培优01 因式分解计算训练3大题型（大单元专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题01 因式分解计算训练 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 用提公因式法和公式法分解因式 1 题型二、 用十字相乘法分解因式 22 题型三、 分解因式与求值 31 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用提公因式法和公式法分解因式 1．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取公因式即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键熟练掌握因式分解方法． 先提公因式，然后再用完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解提公因式法，原式提取公因式即可得到结果．熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 4．分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，先提公因式，再用公式法分解． 先提取公因式3，再利用平方差公式对括号内的式子进行分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．把下列各式分解因式，要求直接写出结果 （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解； （2）提取公因式，即可求解； （3）直接利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：． 7．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提取公因式进行因式分解，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为： 8．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，和的公因式为；熟练掌握提公因式法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 9．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，因式分解的方法主要包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法，正确掌握相关运算法则是解题关键，提取公因式即可． 【详解】解：原式 故答案为： 12．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 因式分解即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，提取公因式即可． 【详解】解：． 14．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，直接提公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练找出公因式是解决问题的关键．用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 17．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法等． 用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键． （1）提公因式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． 19．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可； （4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提公因式法因式分解即可得到答案； （2）运用提公因式法和公式法因式分解即可得到答案； （3）运用提公因式法和公式法因式分解即可得到答案． 本题主要考查因式分解，涉及提公因式法、公式法因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式公式是解决问题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 21．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法因式分解． （1）先将变为，提取公因式后，得，再提取公因式m得到最终结果； （2）先提取公因式a，再利用平方差公式即可得到结果； （3）先将提取公因式，得到，再提取公因式，最后利用平方差公式分解即可得到结果； （4）利用完全平方公式得到，通过计算后得到，再利用平方差公式即可得到最终结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 22．将下列式子因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法与公式法（完全平方公式、平方差公式）的综合运用；解题的关键是先观察多项式特点，提取公因式，再根据剩余部分的结构判断是否能运用公式进一步分解． （1）先提取多项式各项的公因式，得到，再观察括号内二次三项式符合完全平方公式结构，进而分解为； （2）直接提取公因式，剩余部分合并同类项后完成分解； （3）先将变形为，提取公因式后，剩余部分符合平方差公式结构，进一步分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 23．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提公因式即可； （2）提公因式即可； （3）把看成整体，利用完全平方公式即可分解； （4）利用完全平方公式即可分解． 本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． （4）解：原式． 24．已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】1584 【分析】本题考查了因式分解的应用，整体思想求代数式的值等知识，正确分解因式是解题的关键；提取公因式得，再整体代入即可求解． 【详解】解： ， ∵x、y满足方程组 ∴原式． 25．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】这道题考查因式分解，具体考查了提取公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）的综合运用，熟练运用公式法是解题关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解； （2）先用平方差公式进行因式分解，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 26．因式分解 (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式；如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式；同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． （1）直接提公因式即可； （2）直接利用平方差公式进行分解； （3）先提公因数，再利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 27．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟悉提取公因式法和完全平方法是解题的关键． （1）提取公因式即可求解； （2）根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 28．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了因式分解，常用的因式分解法有：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 首先提公因式，可得：原式，再把括号里的多项式用完全平方公式分解因式； 首先提公因式，可得：原式，再把括号里的多项式用完全平方公式分解因式； 用十字相乘法分解因式即可； 首先把多项式分组后再提公因式，可得：原式，再用提公因式法分解因式，提出公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 29．分解因式． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．提取公因式分解因式即可得． 【详解】解：原式． 30．分解因式． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．提取公因式分解因式即可得． 【详解】解：原式． 31．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，综合提公因式与公式法分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用提取公因式法分解因式； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2） ． 32．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式法可分别求解即可； （2）根据提公因式法可分别求解即可； （3）根据提公因式法可分别求解即可； （4）根据提公因式法可分别求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 33．因式分解： 【答案】． 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握找出式子的公因式并正确提取是解题的关键．先将式子中的和看作整体，然后通过提取公因式的方法对式子进行因式分解，解题思路是先找出公因式，再利用提取公因式法化简式子． 【详解】解： ． 34．因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式分组后再运用平方差公式进行分解即可； （2）原式直接提取公因式分解即可； （3）原式去括号整理后运用完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 35．因式分解： 【答案】． 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握将式子中的部分内容进行变形以找出公因式是解题的关键． 先将式子中的转化为，然后提取公因式来进行因式分解，解题思路是通过变形统一式子中的相同部分，再找出公因式进行提取． 【详解】解： ． 36．分解因式： (1)． (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法因式分解和综合运用公式法分解因式，熟练掌握综合提公因式和公式法因式分解和综合运用公式法分解因式是解题的关键． （1）综合运用提公因式因式分解即可； （2）先提公因式，再运用平方差公式因式分解即可； （3）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （4）先用完全平方公式因式分解，再用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 37．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解答本题的关键． （1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提公因式法因式分解是解题的关键． （1）先将原式变形为，再提取公因式即可； （2）直接利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 39．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，能提公因式的先提公因式，分解要彻底． （1）提公因式法，因式分解； （2）直接利用公式法分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 41．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）直接提公因式，即可求解． （2）先提公因式，即可求解． （3）根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 42．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式． （1）根据提取公因式法分解因式即可． （2）根据提取公因式法分解因式即可． （3）根据提取公因式法分解因式即可． （4）根据提取公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 43．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)． 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法因式分解． （1）利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用提公因式法进行因式分解即可； （4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式． 44．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】本题考查提取公因式法的因式分解，确定公因式是解题的关键． （1）先确定公因式为后，提取公因式即可； （2）先确定公因式为后，提取公因式即可； （3）先确定公因式为后，提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 45．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，关键是掌握公式法（完全平方和（差）和平方差公式）和提公因式法结合使用即可得出结果， （1）首先，提负号得到括号中应用完全平方差公式，即可得出结果； （2）首先，将，提公因式得到，对应用平方差公式，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 46．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先通过变形将式子化为具有相同公因式的形式，再提取公因式分解因式； （2）先利用平方差公式分解，再对分解后的式子利用完全平方公式继续分解． 【详解】（1）解： （2）解： 47．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，理解整体公因式是解本题的关键． （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可； （3）提取公因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ． 48．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）提取公因式，分解因式即可得； （2）提取公因式，分解因式即可得； （3）先利用十字相乘法分解因式可得，再利用十字相乘法分解因式即可得； （4）利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． 题型二、用十字相乘法分解因式 49．把分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，采用十字相乘法直接分解即可． 【详解】可将分为， 故， 故答案为：． 50．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 设，原式化为，然后整理得到，然后利用十字相乘法化简即可． 【详解】解：设 ∴ ． 故答案为：． 51．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，关键是把一元二次方程转化成一元一次方程，通过做此题培养了学生分析问题的能力和计算能力，题型较好，难度不大． （1）利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把看作一个整体，利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ，． （2）解： ， ， ，， ，． 52．“转化”是数学中最常用的思想，其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．我们学习过一元一次方程，因此在求解二元一次方程组时，通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程；类比求解二元一次方程组，小明对一元二次方程求解过程提出了如下思考： ①若，则有或者； ②结合八年级下册学习过的因式分解相关知识，， ③当时， ④所以可以将原方程转化为两个一元一次方程______和______，这是一个“降次”的过程． ⑤即或 请根据小明的思考过程，完成下列问题： (1)序号④中的两个一元一次方程分别为______和______ (2)应用小明的思路，求解下列两个一元二次方程： ； 【答案】(1)； (2)①，；②， 【分析】本题主要考查因式分解---十字相乘法解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）根据“两个因数的积为零，那么这两个因数中至少有一个因数为零”可得答案； （2）①把分解成与2的积，且，方程可变形为，故可解答； ②把分解成，分解成，而，故方程可变形为，故可解答． 【详解】（1）解：， ∴或， 故答案为：；； （2）解：①， ， 或， ∴，； ②， ， 或， ∴，． 53．通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 【答案】(1)， (2)①② 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式的几何应用，弄清阅读材料中的因式分解的结构特点是解本题的关键． （1）总面积还可以看成两边长分别为的大长方形的面积，根据面积相等求解即可． （2）仿照材料进行因式分解即可． 【详解】（1）解：总面积还可以整体表示为，可以得到的数学等式为， 故答案为：，； （2）解：①， ②． 54．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 55．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： (1)________________________； (2)_________________________； (3)________________________； (4)________________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解法，（1）根据题意进行因式分解即可； （2）根据题意进行因式分解即可； （3）根据题意进行因式分解即可； （4）根据题意进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解：， 故答案为：． 56．阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）根据题意，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴ ． 57．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 58．探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； （）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，； （2）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，． 59．【探究】如何把多项式因式分解？ （1）【观察】上式_______（填“能”或“不能”）直接利用完全平方公式进行因式分解． （2）【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道．将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为两数之和． 【运用】请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①； ②． 【答案】（1）不能；（2）①；② 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据完全平方公式判断即可； （2）①根据进行分解，即可求解； ②根据进行分解，即可求解． 【详解】解：（1）不能 （2）① ． ② ． 60．等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 题型三、分解因式与求值 61．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．将提取得，然后代入求值即可． 【详解】解：， 把，代入得： 原式． 故选：A． 62．多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵多项式可以因式分解成，，为整数， ∴， ∴，， ∴， 即的值是． 故选：C． 63．若，，则（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 先对所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ , 故选：． 64．计算，所得的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，因式分解，先把转化为，再利用提公因式法因式分解进而即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 65．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键． 先提取，再根据同底数幂的运算法则进行变形求解即可． 【详解】解：． 故选：C ． 66．已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，则的值为（   ） A． B． C．22 D．38 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的运用，掌握提取公因式法因式分解是关键． 根据题意，因式分解得到，由此解出，代入计算即可求解． 【详解】解： ， 根据题意，得， 所以， 所以． 67．若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解的应用中的整体思想，提公因式，出现两个整体、是关键，代入数据计算即可． 利用提公因式法，把原式中公因式提出，代入数据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：6． 68．已知 ，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用整体思想解题的关键． 先求出的值，然后利用整体思想代入计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为： 69．已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，提取公因式法分解因式，直接提取公因式，进而合并同类项得出即可．正确找出公因式是解题关键． 【详解】解： 可分解因式为，， 则， 故． 故答案为：． 70．若，，则的值是 ． 【答案】15 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，代数式的值，运用整体代入法，关键是正确分解因式． 首先提公因式进行分解，再代入，即可． 【详解】解：，， ， 故答案为． 71．已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．先对所求式子进行因式分解，再将已知条件代入计算． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式 ， 故答案为：． 72．已知实数a、b满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值，提公因式法分解因式，完全平方公式等知识，准确变形是关键． 首先提取公因式，再利用完全平方公式变形，将已知整体代入求出答案即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 73．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，已知式子的值，求代数式的值，利用提公因式法分解因式，然后再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 74．已知，，则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了代数式求值，先利用因式分解得，进而求得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：66． 75．已知，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值和因式分解的应用．利用因式分解把分解为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 76．如果，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，以及提取公因式，使用平方差公式化简是解决本题的关键． 根据平方差公式化简，再提取公因式即可求解． 【详解】解：，且，即， ， 即， 整理可得 ， ， ． 77．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用与代数式的化简求值，正确提取公因式是解决本题的关键． 先提取公因式，再将代入求解即可． 【详解】解：， ∴ ． 78．已知，满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握提公因式法和整体思想． 将因式分解为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 79．若对于满足关系式：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式分解因式，代数式求值，根据题意先求出的值，再将变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ∴ ， 原式的值为． 1．已知，，则的值为 【答案】34 【分析】本题考查了利用完全平方公式化简求值，以及提取公因式的方法，将，这两式两边平方后再相加，经过提取公因式，左边可得，由此即可求值． 【详解】解：， ①两边平方，得， 即， ②两边平方，得， 即， 得，， ∴， ∴， 故答案为：34． 2．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，解题的关键是将原式通过提取公因式构建出．先将已知变形为，然后将原式通过提取公因式构建出，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：4． 3．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，解答本题的关键是掌握十字相乘法和整式的乘法． 根据十字相乘法得到，再设，利用整式的乘法进行计算，进而对比系数求解，即可解题． 【详解】解： 设 ， 对比原式系数，得， 解得， ， 故答案为：． 4．阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)8或 【分析】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用“十字相乘法”即可求解； （2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解； （3）先把原式整理得，再将常数3进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 5．整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由，得，利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，故原式可分解为，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示： 利用上述方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)将代数式先分解因式，再求值，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了利用十字相乘法进行因式分解，因式分解的应用，弄清题中的分解因式的方法是解题的关键． （1）根据所给材料信息即可求解； （2）分别计算和，然后把看作整体因式分解为，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴ ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解计算训练 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 用提公因式法和公式法分解因式 1 题型二、 用十字相乘法分解因式 5 题型三、 分解因式与求值 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用提公因式法和公式法分解因式 1．因式分解： ． 2．分解因式： ． 3．分解因式： ． 4．分解因式 ． 5．分解因式： ． 6．把下列各式分解因式，要求直接写出结果 （1） ； （2） ； （3） ． 7．分解因式： ． 8．因式分解： ． 9．分解因式： ． 10．因式分解： 11．因式分解： ． 12．如果，，那么 ． 13．因式分解： 14．分解因式： ． 15．分解因式： ． 16．因式分解： ． 17．因式分解： ． 18．分解因式： (1) (2) 19．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 21．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．将下列式子因式分解： (1)； (2)； (3)． 23．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．已知x、y满足方程组，求的值． 25．因式分解 (1)； (2)． 26．因式分解 (1)． (2)． (3)． 27．分解因式： (1)； (2)． 28．分解因式： (1) (2) (3) (4) 29．分解因式． 30．分解因式． 31．因式分解： (1) (2) 32．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4) 33．因式分解： 34．因式分解： (1) (2) (3) 35．因式分解： 36．分解因式： (1)． (2) (3) (4) 37．分解因式： (1)； (2)． 38．因式分解： (1)； (2)． 39．因式分解 (1) (2) 40．分解因式： (1)； (2)． 41．因式分解： (1)； (2)； (3)． 42．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 43．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 44．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 45．因式分解： (1)； (2)． 46．分解因式： (1) (2) 47．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 48．分解因式： (1) (2) (3) (4) 题型二、用十字相乘法分解因式 49．把分解因式的结果是 ． 50．分解因式： ． 51．解方程： (1) (2) 52．“转化”是数学中最常用的思想，其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．我们学习过一元一次方程，因此在求解二元一次方程组时，通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程；类比求解二元一次方程组，小明对一元二次方程求解过程提出了如下思考： ①若，则有或者； ②结合八年级下册学习过的因式分解相关知识，， ③当时， ④所以可以将原方程转化为两个一元一次方程______和______，这是一个“降次”的过程． ⑤即或 请根据小明的思考过程，完成下列问题： (1)序号④中的两个一元一次方程分别为______和______ (2)应用小明的思路，求解下列两个一元二次方程： ； 53．通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 54．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 55．【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： (1)________________________； (2)_________________________； (3)________________________； (4)________________________． 56．阅读下列材料，并回答问题． 对于可化为的二次三项式进行因式分解．首先，我们可以利用多项式的乘法法则：． 反过来，则有：． 这就是说，对于一个二次项系数为1的二次三项式，如果能够把常数项n分解成两个因数a，b的积，并且a与b的和恰好等于一次项的系数m，那么这个二次三项式就可以分解成的积，即 ，其中，． 例如：把二次三项式因式分解． 其中，恰有．所以 利用上述方法，可以将部分特殊的二次三项式便捷地解出来．同学参照上述方法，回答问题． (1)参照上述方法，将二次三项式因式分解． (2)拓展应用：将二次三项式因式分解． 57．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 58．探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 59．【探究】如何把多项式因式分解？ （1）【观察】上式_______（填“能”或“不能”）直接利用完全平方公式进行因式分解． （2）【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道．将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为两数之和． 【运用】请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①； ②． 60．等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 题型三、分解因式与求值 61．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 62．多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 63．若，，则（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 64．计算，所得的正确结果是（   ） A． B． C． D． 65．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 66．已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，则的值为（   ） A． B． C．22 D．38 67．若，则的值是 ． 68．已知 ，，那么的值是 ． 69．已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 70．若，，则的值是 ． 71．已知，则 ． 72．已知实数a、b满足，则的值为 ． 73．已知，则的值为 ． 74．已知，，则 ． 75．已知，求的值． 76．如果，且，求的值． 77．已知，求的值． 78．已知，满足，求代数式的值． 79．若对于满足关系式：，求代数式的值． 1．已知，，则的值为 2．已知，则 ． 3．分解因式： ． 4．阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 5．整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由，得，利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，故原式可分解为，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示： 利用上述方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)将代数式先分解因式，再求值，其中． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $