精品解析：江苏省盐城市东台市第一教育联盟2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

江苏省盐城市东台市第一教育联盟2025-2026学年 九年级上学期12月月考数学试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是( ) A. B. C. D. 2. 在六张卡片上分别写有，π，1.5，5，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　） A. B. C. D. 3. 已知一组数据共有个数，前面个数的平均数是，后面个数的平均数是，则这个数的平均数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（　　） A. 2x2+6x﹣5=0 B. 2x2﹣3x﹣5=0 C. 2x2﹣6x+5=0 D. 2x2﹣6x﹣5=0 5. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( ) A. B. C. D. 7. 若二次函数的图象经过三点．则关于大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与x轴交于点O，A，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点A，B．若直线与，共有3个不同的交点，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8题，每小题3分，共24分） 9. 圆锥底面半径为6，高为8，则圆锥的侧面积为______． 10. 抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为 s甲2，s乙2则净含量较为稳定的是 __．（填“甲”或“乙”） 11. 某公司2017年的营业额是100万元，2019年的营业额为121万元，设该公司年营业额的平均增长率为x，根据题意可列方程为______． 12. 将二次函数的图像沿x轴对折后得到的图像解析式______． 13. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为 ⊙O的直径，BD＝4，则BC＝_____． 14. 已知函数的图象与x轴只有一个交点，则k需满足的条件是 _____． 15. 函数y＝x2﹣2x﹣3中，当﹣2≤x≤3时，函数值y的取值范围是_____； 16. 如图，在中，，，点为斜边的中点，将线段绕着点逆时针旋转任意角度得到线段（点不与重合），连接，，则______． 三、解答题（本大题共102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论常数取何值，方程总有实数根； （2）当整数取何值时，方程有两个整数根？ 19. 小明想用描点法画抛物线． （1）请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中画出此抛物线； … -1 0 1 2 3 4 … … 0 -3 … （2）当时，请观察函数图像，直接写出的取值范围． 20. 如图，内接于，D是上一点，，． （1）求证：； （2）若的半径为3，求的长． 21. 某校在七年级、八年级开展了阅读文学名著知识竞赛．该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上）如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 84. 2 77 74 45﹪ b．八年级学生知识竞赛成绩的扇形统计图如下（数据分为5组，A：50≤x≤59； B：60≤x≤69；C：70≤x≤79；D：80≤x≤89；E：90≤x≤100） c．八年级学生知识竞赛成绩在D组的是：87 88 88 88 89 89 89 89 根据以上信息，回答下列问题： （1）八年级学生知识竞赛成绩的中位数是 分； （2）请你估计该校七、八年级所有学生中达到“优秀”的有多少人？ （3）下列结论：①八年级成绩的众数是89分；②八年级成绩的平均数可能为86分；③八年级成绩的极差可能为50分．其中所有正确结论的序号是 ． 22. 在一个不透明的口袋中装有4张卡片，分别印有数字1、2、3、6，这4张卡片除印有的数字不同外，其余都相同. （1）搅匀后从中任意摸出1张卡片，摸到印有奇数卡片的概率为_______； （2）搅匀后从中任意摸出1张卡片，将该卡片印有的数字记为，再从剩余3张卡片中任意摸出1张卡片，将该卡片印有的数字记为，请用列表或画树状图的方法求出点在反比例函数图像上的概率. 23. 图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为． （1）求拱桥所在抛物线的函数表达式； （2）因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号） 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F． （1）求证：NF是⊙O的切线； （2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长． 25. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）直接写出商场销售这种文具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为______； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润为2000元？ （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元，请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式； （2）点p是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 27. 如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交 BA的延长线于点P，AD平分． （1）如图1，若AC是的直径，求证：PD与相切; （2）在（1）的条件下，若，求线段BC的长; （3）如图2，若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第一教育联盟2025-2026学年 九年级上学期12月月考数学试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、该方程的未知数最高次是1，故本选项错误； B、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、该方程不是整式方程，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 在六张卡片上分别写有，π，1.5，5，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率. 【详解】∵这组数中无理数有，共2个， ∴卡片上的数为无理数的概率是 . 故选B. 【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算. 3. 已知一组数据共有个数，前面个数的平均数是，后面个数的平均数是，则这个数的平均数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数． 【详解】解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5， 故选C． 【点睛】此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可. ． 4. 下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（　　） A. 2x2+6x﹣5=0 B. 2x2﹣3x﹣5=0 C. 2x2﹣6x+5=0 D. 2x2﹣6x﹣5=0 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数的关系判断即可． 【详解】满足两个实数根的和等于3的方程是2x2-6x-5=0， 故选D． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 5. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键；根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 故选：． 6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案． 【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC， 根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°， 根据圆周角定理可知∠D=∠AOC， 因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°， 解得：∠AOC=120°， 因此∠ADC=60°． 故选：C． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用． 7. 若二次函数的图象经过三点．则关于大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先确定二次函数的对称轴，再计算各点横坐标到对称轴的距离，根据开口方向判断y值的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∴点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为． ∵．二次项系数，开口向上，因此离对称轴越远的点，y值越大． ∴， 故选：A． 8. 如图，抛物线与x轴交于点O，A，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点A，B．若直线与，共有3个不同的交点，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直线与、共有3个不同的交点，正好处于、之间的区域，即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴令，解得， ∴A点的坐标为（2，0），将C1向右平移得C2 ∴B点的坐标为（4，0） ∴C2的解析式为 当直线与只有一个交点时 方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根 ∴，解得 当直线经过点A时 ，解得 ∴当时有三个交点 故选B． 5 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点以及二次函数图像与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题． 二、填空题（本题共8题，每小题3分，共24分） 9. 圆锥底面半径为6，高为8，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式求解． 先根据圆锥底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再将底面半径和母线长代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥底面半径，高， ∴圆锥母线长． 又∵圆锥侧面积公式为， ∴侧面积． 故答案为：． 10. 抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为 s甲2，s乙2则净含量较为稳定的是 __．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】方差越大，稳定性越差，方差越小，稳定性越好．比较甲乙方差大小可知乙稳定． 【详解】解：由题意可知： ∵s乙2＜s甲2， ∴净含量较为稳定的是乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查利用方差判断稳定性，理解方差越小代表稳定性越好是解本题的关键． 11. 某公司2017年的营业额是100万元，2019年的营业额为121万元，设该公司年营业额的平均增长率为x，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．根据平均增长率的模型，从2017年到2019年经过两年增长，每年增长率为，则2019年营业额等于2017年营业额乘以的平方． 【详解】解：设年平均增长率为，则2018年营业额为万元，2019年营业额为万元， 根据题意得， 故答案为． 12. 将二次函数的图像沿x轴对折后得到的图像解析式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点进行解答即可． 【详解】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴函数的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为-，即； 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于x轴对称的点的坐标特点，即关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 13. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为 ⊙O的直径，BD＝4，则BC＝_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠ADB=∠ABC=∠ACB=30°， ∵BD为直径， ∴∠BAD=90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB=BD=2， 过A作AE⊥BC于点E， Rt△ABE中， BE=， ∴BC=， 故答案为． 【点睛】本题考查圆周角定理． 14. 已知函数的图象与x轴只有一个交点，则k需满足的条件是 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数是一次函数和二次函数进行分类讨论，一次函数一定有一个交点，二次函数根据判别式等于0进行计算即可． 【详解】解：当时，即，，与x轴只有一个交点； 当时，即时，函数为二次函数，由题意得：，解得：； 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数图象与轴交点的个数问题．解题的关键是：根据二次项系数是否为零，进行分类讨论． 15. 函数y＝x2﹣2x﹣3中，当﹣2≤x≤3时，函数值y的取值范围是_____； 【答案】﹣4≤y≤5 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可． 【详解】解：∵y=x2-2x-3， ∴抛物线对称轴为，开口向上， 又∵﹣2≤x≤3， ∴x=1时，函数y有最小值﹣4； x=﹣2时，函数y有最大值5， 即﹣4≤y≤5． 故答案为：﹣4≤y≤5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 16. 如图，在中，，，点为斜边的中点，将线段绕着点逆时针旋转任意角度得到线段（点不与重合），连接，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，圆内接四边形性质，旋转的性质，根据直角三角形性质，旋转的性质可知，然后根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵在中，，，点为斜边的中点， ∴， ∵线段绕着点逆时针旋转任意角度得到线段， ∴，即点，，三点在以为圆心，为半径的圆上，如图， 根据同弧所对的圆周角相等，此时； 如图，根据圆内接四边形对角互补，此时， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论常数取何值，方程总有实数根； （2）当整数取何值时，方程有两个整数根？ 【答案】（1） 证明：当，即：时， 方程变为：， 解得：，方程有实数根； 当，即：时，方程为一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根； ∴无论m为何值，方程总有实数根． （2）或或或 【解析】 【分析】本题考查根据方程的根的情况，求参数的值．熟练掌握一元二次方程判别式和根的个数关系，以及根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据二次项系数为零和不为零两种情况进行分类讨论，利用判别式的取值进行证明即可； （2）根据方程的两个根都是整数，说明方程为一元二次方程，利用根与系数的关系，结合两个根都是整数，进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，方程有两个整数根，则该方程为一元二次方程，故，即， 设方程的两个根为：， 则：， ， ∵方程的两个根都为整数， ∴和为整数，即为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴当或或或时，该方程的两个根都为整数． 19. 小明想用描点法画抛物线． （1）请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中画出此抛物线； … -1 0 1 2 3 4 … … 0 -3 … （2）当时，请观察函数图像，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 如图，抛物线即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）将值直接代入解析式中求出对应的值即可；在平面直角坐标系中描出表中的点的坐标，用光滑的曲线连接即可得到二次函数的图象； （2）根据二次函数的图象即可得到得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：将，，，分别带入解析式中解得，，，； 【小问2详解】 解：由（1）中二次函数的图象可知． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象，掌握二次函数的图象的画法是解决问题的关键． 20. 如图，内接于，D是上一点，，． （1）求证：； （2）若的半径为3，求的长． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴． ∴． ∴． （2）π 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可知，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）连接、，由同弦所对的圆心角是圆周角的两倍得到，再根据弧长公式求解即可. 【详解】解：（1）略 （2）解：连接、． ∵， ∴． ∵的半径为3， ∴的长． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，同弦所对的圆心角是圆周角的两倍，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 21. 某校在七年级、八年级开展了阅读文学名著知识竞赛．该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上）如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 84. 2 77 74 45﹪ b．八年级学生知识竞赛成绩的扇形统计图如下（数据分为5组，A：50≤x≤59； B：60≤x≤69；C：70≤x≤79；D：80≤x≤89；E：90≤x≤100） c．八年级学生知识竞赛成绩在D组的是：87 88 88 88 89 89 89 89 根据以上信息，回答下列问题： （1）八年级学生知识竞赛成绩的中位数是 分； （2）请你估计该校七、八年级所有学生中达到“优秀”的有多少人？ （3）下列结论：①八年级成绩的众数是89分；②八年级成绩的平均数可能为86分；③八年级成绩的极差可能为50分．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】（1）88；（2）440；（3）③ 【解析】 【分析】（1）找到20名学生八年级学生知识竞赛成绩排在第10、11名的分数即可求解； （2）用七、八年级的总人数乘以优秀率即可求解； （3）根据众数、平均数、极差的定义即可依次判断. 【详解】（1）依题意可得20名学生八年级学生知识竞赛成绩排在第10、11名的分数分别为88，88， 故中位数是88分， 故填：88. （2）400×45%＋400×（40%＋25%）＝180＋260＝440人． 答：估计该校七、八年级所有学生中达到“优秀”的有440人 （3）①20名八年级成绩的众数是89分，但是全体八年级成绩的众数不一定是89分，故错误；②八年级样本的数据不全，故不能求出平均数，故错误； ③当八年级成绩最小为50分，最多为100分时，极差为50分，故正确； 故填③； 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知众数、平均数、极差的定义. 22. 在一个不透明的口袋中装有4张卡片，分别印有数字1、2、3、6，这4张卡片除印有的数字不同外，其余都相同. （1）搅匀后从中任意摸出1张卡片，摸到印有奇数卡片的概率为_______； （2）搅匀后从中任意摸出1张卡片，将该卡片印有的数字记为，再从剩余3张卡片中任意摸出1张卡片，将该卡片印有的数字记为，请用列表或画树状图的方法求出点在反比例函数图像上的概率. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)根据摸到印有奇数卡片的张数为2，直接求概率即可； (2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征找出在函数图象上的点的个数，然后根据概率公式求解； 【详解】解：(1)∵在一个不透明的口袋中装有4张卡片，分别印有数字1、2、3、6，这4张卡片除印有的数字不同外，其余都相同，  ∴从中任意摸出1张卡片，摸到印有奇数卡片的概率为：P=，  故答案为； (2)画树状图得： 共有12种等可能的结果数，其中点(x,y)在函数图象上的结果数为4， ∴由a、b确定的点(a,b)在函数图象上的概率为， . 【点睛】本题主要考查了画树状图法，反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．正确的列表或树状图是解答本题的关键，难度不大． 23. 图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为． （1）求拱桥所在抛物线的函数表达式； （2）因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）在所求函数解析式中求出时的值即可得． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点、代入，得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，，即， 解得：， 则水面的宽为． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F． （1）求证：NF是⊙O的切线； （2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长． 【答案】 （1）证明：连接ON． ∵在Rt△ACB中，CD是边AB的中线， ∴CD＝BD， ∴∠DCB＝∠B， ∵OC＝ON， ∴∠ONC＝∠DCB， ∴∠ONC＝∠B， ∴ON// AB ∵ NF⊥AB ∴∠NFB＝90° ∴∠ONF＝∠NFB=90°， ∴ON⊥NF 又∵NF过半径ON的外端 ∴NF是⊙O的切线 （2）3. 【解析】 【分析】（1）连接ON，根据切线的判定进行证明； （2）利用四边形ONFH为矩形的判定和垂径定理，勾股定理求解. 【详解】（1）略 （2）过点O作OH⊥ED,垂足为H，设⊙O的半径为r ∵OH⊥ED, NF⊥AB , ON⊥NF， ∴∠OHD＝∠NFH=∠ONF=90°． ∴四边形ONFH为矩形． ∴HF= ON=r，OH=NF=2 ∴HD=HF-DF=r－1 在Rt△OHD中，∠OHD＝90° ∴OH2＋HD2＝OD2 即22＋（r－1）2＝r2 ∴r＝． ∴HD= ∵OH⊥ED，且OH过圆心O ∴ED=2HD=3 【点睛】熟练掌握垂径定理，勾股定理及矩形的判定方法是本题的解题关键. 25. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）直接写出商场销售这种文具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为______； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润为2000元？ （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元，请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【答案】（1）； （2）销售单价为30元或40元时，该文具每天的销售利润为2000元； （3） 解：方案利润高．理由如下： ． ， 函数图象开口向下，有最大值，对称轴为直线，在对称轴左侧w随x的增大而增大，在对称轴右侧w随x的增大而减小， 在A方案中：， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，有最大值， 此时； 在方案中：， 故的取值范围为：， 当时，随x的增大而减小， 当时，有最大值， 此时， ， 方案利润更高． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． （1）根据销量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出方程，进而求出即可； （3）分别求出方案、中的取值范围，然后分别求出、方案的最大利润，然后进行比较． 【小问1详解】 解：由题意得，销售量为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得出： ， 整理得出：， 解得：，． 答：销售单价为30元或40元时，该文具每天的销售利润为2000元； 【小问3详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式； （2）点p是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在点，使面积最大 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）设点P坐标为，连接，作轴于M，轴于N．根据，最后利用二次函数的性质求解即可． （3）假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况①若平行于x轴，②若不平行于x轴，分别画出图形，利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将，两点带入可得： 解得： ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 设点P坐标为，如图连接，作轴于M，轴于N． ，，． 当时，， ∴ ∴ ， ∵， ∴函数有最大值，当时，有最大值， 此时； ∴存在点，使面积最大． 【小问3详解】 存在， 假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形 ①若平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点 此时 ∵轴， ∴点M、点关于对称轴对称， ∴， ∴．由， ∵ ∴； ②若不平行于x轴，如下图，过点M作轴于点G， 则 ∵，且， ∴， ∴， ∴，，即． 设， 则有， 解得：． 又， ∴， ∴， 综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数求三角形面积的最值， 二次函数和四边形的综合问题，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 27. 如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交 BA的延长线于点P，AD平分． （1）如图1，若AC是的直径，求证：PD与相切; （2）在（1）的条件下，若，求线段BC的长; （3）如图2，若，求的最大值． 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵AD平分 ∴ 又∵AC为直径，∠ADC为其所对圆周角 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴PD与相切； （2）BC长为6； （3）10． 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据AD平分，AC为直径，易证，可得 ，根据可得 ，易得 ，则 ，可证得 PD与相切； （2）延长OD至BC于M，连接，可知四边形PDMB为矩形，可得M为BC中点，根据得 ，则 PD为，可得，解得 ， (不合题意，舍去)，则根据， 可得解； （3）连接BD，证明△BDC是等边三角形，把△DAC绕点C逆时钟旋转60得到△BQC，证明A、B、Q三点共线，再证明△ACQ是等边三角形，得到当弦AC为直径时，AB+ AD取得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）延长OD至BC于M，连接 ∵∠ABC为直径AC所对圆周角 ∴ 又∵ ∴四边形PDMB为矩形， ∴ ∵， ∴M为BC中点, 又∵ ∴ ∴ ∵ 设则PD为 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得， (不合题意，舍去) ∴，， ∴BC长为6； （3）连接BD， ∵AD平分， ∴∠PAD=∠CAD， ∵是四边形的外接圆， ∴∠CBD=∠CAD，∠PAD=∠DCB， ∴∠CBD=∠DCB， ∵， ∴∠CBD=∠CDB， ∴∠CBD=∠CDB=∠DCB， ∴△BDC是等边三角形， ∴BD=CD=BC， 把△DAC绕点C逆时钟旋转60得到△BQC，如图， 由旋转的性质得：∠ACQ=60，∠ADC=∠QBC，AC=QC，AD=QB， ∵是四边形的外接圆， ∴∠ADC+∠ABC=180， ∴∠QBC+∠ABC=180， ∴A、B、Q三点共线， ∵∠ACQ=60，AC=QC， ∴△ACQ是等边三角形， ∴AB+ AD= AB+BQ=AQ=AC， 当弦AC为直径时，AB+ AD取得最大值， ∴AB+ AD的最大值为10． 【点睛】本题考查的圆的综合题，涉及到切线的判定和性质，圆周角定理，矩形，正方形的性质和三角形相似的判定与性质，旋转的性质等知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $