专题1.4 不等式与复数（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题1.4 不等式与复数（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 不等式的性质及其应用】 1 【题型2 利用基本不等式求最值】 2 【题型3 基本不等式中的恒成立问题】 2 【题型4 解常见的不等式】 3 【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】 3 【题型6 复数的四则运算】 3 【题型7 复数的几何意义】 4 【题型8 与复数有关的最值问题】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 不等式的性质及其应用】 1．（2025·云南昭通·模拟预测），，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用基本不等式求最值】 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）若，且，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．4 D．5 6．（2025·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 7．（2025·广东梅州·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 8．（2025·辽宁盘锦·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 基本不等式中的恒成立问题】 9．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·辽宁大连·期中）设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 11．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 解常见的不等式】 13．（2025·河南·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·湖北黄冈·三模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 15．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 16．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ． 【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】 17．（2025·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 20．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【题型6 复数的四则运算】 21．（2025·山东·三模）若复数满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 22．（2025·河南·模拟预测）已知复数满足，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·云南·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 24．（2025·浙江·模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【题型7 复数的几何意义】 25．（2025·四川成都·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（2025·全国·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 27．（2025·陕西西安·模拟预测）若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 28．（2025·甘肃白银·三模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型8 与复数有关的最值问题】 29．（2025·湖南·模拟预测）若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 31．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知复数满足，则的最小值为 . 32．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2025·河南·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 3．（2025·海南·一模）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知复数，则对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 6．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 7．（2025·四川成都·一模）已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（    ） A．10 B．20 C．9 D．18 8．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·上海静安·一模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数 ． 10．（2025·上海杨浦·一模）不等式的解集为 . 11．（2025·云南昆明·模拟预测）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第 象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 12．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林松原·模拟预测）已知为原点，复数在复平面内对应的点分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 5．（2025·四川·模拟预测）已知一元二次函数的定义域为，若，，且该二次函数的图象经过、不同两点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃庆阳·三模）已知为虚数单位，则下列命题为真命题的是（    ） A．是实数 B．对任意的复数，为实数 C．对于任意的复数， D． 二、填空题 7．（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为 ． 8．（2025·四川泸州·模拟预测）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 不等式与复数（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 不等式的性质及其应用】 1 【题型2 利用基本不等式求最值】 3 【题型3 基本不等式中的恒成立问题】 4 【题型4 解常见的不等式】 6 【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】 7 【题型6 复数的四则运算】 8 【题型7 复数的几何意义】 10 【题型8 与复数有关的最值问题】 11 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 不等式的性质及其应用】 1．（2025·云南昭通·模拟预测），，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用特例法判断ACD；利用不等式的性质判断B. 【解答过程】对于A，若，则，，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C、D，若，，，故C、D错误， 故选：B． 2．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由不等式的同向可加性得到结果. 【解答过程】因为，得，， 所以． 故选：B． 4．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【解答过程】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 【题型2 利用基本不等式求最值】 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）若，且，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】利用常数代换，结合基本不等式可得. 【解答过程】因为，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是5. 故选：D. 6．（2025·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】由x，y均为正数，则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故选：D. 7．（2025·广东梅州·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可. 【解答过程】由，，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 8．（2025·辽宁盘锦·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将代入所求代数式，结合基本不等式可求得其最小值. 【解答过程】因为正数、满足， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为． 故选：C. 【题型3 基本不等式中的恒成立问题】 9．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【解答过程】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B. 10．（25-26高一上·辽宁大连·期中）设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【解题思路】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【解答过程】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需. 故选：B. 11．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】不等式恒成立，等价于的最小值大于，所以先利用基本不等式求出的最小值，然后解关于的不等式即可. 【解答过程】因为， ，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， 不等式恒成立，等价于的最小值大于， 所以，解得， 故选：B. 12．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【解答过程】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 【题型4 解常见的不等式】 13．（2025·河南·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解不等式，得到，利用交集概念求出答案. 【解答过程】，又， 所以. 故选：B. 14．（2025·湖北黄冈·三模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用分式不等式和一元二次不等式可求得集合，再利用交集运算法则可得结果. 【解答过程】对于集合， ，进一步化简为， 所以或. 对于集合，因式分解得， 所以或. 所以或. 故选：C. 15．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】或. 【解题思路】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【解答过程】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 16．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ． 【答案】 【解题思路】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【解答过程】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为：. 【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】 17．（2025·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围. 【解答过程】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 18．（2025·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【解答过程】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 19．（2025·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【解答过程】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 20．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 【题型6 复数的四则运算】 21．（2025·山东·三模）若复数满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】先利用复数的乘法运算求得，然后利用复数模的运算求解即可. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：D. 22．（2025·河南·模拟预测）已知复数满足，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复数四则运算法则得到，从而根据共轭复数和虚部的概念得到答案. 【解答过程】， 故，故虚部为. 故选：D. 23．（2025·云南·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用复数模的运算，共轭运算，除法运算来求解即可. 【解答过程】， 故选：C. 24．（2025·浙江·模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】先根据复数的四则运算求出复数，再求模即可. 【解答过程】由，得， 所以， ， 故选：C. 【题型7 复数的几何意义】 25．（2025·四川成都·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】根据复数除法运算及复数在复平面内所对应的点即可判断. 【解答过程】由已知得， 则复数所对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 26．（2025·全国·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的几何意义可得，进而得到，进而求解即可. 【解答过程】根据题意有，则， 故. 故选：C. 27．（2025·陕西西安·模拟预测）若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得，进而得出复数，最后利用复数乘法运算即可. 【解答过程】因为， 所以复数在复平面内对应的点为 又点在直线上， 所以，解得， 所以复数， ， 故选：D. 28．（2025·甘肃白银·三模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由复数满足，则，可得， 故复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 【题型8 与复数有关的最值问题】 29．（2025·湖南·模拟预测）若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，由条件结合复数的几何意义确定复数在复平面上的对应点为的轨迹，结合复数模的几何意义求结论. 【解答过程】设，则复数在复平面上的对应点为， 因为， 所以，故， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：B． 30．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】先通过模长公式求出复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再利用的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果. 【解答过程】设，则， 如图，复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 则． 故选：D． 31．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【解题思路】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案 【解答过程】设， 由得， 所以， 即点是圆心为，半径为1的圆上的动点， ，表示的是点与点的距离， 所以其最小值为点到圆心的距离减去半径， 即的最小值为. 故答案为： . 32．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【解答过程】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为：. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】解不等式化简集合，再利用补集的定义求解. 【解答过程】不等式，解得， 即，而， 所以或. 故选：D. 2．（2025·河南·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数的除法运算求得，从而求得的虚部. 【解答过程】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 3．（2025·海南·一模）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据分式不等式的解法求解. 【解答过程】由不等式可得，且，所以. 不等式的解集为. 故选：B. 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知复数，则对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念进行判断即可. 【解答过程】因为复数， 所以. 所以对应的点位于第一象限. 故选：A. 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【解题思路】结合不等式的性质逐项分析即可. 【解答过程】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由题设，所以，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：C. 6．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可. 【解答过程】因为 所以.其中均正数. 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 7．（2025·四川成都·一模）已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（    ） A．10 B．20 C．9 D．18 【答案】B 【解题思路】化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，，求出模长. 【解答过程】由题意得， 且为纯虚数，，， ，. 故选：B. 8．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【解答过程】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B. 二、填空题 9．（2025·上海静安·一模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数 ． 【答案】 【解题思路】由已知得出，结合复数的除法化简可得复数. 【解答过程】因为，所以. 故答案为：. 10．（2025·上海杨浦·一模）不等式的解集为 . 【答案】 【解题思路】根据题意，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【解答过程】由不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 11．（2025·云南昆明·模拟预测）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第 象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 【答案】一 【解题思路】先设，再根据复数相等列方程，解得，最后根据复数几何意义得到答案. 【解答过程】设，故，则 解得，，故在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限. 故答案为：一. 12．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 【答案】9 【解题思路】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【解答过程】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】举出反例可判断，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案． 【解答过程】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由，两式相加得，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B. 2．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用基本不等式可得到，再代换，令，解一元二次不等式可得答案. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当时，取等号. 令得：， 由得：， 所以：，即， 解得：或， 又因为，所以， 故，当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 3．（2025·吉林松原·模拟预测）已知为原点，复数在复平面内对应的点分别为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由复数的运算、模的计算、复数的几何意义、数量积的坐标公式以及充分条件和必要条件的概念依次判断即可得到结果. 【解答过程】设，则， 若，则， 即， 所以，，充分性成立； 若0，则，又， 所以 ， 即，必要性成立． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：C． 4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【解题思路】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值. 【解答过程】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 5．（2025·四川·模拟预测）已知一元二次函数的定义域为，若，，且该二次函数的图象经过、不同两点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可知的图象关于直线对称，设，其中，结合已知条件得出，，由题意得出，将两个等式作差可得出关于的不等式，即可求出实数的取值范围. 【解答过程】因为一元二次函数的定义域为，且， 所以函数的图象关于直线对称，设，其中， 由可得，故，根据题意得出 因为函数的图象经过、不同两点， 则，且有， 上述两个等式作差得， 因为，故，即， 可得或，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 6．（2025·甘肃庆阳·三模）已知为虚数单位，则下列命题为真命题的是（    ） A．是实数 B．对任意的复数，为实数 C．对于任意的复数， D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的乘法运算化简复数结合复数的概念即可判断A；设，结合共轭复数的概念与复数的运算法则计算化简即可判断B；设，分别计算和即可判断C；根据复数的除法运算结合三角恒等变换化简即可判断D. 【解答过程】对于选项A，是纯虚数，故选项A错误； 对于选项B，设，则，则为实数，故选项B正确； 对于选项C，设复数，则，，故和不一定相等，故选项C错误； 对于选项D，，故选项D错误. 故选：B. 二、填空题 7．（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为 ． 【答案】1 【解题思路】利用复数的运算法则得，结合条件得，再利用复数和圆的几何意义，即可求解. 【解答过程】复数是纯虚数， ，，解得， ，其对应的点为， 为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上， 所以与之间的最小距离. 故答案为：. 8．（2025·四川泸州·模拟预测）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】由正态分布的对称性可得出，则，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为随机变量满足，，， 由正态分布的对称性可得， 所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $