第十五章 轴对称图形与等腰三角形（举一反三单元测试·拔尖卷）数学沪科版2024八年级上册

第十五章 轴对称图形与等腰三角形·拔尖卷 【沪科版2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 3．（3分）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 7．（3分）如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．（3分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 9．（3分）（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 10．（3分）（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ． 12．（3分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，和的垂直平分线交于点，连结、、，写出和的数量关系 ． 13．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ． 14．（3分）（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 15．（3分）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 16．（3分）（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 18．（6分）（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 19．（8分）（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（8分）（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． (1)在图①中，画一格点E，使得； (2)在图②中的上找一点H，使得． 21．（10分）（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知一张三角形纸片（如甲图），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如丙图）． (1)请直接找出丙图中除外的所有等腰三角形； (2)请求出甲图中各角的度数． 22．（10分）（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）在中，，，作等腰，使． (1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； (2)如图，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若与的面积相等，则的度数为多少？ 23．（12分）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 24．（12分）（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接． (1)如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称图形与等腰三角形·拔尖卷 【沪科版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 连接，依据垂直平分线的性质可得，从而得到，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，所以，根据直角三角形性质可得的度数，根据轴对称的性质可得的度数． 【详解】解：连接， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选B． 2．（3分）（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 3．（3分）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，先证明，得出，再证明，得出，根据等腰三角形的性质求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵的两条高，交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．（3分）（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）以及三角形内角和定理，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到等角关系，再结合三角形内角和与已知角度建立等式求解． 由、分别垂直平分、得、故设根据三角形内角和可知；结合，联立方程求出的度数． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分 ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． ∴（等边对等角）． 设． 在 中，（三角形内角和定理）， 即①． ∵，且 ∴②． 将①中代入②，得， 即， 解得． 故选：B． 6．（3分）（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点作，， 为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 7．（3分）如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定， 根据题意设，则，，然后根据等边三角形的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的形状是等腰三角形． 故选：A． 8．（3分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识．连接，过点作，交的延长线于，和交于点，当点与点重合时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，再证明是等边三角形，进而可得的值，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作，交的延长线于，和交于点， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴， ∴点在射线上运动， 当点与点重合时，取最小值，此时点重合， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 9．（3分）（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 同理可得：，， ∴． 故选B． 10．（3分）（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ①证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由，可得，即，即可判断②正确；③作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③正确；④由，得出．由③得，，．则．所以．，即可判断结论④错误． 【详解】解：是等边三角形， ，． ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． ， ；故①正确． ， ，即． ， ． ， ；故②正确． ③如图，作的平分线交于点K，则， ， ． ，即． ， ． 是等边三角形． ． 在和中， ． ． ． ；故③正确． ， ，，． 由③得，， ． ． ． ． ． ． ，故④错误． 故正确的有，3个， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，则点D到边和的距离相等，进而可得的面积为6，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点 由作图过程可知，为的平分线， ， ， ， 的面积是 故答案为： 12．（3分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，和的垂直平分线交于点，连结、、，写出和的数量关系 ． 【答案】 【分析】利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再结合三角形的内角和定理来推导和的数量关系．本题主要考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ）以及三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 在的垂直平分线上，在的垂直平分线上 ∴ ，， ∴，， ∵，， ∴， ∴ 故答案为： ． 13．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，过A作于H，过D作于E，过A于F，则四边形是长方形，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解． 【详解】解∶如图，过A作于H，过D作于E，过点A作于F， 则四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵以为斜边作等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、动点问题及一元一次方程的应用．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的构成条件． （1）用t表示线段长度：分情况为确定；或定； （2）分二种情况讨论，排除时，、两种无解情况． 【详解】解：由题意，动点P速度为速度为运动时间为则． ∵A在延长线上， ∴当P在A到O之间时， 当P在O到B之间时，． 又，A在延长线上，故． 要使为等腰三角形，分以下二种情况： ①若，不可能与其它边相等,因是钝角，是三角形内的最大角，根据“大角对大边”可知最长. ∴，, ∴ 解得 ②若因，使为等腰三角形时，必构成等边三角形， ∴ 解得． 综上，t的值为或． 故答案为：或． 15．（3分）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 过作交于，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，利用可证得，于是可得，进而可推出，于是得解． 【详解】解：如图，过作交于， 是等边三角形， ， ， ，，， 又， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（3分）（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 18．（6分）（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论； （2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形； （2）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴在直角中，， ∴， ∴. 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 19．（8分）（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的长为 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的性质可得线段长度相等，结合已知可证得，对应角相等，即可证得结论； （2）在边上截取，可证得，对应边相等，结合已知可得等边三角形，等量代换，代入已知条件计算即可． 【详解】（1）证明：∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，在边上取一点，使得． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴． 20．（8分）（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． (1)在图①中，画一格点E，使得； (2)在图②中的上找一点H，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）构造等腰直角三角形的底角解答即可； （2）根据题意，得，取格点F，连接交于点H，根据作图，得，解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂直的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：构造等腰直角三角形的底角，如图所示， 则， 则点E即为所求． （2）解：根据题意，得， 取格点F，连接交于点H， 根据作图，得， 得到,， 故 故点H即为所求． 21．（10分）（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知一张三角形纸片（如甲图），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如丙图）． (1)请直接找出丙图中除外的所有等腰三角形； (2)请求出甲图中各角的度数． 【答案】(1)丙图中除外的所有等腰三角形： (2)， 【分析】本题考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）根据等腰三角形的特征，可作出判断； （2）由等腰三角形的性质，可得，由折叠，得，，则，再在中利用三角形内角和定理列方程，求出的度数，即可解决问题． 【详解】（1）解：丙图中除外的所有等腰三角形：； （2）解：∵， ∴， 由折叠，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故甲图中各角的度数分别为． 22．（10分）（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）在中，，，作等腰，使． (1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； (2)如图，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若与的面积相等，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)若与的面积相等，则的度数为或 【分析】（1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，根据与互余得，再根据即可得出答案； （2）过点作于点，根据等腰三角形性质，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出结论； （3）依题意有以下两种情况：当与都是锐角三角形时，过点作于点，过点作于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，即当是锐角三角形，是钝角三角形时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，再根据得，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ， 与互余， ， ， 故答案为：； （2）证明：过点作于点，如图所示： 在中，， ， ， 在中，， 在中，于点， ， 与互补， ， ， 即， ， 于点于点， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）若与的面积相等，则的度数为或，理由如下： 依题意有以下两种情况： 当与都是锐角三角形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示： ， ， 与的面积相等， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即； 当是锐角三角形，是钝角三角形时， 过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ， 与的面积相等， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即 ， ， 综上所述：若与的面积相等，则的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，列代数式，余角和补角，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，余角和补角定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形，分类讨论是解决问题的难点． 23．（12分）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1)；见解析 (2)成立，； (3)，见解析 【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解； （2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证； （3）在上截取，连接，可证得，即可求证． 【详解】（1）解：之间的数量关系．理由如下： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 证明：在上截取，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形． 24．（12分）（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接． (1)如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)15 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点． （1）由折叠的性质，由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解； （2）①延长交于点N，证明为等边三角形，再证明，即可得线段和之间的数量关系； ②连接，取中点P，连接，则当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，即可求得长度． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15； （2）①，理由如下： 如图，延长交于点N， 设， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； ②如图，连接，取中点P，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合， ∵P、H分别是的中点， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $