专题12 函数新定义型问题（平面直角坐标系、一次函数）（2大题型）（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题12 函数新定义型问题（平面直角坐标系、一次函数） 题型1 平面直角坐标系中的新定义型问题（常考点） 题型2 一次函数中的新定义型问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平面直角坐标系中的新定义型问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫作点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意可得，，再找出规律求解即可． 【详解】点的坐标为 ， 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． 点的坐标与点的坐标相同，为． 故选：B 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）我们给出如下的定义：点先关于轴对称得到点，再将点关于直线（直线上各点的纵坐标都为）对称得点，则称点为点关于轴和直线的二次反射点．已知点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称的点为，则当的面积为1时， ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式．根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可． 【详解】解：根据题意得，，，，   ，， 的面积为1， ， 解得或3， 故答案为：1或3． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)点是“角平分线点”．见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）先根据“长距”的定义求解得到，再据“角平分线点”的定义解答即可； 【详解】（1）解：由题意得：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”， ∵， ∴点的“长距”为5， 故答案为：5； （2）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 4．（24-25八年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“短距”为______； (2)若点是第一象限内的“完美点”，求a的值； (3)若点为“完美点”，求点的“短距”． 【答案】(1)1 (2)5 (3)1或2 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解“短距”和“完美点”的定义是解题关键． （1）根据“短距”的定义和点到坐标轴的距离求解即可得； （2）根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据第一象限内的点的横、纵坐标均大于0求解即可得； （3）先根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据“短距”的定义求解即可得． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 所以点的“短距”为1， 故答案为：1． （2）解：∵点是“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，，此时点的坐标为，位于第一象限内，符合题意； 当时，，此时点的坐标为，位于第二象限内，不符合题意； 综上，的值为5． （3）解：∵点为“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为1； 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为2， 综上，点的“短距”为1或2． 5．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)4 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据“长距”的定义解答即可； 对于（2），根据完美点的定义可得，求出答案； 对于（3），先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可. 【详解】（1）解：因为点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4， 所以点的“长距”为4； 故答案为：4； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：点的长距为5，且点C在第三象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是8， ∴D是“完美点”． 6．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）对于平面直角坐标系内点，我们定义如下变换K：将点M的横坐标m乘以2再减去1，纵坐标n加上3就可以得到新的一点 (1)将点P进行K变换后得到点，则点P坐标为__________； (2)将点P进行K变换后得到点Q，连接，且，试求m的值； (3)已知点，点P在线段上运动不包含点，将点P进行K变换后得到点Q，连接，试求线段长度范围 【答案】(1) (2)或5 (3) 【分析】本题考查了新定义下的图形与坐标变化及一元一次方程应用， （1）根据新定义，列方程解决即可； （2）分两种情况：当点P在点Q右侧或点P在点Q左侧两种情况，分别计算即可； （3）根据垂线段最短及当点P在线段AB端点A处时PQ最长写出范围即可． 【详解】（1）解：设点P的坐标为， 由题意得：， 解得：， 点P坐标为， 故答案为：； （2）当点P在点Q右侧，如图1，过点P，Q分别做坐标轴的垂线，两垂线交于点G， 得到， 由题意得：， ， 点P横坐标为m， 点Q横坐标=点G横坐标， ， 解得：， 当点P在点Q左侧，同样方法可得到， ， 综上：或； （3）解：点P在线段上运动不包含点，点， 设， 则由题意得：， ， 当时最短，此时， 当时最长，此时， ． 7．（25-26八年级上·全国·期末）新定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点的“3属派生点”的坐标为，则点的坐标为________； (3)若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形： （1）根据“k属派生点”的定义即可得； （2）设点的坐标为，根据“k属派生点”的定义列方程组求解即可； （3）根据题意得点的坐标为，点的坐标为，求出和，根据线段的长度为线段长度的2倍列方程求解即可 【详解】（1）解：点的“2属派生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意知， 解得：， 即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵点在轴的正半轴上， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长为到轴距离为， ∵在轴正半轴，线段的长为， ∴，即， ∴． 8．（24-25七年级上·云南保山·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3或9 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）找到x、y轴距离最大为4的点即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （3）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4， ∴点等距的点是； 故答案为： （2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解： 若，此时或， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或1（舍去）； 若，此时， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，k的值为3或9． 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点A的坐标为 ①点，，中，与点A为“等距点”的是____； ②若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在y轴上有一点，连接，，，．若三角形的面积为三角形的面积的倍时，求出b的值． 【答案】(1)①C，D；②点或 (2)或 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可； ②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：C，D； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或 ∴点或 （2）解：∵点与点两点为“等距点” ∴或 解得： ∴，或，（舍去）或，或，（舍去） ∴，或，， 当，时 分别过点E，F向x轴作垂线，垂足为P，Q，过点F向y轴作垂线，垂足为K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴    当，时 与y轴交于点K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，或    10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或或或3 【分析】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面积计算，解题的关键在于根据定义准确计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积． （1）直接应用定义计算坐标； （2）需结合点的位置与坐标关系求解面积； （3）需联立方程并分类讨论绝对值条件． 【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：， 故N的坐标为； 故答案为：， 根据定义：， ，解得； 检验：当时，，成立， 故答案为：3． （2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得， ， ，解得，， ， 的坐标为， ，即N为， O为原点， ． （3）N的坐标为， ， ， ， 验证：，符合题意， 其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或， 因，分情况讨论： 情况一： 即，分四种情况： ①：且（即）， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） ，此时， 方程为：解得，，符合题意； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 不合题意，舍去； ④：且（即且），矛盾，无解； 综上，情况一所有可能的a值为． 情况二： 即|，分四种情况： ①：且（即） ， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） 此时， 方程为：，解得，不合题意，舍去； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 符合题意； ④：且（矛盾），无解， 综上，情况二解为或． 综上所述，的值为或或或3． 题型二 一次函数中的新定义型问题（共12小题） 1．（24-25八年级下·河南安阳·期末）定义新运算：，例如：，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．点在函数图象上 B．图象经过第一、三、四象限 C．函数图象与轴的交点为 D．若点、在函数图象上，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据题目所给新定义，得出该函数的解析式， 再根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， A、把代入得，∴点在函数图象上，故A正确，符合题意； B、∵，∴图象经过第一、二、三象限，故B不正确，不符合题意； C、把代入得，解得，∴函数图象与轴的交点为，故C不正确，不符合题意； D、∵，∴y随x的增大而增大，∵点、在函数图象上，，∴，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）定义：若点中的，满足（为常数，且），则称点为“生长点”，下列各点是一次函数图象上的“生长点”的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，新定义．根据“生长点”的定义，点需满足方程组且，同时位于直线上，需逐一验证选项是否满足条件． 【详解】解：A、 当时，，故点在一次函数图象上，则，，不唯一，不符合题意； B、当时，，故点在一次函数图象上，则，，符合题意； C、当时，，故点在一次函数图象上，则，，不唯一，不符合题意； D、当时，，故点不在一次函数图象上，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象过点 B．该函数可由的图象向下平移3个单位长度得到 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的性质以及一次函数平移的特点是关键．先根据定义得出函数解析式为，再根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向下平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论错误； ，因此y随x的增大而减小，故C选项结论错误； 当时，，当时，，即当时，，故D选项结论正确． 故选：D． 4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）定义：已知一次函数（，为常数，），我们称函数（，为常数，）是一次函数的“相垂函数”．那么一次函数的相垂函数是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴交点，一次函数新定义问题，根据题意得到一次函数的相垂函数是，然后分别令和求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， 那么一次函数的相垂函数是 ∴当时，， ∴一次函数与y轴交于点； 当时，，解得 ∴一次函数与x轴交于点； 故选：C． 5．（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的平移，根据过点，利用点的平移规则，求出经过平移后的点的坐标，代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，本题综合性强，有一定难度． （1）根据题意得出，消去t即可得到； （2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出． 【详解】（1）∵是“好点”， ∴， 消去t得到， 故答案为：； （2）∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得：， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·四川乐山·期末）对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足，则称这个函数是有界函数，其中，M的最小值称为这个函数的边界值． （1）若函数（）是有界函数，请写出其中一个M的取值： ； （2）若函数（，且）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是 ． 【答案】 2（大于等于2即可） 【分析】本题主要考查一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键． （1）根据“有界函数”的定义求解即可； （2）根据可知函数（,且）的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可． 【详解】解：（1）当时， 故M的值为：2（答案不唯一，大于等于2即可） （2）∵ ∴函数（,且）的y随x的增大而增大， ∴当时，函数的函数值为边界值， ∵, ∵边界值小于3 ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：若满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识， （1）根据题意得出，消去t即可得到； （2）根据题意得出，消去t得，由，得出． 【详解】解：（1）∵是“好点”， ∴， 消去t得到， 故答案为：； （2）∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得， ∵ ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值． (2)已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，新定义运算． （1）根据“和谐点”的定义列式计算即可； （2）先求出，进而求出，根据“和谐点”的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ， ； （2）解：存在． 是关于的一次函数和图象的交点， ， 解得． 将代入，得． 点为“和谐点”， ， 解得， 存在的值为，使点为“和谐点”． 10．（23-24八年级下·全国·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点和点当时，，当时，则称点 N 为点 M 的变换点． 例如：点变换点的坐标是，点变换点的坐标是． (1)则点的变换点的坐标是 ； (2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标． (3)已知点M在函数的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)k的取值范围为 【分析】本题考查了一次函数的图象，由函数值求自变量，点坐标等知识．理解题意，数形结合是解题的关键． （1）由，可得进而可求结果； （2）设，当时，，可求，进而可得，则；当时，，可求，进而可得，则； （3）由题意知，上的点的变换点的图象如图所示，当时，，则，当时，，则，当时，，可求，当时，，可求，由变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，数形结合作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴点的变换点的坐标是； 故答案为：； （2）解：设， 当时，， 解得，， ∴， ∴； 当时， 解得，， ∴， ∴； 综上，点M的坐标为或； （3）解：由题意知，上的点的变换点的图象如图所示， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∵变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ， ∴由图象可知，， ∴k的取值范围为． 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：一次函数和(其中、为常数，，)互为“友好函数”．比如和互为“友好函数” (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点也在它的“友好函数”上，求点的坐标． (3)若和它的“友好函数”与轴围成的三角形的面积是2，求值． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，三角形面积问题； （1）根据“友好函数”的定义，可找出的“友好函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值； （2）联立两函数解析式组成方程组，解之即可得出点的坐标； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出两函数图象与轴的交点坐标及两函数的交点坐标，结合三角形的面积公式，即可求出的值． 【详解】（1）解： 的“友好函数”是， 点在一次函数的图象上， ， 解得：． 故答案为：． （2）解：的“友好函数”是， 联立 解得： ∴ （3）的“友好函数”是． 当时，， 一次函数的图象与轴的交点坐标为； 当时，， 一次函数的图象与轴的交点坐标为． 联立 解得： 和它的“友好函数”的交点坐标为， 和它的“友好函数”与y轴围成的三角形的面积是， 解得：或， 的值为或． 12．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）直线与轴、轴分别交于点，无论取何值，直线经过定点． (1)请直接写出定点的坐标； (2)定义：在平面直角坐标系中，将点变换为（为常数），我们把这种变换称为“兔变换”，当时，点，经过“兔变换”后的对应点分别是，若轴，点在轴上，求； (3)在（2）的条件下，点在轴上，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)定点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）将直线化为，即可得到答案； （2）由点经过“兔变换”后对应的点为，可求出的值，再求出的坐标，最后根据三角形的面积公式计算即可； （3）先求出点的坐标，设，则，再由，得到，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 出定点的坐标为； （2）解：当时，， 当时，， ， 点经过“兔变换”后对应的点为， ， 解得：， 点经过“兔变换”后的对应点为，点经过“兔变换”后的对应点为， ， ， ， ， 点在轴上， ， ，， ， 画出草图如图所示： ， ； （3）解：由（2）得，， 当时，， 解得：， ， 点在轴上， 设， 画出草图如图所示： ， ， 由（1）得， ， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 13．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）【定义】对于点，规定，那么就把叫点的“点和数”． 例如：若，则，那么叫的“点和数”． 【概念理解】（）①在平面直角坐标系中，已知点，则以下个点，，中，与点的“点和数”相等的是______； ②若点在直线上，且与点的“点和数”相等，则点的坐标是______． 【尝试应用】（）点是矩形边上的任意点，点，，，，先在如下的平面直角坐标系中画出矩形，这时如果点是直线上的任意点，若存在两点的“点和数”相同，求的取值范围． 【答案】（） ；；（）． 【分析】本题考查了一次函数的性质 ，理解“和合数”定义并运用数形结合思想解答是解题的关键． （1）①分别求出各点的“和合数”，即可求解；②设点，由“和合数”的定义列出方程即可求解； （2）由“和合数”的定义可得点在直线上，结合图形解答即可求解． 【详解】解：（1）①∵点的“和合数”，点的“和合数”，点的“和合数”，点的“和合数”， ∴与点的“和合数”相等的点为点， 故答案为：； ②设点， 由题意可得，， ∴， ∴点， 故答案为：； （2）如图，设点， ∵的“和合数”相同， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∴点是直线与矩形的交点， 当点在直线上时，， ∴， 当点在直线上时，， ∴， ∴当时，存在两点的“和合数”相同， ∴的取值范围为． 14．（23-24八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为，点的坐标为，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、为“同和点”． (1)若点的坐标为． ①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”） ②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________． (2)如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点． ①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________． ②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围． 【答案】(1)①E ② (2)① ② 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点"的定义并运用是解题的关键； （1）由同和点的定义可求解；由同和点的定义可求解； （2）由同和点的定义，列出等式可求解；由同和点的定义，列出等式可得． 【详解】（1）①∵点的坐标为 ∴ ∵点，、 ∴ ∴点的“同和点”的是E ②点在轴上，且、两点为“同和点”， ∴ （2）∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，；当时， ∴ ∵点与点为“同和点”， 设 ∴ ∴ ∴点的坐标为 设 ∵点与点为“同和点”， ∴ ∴ ∵点为线段上一动点 ∴ ∴ 15．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3)，． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，即可求解； ②由的面积，即可求解； （3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解． 【详解】（1）由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式得：，则， 故答案为：，； （2）①∵一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， 则点D是两个函数的交点，即，则，即点； ②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为：、，则 则的面积； （3）设直线交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线， 过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点的延长线于点H， 由直线的表达式知，，即， ∵， 则，则为等腰直角三角形，设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， 即点， 由点D、N的坐标得，直线的表达式为：， 当在E下方时， 则直线和关于对称，则的表达式为： 综上所述，或． 题型三 因式分解法（共3小题） 题型四 公式法（共3小题） 题型五 用适当的方法解方程（共3小题） 题型六 含绝对值的一元二次方程（共2小题） 题型七 换元法（共3小题） 题型八 判断一元二次方程根的情况（共3小题） 题型九 确定字母的取值或范围（共3小题） 题型十 根与系数关系的综合应用（共3小题） 题型十一 与几何图形的综合应用（共4小题） 题型十二 储蓄问题（共2小题） 题型十三 行程问题（共3小题） 题型十四 工程问题（共1小题） 题型十五 进制问题（共1小题） $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题12函数新定义型问题（平面直角坐标系、一次函数） 题型归纳·内容导航 题型1平面直角坐标系中的新定义型问题（常考点） 题型2一次函数中的新定义型问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一平面直角坐标系中的新定义型问题（共3小题）】 1.2425七年级下全国期末)在平面直角坐标系中，对于点Px列，把点) 叫作点P的友好 点.已知点A的友好点为点4，点4的友好点为点A,…这样依次得到点A,A2,A,A4,·,An,若点A的坐标 为行2小则表据友好点的定义，点4的坐标为) A. 62 B.（2,-1 C.（-1,-1 2. (23-24八年级上福建厦门·期末)我们给出如下的定义：点A(x,y)先关于x轴对称得到点A,再将点 A关于直线y=m(直线上各点的纵坐标都为m)对称得点A,则称点A为点A关于x轴和直线y=m的二 次反射点.已知点P(2,3),Q(2,2)关于x轴和直线y=m的二次反射点分别为P,2,点P(2,3)关于直线 x=m(直线上各点的横坐标都为m)对称的点为B,则当△P2P的面积为1时，n= 3.(24-25七年级上·吉林期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值 称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”. (1)点A-3,5)的长距”为； (2)若点C-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-2b,-5),请判断点D是否为“角 平分线点”，并说明理由 4.(24-25八年级上福建三明期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小 值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”. (1)点A(-1,3)的“短距”为； (2)若点B(2a-5,a是第一象限内的“完美点”，求a的值； 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若点C(2b,b-3为“完美点”，求点D(-2,2+b)的“短距”. 5.(24-25七年级下·山东临沂期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较 大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”. (①)点A-4,3)的“长距”为； (2)若点B(3-2a,-1是“完美点”，求a的值； (3)若点C(-2,3b+1)的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为4-2b,-8),试说明：点D是“完美 点” 6.(23-24八年级上江苏苏州·期末)对于平面直角坐标系内点M(m,),我们定义如下变换K:将点M的 横坐标m乘以2再减去1，纵坐标n加上3就可以得到新的一点N(2m-1,n+3 (1)将点P进行K变换后得到点Q(2,-),则点P坐标为 (2)将点P进行K变换后得到点Q,连接PQ,且PQ=5,试求m的值； (3)已知点A-2,0),B(3,0),点P在线段AB上运动（不包含点A,B),将点P进行K变换后得到点Q,连接 PQ,试求线段PQ长度范围 7.(25-26八年级上全国·期末)新定义：对于平面直角坐标系x0y中的点P(a,b),若点P的坐标为 (a+kb,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P为点P的“k属派生点” 例如：P1,4的2属派生点”为P'(1+2×4,2×1+4),即P'(9,6. (1)点P(-1,6)的“2属派生点”P的坐标为 ; (2)若点P的3属派生点”P的坐标为(6,2)，则点P的坐标为 (3)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P,且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的 值. 8.(24-25七年级上·云南保山期末)平面直角坐标系x0y中，对于P,Q两点给出如下定义：若点P到x轴、 y轴的距离中的最大值等于？点到x轴、y轴的距离中的最大值，则称P,Q两点为等距点”.己知点A的 坐标为-4,2). 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1)在点E(0,5),F(-2,3,G(1,4)中，与点A等距的点是 (2)若点B的坐标为m,3),且A,B两点为“等距点”，求点B的坐标； (3)若T(-2,-k-3),T,(6,2k-6)两点为“等距点”，求k的值. 9.(24-25七年级下辽宁大连期末)在平面直角坐标系中，对于P,Q两点给出如下定义：点P到x,y 轴的距离中的最大值等于点Q到x,y轴的距离中的最大值，则称P,Q两点为“等距点”.如点P(3,2)与 Q(-1,3)两点即为等距点. (1)己知点A的坐标为-1,4) ①点B(3,1,C(-2,4,D(-4,1中，与点A为“等距点”的是： ②若点M的坐标为M(m,-m+6),且A,M两点为“等距点”，求出点M的坐标； (2)若点E(-2,n+3与点F(8,2n-5)两点为“等距点”，在y轴上有一点H(0,b),连接EF,OE,0F, PH.若三角形0F的面积为三角形E0F的面积的倍时，采出》的值。 10.(24-25八年级上江苏扬州期末)定义：在平面直角坐标系中，对于点Mx,y),若点N坐标为 (x+2a,-y-2a),我们称点N是点M的等距平移点，其中a为等距平移常量.例如：当a=0时，点 M(3,2)的等距平移点N为3，-2). (1)①当等距平移常量a=-3时，点M坐标为4,3)，则它的等距平移点N的坐标为 ②若点M坐标为-2,1)，它的等距平移点N的坐标为4，-7)，则等距平移常量a= (2)若点M在x轴上，且它的等距平移点N的坐标为-2a+l,-9+4a),其中a为等距平移常量，0为坐标原 点，求aOMN的面积： 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)点M(x,y)的等距平移点是N(x+2a,y2),其中a为等距平移常量，若y-y2=2,且其中一个点到x轴 的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值. 题型二一次函数中的新定义型问题（共12小题） 1.(24-25八年级下河南安阳期末)定义新运算：m☆n=2m-n,例如：2☆3=2×2-3=1，则下列关于 函数y=x+3)☆(-1)的说法正确的是() A.点(-3，)在函数图象上 B.图象经过第一、三、四象限 C.函数图象与x轴的交点为3,0) D.若点(-2，)、(1，y2在函数图象上，则>2 2.(24-25八年级下·福建泉州期末)定义：若点Px,y)中的x,y满足 x=y+t(t为常数，且x≠y), ly=x+t 则称点P为“生长点”，下列各点是一次函数y=2x-4图象上的“生长点”的为() A.（-1,-6 B.(1,-2) C.2,0 D.3,-4) 3.(24-25八年级上·辽宁丹东·期末)定义新运算：m⊕n=-2m+n,则对于函数y=x⊕3，下列说法正确 的是() A.该函数图象过点(2，) B.该函数可由y=-2x的图象向下平移3个单位长度得到 C.y随x的增大而增大 D.当-2<x<-1时，5<y<7 4.(24-25八年级上辽宁锦州期末)定义：已知一次函数y=c+b(k,b为常数，k≠0)，我们称函 数y=- x-2(k,b为常数，k≠0)是一次函数y=+b的相垂函数.那么一次函数=2+4的相 -X- 垂函数是() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(24-25八年级上·上海普陀期末)定义：如果函数图像上的一个点向左平移n个单位，再向上平移 2(n+1个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的可回旋单位” 如果y=-6x是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 2 6.(24-25八年级上浙江杭州期末)定义：若x,y满足x=二1+k,y=-21-3k-3(k为常数)，则称 3 点M(x,y)为“好点 (1)若P(1,m)是“好点”，则m=: (2)在-3<x<6的范围内，若直线y=x+C上存在“好点”，则C的取值范围为 7.(23-24八年级下·四川乐山期末)对某一个函数给出如下定义：若存在正数M,函数值y都满足 y≤M,则称这个函数是有界函数，其中，M的最小值称为这个函数的边界值. (1)若函数y=2x(-1≤x≤1)是有界函数，请写出其中一个M的取值： (2)若函数y=2x+1(a≤x≤b,且a≠b)中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是」 2 8.(23-24八年级上浙江金华期末)定义：若x,y满足x=二1+k,y=-二1- 3 _11-3k-3(k为常数)，则称 510 点M(x,y)为好点”. (1)若P(10,m是“好点”，则m= (2)在-3<x<6的范围内，若直线y=x+C上存在“好点”，则c的取值范围为 9.(24-25八年级下·云南楚雄期末)定义：若两个实数a,b满足a+b=ab,则a与b互为“和谐数”，点 (a,b)为“和谐点”. (1)若V2,k)为“和谐点”，求k的值。 1m+9 (2)已知点(x,y)是关于x的一次函数片，=-3x+3m-8和⅓2=二x 的图象的交点，是否存在实数m,使 2 2 点(x,y)为“和谐点”？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 10.(23-24八年级下.全国·期末)定义：在平面直角坐标系中，对于点M(x,y)和点N(x,y）,当x≥0时， y=-y,当x<0时，y=y+1,则称点N为点M的变换点 例如：点3,2)变换点的坐标是3，-2)，点(-3,2)变换点的坐标是(-3,3) 5/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)则点(4，-5)的变换点的坐标是-： (2)己知点M在函数y=-x+1的图象上，点M的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标. (3)已知点M在函数y=-x+I(-3≤x≤k,k>-3的图象上，其变换点N的纵坐标y的取值范围是 -1≤y≤5，求k的取值范围. 11.（24-25八年级上辽宁沈阳期末)定义：一次函数y=x+b和y=bx+k(其中k、b为常数，k≠0， b≠0)互为“友好函数”.比如y=3x+5和y=5x+3互为“友好函数 (1)已知点P(a,4)在y=-2x+3的“友好函数”上，则a= (2)y=-2x+3上的点Q也在它的“友好函数”上，求点Q的坐标. (3)若y=x+b和它的“友好函数”与y轴围成的三角形的面积是2，求b值. 12.(24-25八年级下·福建龙岩·期末)直线：y=x-3k+3与x轴、y轴分别交于点A、B,无论k取何值， 直线I经过定点M. (1)请直接写出定点M的坐标； (2)定义：在平面直角坐标系xOy中，将点P(x,y)变换为Pax+b,by+a)(a,b为常数)，我们把这种变 该称为绝变接，当，点8c@子小0个■子m+ 经过“兔变换”后的对应点分别是 B,(2,5),C,D,若CC,∥x轴，点D在x轴上，求S△DcD,; (3)在(2)的条件下，点Q在x轴上，连接MQ,若S.Mw0=9S.DcB,求点Q的坐标. 13.(23-24八年级上湖南岳阳期末)【定义】对于点P(x,y),规定x+y=m,那么就把m叫点P的“点 和数” 例如：若P(2,3,则2+3=5，那么5叫P的“点和数”. 6/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 ---↓-1-- -----1--- -H 5-4-3-2-10 1 2345元 2 -3 -4 5 【概念理解】(1)①在平面直角坐标系中，已知点A-2,6),则以下3个点B(3,,C(-1,4),D(-2,-2)中， 与点A的“点和数”相等的是； ②若点N在直线y=x+5上，且与点A的“点和数”相等，则点N的坐标是 【尝试应用】(2)点P是矩形EFGH边上的任意点，点E(-4,3,F(-4,-3),G(4,-3,H(4,3),先在 如下的平面直角坐标系中画出矩形EFGH,这时如果点Q是直线y=~x+b上的任意点，若存在两点P、Q的 “点和数”相同，求b的取值范围， 14.(23-24八年级下·吉林长春期末)在平面直角坐标系中，作如下定义；点P的坐标为x,”),点Q的 坐标为(x2,y2),若x,+y=x2+y2,则称P、Q两点为“同和点”.如图①，点P、为“同和点” s P-- M. 5432-11455432-i0式345 -2 4 -5 图① 图② 1)若点A的坐标为(3，-. ①在点C(0,4),D(-4,2)、E(-3,5)中，是点A的“同和点”的是 （填“C”、“D”或“E”) ②若点B在x轴上，且A、B两点为“同和点”，则点B的坐标为 (2)如图②，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点M、N,点C为线段MN上一动点. ①若点C与点D(-1,4)为“同和点”，则点C的坐标为 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②若存在点E(m,-3与点C为“同和点”，求m的取值范围. 15.(24-25八年级上浙江金华期末)定义：一次函数y=x+b(k≠0且b≠0)和一次函数y=-bx-k为 “逆反函数”，如y=3x+2和y=-2x-3为“逆反函数”.如图1，一次函数Z:y=x-2的图象分别交x轴、 y轴于点A、B. 图1 图2 (1)请写出一次函数的“逆反函数”马的解析式；点C(α，0)在马的函数图象上，则a的值是 (2)一次函数4图象上一点D(m,n)又是它的“逆反函数”Z图象上的点， ①求出D点坐标： ②求出△ACD的面积. (3)如图2，过点D作y轴的垂线段DE,垂足为E,M为y轴上的一点，且∠MDE=∠CDA,请直接写出 直线DM的解析式. 题型三因式分解法（共3小题） 题型四公式法（共3小题） 题型五用适当的方法解方程（共3小题） 题型六含绝对值的一元二次方程（共2小题） 题型士换元法（共3小题） 题型八判断一元二次方程根的情况（共3小题） 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型九确定字母的取值或范围（共3小题） 题型十根与系数关系的综合应用（共3小题） 题型十一与几何图形的综合应用（共4小题） 题型土二储蓄问题（共2小题） 题型土三行程问题（共3小题） 题型土四工程问题（共1小题） 题型土五进制问题（共1小题） 9/9