第四章 一次函数 同步训练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 一、单选题 1．设，关于x的一次函数，当时y的最大值是（   ） A． B． C．k D． 2．某兴趣小组的同学们观察一种植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到（   ）． A．14 B．15 C．16 D．17 3．已知点，是一次函数图象上的两点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．某游泳池水深，现需换水，每小时水位下降，那么换水过程中水深与时间的关系图象表示为（    ） A． B． C． D． 5．下列两个变量间不存在函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 6．如图，三个正比例函数的图象分别对应解析式：①；②；③．将a，b，c从小到大排列为（   ） A． B． C． D． 7．将直线向下平移个单位长度后得到某正比例函数的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在物理实验中，弹簧的长度与悬挂物体的质量之间的关系为．当悬挂物体的质量为（在弹性限度内）时，弹簧的长度为 ． 10．已知一次函数，当时，函数的最大值为 ． 11．下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是 （填序号）． 12．在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是 ． 13．某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于3千米），超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）之间的关系式为 ． 三、解答题 14．（1）如下图，在同一平面直角坐标系内画出正比例函数与的图象． （2）请你用量角器度量一下这两条直线的夹角，你发现这两条直线之间有什么位置关系？ 15．如图，直线与直线交于点E．    (1)求E点坐标； (2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标． 16．某中学计划购买8副乒乓球拍和x本笔记本作为运动会的奖品，文具店出售一副乒乓球拍25元，一本笔记本4元．因预算有限，想尽可能地节省开支，文具店提供了两种优惠方案： 甲方案：每购买一副乒乓球拍，赠送1本笔记本； 乙方案：所有商品按总价的9折出售． (1)分别求出甲方案的实际付款金额与x的函数关系式，以及乙方案的实际付款金额与x的函数关系式； (2)如果你是本次运动会奖品采购员，你将如何选择这两种方案购物更省钱． 17．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到经过的新华书店，买到书后继续去学校．下图所示的是他本次上学所用的时间t（单位：）与离家距离y（单位：）之间的关系．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是________． (2)小明在书店停留了________；本次上学途中，小明一共骑行了________． (3)我们认为骑单车的速度超过就超过了安全限度．问：在整个上学途中，哪个时间段小明的骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查一次函数的增减性，解题关键是根据图像情况比较得到的两个值的大小．根据题意得出，则一次函数中随的增大而减小，将代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵ 又，则， ∴y随着x增大而减小， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，设一次函数为，把点代入得到解析式，再把代入即可求解． 【详解】解：根据函数图象设一次函数为，把点代入得， 解得，， ∴一次函数解析式为， 当时，， 当时，，则该植物达到最高高度， ∴该植物最高长到， 故选C ． 3．C 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出和的大小关系． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又点，是一次函数图象上的两点，， ． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了函数图象，解题关键是知道两个变量的变化规律，判断图象从左至右是上升还是下降，要注意自变量的取值范围．根据两个变量的变化规律，随着时间的增多，剩下的高度就越来越小，由此即可求出答案． 【详解】解：根据两个变量的变化规律，水深随时间的增大而减小， 图象由左到右是匀速下降的， 又因为水深和时间不能取负值； 只有D选项符合题意； 故选：D． 5．D 【分析】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键． 根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意； 故选：D． 6．B 【分析】此题考查正比例函数的性质，根据直线所过象限可得，，，再根据直线陡的情况可判断出，进而得到答案． 【详解】解：根据三个函数图象所在象限可得，，， 再根据直线越陡，越大，可知， ， 故选B． 7．C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的图象及正比例函数的图象，熟知“上加下减”的平移法则及正比例函数的定义是解题的关键．根据“上加下减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再由此时的图象是正比例函数的图象即可解决问题． 【详解】解：由题知，将直线向下平移个单位长度后，所得函数的解析式为． 此函数图象为正比例函数的图象， ， 解得． 故选：． 8．A 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、轴对称的性质，求一次函数的解析式时常用待定系数法，本题的解题关键是作定点的两个对称点． 作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，则，通过轴对称的性质可求出，待定系数法可求出 的直线方程，结合轴对称的性质可得当，在同一直线上时三角形周长最小，与 联立可求出E的坐标即可． 【详解】解：作 点关于直线的对称点，连接 ，于 轴的对称点 ，则 由题意知，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 故，即 是等腰直角三角形， ∵关于对称， ∴， ∴ 轴，， ∴， 则 的周长， 根据两点之间线段最短可得，当 ， 在同一直线上时，三角形周长最小， 设直线 的解析式为， 则 解得 ， ∴直线 的解析式为， 与直线联立得 ， 解得，， ∴， 故选∶A． 9． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是将给定的自变量的值代入函数关系式中求解因变量的值．理解题意，直接把把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵弹簧的长度与悬挂物体的质量之间的关系为． ∴把代入，得， 故答案为：． 10．