精品解析：河北省廊坊市固安县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题（人教版)

河北省廊坊市固安县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题（人教版) （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题．（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 10. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 如图，在四边形中，，，点在边AB上，，连接，且．点在BC的延长线上，连接DF．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、填空题．（本大题共4个小题，每题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知点，在同一象限，且是反比例函数（）图像上的两点，已知，请写出一个符合要求的k的整数值为________． 14. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 16. 如图，在平面直角坐标系中，用12个以点为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，则点的坐标为_____________． 三、解答题．（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 如图，在矩形中，E为边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，求的长． 18. 如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）求直线的解析式和点的坐标． 19. 【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； （2）晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度； （3）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 20. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 21. ［问题情境］区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表． ［建立模型］（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数表达式． ［问题解决］（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度． （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 小型车辆 行驶时间 平均速度 0.5 60 0.3 100 0.6 50 0.4 75 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 23. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． （1）填空：的值等于_____． （2）请判断与的位置关系，并说明理由． （3）在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的是等腰三角形．请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省廊坊市固安县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题（人教版) （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题．（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 2. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意可设点B的坐标为，易得，即点B的坐标为，再结合反比例函数图象即可解答． 【详解】解：∵四边形是面积为4的正方形，设点B的坐标为， ∴，解得：（已舍弃负值）． ∴点B的坐标为， ∵函数的图象经过点， ∴满足的的取值范围为． 故选A． 4. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 5. 如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 6. 如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交于点F，证明出，得到，，设，，表示出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 8. 如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 9. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 10. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 11. 如图，在四边形中，，，点在边AB上，，连接，且．点在BC的延长线上，连接DF．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性强，难度较大﹒延长交延长线于点F，作，垂足为G﹒先求出，证明，求出﹒再证明，四边形为矩形，得到，设，得到，，根据勾股定理得，求出﹒根据等腰三角形三线合一得到﹒ 【详解】解：如图，延长交延长线于点F，作，垂足为G﹒ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴﹒ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴． 设， 则， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得， ∴﹒ ∵， ∴﹒ 故选：B 12. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 二、填空题．（本大题共4个小题，每题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知点，在同一象限，且是反比例函数（）图像上的两点，已知，请写出一个符合要求的k的整数值为________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意得，，，代入整理得到，求出的范围，即可解答． 【详解】解：点，在同一象限，且是反比例函数（）图像上的两点， ，，， ， ， ， 又，， ， 解得：， 符合要求的k的整数值为2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一）． 14. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 【答案】195 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 15. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，用12个以点为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质与相似三角形的性质等知识，解题的关键是利用含角的直角三角形的性质推导，从而求出． 根据相似三角形的性质推导，，从而可知这12个以点为公共顶点的相似三角形都是含角的直角三角形，在中，，，则，同理可得，则，再结合，，即可得解． 【详解】解：由题意可知：， ∴，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点G在x轴的负半轴上， ∴， 故答案为：． 三、解答题．（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 如图，在矩形中，E为边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形； ，， , 于点， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，而于点，，即可证明； （2）由，，，求得，由相似三角形的性质得，进而，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 的长是． 18. 如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）求直线的解析式和点的坐标． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数与正比例函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∵， ∴． 19. 【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； （2）晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度； （3）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵立杆相交于点， ． ， ， ∴； （2）， （3）晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明； （2）证明，即可求解，再证明，即可求解； （3）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ． ∴，即， 解得， 答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖到地面上． 20. 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． 【小问2详解】 解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 21. ［问题情境］区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表． ［建立模型］（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数表达式． ［问题解决］（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度． （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 小型车辆 行驶时间 平均速度 0.5 60 0.3 100 0.6 50 0.4 75 【答案】（1）；（2）小汽车的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用、一元一次不等式的应用，根据题意写出v与t之间的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据表格中变量的变化规律解答即可； （2）将50分钟换算成小时并代入v与t之间的函数关系式，求出对应v的值即可； （3）将v与t之间的函数关系式代入，列关于t的一元一次不等式并求解即可． 【详解】解：（1）由表格可知，， 与t之间的函数表达式为． （2）50分钟小时，当时，． 故小汽车的平均速度是． （3）根据题意，得，解得， 小时分钟．故行驶时间应不少于分钟． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为：，反比例函数解析式为． （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可． （2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则， ∴， 再把，代入， 则， 解得：， 则一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：令时，则， ∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵， ∴ 又∵，， ∴，，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时， 即， 解得：， 此时，点， 当， 即， 解得：， 此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键． 23. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】（1）图1的正方形面积较大 （2）在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． 【小问2详解】 解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． （1）填空：的值等于_____． （2）请判断与的位置关系，并说明理由． （3）在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的是等腰三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，掌握三角形相似、等腰三角形的性质等知识是解题的关键．其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）利用三角形相似，求出点的坐标即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可； （3）把三角形的三边长表示出来，需要分三种情况进行分析，解方程即可． 【小问1详解】 四边形为矩形，点的坐标为， ,,， 是由旋转得到的，即， ， ， ， ， ． 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得，． 故答案为：． 【小问2详解】 解：；理由如下： 由（1）可知，反比例函数， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ，． ， ， 为直角三角形， ． 【小问3详解】 解：设点， 由（2）可知， 点的坐标为，点的坐标为，， ， ∵FG为腰的是等腰三角形，故分一下两种情况， 当时，即， 解得，（负值已舍去）； 当时，，同理可得，（另一个根大于4，已舍）； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $