24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习 2025--2026学年人教版九年级数学上册

24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习 一、选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 2．一根水平放置的圆柱形输水管横截面积如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（　　） A．4米 B．5米 C．6米 D．8米 3．如图，是的直径，CD为弦，于点E，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （　　） A． B． C． D． 5．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上项端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（　　）mm． A．4 B．6 C．7 D．8 6．下列命题正确的是 (　　) A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 二、填空题 7．如图在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径长　 　． 8．如图，在平面直角坐标系中，．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为　 　． 9．如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为　 　． 一、选择题 10．已知⊙O的半径为10， 弦AB 和弦CD 垂直于同一条直径， AB=12， CD=16， 则AB与CD之间的距离（　　） A．2或14 B．6或8 C．6或10 D．12或16 11． 如图，是的直径，弦于点. 已知，，则的长为（　　）. A． B． C． D． 12．如图1，⊙O 的半径为5，弦 AB=6，点 C 在弦 AB 上，连结CO 并延长，交⊙O 于点 D，则 CD 长度的取值范围是(　　) A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9<CD<10 D．9≤CD≤10 13．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（　　） A．48 B．45 C．42 D．40 14．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于 A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）. A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分 15． 如图，在⊙O 中，点 P 在弦AB 上，CD 是过点P 的直径.有下列条件：①②OP=OD；③ AB=2BC；④AD=BD.其中，能得到CD⊥AB 的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 16．如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB 上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　 　. 17．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们的桥拱呈圆弧形.如图是温州某地石拱桥的局部示意图，其跨径AB 为24米，拱高CD 为4米，则这个石拱桥的桥拱圆弧的半径为　 　米. 18．如图①所示为一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm ，瓶内原有液体的最大深度CD=4cm(如图②)，部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为 2cm，则截面圆中弦AB 的长减少了　 　cm(结果保留根号). 三、非选择题 19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD. 20．如图，内接于，是的直径，，垂足为D． （1）求证：； （2）已知的半径为5，，求长． 21． 如图，AB，AC 是⊙O 的两条弦，M，N 分别为 的中点，MN 与AB，AC分别交于点E，F.判断△AEF 的形状，并给予证明. 22． 在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生. 如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸. 如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形. 碎片的边缘是圆弧，表示为弧AB，测得弧所对的弦长AB为12. 8cm，弧中点到弦的距离为2cm. 设弧AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB. 求这个盏口半径OB的长（精确到0. 1cm）. 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 2．B 3．B 4．B 5．D 6．B 【解析】解：A． 平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误； B． 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确； C． 平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误； D． 垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误； 7．5 8． 9． 10．A 【解析】解：作OE⊥AB于E点，交CD于F点，连接OA、OC，如图， ∵AB//CD ∴OF⊥CD，， 在Rt△OAE中，OA=10，AE=6， ∴， 在Rt△OCF中，OC=10，CF=8 ∴， 当点O在AB与CD之间，如图1，EF=OE+OF=8+6=14， 当点O不在AB与CD之间，如图2，EF=OE-OF=8-6=2， 即AB与CD的距离为2或14. 11．C 【解析】解：连接OA， ∵CD为⊙O的直径， DE=8cm，CE=2cm， ∴AB=8+2=10cm， ∴OA=OC=5cm， ∴OE =OC-CE=5-2=3cm， ∵AB⊥CD于E， ∴△AOE是直角三角形， 且AB=2AE， ∴AB=8cm. 12．D 【解析】解：过O作OH⊥AB于H， ∴ ∵☉O的半径为5 ∴OB=5， ∴. ∴当C和H重合时，OC的最小值是4，CD的最小值是4+5=9， 当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2=10， ∴CD的取值范围是9≤CD≤10. 13．A 14．A 【解析】设“图上”圆的圆心为O，如图所示，连接OA，过点O作OD⊥AB于D， ∵AB=16(厘米)， (厘米).∵OA=10(厘米)， (厘米)， ∴海平线以下部分的高度=OA+OD=10+6=16(厘米). ∵太阳从目前所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟， ∴“图上”太阳升起的速度=16÷16=1.0(厘米/分). 15．C 【解析】解：①因为，即点P是弦AB的中点，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，那么过弦中点的直径垂直于弦，所以CD⊥AB； ②因为OP=OD，OD是圆O的半径，OP是圆心O到弦AB的距离，当OP=OD时，点O到弦AB两端点A、B的距离相等，即OA=OB，所以CD⊥AB； ③仅知道AB=2BC，不能得出CD⊥AB； ④因为AD=BD，根据垂径定理的推论：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，所以CD⊥AB； 16． 【解析】如图，连接OD， ∵CD⊥OC， ∴当OC的值最小时，CD的值最大，而当OC⊥AB时，OC最小，此时D，B两点重合，，即CD的最大值为 17．20 【解析】解：如图， 设石拱桥的桥拱圆弧的圆心为点O，连接OA，OD， 设圆弧的半径为r米，则OD=(r-4)米， ∵OD⊥AB， ∴AD=米， 在Rt△OAD中，AD2+OD2=OA2，即122+(r-4)2=r2， 解得r=20， 18．(4-8) 【解析】解：如图，设部分液体蒸发后，截面圆中的弦为A'B'，A'B'交OD 于点E，连结OA'. ∵CD⊥AB，D 为的中点， ∴O，C，D 三点共线， ∴ OC=OD-CD=5-4=1(cm)， ∵ OC⊥AB， ， ∴ ， ， ∵部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为 2cm， ∴ DE=2cm， ∴ OE=OD-DE=5-2=3(cm). ∵OE⊥A'B'， ， ∴， ∵， ∴ A'B'=2A'E=8cm， ∴ AB一 即截面圆中弦AB 的长减少了(4 -8) cm. 19．解：过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【解析】【分析】构造辅助线OH垂直于弦AB，利用垂径定理确定AH和BH的长度相等，利用垂径定理确定OH平分了小圆的弦CD，通过等量减等量的方法证明AC和BD 相等即可. 20．（1）证明：∵是的直径，， 垂足为D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵的半径为5，， ∴， ∵， ∴∠BDO=90°， ∴， ∵是的直径，， 垂足为D， ∴ 21．解：△AEF 是等腰三角形. 证明：如图，连结OM，ON，分别交 AB，AC于点P，Q. ∵M，N 分别为，的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠MPE=∠NQF=90°， ∴∠PEM = 90°-∠M，∠QFN = ∵OM=ON，∴∠M=∠N， ∴∠PEM=∠QFN. 又∵∠AEF = ∠PEM，∠AFE =∠QFN，∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形 22．解：由题意得：AB=12. 8cm，OC⊥AB， ∴AD=BD= =6. 4cm， 设这个盏口半径OB的长为r cm，则OD=（r-2）cm， 在Rt△BOD中，由勾股定理得：6. 42+（r-2）2=r2， 解得：r≈11. 2， 答：这个盏口半径OB的长为11. 2cm $