3.6 三元一次方程组及其解法 课件 2025-2026学年沪科版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组的概念、解法及应用，通过复习二元一次方程组消元法导入，结合《九章算术》古题引出含三个未知数的问题，类比二元一次方程组概念形成三元一次方程组定义，搭建从二元到三元的学习支架，帮助学生建立新旧知识联系。 其亮点在于以探究活动为主线，活动一通过类比抽象出三元一次方程组概念培养抽象能力，活动二用消元法将三元转化为二元再到一元训练运算能力与推理意识，活动三结合营养餐配餐、三位数问题等实例引导用方程表达等量关系培养模型意识。例3特殊解法鼓励观察创新，课堂评价题巩固概念，分层作业满足差异。学生能提升解决实际问题能力，教师可高效落实知识与素养目标。

沪科版七年级数学上册 第3章 一次方程与方程组 *3.6 三元一次方程组及其解法 前面学习了二元一次方程组及其解法——消元法，有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数. 导入新课 3 活动一：探究三元一次方程组的概念 我国古代数学著作《九章算术》中记载着这样一道题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.” 按照今天的解法，即设上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)分别可出谷子(实)x，y，z(斗)， 于是得含三个未知数的方程组 高效课堂 4 观察上面的方程组，它是二元一次方程组吗？ 它与二元一次方程组有什么异同点？ 相同点：未知数的次数都是一次，都是整式方程. 不同点：含未知数的个数不同，方程组中方程的个数不同. 类比二元一次方程组的概念，能说出这个方程组是什么方程组吗？ 类比二元一次方程组的概念，这个方程组叫三元一次方程组. 高效课堂 5 三元一次方程组的概念：由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组. 理解三元一次方程组的定义要注意以下几点： (1)方程组中的每一个方程都是一次方程； (2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组，不需要每一个方程都含有三个未知数. 高效课堂 6 活动二：探究三元一次方程组的解法 在解二元一次方程组时，其基本思想是什么？ 会用几种方法解二元一次方程组？ 解二元一次方程组的思路是消元，方法有代入消元法和加减消元法两种. 对于三元一次方程组，能不能先消掉一个或两个未知数，转化为二元一次方程组或一元一次方程来求解？ 也可通过消元法来解. 高效课堂 7 解三元一次方程组的基本思路仍然是消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 高效课堂 8 (1)能否将方程组中某个未知数消去呢？ 如利用方程①与②消去y 之后变成二元一次方程，同理，利用方程①③或②③消去y再得到一个二元一次方程，能否将得到的两个二元一次方程组成方程组？ (2)如果消去x，怎么做？ (3)如果消去z怎么做？ (4)消去哪个未知数最简单？ 高效课堂 9 解 先用加减消元法消去x. ②＋①×2，得y＋5z＝3. ④ ③－①，得y－6z＝－8. ⑤ 解由④⑤联立成的二元一次方程组. ④－⑤，得11z＝11，z＝1. ⑥ 将⑥代入④，得y＝－2.将y，z的值代入①，得x＝3.所以 高效课堂 10 小结： 通过刚才的分析发现，每个方程组的解法并不唯一，在实际解三元一次方程组的时候，要先观察方程，尽量选择计算简单的方法. 高效课堂 11 活动三：探究三元一次方程组的应用 例2 某营养餐应包含35 单位的铁、70 单位的钙和35 单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C三种食物.下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量. 高效课堂 12 (1)设配餐中 A，B，C三种食物分别为x，y，z 份，请根据题意列出方程组； (2)解该三元一次方程组，求出满足要求的 A，B，C的份数. 思考： (1)题目中有几个未知量？ (2)题目中有哪些等量关系？ (3)如何用方程表示这些等量关系？ 高效课堂 13 解 (1)设配餐中 A，B，C三种食物分别为x，y，z 份， 由题意得 (2)由①得，x＝7－y－2z. ④ 将④代入②③，得 解这个方程组，得 高效课堂 14 (2)由①得，x＝7－y－2z. ④ 将④代入②③，得 解这个方程组，得 将 代入④，得x＝2.所以 答：A种食物2 份，B种食物1 份，C种食物2 份. 高效课堂 15 能不能用加减消元法解上面的方程组？ 如果能，应先消去哪个未知数？ 试试看. 高效课堂 16 小结： 通过以上两个例题的学习，可得解三元一次方程组的步骤. (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； 高效课堂 17 (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起. 高效课堂 18 例3 已知甲、乙两数之和为3，乙、丙两数之和为6，甲、丙两数之和为7，求这三个数. 解 设甲、乙、丙三数分别为x，y，z，由题意得 ①＋②＋③，两边同除以2，得x＋y＋z＝8. ④ ④－①得z＝5，④－②得x＝2，④－③得y＝1. 答：甲、乙、丙三数分别为2，1，5. 高效课堂 19 能否通过消元，直接将三元一次方程组变为一元一次方程？ 提示： 观察方程组的特点：①＋②－③可求得y 的值，①＋③－②可求得x的值，②＋③－①可求得z的值. 小结： 在解方程组前先观察方程组的特点，有时可用特殊方法简单求解. 高效课堂 20 课堂评价 D 点拨 A中第二个方程不是一次方程，B中只有两个未知数，C中有四个未知数，它们都不是三元一次方程组. 21 课堂评价 答案 ①－②，得3y－z＝1， ④ ③－②，得4y－2z＝－8， ⑤ 解方程组 解得 把y＝5，z＝14代入②，得x＝－41. 所以原方程组的解为 22 课堂评价 答案 ①－②，得3y－z＝1， ④ ③－②，得4y－2z＝－8， ⑤ 解方程组 解得 把y＝5，z＝14代入②，得x＝－41. 所以原方程组的解为 23 课堂评价 设原三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，则有 解得 所以原三位数为635. 24 1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本节课你有何感想？ 请畅所欲言. 课堂总结 25 基础性作业：教材第二个练习第1(1)题，第2题. 提高性作业：教材习题3.6第3题. 拓展性作业：用多种方法解方程组： 作业设计 26 感 谢 观 看 $