专题03 复数（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 聚焦复数概念、运算及几何意义，通过真题研析与模拟精练，构建“概念-运算-几何”三阶方法体系，落实数学运算、直观想象核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的运算|7道真题+典例1|分母实数化、符号处理、共轭复数性质|从实部虚部概念出发，通过四则运算（重点除法）实现代数变形| |复数的模|3道真题+典例2|模长公式、数形转化、复平面距离|由复数几何意义建立代数形式与平面向量的对应，通过模长公式解决距离问题|

专题03 复数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 复数概念：以实部、虚部、共轭复数、纯虚数判定为核心，常借助复数相等条件求解参数。 复数运算：重点考查复数加减乘除运算，分母实数化除法为必考形式，常与复数模的计算综合命题。 复数几何意义：聚焦复数与复平面内点、平面向量的对应关系，利用模长公式解决距离类几何问题。 2．素养考向 数学运算：通过复数化简、模长求解运算，考查代数变形与精准计算能力，落实运算求解核心素养。 直观想象：依托复平面实现代数形式与几何坐标互化，运用数形结合简化问题，体现复数数形转化工具价值。 逻辑推理：利用纯虚数、复数相等限定条件，等价转化列式求参，考查分类讨论与严谨推理思维。 复数的概念 2025·全国一卷·T1（复数的概念及运算） 复数的四则运算 2026·全国一卷·T9（多选）（复数运算） 2026·全国二卷·T1（复数的运算） 2026·天津卷·T13（复数的运算） 2025·全国二卷·T2（复数的运算） 2024·新高考Ⅰ卷·T2（复数的运算） 2024·北京卷·T2（复数的运算） 2024·天津卷·T10（复数的运算） 复数的几何意义， 2026·北京卷·T2（复数的模） 2025·北京卷·T2（复数的模） 2025·天津卷·T13（复数的模） 2024·新高考Ⅱ卷·T1（复数的模） 1.复数为两卷必考基础小题，固定设置在单选第 1、2 题，分值 5 分，整体难度偏低，定位试卷入门送分题。全国二卷侧重纯代数运算，以复数平方、除法分母实数化为核心，侧重检验符号处理与基础化简准确率；全国一卷命题更灵活，除四则运算外，常融合共轭复数、复数模、实虚部辨析，少量多选题会综合判断复数性质，提升概念辨析要求。 2.高频考点统一聚焦三类：一是实部、虚部、纯虚数判定，借助复数相等求解参数；二是加减乘除运算，除法为易错重点；三是复平面几何意义，对应点象限、模长距离转化。素养层面，两卷均突出数学运算，纠正粗心运算失误；一卷更侧重直观想象，依托复平面数形转化；两卷均依托参数求值考查简单逻辑推理，命题稳中微创新，不设置偏难怪题型，重在夯实数系扩充基础，引导回归课本基本定义与运算法则。 考向一 复数的运算 典例1．（2026全国一卷T9）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，复数的共轭复数，因此，A正确. 对于B，复数的模，因此，B错误. 对于C，∵ ，∴ ，C正确. 对于D，∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，D正确. 微点拨：复数除法运算核心是分母实数化，给分子分母同乘分母的共轭复数，利用化简；复数标准形式中，为实部，为虚部；运算关键注意虚数单位符号易错点，细心处理符号变形，避免计算失误。 考向二 复数的模 典例2．2．（2026·北京卷T2）已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【解析】由题意，则. 微点拨：复数四则运算重点把握虚数单位运算规律；共轭复数实部相等、虚部互为相反数；复数的模对应复平面内点到原点的距离，运算化简务必注意符号，严格遵循分母实数化运算步骤 考向一 复数的运算 1．（2026·全国二卷T1）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 2．（2025·全国一卷T1）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以其虚部为1，故选：C. 3．（2025·全国二卷T2）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 4．（2024·新课标Ⅰ卷T2）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以.故选：C. 5．（2024·北京卷T2）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得.故选：C. 6．（2026·天津卷T13）化简__________． 【答案】 【解析】. 7．（2024·天津卷T10）是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】. 考向二 复数的模 8．（2025·北京卷T2）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解析】由可得，，所以，故选：B. 9．（2024·新课标Ⅱ卷T1）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】若，则.故选：C. 10．（2025·天津卷T13）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解析】先由题得，所以. 一、单选题 1．（2026·海南三亚·一模），在复平面上对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由化简可得，， 则在复平面上对应的点为，所以该点位于第四象限. 2．（2026·湖南长沙·三模）复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由在复平面对应点为，可得， 则，所以虚部为. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由，得. 所以. 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由为纯虚数，则，可得. 5．（2026·四川眉山·模拟预测）已知复数的共轭复数为，且，则（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】，， . 6．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知复数（其中i为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】， 则. 7．（2026·湖南·三模）在复数范围内，方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】所以在复数范围内，即为即， 故方程的解集为 8．（2026·山东潍坊·三模）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由复数乘法的几何意义，复数对应的向量绕原点顺时针旋转后， 所得向量对应的复数为，即. 因此，，分子分母同乘，得. 9．（2026·江西九江·模拟预测）已知复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， ，， 故的实部为. 10．（2026·云南曲靖二模）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以 的共轭复数为 . 11．（2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 其中，当时，最大值为. 二、多选题 12．（2026·江西宜春·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误， 13．（2026·安徽合肥·二模）已知复数（，为虚数单位），则（    ） A．当时， B．当为纯虚数时， C．在复平面内对应的点恒在直线上 D．当时， 【答案】BC 【解析】对于A，当时，，，A不正确； 对于B，，当为纯虚数时，，即，B正确； 对于C，，在复平面内对应的点的坐标为， 因为，所以C正确； 对于D，当时，，，D不正确. 14．（2026·浙江杭州一模）设为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（    ） A．复数对应点在第一象限 B． C．可能为纯虚数 D． 【答案】ACD 【解析】因为，在A选项中，， 对应复平面内点为 ，横纵坐标均为正，因此在第一象限，A正确， 在B选项中，，故， 又因为，，所以， 所以，B错误， 在C选项中，，若为纯虚数，则实部为0、虚部非零， 所以令，则，此时虚部为，结果为， 因此存在符合条件的，C正确， 在D选项中，根据复数模的性质，对任意非零复数， 都有，所以，即， 且，等式成立，D正确. 15．（2026·福建福州·模拟预测）已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】若，则，但不能比大小，故A错误； 若，则，则，则 则，故B正确； 若，该等式表示以复数对应向量为邻边的平行四边形对角线相等，故为矩形，因此两向量垂直，点积为零， 所以，故C正确； 若，则，但，故D错误. 三、填空题 16．（2026·浙江·三模）在复平面内，i为虚数单位，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是_____. 【答案】 【解析】复平面上的向量加法与复数加法法则一致，即对应坐标相加， 因为，所以对应的复数是. 17．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 【答案】16π 【解析】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆， 又，，所以点到点的距离小于或等于. 所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环， 所以其面积为. 18．（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 【答案】 【解析】由，， 设，则， 两式相减得， ， 所以. 19．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 【答案】 【解析】数列中，， 显然数列为等比数列，是等差数列， 所以. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 复数概念：以实部、虚部、共轭复数、纯虚数判定为核心，常借助复数相等条件求解参数。 复数运算：重点考查复数加减乘除运算，分母实数化除法为必考形式，常与复数模的计算综合命题。 复数几何意义：聚焦复数与复平面内点、平面向量的对应关系，利用模长公式解决距离类几何问题。 2．素养考向 数学运算：通过复数化简、模长求解运算，考查代数变形与精准计算能力，落实运算求解核心素养。 直观想象：依托复平面实现代数形式与几何坐标互化，运用数形结合简化问题，体现复数数形转化工具价值。 逻辑推理：利用纯虚数、复数相等限定条件，等价转化列式求参，考查分类讨论与严谨推理思维。 复数的概念 2025·全国一卷·T1（复数的概念及运算） 复数的四则运算 2026·全国一卷·T9（多选）（复数运算） 2026·全国二卷·T1（复数的运算） 2026·天津卷·T13（复数的运算） 2025·全国二卷·T2（复数的运算） 2024·新高考Ⅰ卷·T2（复数的运算） 2024·北京卷·T2（复数的运算） 2024·天津卷·T10（复数的运算） 复数的几何意义， 2026·北京卷·T2（复数的模） 2025·北京卷·T2（复数的模） 2025·天津卷·T13（复数的模） 2024·新高考Ⅱ卷·T1（复数的模） 1.复数为两卷必考基础小题，固定设置在单选第 1、2 题，分值 5 分，整体难度偏低，定位试卷入门送分题。全国二卷侧重纯代数运算，以复数平方、除法分母实数化为核心，侧重检验符号处理与基础化简准确率；全国一卷命题更灵活，除四则运算外，常融合共轭复数、复数模、实虚部辨析，少量多选题会综合判断复数性质，提升概念辨析要求。 2.高频考点统一聚焦三类：一是实部、虚部、纯虚数判定，借助复数相等求解参数；二是加减乘除运算，除法为易错重点；三是复平面几何意义，对应点象限、模长距离转化。素养层面，两卷均突出数学运算，纠正粗心运算失误；一卷更侧重直观想象，依托复平面数形转化；两卷均依托参数求值考查简单逻辑推理，命题稳中微创新，不设置偏难怪题型，重在夯实数系扩充基础，引导回归课本基本定义与运算法则。 考向一 复数的运算 典例1．（2026全国一卷T9）设，则（     ） A． B． C． D． 微点拨：复数除法运算核心是分母实数化，给分子分母同乘分母的共轭复数，利用化简；复数标准形式中，为实部，为虚部；运算关键注意虚数单位符号易错点，细心处理符号变形，避免计算失误。 考向二 复数的模 典例2．2．（2026·北京卷T2）已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 微点拨：复数四则运算重点把握虚数单位运算规律；共轭复数实部相等、虚部互为相反数；复数的模对应复平面内点到原点的距离，运算化简务必注意符号，严格遵循分母实数化运算步骤 考向一 复数的运算 1．（2026·全国二卷T1）（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷T1）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 3．（2025·全国二卷T2）已知，则（   ） A． B． C． D．1 4．（2024·新课标Ⅰ卷T2）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京卷T2）已知，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2026·天津卷T13）化简__________． 7．（2024·天津卷T10）是虚数单位，复数______． 考向二 复数的模 8．（2025·北京卷T2）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 9．（2024·新课标Ⅱ卷T1）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 10．（2025·天津卷T13）已知i是虚数单位，则 ________． 一、单选题 1．（2026·海南三亚·一模），在复平面上对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·湖南长沙·三模）复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 5．（2026·四川眉山·模拟预测）已知复数的共轭复数为，且，则（     ） A．1 B． C．2 D．4 6．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知复数（其中i为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 7．（2026·湖南·三模）在复数范围内，方程的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·山东潍坊·三模）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江西九江·模拟预测）已知复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·云南曲靖二模）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2026·江西宜春·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 13．（2026·安徽合肥·二模）已知复数（，为虚数单位），则（    ） A．当时， B．当为纯虚数时， C．在复平面内对应的点恒在直线上 D．当时， 14．（2026·浙江杭州一模）设为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（    ） A．复数对应点在第一象限 B． C．可能为纯虚数 D． 15．（2026·福建福州·模拟预测）已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 16．（2026·浙江·三模）在复平面内，i为虚数单位，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是_____. 17．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 18．（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 19．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $