24.1.2 第2课时 垂径定理的应用-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

第2课时 垂名 知识梳理ZHISHI SHUU 1.垂径定理及其推论可理解为关于一条直线的 五个论断：①垂直于弦；②经过圆心；③平分 弦（不是直径）；④平分弦所对的一条弧；⑤平 分弦所对的另一条弧.如果以其中 论断作为条件，那么就能推出其他 论断 2.运用垂径定理解决日常生活中的实际问题 时，应根据题意，找到数学模型，一般利用 构造出直角三角形，再利用 来解题. 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点 垂径定理的实际应用 1.下图是一个单心圆隧道的截面，若路面AB 的宽为10m,拱高CD为7m,则此隧道单心 圆的半径OA为( A.5 m B号mc 5m D.7 m 2.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后，平行于圆柱底面的截面如图，若油面宽 为600mm,则油的最大深度为 mm, 650 600 67 24.1圆的有关性质 定理的应用 3.在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图. 水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后， 水面AB上升1分米，水面宽变为8分米，求 该水槽的截面直径. M 课后作业KEHOU ZUOYE 1.小英家的圆形镜子被打碎了，她 拿了如图所示（网格中每个小正 方形的边长均为1)的一块碎片 到玻璃店，配制形状大小与原来 致的镜面，则这个镜面的半径是() A.2 B.√5 C.22D.3 2.排水管的截面如图，水面宽AB=8,圆心O 到水面的距离OC=3,则排水管的半径等于 () o C A.5 B.6 C.8 D.4 数学九年级上册第二十四章圆 3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽 口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端 离零件表面的距离为8mm,如图所示.则这 个小圆孔的宽口AB的长度是( A.5 mm B.6 mm C.8 mm D.10 mm 4.（天津滨海新区期中)如图，某公园的一座石 拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱所在 圆的半径为13米，则拱高CD为 米 5.如图是某风景区的一个圆拱形门的示意图， 路面AB宽为2m,净高CD为5m,则圆拱 形门所在圆的半径为 m. AD B 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB). (1)用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O (要求保留作图痕迹，不写作法)； (2)若AB的中点C到线段AB的距离为10m, AB=60m,求AB所在圆的半径. 6 7.2008年北京奥运会圆了所有中国人的百年奥 运梦，开幕式上奇特的点火式为世界所震惊. (图中为奥运会中所用的圣火盆)，其中圣火盆 高120cm,盆体深20cm,立柱高110cm, CD=60cm.试求盆口圆的直径AB. B M 110 20 H )能力提升VENGU TISHENG奇 8.如图，有一座拱桥是圆弧形，圆心为O,它的 跨度AB=60m,拱高PD=18m(OP⊥ AB). (1)求圆弧所在圆的半径； (2)当洪水泛滥到跨度只有30m时，要采取 紧急措施.当拱顶离水面只有4m,即 PE=4m时，是否需要采取紧急措施？即∠C= 3∠AOE. OA∥PE, ∴.∠CPO=∠AOP 能力提升 ∠APO=∠AOP 7.解因为⊙O的半径为4，点A',B分别是点A,B关于 ..AP-AO ⊙O的反演，点，点B在⊙O上，OA=8, (2)解过点O作OH⊥AB于点H. 所以OA'·OA=16,解得OA'=2.同理可知，OB=4, 所以，点B的反演点B'与B重合.设OA交⊙O于点 由垂径定理，得AH=BH=号AB=12. M,连接B'M,如图 ,'.PH=AP+AH=AO+AH=13+12=25 因为∠BOA=60°，OM=OB', 在Rt△AH0中，OH=√OA-A平=√/132-12=5. 所以△OB'M为等边三角形， 在Rt△OPH中，OP=√O+P=√5+25=5√26. 又OA'=A'M=2, 所以A'B'⊥OM, 第2课时垂径定理的应用 所以在Rt△OB'A'中， 知识梳理 根据勾股定理，得OB2=OA2+A'B2, 1.两个三个 即16=4+A'B2,解得A'B'=2√3. 2.垂径定理勾股定理 对点练习 24.1.2垂直于弦的直径 1.B2.200 3.解如图，依题意得AB=6分米，CD=8分米，过，点O作 第1课时垂径定理及其推论 AB的垂线，垂足为E,交CD于点F,连接OA,OC,由垂 知识梳理 径定理，得AE-AB=3分米，CP=2CD=4分未， 1.轴对称对称轴 2.弦两条弧 3.弦两条弧 对点练习 设OE=x分米，则OF=(x一1)分米 1.B2.D3.D4.B5.C6.D7.C 在Rt△OAE中，OA2=AE+OE, 8.证明：OD平分弦AB,OE平分弦AC, 在Rt△OCF中，OC2=CF2十OF2. .OD⊥AB,OE⊥AC. .OA=OC, ..∠D+∠DMB=90°，∠E+∠ENC=90°. ,∴.32十x2=42+(x-1)2, .OD=OE, 解得x=4, ∠D=∠E. ..半径OA=/32+4=5(分米)， .∠DMB=∠ENC, '.直径MN=2OA=10(分米). 即∠AMN=∠ANM. 课后作业 .∴.AM=AN. 1.B2.A3.C4.85.2.6 课后作业 6.解（1)作图略 1.B2.C3.84.(6,0)5.25 (2)连接OC,交AB于点D.则OC⊥AB 6.解过点O作OE⊥AB于，点E,则OE⊥CD,连接OC,OA, 且OC平分线段AB. 由题意，得OE=6, AD=2AB=30m连接OA,设⊙的半径为rm ∴.CE=√OC-OE=√82-62=2√7， ∴.OC=OA=rm. AE=√OA-OE=√102-62=8. ..OD=OC-CD=(r-10)m. .AC=AE-CE=8-2√T. 在Rt△AOD中， 能力提升 ,OD2+AD2=0A2, 7.(1)证明：PG平分∠EPF, .(r-10)2十302=r2,解得r=50. .∠CPO=∠APO ∴.AB所在圆的半径为50m. 53 7.解如图，作OF⊥CD,垂足为F,交AB于点P,交孤 又，PQ⊥AB,且AB是直径， AB于点E,连接OB,OD,设⊙O的半径为r,依题意可 ∴PA=AQ, 知：PF=120-110=10(cm),EF=20-10=10(cm), ..PA=AQ=PC, DF-CD=30 cm. .PQ=AC,即PQ=AC. 6.证明如图，连接OC,OD. 在Rt△OFD中，OD=rcm,OF=(r-10)cm,DF=30cm, .r2=(r-10)2+302,.r=50cm. 在Rt△OPB中，OB=50cm,OP=50-20=30(cm), .BP=√/502-302=40(cm), .AB=2BP=80cm,即盆口圆的直径AB=80cm. 0 、BM M,N分别是AO,BO的中点， 0M=20A,0N=20B, 110 120 .'OA=OB, ∴.OM=ON. CM⊥AB,DN⊥AB,OC=OD, G 能力提升 ,.Rt△COM≌Rt△DON. 8.解(1)连接OA.设圆孤所在圆的半径为rm由题意，得 .∠COM=∠DON, 即∠COA=∠DOB, AD=2AB=30m,0D=0P-PD=(-18)m ..AC=DB. 在Rt△AD0中，由勾股定理，得2=302十(r-18)2, 7.证明如图，连接AG,则在□ABCD中，AD∥BC 解得r=34. .圆孤所在圆的半径为34m. (2)连接OA'.由题意，得 OE=OP-PE=34-4-30(m), 在Rt△A'EO中，由勾股定理，得 B A'E=√A0-OE=√342-30=16(m), ∴.∠GAF=∠AGB,∠B=∠EAF. .A'B=2A'E=32m. 又在⊙A中，AB=AG, 32>30. ∴.∠AGB=∠B. 不需要采取紧急措施， ∴∠GAF=∠EAF. 24.1.3弧、弦、圆心角 ..EF-FG. 知识梳理 能力提升 1.圆心角2.相等相等3.相等相等相等相等 8.(1)证明，四边形ABCD是正方形， 对点练习 ..AB=CD,..AB=CD. 1.A2.B3.B4.A5.C6.60 :M为AD的中点，AM=DM, 7.证明，AB=CD, ..AB+AM-CD+DM, ∴.AB=CD, 即BM=CM,∴.BM=CM. ∴AB-BD=CD-BD, (2)解：⊙0的半径为2，.⊙0的周长为4π， AD=BC,即AD=BC. AM-DM-T AD-AB, 课后作业 1.C2.A3.30°4.AC=AE ∴BM=AB+AM-AB, 5.证明：为AC的中点， ..PA=PC. B的长为受×X4= 54