8 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据时，y随x的增大而减小， 当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：由，得 一次函数的函数值随着x的增大而减小， ∵， ∴当时，函数的最大值为． 故答案为：8． 11．①② 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②， 故答案为：①②． 12．或 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数上点的坐标，分为点B在x轴上和点B在y轴上两种情况，画图证明，，求出点M的坐标，代入直线解析式即可解题． 【详解】解：令点B旋转后的对应点为 当点B在x轴上时， 令点B坐标为， 则 由旋转可知， ，， 所以点M坐标可表示为 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为， 当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N， 令点B坐标为， 由旋转可知， ， 所以， 所以 在和中， ， 所以， 所以， 因为点A坐标为，点B坐标为， 所以，， 所以， 则点M坐标为， 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为 综上所述：点B的坐标为或， 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查函数关系式，理解出租车的收费标准是正确解答的前提． 根据出租车的收费标准，用含有的代数式表示车费即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：； 14．（1）图见解析；（2）两条直线的夹角为，即两条直线互相垂直 【分析】本题考查了初中数学中的正比例函数图象绘制、直线位置关系判断及量角器使用等知识点，解题关键在于理解正比例函数图象过原点的特性，通过选取合适点来准确绘制图象，并能运用量角器正确测量两直线夹角，从而判断其位置关系为垂直． （1）确定两个点，根据两点确定一条直线画线即可； （2）用量角器测量两条直线的夹角，根据角度判断位置关系． 【详解】（1）解：对于，令，得， 所以正比例函数的图象过点； 对于，令，得， 所以正比例函数的图象过点． 函数的图象如图所示． （2）两条直线的夹角为，即两条直线互相垂直． 15．(1) (2)P的坐标为或 (3)点M的坐标为或或或． 【分析】本题考查两条一次函数图象交点以及围成图形面积问题，等腰三角形的性质． （1）直接联立两直线的解析式，解方程组即可； （2）根据P的不同位置情况进行分类讨论即可； （3）分或或三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， ∴； （2）解：由两直线解析式可得，， ， ①当P点在x轴下方时，， 即：， 则， 解得：或（舍去）， 将代入，解得：， ∴； ②当P点在x轴上方时，， 即：， 则， 解得：或（舍去）， 将代入，解得：， ∴； 综上，P的坐标为或．      （3）解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或或． 当时，可知点M的坐标为或； 当时，由等腰三角形三线合一可知，即点M的坐标为； 当时，设， 则， 解得：，即点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 16．(1)甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为，乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为； (2)当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据所给优惠方案分别计算对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求，分三种情况讨论，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得 ； ； 答：甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为；乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为； （2）解：当时，则有： ， 解得， ∴当时，两种方案花费都一样， 当时，则有：， 解得， ∴当时，选择乙方案更省钱， 当时，则有：， 解得， 又∵， ∴当时，选择甲方案更省钱， 答：当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱． 17．(1)1500 (2)4，2700 (3)在时，小明的骑车速度最快，最快速度不在安全限度内 【分析】本题主要考查的是实际问题的函数图象，有理数的加减，有理数的大小比较。 （1）根据函数图象的纵坐标，可直接得到答案； （2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案； 根据函数图象的纵坐标，可得每一段行驶的路程，根据有理数的加法，可求出小明行驶的距离； （3）根据函数图象的纵坐标，可得每一段行驶的路程，根据函数图象的横坐标，可得每一段行驶的时间，根据路程与时间的关系，可得每一段行驶的速度，确定最大速度与300的大小关系，问题即可解答． 【详解】（1）解：根据图象的纵坐标，由出发点是小明的家，可知：小明家到学校的路程是； 故答案为：1500． （2）根据题意，小明在书店停留的时间为从第到第，故小明在书店停留了； 一共行驶的总路程为． 故答案为：4，2700． （3）当时间在时，速度为， 当时间在时，速度为， 当时间在时，速度为． 因为， 所以在时，小明的骑车速度最快，最快速度不在安全限度内． 18．(1)， (2) (3)的周长最小值为． 【分析】（1）把代入，可得，再分别求解的坐标可得，进一步可得答案； （2）如图，由，为等腰三角形且，可得，可得，可得直线为：，再进一步求解即可，当轴时，不符合题意；从而可得答案； （3）如图， 求解，，，设线段向上平移个单位，向右平移个单位，可得，，过作轴于，可得，证明，结合，可得，可得，在直线上运动，且在的内部，作关于直线的对称点，连接，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴正半轴，轴相交于两点， ∴当，， ∴， ∵直线分别与轴，轴相交于两点， ∴当，，当，则， ∴，， ∴，而， ∴； （2）解：如图， ∵，为等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 直线为：， ∴， 解得：， ∴； 当轴时，不符合题意； 综上：． （3）解：如图，∵，，， ∴，，， ∵在的内部， ∴设线段向上平移个单位，向右平移个单位， ∴，， 过作轴于， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴在直线上运动，且在的内部， 作关于直线的对称点，连接， 则， ∴的周长为， 当共线时，的周长最小， 而， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，化为最简二次根式，本题的难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$