第17章《因式分解》期末单元复习卷 2025--2026学年人教版八年级数学上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版八年级数学 第十八章 分式 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分） 1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A. B. C. D. 2.将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A. B. C. D. 3.多项式与多项式的公因式是在（    ） A. B. C. D. 4.下列各组多项式中，没有公因式的是（    ） A.和 B.和 C.和 D.和 5.下列多项式能用平方差公式分解因式的是（    ） A. B. C. D. 6.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A. B. C. D. 7.如果是多项式的一个因式，则的值为（    ） A. B. C. D. 8.如果二次三项式可分解为，那么的值为（    ） A. B. C. D. 9.已知，，则代数式的值是（    ） A. B. C. D. 10.已知﹑﹑为的三条边边长，且满足等式，则的形状为（    ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.与的最大公因式是_________________． 12.如图，长方形的长、宽分别为、，且比大，面积为，则的值为       ． 13.若，则的值是__________． 14.若，，分别为三边的长，且满足，则的形状是 ． 15.如图，长方体的高为，，则____________． 16.计算的值为___________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 利用因式分解计算： （1）； （2）． 18.(9分) 因式分解： （1）． （2）． （3）． 19.(6分) 已知，．求下列各式的值． （1）； （2）． 20.(6分) 如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片其面积分别记为图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． （1）求； （2）若，将多项式进行因式分解，并求长方形落在边上的边长． 21.(8分) 因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．请解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由， 22.(8分) 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） ． ． ． （2）若，求的值； （3）计算：． 23.(8分) 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了下列因式分解的__________；（请填写序号） ①提取公因式法②平方差公式法③两数和的完全平方公式法 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 24.(10分) 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． （1）上述分解因式的方法是_______，共应用了______次； （2）分解因式：． （3）若分解，则需应用上述方法_______次，结果是_____．（为正整数） 25.(11分) 小元学习多项式研究了多项式值为的问题，发现当或时，多项式的值为，把此时的值称为多项式的零点． （1）已知多项式，则此多项式的零点为______； （2）已知多项式有一个零点为，求多项式的另一个零点； （3）小元继续研究，及等，发现在轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若多项式是“系多项式”，求多项式． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版八年级数学 第十八章 分式 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分） 1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义进行判断即可． 【解答】解：．是单项式乘多项式，故不符合题意； ．，不是因式分解，不符合题意； ．是多项式乘多项式，故不符合题意； ．，是因式分解，符合题意； 故选：． 2.将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【解答】解：， 应提取的公因式是， 故选：． 3.多项式与多项式的公因式是在（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先利用完全平方公式、平方差公式把两个多项式分解因式，然后找出公因式即可． 本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【解答】解：，， 多项式与多项式的公因式是， 故选：． 4.下列各组多项式中，没有公因式的是（    ） A.和 B.和 C.和 D.和 【答案】D 【解析】本题主要考查公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．逐一分析找出公因式即可得到答案． 【解答】解：、，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意； 、和，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意； 、和，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意； 、和，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意； 故选：． 5.下列多项式能用平方差公式分解因式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 【解答】解：根据平方差公式的特点可得到只有选项可以运用平方差公式分解， 故选：． 6.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【解答】解：． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项不符合题意； ．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项不符合题意； ．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项符合题意； ．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项不符合题意； 故选：． 7.如果是多项式的一个因式，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得，的值． 【解答】解：设， 则， 解得：． 故选：． 8.如果二次三项式可分解为，那么的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：．   9.已知，，则代数式的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【解答】解： ， ，， ， 故选：． 10.已知﹑﹑为的三条边边长，且满足等式，则的形状为（    ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】B 【解析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据三角形的三边关系得到，从而得到答案． 【解答】解： ； 为等边三角形． 故选． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.与的最大公因式是_________________． 【答案】 【解析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取最小的． 根据公因式的定义进行解答． 【解答】解：与的公因式是． 故答案为：． 12.如图，长方形的长、宽分别为、，且比大，面积为，则的值为       ． 【答案】 【解析】由题意可知，，，再利用提取公因式法分解因式，进而把已知式子代入即可． 【解答】解：由题意可知，，， 13.若，则的值是______21______． 【答案】 【解析】本题考查了因式分解的应用，根据题意，利用平方差公式 式子进行分解，然后将已知数值代入计算即可．解决本题的关键是将式子进行分解化简． 【解答】解：， 代入可得： ． 故答案为：21 14.若，，分别为三边的长，且满足，则的形状是 等腰三角形 ． 【答案】等腰三角形 【解析】首先将已知等式进行因式分解，然后由两数相乘为零必有一数为零，解其方程得到，即可判定． 【解答】，， ， ， ， ，，分别为三边的长， ，，， ， ， 是等腰三角形． 15.如图，长方体的高为，，则______________． 【答案】 【解析】本题考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，正确进行因式分解是解题的关键． 分别对进行因式分解，确定长方体的长、宽、高，再由长方形面积公式求解即可． 【解答】解：由，， 长方体的宽为，高为，长为， 故， 故答案为：． 16.计算的值为___________． 【答案】 【解析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 利用因式分解计算： （1）； （2）． 【答案】 【解析】（1）将原式转化为，然后利用完全平方公式进行因式分解，再进行有理数的乘方运算； （2）将原式利用结合律进行分组，然后利用平方差公式进行因式分解，再进行乘法和加法运算； 掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 【解答】（1）解： ； （2） ． 18.(9分) 因式分解： （1）． （2）． （3）． 【答案】． ． ． 【解析】（1）提取公因式进行因式分解即可． （2）先提取公因式，再对括号内用完全平方公式进行因式分解即可． （3）先整体思想用平方差公式分解，再进行化简即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 19.(6分) 已知，．求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】解：∵ ，， ∴ . ∵ ，， ∴ 【解析】（1）根据完全平方公式进行恒等变形，将所求代数式化为只含有或的式子，然后代入求值即可． 【解答】（1）解：∵ ，， ∴ . （2）∵ ，， ∴ 20.(6分) 如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片其面积分别记为图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． （1）求； （2）若，将多项式进行因式分解，并求长方形落在边上的边长． 【答案】 【解析】（1）把，代入，进行整式运算，得出即可； （2）表示出，然后对因式分解为，结合长方形宽为，得出长为． 【解答】（1）解： ； （2）解：， ， 长方形落在边上的长为． 21.(8分) 因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．请解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由， 【答案】 是等腰三角形，理由见解答 【解析】 （1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可； （2）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状． 【解答】（1） ； （2）是等腰三角形．理由如下：， ， ，，是的三边， ， ， ， 是等腰三角形． 22.(8分) 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） ． ． ． （2）若，求的值； （3）计算：． 【答案】 【解析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案， （2），即，又，可求出的值， （3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案． 【解答】 （1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为 因此有，， 故选：； （2）解：，， ； （3）解：原式， ， ， ． 23.(8分) 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了下列因式分解的______③_____；（请填写序号） ①提取公因式法②平方差公式法③两数和的完全平方公式法 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】③ 不彻底，最后结果为 【解析】（1）根据两数和的完全平方公式的形式即可求解； （2）利用两数和的完全平方公式法即可求解； （3）设，利用完全平方公式法分解因式即可求解． 【解答】（1）解：， 则某同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法， 故答案为：③． （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ． 24.(10分) 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． （1）上述分解因式的方法是__提公因式法_____，共应用了__2_____次； （2）分解因式：． （3）若分解，则需应用上述方法_______次，结果是_______．（为正整数） 【答案】提公因式法， ， 【解析】（1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【解答】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了次， 故答案为：提公因式法，； （2）解： ； （3）解： ， 故需应用上述方法次，结果是， 故答案为：，．  25.(11分) 小元学习多项式研究了多项式值为的问题，发现当或时，多项式的值为，把此时的值称为多项式的零点． （1）已知多项式，则此多项式的零点为_______； （2）已知多项式有一个零点为，求多项式的另一个零点； （3）小元继续研究，及等，发现在轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若多项式是“系多项式”，求多项式． 【答案】或 【解析】（1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案 （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【解答】（1）解：由题意得令， 则或 解得或， 此多项式的零点为或， 故答案为：或； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得， 把代入，得， 令， 解得， 多项式的另一个零点是； （3）解：， 或， 或 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ， ， ， ， 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $