专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型（几何模型讲义）数学湘教版2024七年级上册

该初中数学讲义通过“模型提炼-真题解析-拓展应用”的逻辑链构建知识体系，用表格归纳直线交点与平面分割的计数规律，框架图呈现线段与角等量代换的推导过程，清晰梳理4类核心模型的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“问题情境-模型抽象-规律应用”的分层练习设计，如通过“火车线路车票设计”问题强化线段计数模型，结合“机器人取工具”情境培养抽象能力与推理意识。例题涵盖基础计算与综合探究，适配不同层次学生，助力教师实施精准复习，提升学生用数学思维解决实际问题的能力。

专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，即：；故选：C． （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分，∴， ∴．故选B． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，点与点都在线段上，则下列关系中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，根据图象逐项判断即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、，故该选项正确，不符合题意； B、，故该选项正确，不符合题意； C、，，不一定等于，故该选项错误，符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 例2（25-26七年级上·安徽合肥·月考）如图，已知线段，点M是的中点． （1）求线段 （2）在上取一点N，使得，求线段 【答案】 4 9 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，以及线段的和差关系以及线段比例的计算． （1）由线段的和差关系得出的长，再根据线段中点的定义求解即可． （2）先根据线段的比例求出的长，再根据线段的和差关系得出的长即可． 【详解】解：（1）线段， ∴． 又∵点M是的中点． ∴， 即线段的长度是4． 故答案为：4； （2）∵，， ∴． 又∵点M是的中点，， ∴， ∴， 即的长度是9． 故答案为：9． 例3（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的有 个． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，平角的定义，由角平分线的定义可得，，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴，，故②正确； ∴与可以拼成一个直角，故③正确； ∵， ∴与可以拼成一个平角，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 例4（2024七年级上·全国·专题练习）已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，关键是分两种情况讨论进行求值．先根据题意求出，，，再分两种情况进行分析，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 当射线在的内部时，如图： 此时， 当射线在的外部时，如图： 此时． 故答案为：或． 例5（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，被分成，平分，平分，且，求的度数和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了角的定义以及角平分线的定义，根据题意设，，，则，再根据角平分线的定义以及，即可求出的度数和的度数． 【详解】解：设，，，则， 因为平分，平分， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以，． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（24-25七年级下·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， ∴12条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 例2（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）济郑高铁是发改委规划的重要的交通连线．线路走向郑州东－开封－濮阳－山东聊城西－济南西站，线路全长380千米，设计速度350千米/小时，郑济高速铁路全线办理客运业务的车站数为13个，其中，河南段8个、山东段5个：郑州东站－新乡南站－新乡东站－卫辉南站－滑浚站－内黄站－濮阳东站－南乐站－莘县南站－聊城西站－芢平南站－长清站－济南西站，每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为郑州东至济南西往返最多需要准备（    ）张车票． A．78 B．117 C．156 D．234 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段条数的计算，将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段的条数再乘以2即可得到答案． 【详解】解：把这13个车站看作是一条线段上的13个点，根据两点确定一条线段可知，相邻两点之间构成一条线段共有12种情况，隔一个点的两点构成一条线段有11种情况，隔2个点的两点构成一条线段有10种情况，隔3个点的两点构成一条线段有9种情况，……，隔11个点的两点构成一条线段有1种情况， ∴一共可以构成条线段， ∵每两站之间由于方向不同，车票也不同， ∴铁路运营公司要为郑州东至济南西往返最多需要准备张车票， 故选C． 例3（24-25七年级上·甘肃白银·期末）如图，某列火车从白银西站出发，中间经过4个车站才能到达甲地火车站，那么在白银西站和甲地火车站之间，需要安排 种不同的车票（包括往返路线）． 【答案】30 【分析】本题考查线段的定义，根据数线段的方法，分别以、、、、为起点，数清楚线段条数，即可解题． 【详解】解：火车从白银西站出发，中间经过4个车站才能到达甲地火车站， 共有个车站，将其抽象为直线上的6个点， 则直线上线段的条数为：（条）， 每条线段对应往返两种车票，故不同的车票共有（种） 故答案为：30． 例4（2025七年级上·全国·竞赛）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 【答案】3 【分析】本题考查了余角，补角的定义，根据余角，补角的定义逐项判断即可求． 【详解】解：∵， ∴是的余角，故①正确； ∵和互补， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误，不合题意； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：3 例5（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角的和差，平角的定义，角平分线的定义，根据平角的定义可判断①结论；根据平角的定义和角平分线的定义求出，可判断②；根据角的和差和角平分线的定义，可判断③；根据角平分线的定义可判断④；综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，，因无法证明， ∴无法得到， 即无法得出平分，故④错误； 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级上·河南新乡·月考）平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与直线的交点，理解两两相交的含义是解题的关键． 分三种情况讨论：当四条直线都交于一点；当三条直线交于一点；当两条直线两两相交，再结合图形得出答案即可． 【详解】分三种情况讨论：当四条直线都交于一点时，如图所示，有1个交点； 当三条直线交于一点时，如图所示，有4个交点； 当两条直线分别两两相交，如图所示，有6个交点． 综上所述，可以有1或4或6个交点． 故选：C． 例2（2024·安徽·模拟预测）如图，公园里原来有三条相交的笔直小道，且在所有交叉路口处都放置了一个环保垃圾桶，现准备在此基础上再增加两条小道．如果仍在所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，那么最多应增加的环保垃圾桶的数量为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是相交线的运用，关键是理解题意并能把实际问题转化成数学问题来解决． 【详解】条直线最多有个交点， 在5条相交的笔直小道的所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，最多需要10个垃圾桶，即最多应增加的环保垃圾桶的数量为， 故选B． 例3（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分． 【答案】 【分析】本题考查的是简单的规律探究，先例举1条直线最多将平面分成2个部分；而，2条直线最多将平面分成4个部分；而，3条直线最多将平面分成7个部分；而，再总结归纳可得答案． 【详解】解：如图所示，    1条直线最多将平面分成2个部分；而， 2条直线最多将平面分成4个部分；而， 3条直线最多将平面分成7个部分；而， 平面上有8条直线，最多能把平面分成； 故答案为： 例4（2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可． 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点， 故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点， 故答案为：． 例5（2024七年级上·全国·专题练习）观察思考：   （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？ （3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 【答案】（2）6；（3）10，有个不同的角 【分析】（2）根据图1直接数出即可； （3）在图1的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数． 【详解】解：（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，如图1， 则图中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB， 共1+2+3=6个不同的角； （3）在∠AOB内部画3条射线OC、OD、OE，如图2， 在图1 的基础上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE， 共有6+4=10个不同的角； 若在∠AOB内部画n条射线，则有个不同的角． 【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键． 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有 条对角线． 【答案】14 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得，解得， 所以对角线总数为：．故答案为：14． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（   ）边形 A．六角形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【详解】解：从一个多边形的一个顶点出发可以引6条对角线，设多边形边数为n， ，解得．则这个多边形是九边形．故选：D． 例3（24-25·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】A 【详解】解：五边形的对角线共有5×(5−3)=5，故选A． 例4（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)见解析；(2)，(3)场 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； ……∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场）∴总共要比赛场． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键．根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， 故选：A． 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）经过同一平面内任意四点中，两点共可画（　　）条直线 A．1条或3条 B．2条 C．1条或4条 D．1条或4条或6条 【答案】D 【分析】本题主要考查了数直线的条数问题， 分三种情况：四点共线，三点共线，无三点共线时，讨论得出直线的条数即可． 【详解】解：∵当四点共线时，所有点在同一直线上，每两点画的直线均重合， ∴只有1条直线； ∵当三点共线而第四点不共线时，共线三点确定1条直线，第四点与共线三点各确定1条直线， ∴共有条直线； ∵当无三点共线时，每两点确定一条直线， ∴共有条直线． ∴可能画出的直线数为1条、4条或6条． 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的计算，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．根据线段中点的性质得出，根据点在上，且，得到，由即可求解． 【详解】解：∵线段，是中点， ∴， ∵点在上，且， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使得，则的长为（   ） A．5 B．13 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用线段的中点定义可得，再根据已知易得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答 【详解】解：点M是的中点，， ， ， ， ， 的长为； 故选：D 5．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，点B和点C把线段分成三部分，点M是线段的中点，，下列说法：①；②；③，正确的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了线段的和差与中点性质，解题的关键是根据线段比例关系求出各段长度．先设，，，由得，，则；因为是中点，故；；验证，；从而可得答案． 【详解】解：∵点B和点C把线段分成三部分， 设，，， ∵， ∴， ∴， 则， ∵是中点， ∴，故①正确； ，故②正确； ，，故③错误； 故答案为：①②． 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知，点 M 在线段 的延长线上，且线段 ，第一次操作：分别取线段和的中点 ；第二次操作：分别取线段和 的中点 ；第三次操作：分别取线段 和的中点 ．连续这样操作 2024 次，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，线段中点的有关计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：是和的中点， ， 是和的中点， ， 是和的中点， ， ， 发现规律：， 当时，， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有 个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、线段等知识点，发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报是解题的关键． 先发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，再确定线段的条数即可解答． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，因为图中有线段、、、、、、、、、共10条，所以发出警报的点P位置最多有10个． 故答案为：10． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）在平面内，点A，B，C在同一条直线上，点D不在这条直线上．过每两个点画一条直线，共可画出多少条不同的直线？在画出的图中，由以上四点中的任意两点为端点的线段共有多少条？ 【答案】4条；6条 【分析】该题考查了线段和直线，主要利用了“两点确定一条直线”来得到直线的条数，需注意：直线没有端点，线段有两个端点，射线只有一个端点．根据题意画出图形解答即可． 【详解】解：当点A、B、C在一条直线上，点D不在这条直线上时，共有4条直线； 任意两点间可以画一条线段，以四点中的任意两点为端点的线段共有：条线段． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 【答案】(1)①16，8；②14； (2)或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）①根据线段的和差关系求解即可；②先求得，再由点是的中点，可得，可得，最后由可得结果； （2）根据题意，分两种情况，画出图形，当点在点左侧时；当点在点的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， 故答案为：16，8； ②，， ， 点是的中点， ， ， ； （2）分两种情况： 如图所示，当点在点右侧时， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ， ， 如图所示，当点在点左侧时， 由条件可知，， ， 综上所述，的长为或． 10．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）一辆电车在肇源至新肇南路，有肇源站、古恰站、超等站、茂兴站、民意站、新肇站等6个站之间运行，那么该电车需要安排不同的车票有多少种？票价多少种？ 【答案】15种票价，30种车票 【分析】本题主要考查了用代数式表示线段的条数问题， 根据在同一条直线上的n个点可以连接条线段解答即可． 【详解】解：因为有6个车站， 所以有种不同的车票，票价有种． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，P是的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离．根据线段中点的定义，线段的和差关系，根据线段中点定义得出，再根据线段间的和差关系，进行计算即可． 【详解】解：∵，P是的中点， ∴， ∵C、D分别是线段上的点，且，， ∴，， ∴． 12．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分线的定义，互为余角，互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分平分， ， ， ， ∴，故①正确，②错误， ， ， ， ∴与互补，故③正确， ， ∴．故④正确． 故选：D． 13．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③；④．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角、补角的定义，角的和差，由题意得，，，据此逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵三点在同一直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余，故①正确； ∵， ∴与互补，故②正确； ∵， ∴③正确； ∵， ∴④正确； 综上，正确的有个， 故选：． 14．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图所示，都是以O为顶点的直角，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤与的平分线不是同一条射线．以上结论一定正确的有 ．（填正确答案的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查角的和差关系，角平分线的定义．由直角的定义可得，根据角的和差关系，角平分线的定义，逐项判断即可． 【详解】解：都是以O为顶点的直角， ， ， ， 故①正确； 只有当平分时，，， 故②错误； ， ， 故③正确； 平分， ， ， 平分， 故④正确； ， 与的平分线是同一条射线． 故⑤错误； 综上可知，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 16．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是角的和差倍分关系，一元一次方程的应用，掌握“角的和差倍分关系”是解本题的关键. 由，设 再表示利用列方程，再解方程求解 从而可得答案. 【详解】解： ， 设， ， ， ， 解得：， 17．（24-25七年级上·四川泸州·期末）内部任意画一条射线，平分，平分．根据图形填空： (1)______； (2)____________； (3)______+____________； (4)若，则______． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握角的和差计算，角平分线的定义是解题的关键． （1）由角的和差计算即可得出答案； （2）根据题意，由角平分线的定义解答即可； （3）由角平分线的定义可得：，，根据进而得出答案； （4）由（3）得出与的关系解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 故答案为：； （4）解：由（3）可知，， 若， 则． 故答案为：． 18．（2023七年级上·江苏南通·竞赛）如图，点是直线上一点，，平分． (1)作射线，求的度数． (2)若是直线外一点，满足，平分，则求的度数． 【答案】(1)或． (2)或． 【分析】本题考查了角平分线和角的计算，能熟练地运用角的和差列式计算是解此题的关键． （1）分在上方和在下方两种情况画图，进行解答即可； （2）分在上方和在下方两种情况画图，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ 如图，当在上方时， ∵， ∴， ∴， 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为或． （2）当在上方时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 当在下方时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 即的度数为或． 19．（24-25七年级上·重庆开州·期末）如图所示，、、分别是、、内部的一条射线． (1)如图1，平分，平分，已知，，求的度数． (2)如图2，若，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算和角平分线定义，一元一次方程的应用． （1）先根据平分求出的度数，根据计算，最后根据平分即可求出的度数； （2）设，分别用含x的代数式表示出和，建立关于x的方程后解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：因为平分， 所以 因为， 所以 又因为， 所以， 又因为平分， 所以； （2）解：因为， 设，则，， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 20．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 【答案】(1)①；②； (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中间点的理解，角的和差关系，角平分线的定义，熟悉掌握运算方法是解题的关键． （1）①利用中点的关系分别求出和的长，即可解答； ②根据中点的关系解答即可； （2）利用角平分线的定义解答即可； （3）利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：①∵点、分别是、的中点． ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点、分别是、的中点． ∴，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴ ， ； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 21．（24-25六年级下·山东淄博·月考）小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究． 【问题提出】 ①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是________________． ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________． 【变式提升】 ①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________． 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） 【答案】[问题提出]①6；②；[变式提升]①；②；[拓展延伸]①；② 【分析】本题考查了两点间的距离，角的计算，解题的关键是∶ [问题提出]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [变式提升]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [拓展延伸]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解． 【详解】解：[问题提出]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：6； ②∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又， ∴， 故答案为：； [变式提升]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴ ， 又， ∴， 故答案为：； ②∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又， ∴， 故答案为：； [拓展延伸]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴ ， 又， ∴； ②∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又， ∴． 22．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)108，24 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）设，则，根据得出，进而得出，根据绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，进而得出的值； （2）设，分两种情况，求出则，由平分，得出，即可求解； 【详解】（1）解：设，则， ，则， 解得：， ， ∵绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转， （秒）， 故答案为： 108，24 ． （2）解：当在内部，如图所示， 设， ， ， 平分， ， ， ， 即； 当时，在的外部（时，重合）， ， ， ∵平分， ， ， ，即， 综上所述：或． 23．（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知是过点的一条射线，分别平分． (1)当射线在的内部时 ①如图①，若，则_________； ②如图②，若，求的度数（用含的式子表示）； (2)当射线在的外部时，，请借助备用图探究的度数是________（直接写出答案） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，分情况确定射线的位置是解题的关键． （1）①由，求角度即可； ②借助①的角的数量关系即可求得的度数； （2）分情况讨论射线的位置，在（1）的基础上求的度数即可． 【详解】（1）解：①分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②由①知， ， ， 即的度数为； （2）解：射线在的外部分两种情况， 如图③， 分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 如图④， ， ， ， ， ， ， 即的度数为或 故答案为：或 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，点与点都在线段上，则下列关系中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 例2（25-26七年级上·安徽合肥·月考）如图，已知线段，点M是的中点． （1）求线段 （2）在上取一点N，使得，求线段 例3（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的有 个． 例4（2024七年级上·全国·专题练习）已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 例5（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，被分成，平分，平分，且，求的度数和的度数． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（24-25七年级下·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 例2（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）济郑高铁是发改委规划的重要的交通连线．线路走向郑州东－开封－濮阳－山东聊城西－济南西站，线路全长380千米，设计速度350千米/小时，郑济高速铁路全线办理客运业务的车站数为13个，其中，河南段8个、山东段5个：郑州东站－新乡南站－新乡东站－卫辉南站－滑浚站－内黄站－濮阳东站－南乐站－莘县南站－聊城西站－芢平南站－长清站－济南西站，每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为郑州东至济南西往返最多需要准备（    ）张车票． A．78 B．117 C．156 D．234 例3（24-25七年级上·甘肃白银·期末）如图，某列火车从白银西站出发，中间经过4个车站才能到达甲地火车站，那么在白银西站和甲地火车站之间，需要安排 种不同的车票（包括往返路线）． 例4（2025七年级上·全国·竞赛）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 例5（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的是 ． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级上·河南新乡·月考）平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 例2（2024·安徽·模拟预测）如图，公园里原来有三条相交的笔直小道，且在所有交叉路口处都放置了一个环保垃圾桶，现准备在此基础上再增加两条小道．如果仍在所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，那么最多应增加的环保垃圾桶的数量为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 例3（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分． 例4（2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 例5（2024七年级上·全国·专题练习）观察思考：   （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角； （2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？ （3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有 条对角线． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（   ）边形 A．六角形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 例3（24-25·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 例4（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 1．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）经过同一平面内任意四点中，两点共可画（　　）条直线 A．1条或3条 B．2条 C．1条或4条 D．1条或4条或6条 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使得，则的长为（   ） A．5 B．13 C．7 D．8 5．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，点B和点C把线段分成三部分，点M是线段的中点，，下列说法：①；②；③，正确的是 （填序号）． 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知，点 M 在线段 的延长线上，且线段 ，第一次操作：分别取线段和的中点 ；第二次操作：分别取线段和 的中点 ；第三次操作：分别取线段 和的中点 ．连续这样操作 2024 次，则 ． 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有 个． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）在平面内，点A，B，C在同一条直线上，点D不在这条直线上．过每两个点画一条直线，共可画出多少条不同的直线？在画出的图中，由以上四点中的任意两点为端点的线段共有多少条？ 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 10．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）一辆电车在肇源至新肇南路，有肇源站、古恰站、超等站、茂兴站、民意站、新肇站等6个站之间运行，那么该电车需要安排不同的车票有多少种？票价多少种？ 11．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，P是的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，求线段的长． 12．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 13．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③；④．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 14．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 15．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图所示，都是以O为顶点的直角，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤与的平分线不是同一条射线．以上结论一定正确的有 ．（填正确答案的序号） 16．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，，若，求的度数． 17．（24-25七年级上·四川泸州·期末）内部任意画一条射线，平分，平分．根据图形填空： (1)______； (2)____________； (3)______+____________； (4)若，则______． 18．（2023七年级上·江苏南通·竞赛）如图，点是直线上一点，，平分． (1)作射线，求的度数． (2)若是直线外一点，满足，平分，则求的度数． 19．（24-25七年级上·重庆开州·期末）如图所示，、、分别是、、内部的一条射线． (1)如图1，平分，平分，已知，，求的度数． (2)如图2，若，，且，求的度数． 20．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 21．（24-25六年级下·山东淄博·月考）小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究． 【问题提出】 ①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是________________． ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________． 【变式提升】 ①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________． 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） 22．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 23．（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知是过点的一条射线，分别平分． (1)当射线在的内部时 ①如图①，若，则_________； ②如图②，若，求的度数（用含的式子表示）； (2)当射线在的外部时，，请借助备用图探究的度数是________（直接写出答案） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $