平分线交于点G，连接， ∴， 又∵， ∴， ，， ， 设，则， 又 ， ， 即， 在中，， 在中，， ， 解得：， ． 【变式13-3】圆内接四边形如图所示，直径于点E，的延长线交于点F，连接． (1)求证：． (2)已知，，求的半径长． (3)在（2）的条件下，若G是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）连接交于点M，先证明，再根据圆周角定理推导出，最后等量代换即得，即可证明； （2）连接，设的半径长为，则，在中，应用勾股定理求解即得． （3）由，得到，即可求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点M， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∴， ， ； （2）解：如图，连接 设的半径长为，则， ∵弦于点， ∴ ， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的半径长为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键． 题型十四 与证明切线有关的问题 【例14】如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）连接，根据中位线性质得出，根据，得出，即可证明是的切线； （2）根据直径所对的圆周角为直角得出，证明为的垂直平分线，得出，根据勾股定了求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图，    ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵D是的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的直径，半径为2， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，切线的判定，平行线的性质，垂直平分线的性质，中位线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式14-1】如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求图形中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、勾股定理全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键． ()连接，根据切线的性质得到得到，根据平行线的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明；再利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； ()阴影部分面积梯形 的面积扇形 的面积(通过“整体减部分”计算不规则图形面积)连接，设的半径为，根据含的直角三角形的性质求出圆的半径，根据梯形的面积公式、扇形面积公式计算得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵与边相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，, ∴， ∴， 设的半径为， ∵，即， 解得，， ∴，， ∴， ∴， 由()知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理得，， ∴． 【变式14-2】如图，在的边上取一点，以为圆心为半径的与边相切于点，且，连接交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)若，，求半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、全等的性质和SSS综合（SSS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连，证明得出，由切线的性质得出，推出，即可得证； （2）设，则，由勾股定理求出，推出，设，则，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）证明：连， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2）解：连接， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 【变式14-3】如图，在中，是边上一点，过、、三点，． (1)求证：直线是的切线； (2)如果， ①若的半径为，求的长； ②试问的值是否为定值？若是，直接写出这个比值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的值是定值， 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】（1）由，得，为等腰直角三角形，进而得，根据垂线定义及切线判定即可得证； （2）①由，，得，又根据直角三角形得，，，从而即可得解；②设的半径，则，在和中，利用解直角三角形得，，，进而代入即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：①由（）得，为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 作于，如图， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴； ②的值是定值． 设的半径，则， 在中， ∵， ∴，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A、B、C在上，已知，则的度数为（    ） A．80° B．70° C．60° D．50° 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理；由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径是6，点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是（　　） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点P到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系逐项判断即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内． 故选：A． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的一条弦，过点作于点，若，则弦的长为（　　） A．10 B．12 C．8 D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，熟记垂径定理是解决问题的关键． 由垂径定理可知，从而得到． 【详解】解：由垂径定理可知，， ， 故选：A． 4．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，弦，点C是上一点，且，则的面积为（    ） A．8π B．16π C．24π D．30π 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理以及圆的面积计算，熟练掌握圆周角定理，能根据圆周角与圆心角的关系结合勾股定理求出半径是解题的关键． 利用圆周角定理求出圆心角的度数，再结合弦长，通过等腰直角三角形的性质求出圆的半径，进而求出圆的面积． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ 在中，由勾股定理得，又， ∵ ，， ∴ ∴ ， 解得， ∴ 的面积为， 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质．由，知点在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵， ∴点Q在以为直径的上， ∴当三点共线时，取得最小值，如图， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：设扇形的半径为，由弧长公式，代入，，得：，解得 ． ∴扇形面积； 故答案为： 7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键． 过A点作直径，连接，如图，互补推出，再根据同角的补角相等得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：过A点作直径，连接，如图，则：， 由题意：， ， ， ， ， 为直径， ， 在中，，， ， 故答案为： 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，的半径为3，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握勾股定理，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 过点O作于H，连接，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 【详解】解：过点O作于H，连接， 则，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，正六边形内接于，与交于点H，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，中心角，垂径定理，解直角三角形，正确添加辅助线求出中心角的度数是解题的关键． 连接，则，由垂径定理得到，再解求出即可． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于， ∴中心角，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质求出，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再根据等腰直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，首先证明，推出，即可解决问题； （2）连接，根据，所以只要求出的度数即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， 垂直平分． ． ． ， ． ； （2）解：如图，连接， ， ． ． 是的直径， ． ． 12．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，已知中，，，经过点B和点C，与交于点D，且的圆心O在边上． (1)尺规作图：请根据题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． (3)若，则的面积______． 【答案】(1)见解析； (2)与直线相切，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定，含30度的直角三角形，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题： （1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D即可； （2）证明即可； （3）证明，是等边三角形可得结论． 【详解】（1）解：由题意作图如下： （2）结论：与直线AB相切． 理由：如图，连接 ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 直线是的切线； （3）如图，连接 ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 的面积 故答案为： 13．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，半径弦，点E为垂足，点D在优弧上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）垂径定理得到，根据圆周角定理即可得出结果； （2）利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵半径弦， ∴， ∴； （2）∵半径弦， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得， 故的半径为10． 14．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在坐标系中，、、． (1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 【答案】(1) (2) (3)外 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【详解】（1）解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； （3）解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 15．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D，的垂直平分线分别交、于点E、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解答 (2) 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，根据弧长公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的中垂线， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）， ， ， ， ， ， 的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，则下列结论正确的有（   ）个． ①，②，③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．根据圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 观察四个结论，只有③错误，其余3个正确； 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，得到，根据圆周角定理，得，根据直角三角形性质，得，解答即可． 本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 【详解】解：根据圆的内接四边形对角互补，， 得到， 根据圆周角定理，得， 根据直角三角形性质，得， 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知在纸上有一点O．按下列尺规作图的步骤进行：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．四边形是菱形 B．点C是弧的中点 C． D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，根据已知条件可证和为等边三角形，结合菱形的判定定理可判断A选项；根据，可以推出B正确；求出，可以判定C正确；在中，可求出的长，进而可得四边形的面积即可判断D选项． 【详解】解：连接，设交于点H， 由题意可知，为线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ， 由尺规作图可知， ， ，即为等边三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； ， ， 点C是弧的中点，故选项B正确，不符合题意； ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 在中，， ， 四边形的面积为，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形的相关计算，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 4．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，由线段垂直平分线的性质得到是等边三角形，设，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质即可求出．由，求出，得到，因此，推出，得到，设圆的半径是r， ，代入有关数据即可求出的长，得到，的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，，， ∵弦于点E，， ， ， ∴是等边三角形， ， 设， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ∵直径， ， ， 设圆的半径是r，， ，， ， ， ， ，， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明，求出与半径的数量关系，从而解决问题． 二、填空题 5．（2025·江苏镇江·一模）若扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式．根据弧长的计算公式（是扇形圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，该扇形的弧长， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，、切于点、，点是上一点，且，则 度． 【答案】 【分析】本题利用了切线的概念，圆周角定理，掌握四边形的内角和为度是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理和四边形内角和定理求解． 【详解】解：连接，． 、切于点、，则， 由圆周角定理知，， ， ． 故答案为：50． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，A、B、C为上的点，，连接，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】过作交于，由垂径定理得，由同弧或等弧所对的圆周角相等得，由等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，由相似形的判定方法得，由相似形的性质即可求解． 【详解】解：过作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 8．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点在中轴线上运动，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点按逆时针方向运动到时，与相切，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，则，因为，所以，由切线的性质得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图3，连接，则， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江西宜春·期中）仅用无刻度的直尺，按要求分别在下列两个图形中作图（保留作图痕迹，不必写作图过程）． (1)如图1，已知内接于，点P为弦的中点，作出的平分线． (2)如图2，已知四边形内接于，，点Q为弧的中点，作出弦的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，三角形的三条中线交于一点等知识点． （1）过点作直径，由垂径定理的推论可得，则，故射线即为所求； （2）连接交于点，由得到，再由垂径定理的推论可得为中点，连接交于点，再由垂径定理的推论可得为中点，则连接中线交于点，再连接并延长交于点，可得为的中点． 【详解】（1）解：如图1，射线即为所求； （2）解：如图2，点即为所求； 10．（25-26九年级上·浙江金华·期中）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求直线的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、切线的性质、三角形内角和、等腰三角形、勾股定理的应用等知识，熟练运用相关定理进行推理和计算是解题的关键． (1)连接，由圆周角定理及其推论，切线的性质可得，，再由即可得到结论； (2)由可得，再由求得，从而求出，再通过勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， 为车轮的直径，与车轮相切于点， ，， ， ， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，, 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 11．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、扇形和三角形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的有关知识是解答的关键． （1）连接并延长交于点E，连接，先证明，，证明，得出，即可证明结论； （2）连接，是等边三角形，求出，求出，再根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ∵，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ． 12．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图1，是的直径，为下方上一点，为的中点，连接． (1)求证：． (2)如图2，延长，相交于点． ①求证：． ②若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质、平行线的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解题的关键是综合运用以上知识解决问题． (1)由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可解答； (2)①先证明，推导出，得到，继而推导出，得到，即可解答；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，得，求出，设的半径为d，由勾股定理求出符合题意的d值即可． 【详解】（1）证明：为的中点， 为的半径 ； （2）①证明：是的直径， ， ， ， ， ， ． ②解：如图，连接BC，则， ， 设的直径为， 则， ， ， ， ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， 的半径为2.5． 13．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等， （1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切． （2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补． （3）由是四边形的内切圆，得①，由，得②，由①②可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切． （2）如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补． （3）∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由①②可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章圆（复习讲义） 单元目标聚焦·明核心 1.了解圆、圆心角、圆周角、正多边形等相关概念的意义，体会圆与正多边形、扇形与圆柱圆锥等之间的 整体联系。 2.能用垂径定理、切线的性质与判定定理、切线长定理等进行推理证明，能计算弧长、扇形面积以及圆内 正多边形相关量。 3.理解并利用点与圆、直线与圆的位置关系，圆内接四边形的性质等解决实际问题。 知识图谱梳理·图基础 1.圆的定义及性质 2.圆的有关概念 圆的有关性质 3.垂径定理 4圆心角、圆周角的概念 1.点与圆的位置关系 2过三点的圆 3.三角形的内切圆和内心 点和圆、直线和圆的位置关系 4直线与圆的位置关系 圆 5.切线的性质与判定定理 6切线长定理 1.圆内接四边形 2.圆内正多边形的计算 正多边形和圆 3.与正多边形有关的概念、对称性 1扇形的孤长和面积计算 孤长和扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 1/27 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 教材要点精析·夯重点 【知识点01】圆的有关性质 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形 成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 圆的表示方法：以0点为圆心的圆记作⊙O,读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：(1)圆心：(2)半径。 圆的对称性：(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD)。 备注：(1)直径是同一圆中最长的弦。(2)直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作B,读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 3.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 2/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：(1)过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； (2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 4.圆心角、圆周角的概念 (1)圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等。 (2)圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角专圆心角） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90·的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点02】点和圆、直线和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有： dkr台点P在⊙O内；d=r台点P在⊙O上；dDr曰点P在⊙O外。 2.过三点的圆 3/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 (2)三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 (3)三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外 心。 3.三角形的内切圆和内心 (1)三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 (2)三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算 (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 a+b-c (2)△ABC中，∠C=90°，AC=b,BC=a,AB=C,则内切圆的半径2 (3)S△4BC-2a+b+ ,其中a,b,c是边长，r是内切圆的半径。 (4)弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B,AB 为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC∠D。 B 4.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相离→d>r→无交点； (2)直线与圆相切→d=P→有一个交点； (3)直线与圆相交→(<r→有两个交点； 5.切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者 缺一不可。即：，MN⊥OA且MN过半径OA外端.MN是⊙O的切线 4/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 6.切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：：PA、PB是的两条切线：.PA=PB:PO平分LBPA 【知识点03】正多边形和圆 1.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，，四边ABCD是内接四边形∴.∠C+∠BAD=180°∠B+∠D=180° .∠DAE=∠C 2.圆内正多边形的计算 (1)正三角形：在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RIABOD中进行：OD:BD:OB=1:V5:2: (2)正四边形：同理，四边形的有关计算在RtA0AE中进行，OE:AE:OA=1:1:√2： (3)正六边形：同理，六边形的有关计算在RIAOAB中进行，AB:OB:OA=1:√3：2， 5/27 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.与正多边形有关的概念、对称性 正多边形有关的概念 (1)正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 (2)正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 (3)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 (4)中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 正多边形的对称性 (1)正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 (2)正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 (3)正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【知识点04】弧长和扇形面积 1.扇形的弧长和面积计算 扇形：(1)弧长公式：1=nrR (2)扇形面积公式：S=xR-R 180 3602 n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径1：扇形弧长S:扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 (1)圆柱：①圆柱侧面展开图：S表=S侧+2S底=2πh+2πr2,②圆柱的体积：V=πr2h 2圆锥侧面展开图：①S上S1+S能πRr+元r:②圆锥的体积：V三3 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（2r=mR 180 考点题型突破·拓思维 题型一利用弧、弦、圆心角的关系求解 6/27 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例1】如图，AB是O0的直径，∠B0C=42°，BC=CD=DE,则∠A0E=°. D B 【变式1-1】如图，已知AB、CD是⊙0的直径，AE=AC,∠AOE=32°，则LC0E= B 【变式1-2】如图，在⊙0中，圆心角∠AOB=120°，C是AB的中点，作CD⊥0B,与00交于D,则图中 与BD相等的线段有条. D 【变式1-3】如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙0的半径 是2，则PA+PB的最小值为 题型二利用垂径定理求值 【例2】(25-26九年级上·湖北武汉·期中)如图，在O0中，直径EC⊥弦AB于D点，己知CD=2, AB=8,则AC=一 7127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式2-1】(25-26九年级上湖北孝感期中)如图(1)，是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部 分是圆的一段弧.随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意.图(2)是月亮门的示意 图，弦AB长2m,拱门的半径为二m,则该拱门的高CD为 D AC B 图(1) 图(2) 【变式2-2】(25-26九年级上陕西安康·期中)如图，⊙0的半径0D1弦AB于点C,连接A0并延长交 O0于点E,连接EC,EB.若AB=16,CD=4,求EC的长. ■ C B D 【变式2-3】(23-24九年级上浙江温州期末)如图，O0的直径AB垂直弦CD于点E,F是圆上一点，D 是BF的中点，连接CF交OB于点G,连结BC. G E B D F (I)求证：GE=BE; (2)若0G=1,CD=8,求BC的长. 8/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三利用圆周角定理求角 【例3】(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，A、B、C是0上的三个点，若∠A0C=68°，则 ∠B= 【变式3-1】(25-26九年级上·浙江杭州·期中)如图，AB是⊙O的直径，0D∥AC,∠C0D=50°，则 ∠D的度数为 B 【变式3-2】(25-26九年级上·广东惠州期中)如图，在△ACD中，DA=DC,B是AC边上一点，以AB为 直径的OO经过点D,F是直径AB上一点（不与点A、B重合），连接DF并延长交OO于点E,连接EA、 EB F E (I)求证：∠C=∠DEB; (2)若AE=BE,∠C=25°，求∠DFB的度数. 【变式3-3】(25-26九年级上·浙江杭州期中)如图，已知AB是⊙0的直径，弦DC1AB于点E,G是 AC上一点，AG,DC的延长线交于点F,连接AD,GC B B 备用图1 备用图2 (I)如图1，若E为半径OB的中点.求∠DAB的度数： 9/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)连接DG.求证：LAGD=LCGF; (3)若∠F=30°，CG=2√6，⊙0的半径为6.求弦AD的长. 题型四半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例4】如图，在O0中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与O0交于点D,若∠ADC=15°， ∠BAD= B A 【变式4-1】如图，AB是⊙0的直径，弦CD∥AB,若∠ACD=25°，则LABC=° D B 【变式4-2】如图，点A,B,C,D在⊙0上，AC是O0的直径，∠D=50°，则∠BAC的度数是 D 【变式4-3】如图，将一个半圆形量角器放置在矩形ABCD上，0°刻度线的两端点M,N分别在边AD, AB上滑动，AD>AB>MN,点P在半圆MN上，且在20°（或160°）刻度处 C B → D M A 10/27