精品解析：福建省福鼎市第四中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

福鼎四中2025-2026学年第一学期高三第二次月考 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则0与集合A的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再判断元素与集合的关系. 【详解】， 因为元素与集合的关系是属于和不属于，所以. 故选：A. 2. 若复数，则（    ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合的性质利用复数的运算法则求解，再根据共轭复数的概念求解，从而求解． 【详解】，所以， 所以. 故选：A． 3. 若正数，满足，则的最小值是（ ） A. 24 B. 28 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：正数，满足， 则，当且仅当时取等号． 的最小值是25． 故选：． 【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数为奇函数可排除，根据排除，根据当时，排除得到答案. 【详解】因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故不正确； 因为，所以不正确； 当时，，， 所以， 所以，又根据选项的图象可知， 所以，故不正确. 故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为12 D. 前100项中，被7除余3的有14项 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列求和公式和通项公式基本量计算，得到首项和公差，进而逐项判断即可. 【详解】由题意及等差数列的前项和公式， ，， 即：即， 解得所以，故A，B正确． ，解不等式，，得， 所以的最大值为12，故C正确． 因为在自然数中，被7除余3的数可表示为，， ，解不等式，得，又，所以有15项，故D错误． 故选：D． 6. 在中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分析得出点的轨迹为线段，结合图形即可得到的最大值. 【详解】如图：取，，， 点是内（包括边界）的一动点， 且，根据平行四边形法则，点的轨迹为线段， 则的最大值是， 在中，，， ，， 故选：B 【点睛】此题考查利用向量方法解决平面几何中的线段长度最值问题，数形结合处理可以避免纯粹的计算，降低难度. 7. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（　　） A. 的面积 B. 三棱锥的体积 C. 直线与平面所成的角 D. 二面角的大小 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的面积判断A，根据三棱锥的体积公式判断B，根据线面角的定义判断C，根据二面角的概念判断D. 【详解】A中，的长为定值，且点到的距离即为两平行直线与之间的距离也为定值，的面积为定值； B中，的面积是定值．(定长，到的距离就是到的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据平面也就是平面，既然和平面都是固定的，到平面的距离是定值，三棱锥的高也是定值，于是体积固定． 三棱锥即三棱锥的体积是定值； C中， 到平面距离是定值（事实上即到平面距离），而长度在变化中，所以直线与平面所成的角不是定值； D中，二面角的平面角即是二面角的平面角，而二面角的两个半平面均是固定平面，显然为定值. 故选：C 8. 定义有序实数对的“跟随函数”为.记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，若直线与有且仅有四个不同的交点时，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“跟随函数”定义得出的解析式，再由分段函数性质和辅助角公式画出函数图象，利用数形结合思想求得实数的取值范围为. 【详解】根据题意可得，所以， 当时，， 当时，， 所以， 画出函数图象如下图所示： 易知当或时，取得最大值为2，当或时，； 当时，取得最小值为， 由图可知若直线与有且仅有四个不同的交点时，则. 即实数的取值范围为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“跟随函数”定义并画出函数的图象，结合交点个数即可求得结果. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. 若存在n使得 ，则 D. 若存在n使得 ，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，可判定A、B正确；结合特例法，可判定C、D不正确. 【详解】对于A，根据等差数列的求和公式，可得，所以A正确； 对于B，根据等差数列的求和公式，可得，所以B正确； 对于C，取，可得，而，所以C错误； 对于D，取，可得，而，所以D错误. 故选：AB. 10. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．下列四个论断正确的是( ) A. 若，则 B. C. 若，则 D. ，，此三角形无解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角形性质可判断ACD，根据三角形内角和及三角函数诱导公式可判断B． 【详解】对于A，若，则a>b，根据正弦定理得，故A正确； 对于B，若，故B错误； 对于C，若，则根据正弦定理得，即tanB=1，∵B是三角形内角，故，故C正确； 对于D，若，，，则根据正弦定理得，故△ABC无解，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. 在上单调递减 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令求出，令，可判断A；令与 令求出，可判断B；对两边同时对求导，把看作常数，求出可判断C；是以4 为周期循环的，利用周期性可判断D. 【详解】对于A，由已知函数定义域为，关于原点对称， 令，由得， 令，由，可得， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，，令，则， 令，则， 所以，解得，可得， 故B正确； 对于C，对两边同时对求导，把看作常数， 得，因为，令， 所以，即，得， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递增，当时， 单调递减，故C错误； 对于D，因为，是以4 为周期循环的，，， ，， 所以 ， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 函数是幂函数，且在上是减函数，则实数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数为幂函数求参数m，讨论所求得的m判断函数是否在上是减函数，即可确定m值. 【详解】由题设，，即，解得或， 当时，，此时函数在上递增，不合题意； 当时，，此时函数上递减，符合题设. 综上，. 故答案为：2 13. 已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】. 【解析】 【分析】先利用向量垂直的性质，模长与数量积的关系等公式，逐步推导关键量（如）再计算向量的模长，最后将投影向量拆为“投影长度和方向单位向量”，代入已知量计算即可. 【详解】因为，为单位向量， 则，，所以，, 因为， 则 可得， 所以，向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 14. 已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】由，可得：， 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称， 所以，即的周期为4， 作出函数在上的图象， 根据对称性及周期为4，可得出在上的图象： 令， 若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根， 至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点， 至多有3个不同的交点， 所以，即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可. 四、解答题 15. 已知公差不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设前项和为，令，设数列的前项和为，证明：． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设出公差，由已知建立关系求得首项和公差即可得出通项公式； （Ⅱ）利用裂项相消法求得即可证明. 【详解】（Ⅰ）设数列的公差为． 由题意得，即①． ∵，10，成等差数列， ∴，即②． 解①②组成的方程组得． ∴数列的通项公式为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得． 所以， ． 16. 已知中，角所对的边分别为，，，，且. （1）求角的大小； （2）若，点在边上，且平分，求的长度. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，找到边的关系，借助余弦定理计算即可； （2）结合（1）问，求出，利用，计算出的长度即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 由余弦定理可得， 在中，, 所以. 小问2详解】 由（1）问可知,， 所以，解得， 设，由平分，所以, 即, 解得：， 故的长度为. 17. 已知函数. （1）若，，求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，进一步由题意得、，结合两角和的余弦公式即可求解； （2）首先根据函数平移伸缩变换法则求得的表达式，根据题意列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 由题意知， 因为， 所以，令，则，， 因为，所以， 由，得，所以， 所以 . 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 得到函数. 令，得，解得， 又在区间上没有零点，所以， 解得，，又， 所以当时，；当时，， 即的取值范围是. 18. 已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角的大小； （3）线段上是否存在一个动点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由. 【答案】（I）见解析，（Ⅱ），（Ⅲ）不存在 【解析】 【分析】（I）先根据面面垂直得线面垂直，再根据平行转化得结果，（Ⅱ）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（Ⅲ）先假设存在，根据（Ⅱ）可得平面法向量，再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角，结合条件得方程，根据方程解的情况作判断. 【详解】（I）证明：∵，, ∴, 又∵,∴， （Ⅱ）取中点，连接 ∵， ，∴， 如图以点为原点分别以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系,∴， ，， , 设平面的法向量为，， 取∴ 又平面的法向量为， 设平面与平面所成锐角二面角为 ∴， ∴平面与平面所成锐角二面角为. （Ⅲ）设， ， ∴， ∴， 即，无解，∴不存在这样的. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 19. 已知函数在R上可导，，且． （1）当时，求的最小值； （2）设函数在点处的切线为l，求证：切线l恒过定点； （3）若点，点，且当时，单调递减，证明：当时，图象恒在直线AB的下方． 【答案】（1） （2）证明过程见解析 （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，结合导数研究函数单调性，即可求出最小值； （2）求出切线方程：，结合条件可得，即可求出切线恒过点； （3）求出直线方程为：，将问题转化为说明是否成立，当时，可得，，即可证明，当，构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可说明结论. 【小问1详解】 ∵，， ∴ 当时，，上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 又时，，， 所以的最小值为． 【小问2详解】 切线，∴， ∵，∴，∴， 在处的切线恒过 【小问3详解】 由题可得直线方程为： 当时，是否恒在直线下方转化为说明是否成立； ①当时，单调递减，所以， ∵，∴， ②当时，只需证：， 令，则， ∵，∴，∴在上单调递增，∴， ∴， ， 综合①②，即时，恒在下方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2025-2026学年第一学期高三第二次月考 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则0与集合A的关系为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（    ） A. B. C. D. 2 3. 若正数，满足，则的最小值是（ ） A. 24 B. 28 C. 25 D. 26 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（ ） A B. C. 若，则的最大值为12 D. 前100项中，被7除余3的有14项 6. 在中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上任意两点，且的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（　　） A. 的面积 B. 三棱锥的体积 C. 直线与平面所成角 D. 二面角的大小 8. 定义有序实数对的“跟随函数”为.记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，若直线与有且仅有四个不同的交点时，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. 若存在n使得 ，则 D. 若存在n使得 ，则 10. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．下列四个论断正确的是( ) A. 若，则 B. C 若，则 D. ，，此三角形无解 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. 在上单调递减 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 函数是幂函数，且在上是减函数，则实数__________. 13. 已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量为______． 14. 已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________ 四、解答题 15. 已知公差不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设的前项和为，令，设数列的前项和为，证明：． 16. 已知中，角所对的边分别为，，，，且. （1）求角的大小； （2）若，点在边上，且平分，求的长度. 17. 已知函数. （1）若，，求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围. 18. 已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角大小； （3）线段上是否存在一个动点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由. 19. 已知函数在R上可导，，且． （1）当时，求的最小值； （2）设函数在点处的切线为l，求证：切线l恒过定点； （3）若点，点，且当时，单调递减，证明：当时，图象恒在直线AB下方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $