专题02 数轴中的九类动点模型（几何模型讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题02 数轴中的九类动点模型 数轴中的动点问题属于七年级上册必考的压轴题型，主要是以数轴作为载体，运用分类讨论的方法和数形结合的做题思维，综合考查学生对数轴上的动点问题的分析与判断能力，从而掌握数形结合的基本思维；在做题时，需要我们掌握点移动的表示方法，例如左移减，右移加；然后针对含时间t的动点问题，学会用t表示距离和动点，最后根据题意列出等量关系，求解即可得到答案（要考虑求出来的t值是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 23 模型9.数轴上的线段移动模型 26 30 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2024·安徽合肥·一模）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题： (1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______； (2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______； (3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？ （2024·浙江台州·一模）操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题： （1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点： （2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点．例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点． ①记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点．I．若m=3，则n= ；II．用含m的代数式表示n= ； ②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数； ③点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作： Q1为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2这样为一次变换： Q3为Q2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4这样为二次变换： Q5为Q4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P与Qn．两点间的距离是4，直接写出n的值．    （2024·湖南株洲·二模）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且．（2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，数轴上两定点A、B对应的数分别为－18和14，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A、B同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒1．5个单位和1．7个单位，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒，……，按如此规律，则它们第一次相遇所需的时间为（    ） A．55秒 B．190秒 C．200秒 D．210秒 例2（24-25七年级上·江苏·期中）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2018次刚好爬到数轴上的原点处，求小虫爬行的起始位置A点所表示的数 . 例3（24-25七年级上·浙江台州·期中）已知蜗牛从点出发，在一条数轴上来回爬行，规定：向正半轴运动记作“+”，向负半轴运动记作“-”，从开始到结束爬行的各段路程（单位：）依次为：+7，-5，-10，-8，+9，-6，+12，+4． （1）若点在数轴上表示的数为-3，则蜗牛停在数轴上何处，请通过计算加以说明； （2）蜗牛在（1）题在数轴上停的位置作以下运动：第1次向左移动1个单位长度至点，第2次从点向右移动2个单位长度至点，第3次从点向左移动3个单位长度至点，第4次从点向右移动4个单位长度至点，…，依此类推．这样第2019次移动到的点在数轴上表示的数为（请直接写出答案）． 模型2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，在一条数轴上点O，A，B三个分别表示数0，，10．点P从点A出发，以每秒1个单位长度速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度速度沿数轴向左运动，运动时间为t（秒），当P为中点时，t的值为 ；当时，t的值为 ． 例223-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 例3（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 模型3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 例2（24-25六年级下·山东威海·期末）已知数轴上的点A，B所对应的数分别为 -2，6，点Q是数轴上的动点，且对应的数为x． (1)点Q到点A和点B的距离和的最小值是 ； (2)若点Q是线段AB的中点，则x的值是 ； (3)若点Q到点A和点B的距离和是12，求x的值． 例3（24-25七年级上·江苏无锡·期中）点在数轴上表示的数是，且满足，多项式是五次四项式． （1）则的值为 ，的值为 ，的值为 ； （2）已知点是数轴上的两个动点，点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，同时点从点出发，以每秒4个单位的速度向左运动： ①若点和点经过秒后，在数轴上的点处相遇，求的值和点所表示的数； ②若点运动到点处，点再出发，则点运动几秒后两点之间的距离为8个单位长度． 模型4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 例2（24-25七年级上·北京朝阳·期末）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 例3（24-25七年级上·四川绵阳·期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　． （3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 模型5.动点往返运动模型 【解题技巧】 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6． (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度； ②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________ 例2（24-25七年级上·辽宁大连·期末）数轴上点A、C表示的数为﹣14、4，甲、乙两点分别从A、C两点出发，同时相向而行，已知甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为3个单位/秒． （1）求相遇点表示的数； （2）数轴上有一点B表示的数为﹣4，甲到达点C后调头返回，求运动多少秒后，甲、乙两点到B点的距离相等． 例3（24-25七年级上·重庆万州·期中）已知：是最小的两位正整数，且满足，请回答问题： （1）请直接写出的值： ，= ． （2）在数轴上所对应的点分别为A、B、C ，点P为该数轴上的动点，其对应的数为，点P在点A与点C之间运动时（包含端点），则AP＝ ，PC＝ ． （3）在（1）（2）的条件下，若点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，当点M运动到B点时，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，N点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，设点M 移动时间为t秒，当点N开始运动后，请用含t的代数式表示M、N两点间的距离． 模型6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 模型7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知： (1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用： (3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 例2（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 例3（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 例2（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    ⑴ 请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A： ，B： ； ⑵ 观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是： ； ⑶ 若将数轴折叠，使得A点与-3表示的点重合，则B点与数 表示的点重合； ⑷ 若数轴上M、N两点之间的距离为2014(M在N的左侧)，且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M: N: ． 例3（24-25七年级上·湖南长沙·期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点，，表示的数分别为，，观察数轴，，两点之间的距离为_______；与点的距离为的点表示的数是_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点合，则与点重合的点表示的数是______；若此数轴上，两点之间的距离为(在的左侧)，且点与点重合时，点点也恰好重合，则，两点表示的数分别是：：_______，_______. (3)若数轴上，两点间的距离为(在左侧)，表示数的点到，两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，，两点表示的数分别为：______，______.(用含，的式子表示这两个数). 模型9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 例2（23-24七年级上·天津南开·阶段练习）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8 ①第_____次滚动后，小圆离原点最远； ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留） 例3（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2021秒时所对应的数是（    ） A．-406 B．-405 C．-2020 D．-2021 2．（24-25七年级上·广东广州·期末）在数轴上，点A对应的数是-6，点B对应的数是-2，点O对应的数是0.动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动。在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（   ） A．PB B．OP C．OQ D．QB 3．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点．动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，．点在移动过程中，第 次移动与点A重合． 4．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上点和点表示的数分别是和，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为秒，当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为 ． 5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，动点A，B，C分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若为常数，则k为 ． 6．（24-25七年级上·山西太原·期中）如图，数轴的单位长度为1，点，表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： (1)请在数轴上标出原点的位置. (2)直接写出点，，，所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ (3)从A，B两题中任选一题作答. A．①若点在数轴上，与点的距离，求点表示的数； ②设动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速向终点运动，运动时间为秒，求点，之间的距离.(用含的代数式表示) B．设点，都从点出发沿数轴的正方向匀速向终点运动.点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒5个单位长度，当点运动到点时点开始运动，设点运动的时间为秒，求点，之间的距离.(用含的代数式表示) 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知在数轴上有、两点，点表示的数为，点在点的左边，且.若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，解决以下问题： (1)写出数轴上点所表示的数； (2)当秒时，写出数轴上点，所表示的数； (3)若点，分别从、两点同时出发，问运动多少秒后点与点相距个单位长度？ 8．（24-25七年级上·广东广州·期中）数轴上点A表示数字6，点B表示数字﹣4 （1）画数轴，并在数轴上标出点A与点B； （2）数轴上一动点C从点A出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度移动，经过4秒到达点E，数轴上另一动点D从点B出发，沿数轴的正方向以每秒1个单位长度的速度移动，经过8秒到达点F，求出点E与点F所表示的数，并在第（1）题的数轴上标出点E，点F； （3）在第（2）题的条件下，在数轴上找出点H，使点H到点E距离与点H到点F距离之和为8，请在数轴上直接标出点H．（不需写出求解过程） 9（24-25七年级上·山东济南·期中）已知是最大的负整数，是的倒数，比小1，且、、分别是点、、在数轴上对应的数．若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度． （1）在数轴上标出点、、的位置； （2）运动前、两点之间的距离为　　　　 　；运动t秒后，点，点运动的路程分别为　　　　 　和　　　　 　； （3）求运动几秒后，点与点相遇？ （4）在数轴上找一点，使点到、、三点的距离之和等于11，直接写出所有点对应的数． 10．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）【新知理解】 如图1，点C在线段AB上，图中有三条线段，分别为线段AB，AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”. （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若线段cm，点C是线段AB的“巧点”，则________cm. 【解决问题】 （3）如图2，已知cm，动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以1cm／s的速度沿BA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止.设运动的时间为ts，当t为何值时，点P为线段AQ的“巧点”，并说明理由. 11．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知a是最大的负整数，b、c满足（b-3）2+|c+4|=0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． （1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，点C表示的数为______； （2）若动点P从C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到点B为5个单位长度？ （3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于13，请写出所有点M对应的数，并写出求解过程． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，数轴上一动点从原点出发，在数轴上进行往返运动，运动情况如下表（注：表格中的表示2到4之间的数）. 运动次数 运动方向 运动路程 数轴上对应的数 第1次 _________ 3 -3 第2次 左 _________ 第3次 _________ _________ 回答下列问题： （1）完成表格； （2）已知第4次运动的路程为. ①此时数轴上对应的数是_________； ②若第4次运动后点恰好回到原点，则这4次运动的总路程是多少？ 13．（24-25七年级上·北京丰台·期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度． （1）求A、B两点的距离为　 　个单位长度． （2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？ （3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？    14．（24-25七年级上·福建福州·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）A，B两点之间的距离是 ； （2）设点P在数轴上表示的数为x，则x与-4之间的距离表示为 ； （3）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； （4）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； （5）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？ 15．（24-25七年级上·重庆·期末）已知在 数轴上对应的数分别用表示，且.是数轴的一动点.     ⑴在数轴上标出的位置，并求出之间的距离； ⑵数轴上一点距点24个单位的长度，其对应的数满足，当点满足时，求点对应的数. ⑶动点从原点开始第一次向左移动1个单位，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，……点能移动到与或重合的位置吗？若能，请探究第几次移动时重合；若不能，请说明理由. 16．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）已知，A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且（a﹣20）2+|b+10|＝0，P是数轴上的一个动点． （1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离； （2）已知线段OB上有点C且|BC|＝6，当数轴上有点P满足PB＝2PC时，求P点对应的数； （3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，……．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若不能，请直接回答；若能，请直接指出，第几次移动，与哪一点重合． 17．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，在数轴上点A表示数-20，点C表示数30，我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记． 比如，点A与点B之间的距离记作AB，点B与点C之间的距离记作BC．..... （1）点A与点C之间的距离记作AC，求AC的长； 若数轴上有一点D满足CD=AD，求D点表示的数； （2）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A、C在数轴上运动，点A、C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为秒. ①若点A向右运动，点C向左运动，AB=BC，求的值. ②若点A向左运动，点C向右运动，的值不随时间的变化而改变，求的值. 18．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）已知：a是最小的正整数，且a，b，c满足|a+b|+（c﹣5）2=0，请回答问题． （1）请直接写出a、b、c的值； （2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|﹣2|x+4|（请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒n（n＞0）个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点A与点C之间的距离表示为AC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 19．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）点A,B在数轴上分别表示有理数a，b，A,B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A,B两点距离AB=|a﹣b|．已知数轴上两点A,B对应的数分别为-1,3.点P为数轴上一动点，其对应的数为x，A,B两点之间的距离是 .设点P在数轴上表示的数为x，则x与-4之间的距离表示为 . .若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为 . 若点P到点A、点B的距离之和为8，则点P对应的数为 . 现在点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？ 20．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知数轴上有A、B两个点． （1）如图1，若AB=a，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且，则AC=　 　，CB=　 　，MC=　 　（用含a的代数式表示）； （2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20． ①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：MB=3BN． ②现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴中的九类动点模型 数轴中的动点问题属于七年级上册必考的压轴题型，主要是以数轴作为载体，运用分类讨论的方法和数形结合的做题思维，综合考查学生对数轴上的动点问题的分析与判断能力，从而掌握数形结合的基本思维；在做题时，需要我们掌握点移动的表示方法，例如左移减，右移加；然后针对含时间t的动点问题，学会用t表示距离和动点，最后根据题意列出等量关系，求解即可得到答案（要考虑求出来的t值是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 23 模型9.数轴上的线段移动模型 26 30 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2024·安徽合肥·一模）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题： (1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______； (2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______； (3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？ 【答案】(1)4 (2)1 (3)终点表示数是（a﹣m+n） 【分析】（1）根据-3点为A，右移7个单位得到B点为-3+7=4，则可以得出答案； （2）根据3表示为A点，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点为3-7+5=1，可以得出答案； （3）方法同（2），根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．． 【详解】（1）∵点A表示数﹣3， ∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4， 故答案是：4； （2）∵点A表示数3， ∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度， 那么终点表示的数是3﹣7+5＝1； 故答案是：1； （3）∵A点表示的数为a， ∴将A点向左移动m个单位长度，再向右移动n个单位长度， 那么终点表示数是（a﹣m+n）． 【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键． （2024·浙江台州·一模）操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题： （1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点： （2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点．例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点． ①记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点．I．若m=3，则n= ；II．用含m的代数式表示n= ； ②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数； ③点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作： Q1为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2这样为一次变换： Q3为Q2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4这样为二次变换： Q5为Q4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P与Qn．两点间的距离是4，直接写出n的值．    【答案】（1）见解析；（2）①I，1；II 4-m ②；③2或6． 【分析】（1）在数轴上描点； （2）由基准点的定义可知，； （3）（3）设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，由题可知Q1与Q是基准点，Q2与Q1关于原点对称，Q3与Q2是基准点，Q4与Q3关于原点对称，… 由此规律可得到当n为偶数，Qn表示的数是m+8-2n，P与Qn两点间的距离是4，则有|m-m-8+2n|=4即可求n； 【详解】解：（1）如图所示，    （2）①Ⅰ．∵2是基准点，m=3，3到2的距离是1，所以到2的距离是1的另外一个点是1， ∴n=1； 故答案为1； Ⅱ．有定义可知：m+n=4， ∴n=4-m； 故答案为：4-m ②设点M表示的数是m， 先乘以23，得到23m， 再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N为23m+2， ∵点M与点N互为基准等距变换点， ∴23m+2+m=4， ∴m=； ③设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，如图，    由题可知Q1表示的数是4-(m+8)，Q2表示的数是-4+(m+8)，Q3表示的数是8-(m+8)，Q4表示的数是-8+(m+8)，Q5表示的数是12-(m+8)，Q6表示的数是-12+(m+8)… ∴当n为偶数，Qn表示的数是-2n+（m+8）， ∵若P与Qn两点间的距离是4， ∴|m-[-2n+(m+8)]|=4， ∴n=2或n=6． 【点睛】本题考查新定义，数轴上数的特点；能够理解基准点的定义是解决问题的基础，从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的；（3）中找到Q的变换规律是解题的关键． （2024·湖南株洲·二模）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且．（2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； 【答案】；；；；；秒或秒 【详解】解：，线段的长为； 是最大的负整数，， ､满足，，解得：，，， 又，；故答案为：；；；； 解：秒后点到达的位置是，点到达的位置是， 当､两点之间的距离为个单位长度时，可得：， 整理得：，解得：或， 答：当运动秒或秒时､两点之间的距离为个单位长度 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，数轴上两定点A、B对应的数分别为－18和14，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A、B同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒1．5个单位和1．7个单位，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒，……，按如此规律，则它们第一次相遇所需的时间为（    ） A．55秒 B．190秒 C．200秒 D．210秒 【答案】B 【分析】根据两点间的距离，可得BA的长，根据爬行的规律，可得以后每两次可以前进3.2，可得爬行的总次数，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】AB之间的距离为14-（-18）=32， 第一次相向爬行1秒后，两只蚂蚁相距32-1×（1.5+1.7）=28.8， 以后每两次可以前进3.2， ∴28.8÷3.2=9， 则最后一次是第19次，即甲乙两只电子蚂蚁相向爬行19秒， 故第一次相遇的时间为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=（1+19）19÷2=190（秒）， 答：它们第一次相遇时所需的时间为190秒． 故选B. 【点睛】本题考查了数轴，根据爬行的规律得出前进的速度，爬行的总次数是解题关键． 例2（24-25七年级上·江苏·期中）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2018次刚好爬到数轴上的原点处，求小虫爬行的起始位置A点所表示的数 . 【答案】1009 【分析】根据题意列式计算即可． 【详解】解：1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15-16+24-25+24-25+…-2018=-1009 小虫爬行的起始位置A点所表示的数是1009． 故答案为1009． 【点睛】本题考查了数轴，正确的理解题意是解题的关键． 例3（24-25七年级上·浙江台州·期中）已知蜗牛从点出发，在一条数轴上来回爬行，规定：向正半轴运动记作“+”，向负半轴运动记作“-”，从开始到结束爬行的各段路程（单位：）依次为：+7，-5，-10，-8，+9，-6，+12，+4． （1）若点在数轴上表示的数为-3，则蜗牛停在数轴上何处，请通过计算加以说明； （2）蜗牛在（1）题在数轴上停的位置作以下运动：第1次向左移动1个单位长度至点，第2次从点向右移动2个单位长度至点，第3次从点向左移动3个单位长度至点，第4次从点向右移动4个单位长度至点，…，依此类推．这样第2019次移动到的点在数轴上表示的数为（请直接写出答案）． 【答案】(1) 蜗牛停在数轴上的原点；(2) 【分析】(1)用-3依次加上所给的各有理数，然后根据正负数的意义即可知道蜗牛停在数轴上何处； (2)根据数轴上点的坐标变化和平移规律，分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律，写出表达式就可解决问题． 【详解】(1)依题意得 ， ∴蜗牛停在数轴上的原点； (2)由(1)得，蜗牛停在原点， 第1次点蜗牛向左移动1个单位长度至点B，则B表示的数，； 第2次从点B向右移动2个单位长度至点C，则C表示的数为； 第3次从点C向左移动3个单位长度至点D，则D表示的数为； 第4次从点D向右移动4个单位长度至点E，则点E表示的数为； 第5次从点E向左移动5个单位长度至点F，则F表示的数为； …； 由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：， 当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：， ∴第2019次移动到的点在数轴上表示的数为：． 【点睛】本题主要考查了用正负数可以表示具有相反意义的量，数轴与有理数的对应关系，数轴上点的坐标变化和平移规律，对一列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决本题的关键． 模型2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，在一条数轴上点O，A，B三个分别表示数0，，10．点P从点A出发，以每秒1个单位长度速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度速度沿数轴向左运动，运动时间为t（秒），当P为中点时，t的值为 ；当时，t的值为 ． 【答案】 6 或 【分析】先求出AB的长，进而即可求出P为中点时，t的值，再求出PQ=|12-4t|，进而即可求时，t的值． 【详解】∵点O，A，B三个分别表示数0，，10， ∴AB=10-（-2）=12，， ∴P为中点时，t的值为：6÷1=6（秒）； ∵t秒后，点P表示的数为：-2+t，点Q表示的数为：10-3t， ∴PQ=|(10-3t)-( -2+t) |=|12-4t|=，解得：t=或， 故答案是：6；或． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用，根据题意表示出P，Q所对应的数以及PQ的长，是解题的关键． 例223-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 例3（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 模型3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键． （1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解； （2）运用两点之间距离的计算即可． 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 例2（24-25六年级下·山东威海·期末）已知数轴上的点A，B所对应的数分别为 -2，6，点Q是数轴上的动点，且对应的数为x． (1)点Q到点A和点B的距离和的最小值是 ； (2)若点Q是线段AB的中点，则x的值是 ； (3)若点Q到点A和点B的距离和是12，求x的值． 【答案】(1)8 (2)2 (3)8或-4 【分析】（1）根据图可知，点Q在A，B两点之间时， 点Q到点A和点B的距离和最小即可求解； （2）若点Q是线段AB的中点，则根据中点为A，B两点的值相加除以2即可求解； （3）分两种情况讨论：若点Q在点B的右侧，若点Q在点A的左侧，根据题意列方程可得； 【详解】（1）由图可知，点Q在A，B两点之间时， 点Q到点A和点B的距离和最小，最小值是2+6=8； 故答案为：8； （2）若点Q是线段AB的中点，则 ， 故答案为：2； （3）分两种情况讨论： 若点Q在点B的右侧，由题意可得 x-6+x-（-2）=12． 解得x=8． 若点Q在点A的左侧，由题意可得 6-x+（-2）-x=12． 解得x=-4． 综上所述，x的值是8或-4． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，数轴上两点的中点的表示，以及线段的和差计算；解题的关键是画出数轴，找等量关系，根据题意列方程． 例3（24-25七年级上·江苏无锡·期中）点在数轴上表示的数是，且满足，多项式是五次四项式． （1）则的值为 ，的值为 ，的值为 ； （2）已知点是数轴上的两个动点，点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，同时点从点出发，以每秒4个单位的速度向左运动： ①若点和点经过秒后，在数轴上的点处相遇，求的值和点所表示的数； ②若点运动到点处，点再出发，则点运动几秒后两点之间的距离为8个单位长度． 【答案】(1)；；；(2)①t的值为4，点D所表示的数是4；②点Q运动秒或秒后两点之间的距离为8个单位长度 【分析】(1)利用偶次方及绝对值的非负性，可求出的值，再利用多项式的定义可求出的值； (2)①当运动时间为t秒时，点P所表示的数是，点Q所表示的数是，由点P，Q相遇，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； ②当运动时间为t秒时，点P所表示的数是，点Q所表示的数是，由，可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】(1)∵，即， ∴，， ∴，； ∵多项式是五次四项式， ∴，， ∴． 故答案为：；；； (2)①当运动时间为t秒时，点P所表示的数是，点Q所表示的数是， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：t的值为4，点D所表示的数是4； ②当运动时间为t秒时，点P所表示的数是，点Q所表示的数是， 根据题意得：， 解得：． 答：点Q运动秒或秒后两点之间的距离为8个单位长度． 【点睛】本题考查了偶次方的非负性、绝对值的非负性、多项式、数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)利用偶次方、绝对值的非负性及多项式的定义，求出a，b，c的值；(2)①由点P，Q相遇找出关于t的一元一次方程；②由PQ=8找出关于t的含绝对值符号的一元一次方程． 模型4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式， （1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可； （2）根据点的运动得出代数式即可； （3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 解题的关键是要运用分类讨论的思想． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意可知，E点对应的数为：， F对应的数为， 故答案为：，； （3）解：在相遇前：， 设时E、F相遇， 即； 解得， ①当E点在F点左侧时，且F点没动时， 由题意可得，， 解得：， ②当E点在F点左侧时，且F点已动时， ， 解得：， ③当点E在点F右侧时， 由题意， 解得：， 综上所述，符合条件的t的值为：． 例2（24-25七年级上·北京朝阳·期末）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 【答案】(1)1，3 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可； （2）分为线段在线段左侧或线段在线段右侧两种情况进行讨论即可； （3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=1， ∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=3， 故答案为：1，3． （2）当线段在线段左侧时： （线段，线段）， 解得：， 当线段在线段右侧时： （线段，线段）， 解得：， 综上：或． （3）当时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则， 当时，点C表示的数为2t,点D表示的数为,则，成立； 当时，点C表示：2，点D表示：， 此时：（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：4，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∴， ∵时，点C表示：6，点D表示：， ∴（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∵当时，点C表示：8，点D表示：， ∴（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在6和8之间；点D表示：，在2和6之间， ∴此时：（线段，线段）， 或（线段，线段）， 解得：， ∴， 当时，点C表示：10，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在8和10之间；点D表示：，在和4之间， ∴此时，，则当时，（线段，线段）， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 例3（24-25七年级上·四川绵阳·期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　． （3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒 【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关， ∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3） ＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3） ＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15， ∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0， 解得b＝﹣20，a＝12； （2）设运动时间为t秒． 由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t， 故答案为：12﹣6t，﹣20+2t； （3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒， 相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝； 相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒）， 相遇点为﹣20+2×4＝﹣12， 点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝； 由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t． 当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝； 当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝． 答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒 【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． 模型5.动点往返运动模型 【解题技巧】 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6． (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒． ①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度； ②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________ 【答案】(1)见解析； (2)①4 ，2 ，4；②或或或 【分析】（1）根据题意画出数轴即可； （2）①先求出当时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①当时，P点表示的数为6-4=2， ∴，，， 故答案为：4、2、4； ②当P从C向A运动，时， ，，， ∵， ∴， 解得； 当P从C向A运动，时， ，，， ∵， ∴， 解得； 当P从A向C运动时，当时， ，，， ∵， ∴， 解得； 当P从A向C运动时，当时， ，，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或或或． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解． 例2（24-25七年级上·辽宁大连·期末）数轴上点A、C表示的数为﹣14、4，甲、乙两点分别从A、C两点出发，同时相向而行，已知甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为3个单位/秒． （1）求相遇点表示的数； （2）数轴上有一点B表示的数为﹣4，甲到达点C后调头返回，求运动多少秒后，甲、乙两点到B点的距离相等． 【答案】（1）相遇点表示的数为 ；（2）运动秒或2秒或秒或18秒后，甲、乙两点到B点的距离相等． 【分析】（1）先根据数轴的定义求出相遇时，甲、乙分别走过的路程，再根据时间相等建立方程求解即可； （2）先求出甲到达C的时间，再分甲到达C之前和甲到达C后调头返回两种情况，然后利用数轴的定义确定甲、乙所表示的数，最后根据到B点的距离相等建立方程求解即可. 【详解】（1）设相遇点表示的数为x 由题意得： 解得： 答：相遇点表示的数为； （2）甲到达C的时间为：（秒） 设运动时间为t秒 当时，甲表示的数为，乙表示的数为 由题意得：，即 化简得：或 解得：或； 当时，甲表示的数为，乙表示的数为 由题意得：，即 化简得：或 解得：或 答：运动秒或2秒或秒或18秒后，甲、乙两点到B点的距离相等. 【点睛】本题考查了数轴的定义的应用，较难的是（2），依据题意，分两种情况，正确建立方程是解题关键. 例3（24-25七年级上·重庆万州·期中）已知：是最小的两位正整数，且满足，请回答问题： （1）请直接写出的值： ，= ． （2）在数轴上所对应的点分别为A、B、C ，点P为该数轴上的动点，其对应的数为，点P在点A与点C之间运动时（包含端点），则AP＝ ，PC＝ ． （3）在（1）（2）的条件下，若点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，当点M运动到B点时，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，N点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，设点M 移动时间为t秒，当点N开始运动后，请用含t的代数式表示M、N两点间的距离． 【答案】（1）a=-26，b=-10，c=1； （2）AP=m+26，PC=10-m； （3）分五种情况：①当16＜t≤24时， MN= -2t+48；②当24＜t≤28时， MN=2t-48；③当28＜t≤30时， MN=-4t+120；④当30＜t≤36时， MN=4t-120；⑤当36＜t≤40时， MN=3t-84. 【分析】（1）根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以解答本题； （2）根据数轴上两点的距离公式：AB=xB-xA，可以表示AP和PC的长； （3）先计算t的取值，因为点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，且AC=36，所以需要36秒完成，又因为当点M运动到B点时，即16秒后，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，所以点N还需要运动24秒，所以一共需要40秒，再分别计算M、N两次相遇的时间，分五种情况讨论，根据图形结合数轴上两点的距离表示MN的长． 【详解】解：（1）∵c是最小的两位正整数，a，b满足（a+26）2+|b+c|=0， ∴c=10，a+26=0，b+c=0， ∴a=-26，b=-10，c=10， 故答案为-26，-10，10； （2）∵点P为点A和C之间一点，其对应的数为x()， ∴AP=m+26，PC=10-m； 故答案为m+26，10-m； （3）点N运动的总时间为：2（36÷3）=12×2=24， 此时，t=24+16=40， 设t秒时，M、N第一次相遇， 3（t-16）=t， t=24， 分五种情况： ①当16＜t≤24时，如图1，M在N的右侧，此时MN=t-3（t-16）=-2t+48， ②当24＜t≤28时，如图2，M在N的左侧，此时MN=3（t-16）-t=2t-48， ③M、N第二次相遇（点N从C点返回时）：t+3（t-16）=36×2， t=30， 当28＜t≤30时，如图3，点M在N的左侧，此时MN=36×2-t-3（t-16）=-4t+120， ④当30＜t≤36时，如图4，点M在N的右侧，此时MN=3（t-16）-36-（36-t）=4t-120， ⑤当36＜t≤40时，如图5，点M在点C处，此时MN=3（t-16）-36=3t-84， 【点睛】本题考查非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，有难度，属于中考常考题型． 模型6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 模型7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知： (1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用： (3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 【答案】(1)， (2)；； (3)存在t为4或，使等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据材料阅读，即可求解； （2）根据材料阅读，可表示和，即可求解； （3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q到达点A之前时， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，          解得：； 当点Q到达点A返回时，此时， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴               ∴                              ∴存在t的值为4或，使等式成立． 例2（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 【答案】(1)不是 (2)或者 (3) 【分析】（1）根据关联点的定义，即可； （2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点的位置，求出满足的值； （3）设点表示的数为，根据关联点的定义，得出用，，表示的代数式，再由点运动时，式子为定值，得关于的代数式中的系数为，即可求出，的数量关系． 【详解】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为， ∴，， ∴， ∵不是整数， ∴原点不是“整关联点”． 故答案为：不是． （2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，， ∴，， ∴， 若点是“整关联点”， ∴， 当点在线段之间，， ∴点表示的数为：； 当点在线段的延长线上，， ∴， ∴点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或者． 故答案为：或者． （3）设点表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上， ∴，；，， ∴，， ∴， 当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值， ∴， 解得：， ∴整数，满足的数量关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义、数轴的知识，解题的关键的掌握数轴上两点的距离，动点问题，线段的数量关系，理解新定义的概念． 例3（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A，B在数轴上所对应的数互为相反数，见解析 (2)①见解析；②当或时，的值与无关 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）利用绝对值的非负性即可求解； （2）①运动t秒后点在数轴上所表示的数为，由可得点在数轴上所表示的数为0，进一步可推出，即可求解；②分类讨论当点位于点的右侧时和当点位于点的左侧时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：点A，B在数轴上所对应的数互为相反数．理由如下： ， ，，， ，，， 点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． （2）解：①运动t秒后点在数轴上所表示的数为． 由（1）可知点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． ， 点在数轴上所表示的数为0， ，即， ， ∵， ． ②点C从原点出发，运动秒后，点在数轴上表示的数为， ，． 当点位于点的右侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 当点位于点的左侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 综上所述，当或时，的值与无关． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【答案】(1)3 (2)，4.5 (3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， ∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边， ∴点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，4.5； （3）解：根据题意，， 点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度． 例2（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    ⑴ 请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A： ，B： ； ⑵ 观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是： ； ⑶ 若将数轴折叠，使得A点与-3表示的点重合，则B点与数 表示的点重合； ⑷ 若数轴上M、N两点之间的距离为2014(M在N的左侧)，且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M: N: ． 【答案】（1）1，-2.5；（2）-3或5；（3）0.5；（4）-1008，1006 【分析】（1）（2）观察数轴，直接得出结论； （3）A点与-3表示的点相距4单位，其对称点为-1，由此得出与B点重合的点； （4）对称点为-1，M点在对称点左边，距离对称点2014÷2=1007个单位，N点在对称点右边，离对称点1007个单位，由此求出M、N两点表示的数． 【详解】解：（1）由数轴可知，A点表示数1，B点表示数-2.5． 故答案为：1，-2.5； （2）A点表示数1，与点A的距离为4的点表示的数是：-3或5． 故答案为：-3或5； （3）当A点与-3表示的点重合，则B点与数0.5表示的点重合． 故答案为：0.5； （4）由对称点为-1，且M、N两点之间的距离为2014（M在N的左侧）可知， 点M、N到-1的距离为2014÷2=1007， 所以，M点表示数-1-1007=-1008，N点表示数-1+1007=1006． 故答案为：-1008，1006． 【点睛】本题考查的是数轴．熟知数轴上两点间的距离公式，利用数形结合求出答案是解答此题的关键． 例3（24-25七年级上·湖南长沙·期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点，，表示的数分别为，，观察数轴，，两点之间的距离为_______；与点的距离为的点表示的数是_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点合，则与点重合的点表示的数是______；若此数轴上，两点之间的距离为(在的左侧)，且点与点重合时，点点也恰好重合，则，两点表示的数分别是：：_______，_______. (3)若数轴上，两点间的距离为(在左侧)，表示数的点到，两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，，两点表示的数分别为：______，______.(用含，的式子表示这两个数). 【答案】（1）1；4或-2（2）0；-11,9；（3） 【分析】（1）由数轴可知BC之间的距离；与点的距离为的点表示的数分两种情况，利用两点之间的距离计算方法直接计算得出答案即可； （2）A点与C点重合，得出对称点为-,1，然后利用两点之间的距离计算方法列式计算得出答案即可； （3）根据（2）的计算方法，然后分别列式计算即可得解. 【详解】（1），两点之间的距离为1； 与点的距离为的点表示的数是1+3=4或1-3=-2， 故答案为1；4或-2 （2）与B点重合的点表示的数是： ； 故答案为0；-11,9； （3） 故答案为. 【点睛】本题主要考查数轴以及数轴上点之间的距离计算公式，难度较大，属于压轴题，熟练掌握点之间的距离计算公式是解题关键. 模型9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 例2（23-24七年级上·天津南开·阶段练习）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8 ①第_____次滚动后，小圆离原点最远； ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留） 【答案】（1）；（2）①6，② 【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长； （2）①分别计算出第几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；②根据计算总路程即可． 【详解】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动一周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是． （2）①第1次滚动后，， 第2次滚动后，， 第3次滚动后，， 第4次滚动后，， 第5次滚动后，， 第6次滚动后，， 则第6次滚动后，小圆离原点最远． ②， ∴当小圆结束运动时，小圆运动的路共有． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标减的关系，是解题的关键． 例3（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6． 【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可； （2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可； （3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可. 【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5， ∴点H表示的数为：， ∵两点之间的距离为12， ∴点D表示的数为：， ∵长方形的长是4个单位长度， ∴点A表示的数为：， 故答案为：； （2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x； ①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点， 则有， 解得x＝2 ； ②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇， 则有7﹣3x＝﹣9+4x 解得：x＝ 综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ； （3）设长方形ABCD运动的时间y为秒， ①当重叠部分为长方形EFCD时， DE=−7+2y−5= 2y−12 ∴ 2(2y−12) = 6，     解得：y = 7.5； ②当重叠部分为长方形CDHG时， HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y， ∴ 2(24−2y) = 6，     解得：y =10.5； 综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6. 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键. 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2021秒时所对应的数是（    ） A．-406 B．-405 C．-2020 D．-2021 【答案】B 【分析】根据每向左运动3秒就向右运动2秒，也就是每经过3+2秒就向左移动1个单位，解答即可． 【详解】解: ∵每向左运动3秒就向右运动2秒，即每经过3+2秒就向左移动1个单位， ∴2021÷5=404……1，即经过404个5秒后，又经过1秒的左移， ∴404+1=405个单位， ∴动点运动到第2021秒时所对应的数是-405， 故选B． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是根据题目给出的条件，找出规律． 2．（24-25七年级上·广东广州·期末）在数轴上，点A对应的数是-6，点B对应的数是-2，点O对应的数是0.动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动。在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（   ） A．PB B．OP C．OQ D．QB 【答案】C 【分析】设运动时间为t秒，根据题意可知，，，然后分分类讨论：①当动点P、Q在点O左侧运动时，②当动点P、Q运动到点O右侧时，利用各线段之间的和、差关系即可解答. 【详解】解：设运动时间为t秒， 由题意可知：，，，， ①当动点P、Q在点O左侧运动时， ， ∵， ∴； ②当动点P、Q运动到点O右侧时， ， ∵， ∴， 综上所述，在运动过程中，线段PQ的长度始终是线段OQ的长的整数倍， 故选：C. 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题及数轴上两点间的距离，解题时注意分类讨论的运用. 3．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点．动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，．点在移动过程中，第 次移动与点A重合． 【答案】15 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题． 求出每次移动后点P对应点所表示的数，从而得到这些数的规律，再结合点A、B表示的数即可解答． 【详解】第一次移动P的对应点表示的数为， 第二次移动点P所得的对应点表示的数为， 第三次移动点P所得的对应点表示的数为， 第四次移动点P所得的对应点表示的数为， 第五次移动点P所得的对应点表示的数为， 第六次移动点P所得的对应点表示的数为， 第n次移动点P所得的对应点表示的数为， 观察发现：当n为奇数时，点P对应的数为奇数n； 当n为偶数时，点P对应的数为偶数， ∵，，且， ∴，解得 ∴点A表示的数是15，点B表示的数是， ∴当仅当时，点表示的数为15，第15次移动点P所得的对应点P与点A重合． 4．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上点和点表示的数分别是和，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为秒，当动点到点的距离等于动点到点的距离时，的值为 ． 【答案】或/9或3 【分析】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解数轴上两点之间的距离是解题的关键．点表示的数为，点表示的数为，可得点到点的距离为，点到点的距离为，列方程即可解答． 【详解】解：根据题意，点表示的数为，点表示的数为， 表示的数是， 点到点的距离为，点到点的距离为， ， 解得：或， 故答案为：或． 5．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，动点A，B，C分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若为常数，则k为 ． 【答案】2 【分析】运动t秒后，点P在数轴上表示的数为-15+t，点M在数轴上表示的数是5+2t，点N在数轴上表示的数是9+4t，分别表示出PM=20+t，MN=2t+4，再代入，根据为常数，得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，点P在数轴上表示的数为-15+t，点M在数轴上表示的数是5+2t，点N在数轴上表示的数是9+4t， 则PM=20+t，MN=2t+4， 为常数， 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴上点的位置关系，根据为常数列方程是解题关键． 6．（24-25七年级上·山西太原·期中）如图，数轴的单位长度为1，点，表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： (1)请在数轴上标出原点的位置. (2)直接写出点，，，所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ (3)从A，B两题中任选一题作答. A．①若点在数轴上，与点的距离，求点表示的数； ②设动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速向终点运动，运动时间为秒，求点，之间的距离.(用含的代数式表示) B．设点，都从点出发沿数轴的正方向匀速向终点运动.点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒5个单位长度，当点运动到点时点开始运动，设点运动的时间为秒，求点，之间的距离.(用含的代数式表示) 【答案】(1)见解析；(2)，，，,A点表示的数的平方最大，最大是49；（3）A：① -6.5或0.5；② 当 0<t≤时, CP= BC-PB=2-3t；当<t< 2时，CP=PB-BC= 3t-2；当t ≥2时，CP=CD=6.  ；B：当0<t≤1时，MN=2t；当1<t≤3时，MN=，当3<t≤5时，MN=10-2t. 【分析】(1)根据点，表示的数互为相反数可以确定为C,D中点，画出即可；         (2)根据这些点在数轴上的位置得到A,B,C,D所表示的数,平方最大，即绝对值最大为A.算出平方数即可.         (3)A: ①根据数轴上的位置可以得到F对应的点为两个，分别求出即可；②依据题意列出代数式即可，注意P与C的位置.         B:当0<t≤1时N在A处不动，所以MN距离为M所走距离； 当1<t≤3时M,N都在AD之间，当t=3时，N与D重合，所以MN= 当3<t≤5时，M在AD之间，N在D上，当t=5时，M，N同时在D上，所以MN=10-2t. 【详解】解：(1)如图： (2)，，，    平方最大为A，平方数最大为49 (3) A：①-6.5或0.5； ② 当P点在C点的左侧或C点时，即0<t≤时, CP= BC-PB=2-3t 当P点在C点右侧直到到达D点时，即<t< 2时，CP=PB-BC= 3t-2； 当P点在C点右侧到达D点不动时，即t ≥2时，CP=CD=6 B：M所走的时间为t秒，那么N所走的时间为t-1秒 当M运动，N不动时，MN的距离就是M点运动的距离，即0<t≤1时，MN=2t； 当M，N同时在AD之间时，MN的距离两点运动之差，即1<t≤3时，MN=； 当N到达D点，M还在运动时，MN的距离等于AD的距离与M移动的距离之差，即3<t≤5时，MN=10-2t. 【点睛】此题主要考查了数轴及列代数式，解题的关键在于结合实际运用数轴及代数式解决问题. 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知在数轴上有、两点，点表示的数为，点在点的左边，且.若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，解决以下问题： (1)写出数轴上点所表示的数； (2)当秒时，写出数轴上点，所表示的数； (3)若点，分别从、两点同时出发，问运动多少秒后点与点相距个单位长度？ 【答案】（1）-4；（2）P表示5，Q表示-2；（3）1.8秒或3秒. 【分析】（1）根据点表示的数为，点在点的左边，且，设点B为x，根据绝对值的意义列式即可得知B的数值； （2）根据数轴上的数值越向左越小，越向右越大的规律，用A的数值减去P点运动距离，用B的数值加上Q运动的数值即可得出答案； （3）设点P运动时间为t秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3t，BQ=2t，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3列式计算即可. 【详解】解：（1）设B点为x， ∵点表示的数为，且， ∴ 解得 ∵点在点的左边 ∴点B为-4； （2）∵从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P=8-3×1=5 ∵从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动 ∴Q=-4+2×1=-2 即数轴上点，所表示的数分别为3，-2； （3）设点P运动t秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3t，BQ=2t， ①如下图， 当AP+BQ=AB-3时，即3t+2t=12-3，解得t=1.8秒； ②如下图， 当AP+BQ=AB+3时，即3t+2t=12+3，解得t=3秒， 故运动1.8秒或3秒后点与点相距个单位长度. 【点睛】本题考查的是数轴上点的距离问题，能够结合数轴分不同情况列式结算是解题的关键. 8．（24-25七年级上·广东广州·期中）数轴上点A表示数字6，点B表示数字﹣4 （1）画数轴，并在数轴上标出点A与点B； （2）数轴上一动点C从点A出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度移动，经过4秒到达点E，数轴上另一动点D从点B出发，沿数轴的正方向以每秒1个单位长度的速度移动，经过8秒到达点F，求出点E与点F所表示的数，并在第（1）题的数轴上标出点E，点F； （3）在第（2）题的条件下，在数轴上找出点H，使点H到点E距离与点H到点F距离之和为8，请在数轴上直接标出点H．（不需写出求解过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）根据数轴的定义可以画出； （2）根据速度时间＝距离，再根据数轴上两点之间的距离公式可求得答案； （3）数轴上的距离是两个坐标差的绝对值, 点H可能点E在左边，也可能在点F右边. 【详解】解：（1）画数轴如下： （2）6﹣2×4＝﹣2，故点E位于﹣2处； ﹣4+1×8＝4，故点F位于4处，如（1）中数轴所示． （3）∵|EF|＝|4﹣（﹣2）|＝6， ∴点H位于﹣3或5时，点H到点E距离与点H到点F距离之和为8，如图所示： 【点睛】本题考查的是数轴及数轴上两点之间的距离，根据已知条件列出算式求解是正确解答本题的关键. 9（24-25七年级上·山东济南·期中）已知是最大的负整数，是的倒数，比小1，且、、分别是点、、在数轴上对应的数．若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发沿数轴负方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度． （1）在数轴上标出点、、的位置； （2）运动前、两点之间的距离为　　　　 　；运动t秒后，点，点运动的路程分别为　　　　 　和　　　　 　； （3）求运动几秒后，点与点相遇？ （4）在数轴上找一点，使点到、、三点的距离之和等于11，直接写出所有点对应的数． 【答案】（1）见解析；（2）6；3t；t.；（3）运动1.5秒后，点与点相遇；（4）或 【分析】（1）按照整数、倒数的概念，确定a、b、c的值，并在数轴上表示出来即可； （2）观察数轴可知运动前、两点之间的距离为AB，再利用路程=速度×时间，即可用含t的代数式表示点，点运动的路程； （3）点与点相遇，则点P运动路程与点Q运动路程的和为AB的长，列出方程，求解即可； （4）分情况讨论：当点M在C点左侧时；当点M在A、C之间时；当点M在A、B之间时；当点M在B点右侧时；设点M表示的数是m，利用数轴上点之间的距离=大数减小数，列出方程求解，再根据情况取舍即可. 【详解】（1）是最大的负整数，则a=-1 是的倒数，则b=5 比小1，则c=-1-1=-2 （2）运动前、两点之间的距离为AB=5-（-1）=6 点P运动路程为3t，点Q运动路程为t， 故答案为6；3t；t. （3）点与点相遇，则点P运动路程与点Q运动路程的和为6 即：3t+t=6， 解得：t=1.5 故：运动1.5秒后，点与点相遇； （4）设点M表示的数是m， 当点M在C点左侧时，MC+MA+MB=-2-m+(-1)-m+5-m=11 解得：， 所以，点对应的数为； 当点M在A、C之间时，MC+MA+MB=m-(-2)+(-1)-m+5-m=11 解得：（舍去）； 当点M在A、B之间时，MC+MA+MB=m-(-2)+m-(-1)+5-m=11 解得：， 所以，点对应的数为 当点M在B点右侧时，MC+MA+MB= m-(-2)+m-(-1)+m-5=11 解得：（舍去）， 所以点对应的数为或. 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离以及动点问题，熟练掌握求数轴上点的距离的公式是解题关键. 10．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）【新知理解】 如图1，点C在线段AB上，图中有三条线段，分别为线段AB，AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”. （1）线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若线段cm，点C是线段AB的“巧点”，则________cm. 【解决问题】 （3）如图2，已知cm，动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以1cm／s的速度沿BA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止.设运动的时间为ts，当t为何值时，点P为线段AQ的“巧点”，并说明理由. 【答案】（1）是；（2）4或6或8；（3）s或s或3s 【分析】（1）根据“巧点”的定义即可求解； （2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可. （3）分情况找出合适的等量关系列出方程，再求解即可. 【详解】解：（1）∵线段的长是线段中线长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为是； （2）∵AB=12cm，点C是线段AB的巧点， ∴AC=12×=4cm或AC=12×=6cm或AC=12×=8cm； 故答案为4或6或8； （3）分3种情况： AP=AQ，即2t＝ (12−t)，解得t＝s， AP=AQ，即2t＝(12−t)，解得t＝s， AP=AQ，即2t＝(12−t)，解得t=3s. 【点睛】考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解. 11．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知a是最大的负整数，b、c满足（b-3）2+|c+4|=0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． （1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，点C表示的数为______； （2）若动点P从C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到点B为5个单位长度？ （3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于13，请写出所有点M对应的数，并写出求解过程． 【答案】（1）-1，3，-4；（2）点P运动1秒或6秒后，点P到点B为5个单位长度；（3）点M对应的数为-5或 【分析】（1）由题目中的条件可直接得出点A对应的数，根据平方与绝对值的非负性可得出B与C对应的数； （2）由点P到点B为5个单位长度，可两种情况，点P在点B左边及点P在点B右边，分别列方程即可求得； （3）分情况讨论，当点M在点C左边及当点M在点B右边，分别列方程可求得；而当点M在点C及点B之间时不符合题意． 【详解】解：（1）∵a是最大的负整数∴a=-1 ∵（b-3）2≥0，|c+4|≥0，而（b-3）2+|c+4|=0 ∴b=3，c=-4 故答案为-1；3；-4． （2）设点P运动t秒时到点B为5个单位长度，分以下两种情况： ①点P在点B左边距离点B5个单位，则有： 2t+5=3-（-4）解得t=1 ②点P在点B右边距离点B5个单位，则有： 2t-5=3-（-4）解得t=6 故当点P运动1秒或6秒后，点P到点B为5个单位长度． （3）点B与点C之间的任何一点时到A、B、C三点的距离之和都小于13， 因此点M的位置只有以下两种情况，设点M所表示的数为m，则： ①点M在点C左边时，可得： -4-m-1-m+3-m=13 解得m=-5 ②点M在点B右边时，可得： m+4+m+1+m-3=13，解得m= 故点M对应的数为-5或． 【点睛】本题考查非负数的性质及数轴上与动点有关的计算，较为基础，在做题时注意考虑到所有情况进行讨论． 12．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，数轴上一动点从原点出发，在数轴上进行往返运动，运动情况如下表（注：表格中的表示2到4之间的数）. 运动次数 运动方向 运动路程 数轴上对应的数 第1次 _________ 3 -3 第2次 左 _________ 第3次 _________ _________ 回答下列问题： （1）完成表格； （2）已知第4次运动的路程为. ①此时数轴上对应的数是_________； ②若第4次运动后点恰好回到原点，则这4次运动的总路程是多少？ 【答案】（1）左 ， ， 右， ；（2）①或；②32. 【分析】（1）根据始点与终点的数字符号确定第一次运动方向；第一次终点数字与第二次运动路程的差即第二次终点数字；根据第三次终点数字与第二次终点数字的差的符号确定运动方向和运动路程. （2）①分向左或向右两种可能，根据确定第四次移动后最终在数轴上的对应数字； ②根据第四次运动后的对应数字确定的值，再计算总路程. 【详解】解：（1）动点从原点运动到点-3，所以是向左运动； 再从点-3向左运动，故终点数字是； ∵， ∴， ∴第三次点是向右运动，运动路程是， 故答案为左，，右，. （2）①向右运动时，； 向左运动时，， 故答案为或； ②当时，或-0.5，不符合题意； 当时，， ， 所以这4次运动的总路程是32. 【点睛】本题考查数轴上两点之间距离的相关知识.数轴上两点之间的距离等于表示这两点数字之差的绝对值. 13．（24-25七年级上·北京丰台·期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位长度，点N从点B出发速度为点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位长度． （1）求A、B两点的距离为　 　个单位长度． （2）若点M向右运动，同时点N向左运动，求经过多长时间点M与点N相距54个单位长度？ （3）若点M、N、P同时都向右运动，当点M与点N相遇后，点M、P继续以原来的速度向右运动，点N改变运动方向，以原来的速度向左运动，求从开始运动后，经过多长时间点P到点M、N的距离相等？    【答案】（1）14；（2）5秒；（3） 秒或3.5秒或秒. 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点的距离； （2）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可； （3）首先求出点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒，此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13，再设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等，或相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等，根据PM＝PN列出方程，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8， ∴A、B两点的距离为6﹣（﹣8）＝14． 故答案为14； （2）设经过x秒点M与点N相距54个单位． 依题意可列方程为：2x+6x+14＝54， 解方程，得x＝5． 答：经过5秒点M与点N相距54个单位； （3）点M与点N相遇的时间为14÷（6﹣2）＝3.5秒， 此时N点对应的数是﹣8+6×3.5＝13． 设从开始运动后，相遇前经过t秒点P到点M、N的距离相等． 依题意可列方程为：t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t， 解得t＝， 设从开始运动后，相遇后经过t秒点P到点M、N的距离相等． 依题意可列方程为：（2t+6）﹣t＝t﹣[13﹣6（t﹣3.5）]， 解得t＝． 答：从开始运动后，经过秒或3.5秒或秒点P到点M、N的距离相等． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． 14．（24-25七年级上·福建福州·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）A，B两点之间的距离是 ； （2）设点P在数轴上表示的数为x，则x与-4之间的距离表示为 ； （3）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； （4）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； （5）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）|x+4|；（3）1；（4）-3或5；（5）或8． 【分析】（1）（2）在数轴上A、B两点之间的距离为AB=|a-b|，依此即可求解； （3）根据中点坐标公式即可求解； （4）分两种情况：点P在点A的左边，点P在点B的右边，进行讨论即可求解； （5）分两种情况：点A在点B的左边，点A在点B的右边，进行讨论即可求解． 【详解】（1）A，B两点之间的距离是3-（-1）=4 （2）x与-4之间的距离表示为|x-（-4）|=|x+4| （3）（-1+3）÷2=1． 故点P对应的数是1； （4）点P在点A的左边， x的值是-1-（8-4）÷2=-3； 点P在点B的右边， x的值是3+（8-4）÷2=5． 故x的值是-3或5； （5）点A在点B的左边， （4-3）÷（2-0.5）×2+（-1）=． 点A所对应的数是 点A在点B的右边， （4+3）÷（2-0.5）×2+（-1）=8． 点A所对应的数是8． 故点A所对应的数是或8． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用． 15．（24-25七年级上·重庆·期末）已知在 数轴上对应的数分别用表示，且.是数轴的一动点.     ⑴在数轴上标出的位置，并求出之间的距离； ⑵数轴上一点距点24个单位的长度，其对应的数满足，当点满足时，求点对应的数. ⑶动点从原点开始第一次向左移动1个单位，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，……点能移动到与或重合的位置吗？若能，请探究第几次移动时重合；若不能，请说明理由. 【答案】(1)30;(2)-16或-8;(3)见解析. 【分析】⑴根据“非负数的和为0，则每一个非负数为0”，可以依次求出的值，从而使问题解决；⑵.根据，所以 ；结合⑴问的结论和本问的条件可以求出的值；时，其一，点在 之间；其二.点在的延长线上.⑶主要是要找移动的规律：主要是找出向右移动的距离规律，从而探究出移动重合的存在性和移动重合的次数. 【详解】⑴. ∵，且     ∴；解得： ∴在数轴上分别对应的是和.表示在数轴上： ∴ ⑵. ∵数轴上一点距点24个单位的长度，可能在左，也可能在右；“右加左减”. ∴或 ∵  ∴ 又 ∴   ∴   ∴   ①.当点在 之间时，；（见下面示意图） ∵ ∴ 解得： ∴点对应的数是； ②. 点在的延长线上时，（见下面示意图） ∵ ∴，. ∴点对应的数是 ③.若点在的延长线上“”不会成立. 故点对应的数是或. ⑶.点能移动到与重合的位置,不能移动到与重合的位置. 理由如下： 第一次点M表示-1，第二次点P表示2，依次-3，4，-5，6… 则第n次为（-1）n•n， 点A表示10，则第10次M与A重合； 点B表示-20，点M与点B不重合．∴点移动10次与重合，点M与点B不重合. 【点睛】本题的⑴问通过非负数性质来转化为方程来解答，是一种常规题型；本题的⑵问的特点就是要进行讨论，确定的值要进行正负性的讨论，求点对应的数要进行点位置的讨论；本题的⑶问主要是找出移动时单位长度变化的规律来解决问题.整个题的综合性较强. 16．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）已知，A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且（a﹣20）2+|b+10|＝0，P是数轴上的一个动点． （1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离； （2）已知线段OB上有点C且|BC|＝6，当数轴上有点P满足PB＝2PC时，求P点对应的数； （3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，……．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若不能，请直接回答；若能，请直接指出，第几次移动，与哪一点重合． 【答案】（1）数轴详见解析，AB＝30；（2）P点对应的数为﹣6或2；（3）点A表示20，则第20次P与A重合；点B表示﹣10，点P与点B不重合． 【分析】(1)先根据非负数的性质求出a，b的值，在数轴上表示出A、B的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可； (2)设P点对应的数为x，当P点满足PB=2PC时，分三种情况讨论，根据PB=2PC求出x的值即可； (3)根据第一次点P表示-1，第二次点P表示2，点P表示的数依次为-3，4，-5，6…，找出规律即可得出结论． 【详解】解：(1)∵(a﹣20)2+|b+10|＝0， ∴a＝20，b＝﹣10， ∴AB＝20﹣(﹣10)＝30， 数轴上标出A、B得： （2）∵|BC|＝6且C在线段OB上， ∴xC﹣(﹣10)＝6， ∴xC＝﹣4， ∵PB＝2PC， 当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立， 当P在线段BC上时， xP﹣xB＝2(xc﹣xp)， ∴xp+10＝2(﹣4﹣xp)， 解得：xp＝﹣6； 当P在点C右侧时， xp﹣xB＝2(xp﹣xc)， xp+10＝2xp+8， xp＝2． 综上所述P点对应的数为﹣6或2． (3)第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，依次﹣3，4，﹣5，6… 则第n次为(-1)n•n， 点A表示20，则第20次P与A重合； 点B表示-10，点P与点B不重合． 故答案为(1)AB=30；（2）-6或2；（3）与点A重合；与点B不重合． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键． 17．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，在数轴上点A表示数-20，点C表示数30，我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记． 比如，点A与点B之间的距离记作AB，点B与点C之间的距离记作BC．..... （1）点A与点C之间的距离记作AC，求AC的长； 若数轴上有一点D满足CD=AD，求D点表示的数； （2）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A、C在数轴上运动，点A、C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为秒. ①若点A向右运动，点C向左运动，AB=BC，求的值. ②若点A向左运动，点C向右运动，的值不随时间的变化而改变，求的值. 【答案】（1）AC=50，D表示5；（2）①t=或10  ② m=3 【分析】（1）数值代入即可，即可求解. （2）①根据路程=速度x时间,以及两点间的距离公式即； ②根据题意列式得6-2m=0时,由上式的值不随时间t的变化而改变，可得m=3， 【详解】（1）；，D=5. （2）①如下图所示: 当t=0时，AB=21，BC=29. 下面分两类情况来讨论: a点A, C在相遇前时， 点A, B之间每秒缩小1个单位长度，点B ， C每秒缩小4个单位长度. 在t=0时， BC -AB=8， 如果AB=BC，那么AB-BC=0 ，此时t=秒， b.点A， C在相遇时, AB= BC， 点A，C之间每秒缩小5个单位长度， 在t=0时， AC=50， t== 10秒， c.点A, C在相遇后，BC大于AC ,不符合条件. 综上所述, t=或10. ②当时间为t时， 点A表示得数为-20+2t， 点B表示得数1 +t， 点C表示得数为30+3t， ， 当6-2m=0时，上式的值不随时间的变化而改变，此时m=3. 【点睛】本题主要考查数轴及数轴上两点间的距离公式的运用，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离.解题时注意分类思想的运用. 18．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）已知：a是最小的正整数，且a，b，c满足|a+b|+（c﹣5）2=0，请回答问题． （1）请直接写出a、b、c的值； （2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|﹣2|x+4|（请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒n（n＞0）个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点A与点C之间的距离表示为AC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）a=1，b=﹣1，c=5；（2）﹣8；（3）AC﹣AB的值是不随着时间t的变化而改变，是定值2． 【分析】（1）根据a是最小的正整数，即可确定a的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值； （2）根据x的范围，确定x+1，x-1，x+4的符号，然后根据绝对值的意义即可化简； （3）根据A，B，C的运动情况即可确定AB，BC的变化情况，即可确定AB-BC的值． 【详解】(1)∵a是最小的正整数， ∴a =1. 根据题意得：   （2）∵点P在A、B之间运动 ∴点P对应的数x满足：﹣1≤x≤1 ∴x+1≥0，x﹣1≤0，x+4＞0 ∴|x+1|=x+1，|x﹣1|=﹣（x﹣1），|x+4|=x+4 ∴|x+1|﹣|x﹣1|﹣2|x+4|=（x+1）+（x﹣1）﹣2（x+4）=x+1+x﹣1﹣2x﹣8=﹣8 （3）由题意得：AC=（5nt+5）﹣（2nt+1）=3nt+4，AB=（2nt+1）﹣（﹣1﹣nt）=3nt+2 ∴AC﹣AB=（3nt+4）﹣（3nt+2）=2 故AC﹣AB的值是不随着时间t的变化而改变，是定值2． 【点睛】考查非负数的性质以及绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键. 19．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）点A,B在数轴上分别表示有理数a，b，A,B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A,B两点距离AB=|a﹣b|．已知数轴上两点A,B对应的数分别为-1,3.点P为数轴上一动点，其对应的数为x，A,B两点之间的距离是 .设点P在数轴上表示的数为x，则x与-4之间的距离表示为 . .若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为 . 若点P到点A、点B的距离之和为8，则点P对应的数为 . 现在点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？ 【答案】（1）4；（2） |x+4|；（3）1；（4） -3或5；（5）-0.2或4.6 【分析】(1)(2)在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝ |a－ b|,依此即可求解; (3)根据中点坐标公式即可求解; (4)分两种情况:点P在点A的左边，点P在点B的右边，进行讨论即可求解; (5)分两种情况:点A在点B的左边，点A在点B的右边，进行讨论即可求解. 【详解】(1)A,B两点之间的距离是3－(－1)＝4； (2)x与－4之间的距离表示为|x－(－4)|＝ |x＋4|； (3)(－1＋3)÷2＝ 1，∴故点P对应的数是1; (4)点P在点A的左边， x的值是－1－(8－4)÷2＝－3;点P在点B的右边， x的值是3 ＋(8－4)÷2＝5；故x的值是－3或5; (5)点A在点B的左边，(4－3)÷ (2－0.5)×2＋(－1)＝ ，∴点A所对应的数是 点A在点B的右边，(4 ＋3) ÷(2－0.5)×2＋(－1)＝8;点A所对应的数是8.故点A所对应的数是或8. 【点睛】本题主要考查了数轴上的基本性质，注意解题时会有两种情况，A在B的左边或者右边. 20．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知数轴上有A、B两个点． （1）如图1，若AB=a，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且，则AC=　 　，CB=　 　，MC=　 　（用含a的代数式表示）； （2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20． ①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：MB=3BN． ②现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值． 【答案】（1）a，a，a；（2）2秒时恰好满足MB=3BN；（3）当t为18秒、36秒和54秒时，P、Q两点相距18个单位长度． 【分析】（1）根据题意中的等量关系用a表示出AC,CB,MC即可； （2）①假设x秒C在B右边时，恰好满足MB=3BN，据此得出方程，求出x的值即可； ②点P表示的数为20﹣t，点Q表示的数为20﹣3（t﹣30），再分情况推论①当点P移动18秒时，②点Q在点P的右侧，③当点Q在点P的左侧，即可得出结论. 【详解】解：（1）∵AB=a，C为线段AB上的一点，且=， ∴AC=AB=a，CB=AB=a， ∵M是AB的中点， ∴MC=AB﹣AB=a， 故答案为 a， a， a； （2）∵若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20， ∴AB=BC=30， 设x秒时，C在B右边时，恰好满足MB=3BN， ∵BM=（8x+4x+30），BN=（30﹣4x﹣2x）， ∴当MB=3BN时，（8x+4x+30）=3×（30﹣4x﹣2x）， 解得：x=2， ∴2秒时恰好满足MB=3BN； （3）点P表示的数为20﹣t，点Q表示的数为20﹣3（t﹣30）， ①当点P移动18秒时，点Q没动，此时，PQ两点间的距离恰为18个单位； ②点Q在点P的右侧，∴20﹣3（t﹣30）﹣（20﹣t）=18， 解答：t=36， ③当点Q在点P的左侧，∴20﹣t﹣[20﹣3（t﹣30）]=18， 解答：t=54； 综上所述：当t为18秒、36秒和54秒时，P、Q两点相距18个单位长度． 【点睛】本题考查了两点间的距离与一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握两点间的距离与一元一次方程的应用. 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$