3.6 三元一次方程组及其解法类（课件）2024-2025学年沪科版七年级数学上册

第3章 一次方程与方程组 *3.6 三元一次方程组及其解法 沪科版七年级上册 新课导入 5x + 4y = 18， 15x + 10y = 50. 3x + 2y + z = 39， 2x + 3y + z = 34， x + 2y + 3z = 26. 二元一次方程组 ？ 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组. 探索新知 下列方程组是三元一次方程组的是（ ） x + 2y = 1， y + 2z = 2， z + = 3. a + b + c = 1， a - b = 4， 4a – 2b + c = 7. x2 - 4 = 0， y + 1 = x， x – z = -3. -x + y + 3z = -1， x – y + z = 3， 2x + m - z = 0. A. B. C. D. B 三元一次方程组满足的条件： （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）每个方程必须是一次方程； （3）含有三个方程； （4）必须是整式方程. 解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也能用来解三元一次方程组呢？ 思 考 x + y + 2z = 3, ① -2x - y + z = -3, ② x + 2y - 4z = -5. ③ 解方程组： 例 1 解: 先用加减消元法消去 x. ② + ①×2，得 y + 5z = 3. ④ ③ - ①，得 y - 6z = -8. ⑤ ④ - ⑤，得 11z = 11. 下面解由④⑤联立成的二元一次方程组. z = 1. ⑥ 将⑥代入④，得 y = -2. 将 y，z 的值代入①，得 x = 3. 所以 x = 3， y = -2， z = 1. y + 5z = 3. ④ y - 6z = -8. ⑤ 巩固练习 解下列三元一次方程组： （1） x + 3y + 2z = 2， ① 3x + 2y - 4z = 3，② 2x–y = 7. ③ 解：①×2 + ②，得 5x + 8y = 7. ④ ③×8 + ④，得 21x = 63， 两边都除以 21，得 x = 3. 把 x 用 3 代入方程③，得 y = -1. 把 x 用 3，y 用 -1 代入方程①， 得 z = 1. 因此， 是原三元一次方程组 的解. x = 3. y = -1， z = 1 （2） x + y - z = 2， ① 2x - y + 3z = 2， ② x–4y - 2z = -6. ③ ① + ②，得 3x + 2z = 4. ④ ①×4 + ③，得 5x-6z = 2.⑤ ④×3+⑤，得 14x = 14，解得 x = 1. 把 x 用 1 代入方程④，得 z = 0.5. 把 x 用 1，z 用 0.5 代入方程①， 得 y = 1.5. 因此， 是原三元一次方程组 的解. x = 1， y = 1.5， z = 0.5 解三元一次方程组的思路： 三元一次 方程组 二元一次 方程组 二元一次 方程组 消元 消元 解三元一次方程组的一般步骤： （1）消元：利用代入消元法或加减消元法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另两个未知数的二元一次方程组. （2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值. （3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程. （4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值. （5）写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起，即是三元一次方程组的解. 某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素. 现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C 三种食物. 下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量. 例 2 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 （1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x，y，z 份， 请根据题意列出方程组； （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A，B，C 的份数. 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 解：（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x、y、z 份，由题意得 5x + 5y + 10z = 35， ① 20x + 10y + 10z = 70， ② 5x + 15y + 5z = 35. ③ 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 （2）由①得 x = 7-y-2z. ④ 将④代入②③，得 y + 3z = 7， ⑤ 2y – z = 0. ⑥ 解这个方程组，得 y = 1， z = 2. 将 代入④，得 x = 2. y = 1， z = 2 所以 x = 2， y = 1， z = 2. 答：A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份. 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 已知甲、乙两数之和为 3，乙、丙两数之和为 6，甲、丙两数之和为 7，求这三个数. 例 3 解 设甲、乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得 x + y = 3， ① y + z = 6， ② x + z = 7. ③ ①+②+③，两边同除以 2，得 x + y + z = 8. ④ ④ - ① 得 z = 5，④ - ② 得 x = 2，④ - ③ 得 y = 1. 答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5. 练 习 【教材P127 练习 第1题】 1. 解下列方程组： （1） 3x + y - 4z = 13， 5x - y + 3z = 5， x + y–z = 3； （2） 3x - y + z = 4， 2x + 3y - z = 12， x + y + z = 6. x = 2， y = -1， z = -2. x = 2， y = 3， z = 1. 2. 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元. 一商场用 120 000 元购买上述三种型号手机共 40 部，其中甲型号手机比丙型号手机多 24 部. 求该商场购买上述三种型号手机各多少部. 【教材P127 练习 第2题】 解：设商场购买了甲型号手机 x 部，乙型号手机 y 部，丙型号手机 z 部. x + y + z = 40， 3 600x + 1 200y + 2 400z = 120 000， x - z = 24. 根据题意，得 x = 28， y = 8， z = 4. 解方程组，得 答：商场购买了甲型号手机 28 部，乙型号手机 8 部，丙型号手机 4 部. 课堂小结 通过这节课的学习你有什么收获？ 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $$