精品解析：江苏省泰州中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测数学试题

2025-2026学年秋学期高二年级第二次质量检测试卷 数学学科 （考试时间：120分钟；总分150分） 命题：王振华 校对：程莹 审核：余静 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线倾斜角为，且过点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角确定斜率，再由斜率公式列出等式即可求解； 【详解】由题意可知，则， 由直线过点P，则得， 故选：A 2. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算，最后求出即可. 【详解】因为， 所以, 所以. 故选：A. 3. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 由圆上至少有3个点到直线的距离为1， 所以. 故选：A. 4. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列基本量计算，结合已知条件，即可求得公比和. 【详解】设等比数列的公比为， 则，又，解得. 故选：C. 5. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得： ，设A、B ，则所求三角形的面积为= ，故选D. 考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 6. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，连接、，根据对称性可得四边形为矩形，从而得到，即可表示出点坐标，代入方程，求出，即可得解. 【详解】依题意可得，关于原点对称，不妨设点在第一象限，连接、， 又，则四边形为矩形， 所以，则， 所以，即，即，又，解得， 所以. 故选：D 7. 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解. 【详解】如图： 因为椭圆的离心率，所以. 因为，所以， 所以椭圆的蒙日圆C的半径为. 因为，所以为蒙日圆的直径， 所以，所以. 因为， 当时，等号成立. 所以面积的最大值为：. 由面积的最大值为25，得，得， 进而有，， 故椭圆的长轴长为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于借助基本（均值）不等式分析在何时取得最大值. 8. 已知数列满足，则的前100项和为（ ） A. 2475 B. 2500 C. 2525 D. 5050 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，令，将问题转化求，由等差数列的求和公式计算可得. 【详解】由，可得， ， 所以， 令，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 由于， 所以的前100项和为2475， 故选：A 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. ，，三点共线 C. 直线（其中）必过定点 D. 经过点，倾斜角为的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据直线方向向量的定义分析判断；对于B：根据斜率公式分析判断；对于C：整理可得，根据直线过定点分析求解；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为直线的斜率不存在， 所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以，，三点共线，故B正确； 对于选项C：直线即为， 令，解得， 所以直线（其中）必过定点，故C正确； 对于选项D：例如，可知不存在，故D错误； 故选：ABC. 10. 已知数列满足，则下列说法中，正确的是（ ） A. ； B. 是等差数列； C. 是等比数列； D. 数列前项和为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据数列的首项以及递推公式，逐项计算，可得答案；对于B，利用等差数列的定义，结合题干中的递推公式，可得答案；对于C，利用等比数列的定义，结合题干中的递推公式，可得答案；对于D，根据BC的结论，利用分组求和以及等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】对于A，由，且，则， ，，，， ，故A正确； 对于B，由， 即，则数列为等比数列，故B错误； 对于C，由， 则数列为等比数列，故C正确； 对于D，由，则等比数列的首项为，公比为； 由，则等比数列的首项为，公比为. ，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知动点是双曲线上的点，点是的左，右焦点，是双曲线的左，右顶点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为8 B. 点到两渐近线的距离之积为 C. 点在双曲线的右支时，的最大值为 D. 设的面积为，则为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理即可求解，由面积公式即可求解A；根据点到直线的距离公式即可求解B；根据双曲线定义得，即可消元，结合对勾函数的性质求解C；根据和差角的正切公式，结合斜率公式以及面积公式即可求解D. 【详解】对A：因为双曲线，故可得， 当时，， 故，则,故A正确； 对B：设点，则，又双曲线渐近线为， 故到两渐近线的距离之积为.故B错误； 对C：因为，故可得， 故, 因为，故在单调递增， 则当时，取最大值，故C错误； 对D：不妨设点在轴上方，则， 则， 又，， 故，又， 故；当点在轴下方时，同理可得. 故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：， 又，，结合双曲线方程化简. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上一点与焦点距离等于6，且在第一象限内，则的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义，有抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，我们可以根据这个性质来求出点的横坐标，再代入抛物线方程求出纵坐标. 【详解】因为抛物线上一点到焦点的距离等于，根据抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，准线方程为，所以点到准线的距离为. 设点的横坐标为，则，即，解得. 把代入抛物线方程，得到，因为点在第一象限，所以. 故点的坐标为. 故答案为：. 13. 记为数列的前项和，若，则______. 【答案】63 【解析】 【分析】根据与的关系，可得为等比数列，进而根据等比数列的前项和公式可得. 【详解】当时，，得， 当时，，得， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为_______；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由的周长为，确定即可求解第一空，对于第二空，设、、，直线方程为，结合椭圆方程联立得到：，通过，即可求解； 【详解】由已知，， 易知的周长为，所以，又， 解得， 椭圆的方程为． 设、、， 当直线不为轴时的方程为， , 联立椭圆方程得：． ，， 又， 所以 当且仅当， 即时（定值） 即在x轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 当点的坐标为， 直线x轴时，， 此时， 所以定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：为定值，需满足. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程； （2）由题意可得，又，故求得的最小值即可. 【小问1详解】 由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线距离为，根据题意可得：， ， 此时，切线方程为， 化简，得， 切线方程为或； 【小问2详解】 为公共边，， ， 又当最小时，最小， 由题意可知，当时，最小， 此时，， ， 四边形面积的最小值为. 16. 已知数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）= 【解析】 【分析】（1）应用，可求出通项公式； （2）方法一应用错位相减法计算求和；方法二应用待定系数法结合累加即可求解. 【小问1详解】 当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. 【小问2详解】 （方法一）由（1）可得. 则，① 则，② ，得 ， 从而. （方法二）由（1）可得， 令，则 令，且， 则， 整理得， 则，解得， 故. . 17. 已知抛物线的焦点F在直线上． （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 【答案】（1） （2）证明如下： 设直线MN的方程为：，，，， 不妨设， 联立直线MN与抛物线C的方程，消去y可得， 由，且，解得且， 则，， 因为，则， 整理可得，即， 又因为点Q在直线MN上，则，消m得， 且且，可得得且， 所以点Q在定直线：（且）上． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标可得，即可得方程； （2）设，，，，联立方程结合韦达定理可得，结合消元即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得，则，解得， 所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 18. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值． 【答案】（1）（2）存在，，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）设椭圆的焦距为，根据的面积计算出，可设椭圆的标准方程为，再将点的坐标代入椭圆的标准方程，求出的值由此可求出椭圆的方程； （2）设点，，，由，可得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，代入，求出实数的值，即可求出定点的坐标； （3）设点，，，由题意得出，化简得出，可求出正数的值，从而得出结论. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为的面积为，所以，设椭圆的方程为， 将代入方程得，， 易知，所以，因此，椭圆的方程为； （2）存在这样的点为，下面证明： 设，，，所以要使得， 即 ①； 联立， 由韦达定理得，， 代入可将①化简为，要使得式子关于恒成立，即此时， 所以点； （3）设点，，， 因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的倍除以周长，所以，化简得， 故， 因为，代入得． 而，， 而，所以，即线段的长度为定值． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在某点满足条件以及椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于难题. 19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可以按以下步骤求解：①对应的方程为，该方程有两个不等的实数根；②令，其中为常数，利用求出，可得的通项公式．满足的数列称为斐波那契数列． （1）求数列的通项公式； （2）若存在非零实数，使得为等比数列，求的值； （3）判定是数列的第几项，写出推理过程． 【答案】（1） （2），或． （3）第2024项，答案见解析 【解析】 【分析】（1）应用待定系数法求参即可； （2）设数列为等比数列再应用待定系数法得出等式再求参； （3）化简再应用裂项相消求和即可得出数列中的项. 【小问1详解】 由题意知，对应的特征方程是，解得． 于是，其中为常数． 当时，有，解得． 故． 小问2详解】 设，则，与 比较得到，是方程的根， 所以或． 故，或． 【小问3详解】 因为，所以 ． 于是． 因此． 故是数列的第2024项． 【点睛】方法点睛：应用已知递推数列求通项公式应用待定系数法解决列方程组求根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年秋学期高二年级第二次质量检测试卷 数学学科 （考试时间：120分钟；总分150分） 命题：王振华 校对：程莹 审核：余静 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线倾斜角为，且过点，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 A. B. C. D. 6. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则的前100项和为（ ） A. 2475 B. 2500 C. 2525 D. 5050 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. ，，三点共线 C. 直线（其中）必过定点 D. 经过点，倾斜角为的直线方程为 10. 已知数列满足，则下列说法中，正确的是（ ） A. ； B. 是等差数列； C. 是等比数列； D. 数列前项和为. 11. 已知动点是双曲线上的点，点是的左，右焦点，是双曲线的左，右顶点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为8 B. 点到两渐近线的距离之积为 C. 点在双曲线的右支时，的最大值为 D. 设的面积为，则为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上一点与焦点的距离等于6，且在第一象限内，则的坐标是______. 13. 记为数列的前项和，若，则______. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为_______；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 16. 已知数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知抛物线的焦点F在直线上． （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 18. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值． 19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可以按以下步骤求解：①对应的方程为，该方程有两个不等的实数根；②令，其中为常数，利用求出，可得的通项公式．满足的数列称为斐波那契数列． （1）求数列的通项公式； （2）若存在非零实数，使得为等比数列，求的值； （3）判定是数列的第几项，写出推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $