专题01 绝对值中的八类最值模型（几何模型讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题是初中阶段常作为压轴选填题来考查的知识点，也是想拿高分的学生必须掌握的知识点；绝对值中的最值模型是初中阶段第一个接触到的最值类问题，主要考查绝对值的性质、几何意义和代数意义，考查学生对分类讨论方法的掌握和数形结合的数学思维；解决此类问题，最重要的是掌握绝对值的几何意义，学会根据实际情况划分不同情形，同时借助于数轴的距离表示，将绝对值的最值模型彻底掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 7 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 14 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 15 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 1．（2024·九年级·安徽阜阳·模拟预测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 2．（2023·九年级·河南·二模）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 例2（23-24七年级上·江苏·周测）已知A、B在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 A、B两点的距离 2 0 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问d和、有何数量关系？ (3)写出数轴上到7和的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和．    (4)若点C表示的数为整数，当______时，取得的值最小？ 例3（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知A，B在数轴上分别表示数a，b． (1)对照数轴填写下表； a 6 b 4 0 5 2 A，B两点间的距离 2 6 0 (2)若A，B两点间的距离记为d，试问d与a，b有何数量关系？ (3)在数轴上找到所有符合条件的整数点P，使它到4和的距离之和为9，并求出所有这些整数的和． (4)数轴上表示x和的两点之间的距离可以表示为______． (5)若数轴上点C表示的数为x，当点C在什么位置时， ①的值最小？最小值是______． ②的值最小？最小值是______． 例4（23-24七年级·江苏·专题练习）已知点A、B在数轴上分别表示a、b． (1)对照数轴填写下表： a 6 ﹣6 ﹣6 ﹣6 2 ﹣1.5 b 4 0 4 ﹣4 ﹣10 ﹣1.5 A、B两点的距离 ______ ______ ______ ______ ______ ______ (2)若A、B两点间的距离记为d，问：d和a、b有何数量关系？ (3)在数轴上标出所有符合条件的整数点，使它到3和﹣3的距离之和为6，并求所有这些整数的和； (4)若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x﹣1|＋|x＋3|取得的值最小？最小值为多少？ 模型2.的最小值和最大值模型 例1（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 例2（2024·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 例1（23-24七年级上·四川成都·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)若，则等式表示的几何意义是什么？直接写出的值； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 例2（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题 (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ； 表示和2的两点之间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于； (2)数轴上表示a和3的两点之间的距离表示为 ； 数轴上表示a和的两点之间的距离表示为 ； (3)数轴上表示a和的两点之间的距离是5，则 ； (4)数轴上表示a的点位于与2之间，则 ； (5)若数a满足，则 ； (6)当 时，的值最小，最小值是 ． 例3（24-25七年级上·四川·阶段练习）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|． 回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　　；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 　　； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　　，如果|AB|＝2，那么x为 　　； （3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 　　； （4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 例4（24-25七年级上·山东潍坊·期末）根据材料，解答问题 如图，数轴上有点，对应的数分别是6，-4，4，-1，则两点间的距离为；两点间的距离为；两点间的距离为；由此，若数轴上任意两点分别表示的数是，则两点间的距离可表示为．反之，表示有理数在数轴上的对应点之间的距离，称之为绝对值的几何意义． 问题应用1： （1）如果表示-1的点和表示的点之间的距离是2，则点对应的的值为___________； （2）方程的解____________； （3）方程的解______________ ； 问题应用2： 如图，若数轴上表示的点为. （4）的几何意义是数轴上_____________，当__________，的值最小是____________； （5）的几何意义是数轴上_______，的最小值是__________，此时点在数轴上应位于__________上； （6）根据以上推理方法可求的最小值是___________，此时__________． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 例2（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 例3（24-25七年级上·陕西西安·期中）问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究 (1)若，则　 　． (2)若，则　 　． (3)若，则　 　． 问题解决 (4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 例4（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 模型5.型或型最值模型 例1（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 例2（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 例3（2024七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 例4（24-25七年级上·江西赣州·期中）当 时，的值最大． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 例2（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． (1)如图1，①到5的距离是________；②x到的距离是________（用绝对值表示）；③若点P在点B右侧，化简________；④由图可知，的最小值是________； (2)请按照（1）问的方法思考：求的最小值是多少？ (3)如下图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小． ①汇合地点M的位置是________； A．在E，F之间               B．在F，G之间              C．在G，H之间 ②所有小朋友从小区门口到汇合地点的程之和的最小值是________． 例3（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 例4（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）【数学实验室】 点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是 ；数轴上表示和7的两点之间的距离表示为 ． (2)若表示一个有理数，则 的最小值 ． (3)已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．    若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 例2（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，求的值． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值． (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，求这些点表示的数的和． (4)当__________时，的值最小，最小值是__________． 例3（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________________；表示和2两点之间的距离是________________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么________________． (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为________________； (3)利用数轴找出所有符合条件的点，使得，点是________________． (4)当________________时，的值最小，最小值是________________． 例4（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和−1的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)求数轴上表示2和−3的两点之间的距离； (2)若数轴上表示数a的点位于−3与5之间，求的值； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是________； (4)求的最小值是________． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在紧靠______居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为________． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______； （2）当取最小值时，x可以取整数_______； （3）最大值为_______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．    例2（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M，N表示的数分别为，3，则线段的长度可以这样计算或，那么当点M，N表示的数分别为m，n时，线段的长度可以表示为或． 请你参考小兰的发现，解决下面的问题． 在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c 给出如下定义：若，则称点B为点A，C的双倍绝对点． (1)如图1， ，，点D，E，F在数轴上分别表示数，5，6，在这三个点中，点　 是点A，C的双倍绝对点； (2)点B为点A，C的双倍绝对点 ①，，求b的值； ②，，求c的值． 例3（24-25七年级上·江苏淮安·期末）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)当取最小值时，x可以取整数 ； (3)最大值为 ； (4)的最小值为 ； 【解决问题】 (5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 例4（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 1．当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|-|x-1|的值最大是 ，最小是 . 2．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）当 时，的值最小，最小值为 ． 4．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 5．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）当 时，最小． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______； 表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． (2)若|a-3|=6， |b+2|=3， 且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是 最小距离是_________． (3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______． (4)当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小， 最小值是________． 7．（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 8．（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 9．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题： (1) (2)若，求x的值 (3)解决问题： ①若，利用数轴求出的整数值 ②取最小值时，相应 ，最小值是 ． 10．（23-24七年级上·福建泉州·期中）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离． (1)已知点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且． ①　　，　　． ②P是数轴上任意一点，且点P表示的数是x，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小哲的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小哲家在O处，自习室A在小哲家西边60米处，B在小哲家东边180米处，C在小哲家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小?最小值为多少?    11．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而；表示和2两点之间的距离是5：而；表示和两点之间的距离是3，而，一般地，数轴上表示m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么　 　 (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间，求的值：    (3)当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．    12．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 13．（24-25七年级上·广东深圳·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和5的两点之间的距离是 ． （2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么 ． ②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值． ③当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 14．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为，比如表示3的点与﹣2的点之间的距离表示为；可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数﹣2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时x的取值范围为，    请根据以上材料，解答下列问题： (1)的最小值是 　　；当　时，的值最小． (2)当的最小值是时，求出a的值． (3)若的最小值是b，经探究发现b会随着a的变化而变化，但a在某一范围内变化时，b的值不变，请求出a的这一范围和相应b的值． 15．（24-25七年级上·浙江台州·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：    (1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 ___________个单位（其中点C不与点A重合）． (2)若在表示﹣1的点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长，小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步…按此规律继续跳下去，那么跳第99次时，应跳 ___________步，落脚点表示的数是 ___________； (3)若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 ___________种，其中移动所走的距离和最小的是 ___________个单位； (4)若数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是 ___________． 16．（24-25七年级上·陕西西安·期中）问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究 (1)若，则　 　． (2)若，则　 　． (3)若，则　 　． 问题解决 (4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 17．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为，即5到0点的距离．又如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； (2)利用上面的知识回答：数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是___________，如果，那么x的值为___________； (3)应用： 小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和|的最小值是：___________． (4)拓展：的最小值是：___________． 18．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们需要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形： 如果直线上只有2台机床，时，很明显供应站P设在和之间的任何地方都行，距离之和等于到的距离； 如果直线上有3台机床、、，供应站P应设在中间一台机床处最合适，距离之和恰好为到的距离； 如果在直线上4台机床，供应站P应设在第2台与第3台之间的任何地方； 如果直线上有5台机床，供应站P应设在第3台的地方； (1)阅读递推：如果在直线上有7台机床，供应站P应设在（     ）处． A．第3台        B．第3台和第4台之间        C．第4台        D．第4台和第5台之间 (2)问题解决：在同一条直线上，如果有n台机床，供应站P应设在什么位置？ (3)问题转化：在数轴上找一点P，其表示的有理数为x．当_______时，代数式取到最小值，此时最小值为___________． 19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______，表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|，如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么a=_____． (2)若数轴上表示数a的点位于与4之间，则的值为______． (3)当a=_____时，的值最小，最小值是______． 20．（24-25七年级上·浙江台州·期中）同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|-4+6|=______；|-2-4|=______； （2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立； （3）若数轴上表示数a的点位于-4与6之间，求|a+4|+|a-6|的值； （4）当a=______时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是______； （5）当a=______时，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，最小值是______． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题是初中阶段常作为压轴选填题来考查的知识点，也是想拿高分的学生必须掌握的知识点；绝对值中的最值模型是初中阶段第一个接触到的最值类问题，主要考查绝对值的性质、几何意义和代数意义，考查学生对分类讨论方法的掌握和数形结合的数学思维；解决此类问题，最重要的是掌握绝对值的几何意义，学会根据实际情况划分不同情形，同时借助于数轴的距离表示，将绝对值的最值模型彻底掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 7 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 14 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 15 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 1．（2024·九年级·安徽阜阳·模拟预测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米 (4)， 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； （4）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值； 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 2．（2023·九年级·河南·二模）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 【答案】(1)，或； (2)，，； (3)的最大值为，的最大值为． 【分析】（）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可； （）先分，，，四种情况讨论，求出的最小值，再分，，，，五种情况讨论，求出的最小值, 从而求出，的取值范围，然后求出答案即可； 本题主要考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，解题关键是熟练掌握知识点的应用，分类讨论思想． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得:或， 故答案为：，或； （2）解：可以看作表示的点到和的距离之和， ∴当点在与之间的线段上，即时，， ∴有最小值，最小值为：， 可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的最小值为， 故答案为：，，； （3）解：当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值，为； 当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴的最大值为，的最大值为． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，即可求解． （2）结合图形可得，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，表示的点与的点之间的距离表示为， 故答案为：． （2）解：可以表示的点与表示1的点的距离，跟表示的点与表示的点之间的距离的和，如图所 当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为， 即的最小值是，且此时的值为． 故答案为：，． 例2（23-24七年级上·江苏·周测）已知A、B在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 A、B两点的距离 2 0 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问d和、有何数量关系？ (3)写出数轴上到7和的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和．    (4)若点C表示的数为整数，当______时，取得的值最小？ 【答案】(1)6，2，12 (2) (3)所有整数为，，，，，，，，1，2，3，4，5，6，7；这些整数的和为0 (4)或0或1或2 【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离； （2）由（1）所填写的数字，即可得出结论； （3）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解； （4）根据绝对值的几何意义，可得出表示的点和表示2的点之间的任何一点均满足题意，进而即可得到结论． 【详解】（1）当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 6 2 4 0 A、B两点的距离 2 6 2 12 0 故答案是：6，2，12； （2）由（1）可得：； （3）∵只要在和7之间的整数，均满足到和7的距离之和为14， ∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，，1，2，3，4，5，6，7； ， 答：所有这些整数的和为0； （4）∵点C到表示的点的距离与点C到表示2的点的距离之和， ∴和2之间的任何一点均能使取得的值最小， ∵点C表示的数为整数， ∴当或0或1或2时，取得的值最小． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离以及绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 例3（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知A，B在数轴上分别表示数a，b． (1)对照数轴填写下表； a 6 b 4 0 5 2 A，B两点间的距离 2 6 0 (2)若A，B两点间的距离记为d，试问d与a，b有何数量关系？ (3)在数轴上找到所有符合条件的整数点P，使它到4和的距离之和为9，并求出所有这些整数的和． (4)数轴上表示x和的两点之间的距离可以表示为______． (5)若数轴上点C表示的数为x，当点C在什么位置时， ①的值最小？最小值是______． ②的值最小？最小值是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是，，，，，0，1，2，3，4，共10个点，和为 (4) (5)①点C在−2时，0；②点C在−2与4之间（包括−2和4）时，6 【分析】（1）根据表中的数据及数轴上两点之间的距离求解即可； （2）明确两点间的距离，即为两数差的绝对值（d=|a-b|）； （3）先求出4和−5之间的距离，即可得出点P为4和−5之间的整数点（包括临界点），然后求解即可； （4）直接利用（2）中结论即可求解； （5）①依据（2）中结论可得出表示数轴上的点到-2点的距离，即可得出结果； ②与（3）中结论类似得出表示数轴上的点到-2点的距离与到4点的距离之和，据此即可得出结果． 【详解】（1）解：填表如下： a 6 b 4 0 5 2 A，B两点间的距离 2 6 11 2 13 0 （2） （3）整数点P，使它到4和−5的距离之和为9， 4和−5的距离为，点P为4和−5之间的整数点（包括临界点）， 即，，，，，0，1，2，3，4，共10个点， 和为：+()+()+()+()+0+1+2+3+4= （4）数轴上表示x和−12的两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （5）①表示数轴上的点到-2点的距离， 当x=-2时，值最小，为0， 故答案为：0； ②表示数轴上的点到-2点的距离与到4点的距离之和， 数轴上-2点与4点的距离为6， 当点C在与4之间（包括和4）时，的值最小，最小为6， 故答案为：6． 【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离，理解题意，得出相应结论并运用是解题关键． 例4（23-24七年级·江苏·专题练习）已知点A、B在数轴上分别表示a、b． (1)对照数轴填写下表： a 6 ﹣6 ﹣6 ﹣6 2 ﹣1.5 b 4 0 4 ﹣4 ﹣10 ﹣1.5 A、B两点的距离 ______ ______ ______ ______ ______ ______ (2)若A、B两点间的距离记为d，问：d和a、b有何数量关系？ (3)在数轴上标出所有符合条件的整数点，使它到3和﹣3的距离之和为6，并求所有这些整数的和； (4)若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x﹣1|＋|x＋3|取得的值最小？最小值为多少？ 【答案】(1)2，6，10，2，12，0 (2)d＝|a﹣b| (3)标点见解析，所有这些整数的和为0 (4)点C应在﹣3和1之间的线段上，|x﹣1|＋|x＋3|取得的值最小，最小值为4 【分析】（1）根据数轴即可得答案； （2）根据两点间得距离即可得答案； （3）根据数轴即可得整数点，求和即可得答案； （4）|x−1|+|x+3|的值最小，即是x到1的距离和到-3的距离得和最小，则x应在-3和1之间得线段上． 【详解】（1）解：根据数轴填表如下： （2）∵|6﹣4|＝2，|﹣6﹣0|＝6，|﹣6﹣4|＝10，|2﹣（﹣10）|＝12，|﹣1．5﹣（﹣1．5）|＝0， ∴d＝|a﹣b|； （3）设这个点为P， ∵点P到3和﹣3的距离之和为6， ∴|P﹣3|＋|P﹣（﹣3）|＝6， ∴符合条件的整数点有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3， 数轴如下： ∴所有这些整数的和为﹣3＋（﹣2）＋（﹣1）＋0＋1＋2＋3＝0； （4）∵在数轴上|x﹣1|＋|x＋3|的几何意义是：表示有理数x的点到1及到﹣3的距离之和， ∴点C应在﹣3和1之间的线段上， ∴当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4． 【点睛】本题主要考查的是数的绝对值及两点间得距离，牢记绝对值的定义以及几何和代数的意义是解题关键． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 【答案】5 【详解】解：当时，； 当时，，当时，有最大值5； 当时，． 综上， 的最大值为5．故答案为5． 例2（2024·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 【答案】     3     -9 【详解】解：法1：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴， 当时，， 当x＞1时， ∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3， ∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 法2：解：∵式子|x﹣1|﹣|x+2|可看作是数轴上表示x的点到-2、1两点的距离之差， ∴当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|有最大值3；当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|有最小值-3； ∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 模型3.的最小值模型 例1（23-24七年级上·四川成都·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)若，则等式表示的几何意义是什么？直接写出的值； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)数轴上表示数和2的两点之间的距离为3，或 (2)6 (3)当时，代数式的值最小为4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、化简绝对值： （1）根据题中给出的数轴上两点之间的距离的计算公式即可求解； （2）根据当时化简绝对值即可求解； （3）利用数形结合思想即可求解； 熟练掌握数轴上两点之间的距离公式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：等式表示的几何意义是数轴上表示数和数2的两点之间的距离为3， 由得：， 当时，则， 当时，则． （2）依题意得： 当时， ． （3）代数式表示数轴上表示数的点与数1、数3和数5的点的距离之和， 如图所示：    当表示数的点在点B处时，代数式有最小值， 即当时，代数式的值最小为4． 例2（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题 (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ； 表示和2的两点之间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于； (2)数轴上表示a和3的两点之间的距离表示为 ； 数轴上表示a和的两点之间的距离表示为 ； (3)数轴上表示a和的两点之间的距离是5，则 ； (4)数轴上表示a的点位于与2之间，则 ； (5)若数a满足，则 ； (6)当 时，的值最小，最小值是 ． 【答案】(1)3，5 (2)， (3)或 (4)7 (5)或 (6)2，7 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间距离的表示方法计算即可； （2）直接根据数轴上两点之间距离的表示方法计算即可； （3）根据a和之间的距离是5列出方程，解之即可； （4）根据a的范围化简绝对值，再合并； （5）分，，三种情况，化简绝对值，解方程即可； （6）分析表示的意义，结合数轴解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是， 表示和2的两点之间的距离是； （2）数轴上表示a和3的两点之间的距离表示为， 数轴上表示a和的两点之间的距离表示为； （3）∵数轴上表示a和的两点之间的距离是5， ∴， 解得：或； （4）∵数轴上表示a的点位于与2之间， ∴， ∴； （5）当时，， 解得：； 当时，， 无解； 当时，， 解得：； 故a的值为或； （6）表示数轴上与，2和7的距离之和， ∴当时，的值最小， 最小值为． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，小问较多，解题的关键是理解绝对值的意义，按顺序逐步解答． 例3（24-25七年级上·四川·阶段练习）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|． 回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　　；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 　　； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　　，如果|AB|＝2，那么x为 　　； （3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 　　； （4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 【答案】（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2时，y最小，最小值为4 【分析】（1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解； （2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可； （3）根据数轴上两点间的距离的意义解答； （4）根据数轴上两点间的距离的意义解答． 【详解】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是： ； 数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： ； （2）∵A，B分别表示的数为x，﹣1， ∴数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|， 如果|AB|＝2，则|x+1|＝2， 解得：x＝1或﹣3； （3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，﹣1≤x≤2， ∴符合条件的整数x有﹣1，0，1，2； （4）当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x＝2， ∴当x＝2时，y最小， 即最小值为：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4． 故x＝2时，y最小，最小值为4． 【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． 例4（24-25七年级上·山东潍坊·期末）根据材料，解答问题 如图，数轴上有点，对应的数分别是6，-4，4，-1，则两点间的距离为；两点间的距离为；两点间的距离为；由此，若数轴上任意两点分别表示的数是，则两点间的距离可表示为．反之，表示有理数在数轴上的对应点之间的距离，称之为绝对值的几何意义． 问题应用1： （1）如果表示-1的点和表示的点之间的距离是2，则点对应的的值为___________； （2）方程的解____________； （3）方程的解______________ ； 问题应用2： 如图，若数轴上表示的点为. （4）的几何意义是数轴上_____________，当__________，的值最小是____________； （5）的几何意义是数轴上_______，的最小值是__________，此时点在数轴上应位于__________上； （6）根据以上推理方法可求的最小值是___________，此时__________． 【答案】（1）-3或1；（2）-7或1；（3）1；（4）点到4的距离；4；0；（5）点到-1和到4的距离之和；5；线段CD；（6）2；2． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的定义即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离的定义即可求解； （3）根据数轴上两点间的距离的定义即可求解； （4）绝对值的几何意义即可求解； （5）绝对值的几何意义即可求解； （6）绝对值的几何意义即可求解． 【详解】（1）如果表示-1的点和表示的点之间的距离是2，则点对应的的值为-3或1， 故答案为：-3或1； （2）即表示的点距离-3的点距离是4，则的值为-7或1， 故答案为：-7或1； （3）即表示的点距离-4与6的距离相等， 故m是-4与6的中点， ∴m=1； 故答案为：1； （4）的几何意义是数轴上点到4的距离，当4，的值最小是0 故答案为：点到4的距离；4；0； （5）的几何意义是数轴上点到-1和到4的距离之和，的最小值是5，此时点在数轴上应位于线段CD上 故答案为：点到-1和到4的距离之和；5；线段CD； （6）表示点到1，2，3的距离之和 ∴的最小值是2，此时2． 故答案为：2；2． 【点睛】此题主要考查数轴的应用，解题的关键是熟知绝对值的几何意义． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 例2（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 例3（24-25七年级上·陕西西安·期中）问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究 (1)若，则　 　． (2)若，则　 　． (3)若，则　 　． 问题解决 (4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)5或4 【分析】（1）根据绝对值的意义得出或，求出x的值即可； （2）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可； （3）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可： （4）先分类讨论求出m为3或，再根据绝对值的意义求出，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得：或． 故答案为：或． （2）解：分三种情况讨论： ①时，化简为：，此方程无解； ②时，化简为：，解得； ③时，化简为：，此方程无解． 故答案为：． （3）解：分三种情况讨论： ①时，， 化简得：，解得； ②时，， 化简得：，此方程无解； ③时，， 化简得：，解得． 故答案为：或． （4）分三种情况讨论： ①时，，化简，解得； ②时，，化简，此方程无解； ③时，，化简，解得． ∴m为3或， ∵表示数轴上的点到，，这三个点的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴或． 故答案为：5或4． 【点睛】本题主要考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，注意进行分类讨论． 例4（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键熟练掌握绝对值的意义． （1）一共有123个数，求出，代入求值即可； （2）将原式变形后，得出，代入求值即可． 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 模型5.型或型最值模型 例1（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 例2（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据得出当时，式子存在最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，即当时，式子存在最小值，这个最小值是， 故选：A． 例3（2024七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是非负数的性质-绝对值，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 所以， 所以当时，式子有最大值，此时的值是2026． 故选：A． 例4（24-25七年级上·江西赣州·期中）当 时，的值最大． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据，若使有最大值，则应为即可． 【详解】解：， 要使得的值最大，则需满足，即． 故答案为：． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【答案】（1）应该在第四台位置；（2）当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置；（3）；（4） 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类求解即可得到答案．分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）表示的点到表示的点距离之和，共有个点，是奇数个， ∴当时，有最小值， ． 例2（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． (1)如图1，①到5的距离是________；②x到的距离是________（用绝对值表示）；③若点P在点B右侧，化简________；④由图可知，的最小值是________； (2)请按照（1）问的方法思考：求的最小值是多少？ (3)如下图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小． ①汇合地点M的位置是________； A．在E，F之间               B．在F，G之间              C．在G，H之间 ②所有小朋友从小区门口到汇合地点的程之和的最小值是________． 【答案】(1)；；；3 (2)5 (3)①B；② 【分析】此题考查了绝对值的几何意义以及绝对值的化简，数轴，以及数学常识，弄清题中的方法是解决问题的关键． （1）①根据两点之间的距离公式求解即可； ②根据两点之间的距离公式求解即可； ③若点P在点B右侧，得，，然后化简绝对值即可； ④由图1可知，当时，的最小，最小值为3； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，即可求解； （3）①如图2，建立数轴模型，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和； ②由题意得，当满足时，该距离之和最小，最小值为． 【详解】（1）解：①到5的距离是； ②x到的距离是（用绝对值表示）； ③若点P在点B右侧，化简； ④由图可知， 当时，的最小， 原式， 则的最小值是3； 故答案为：；；；3； （2）解：的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和， 当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离， 的最小值为5； （3）解：①如图2，    以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 当满足时，该距离之和最小， 汇合地点的位置在F，G之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小， 故选：B； ②由题意得 ， 最小值为． 故答案为：． 例3（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 【答案】探索材料1（填空）：，6，，，． 探索材料2（填空）：：与之间，处，之间 结论应用（填空）：，， 【分析】本题考查数轴上两点间的距离的意义，绝对值化简，通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 探索材料1（填空）：按照化简绝对值的求法即可得到数3和的两点距离；将化为，将化为，再根据数轴上两点间的距离的意义可知其表示哪两个点之间的距离； 探索材料2（填空）： ①通过观察，比较可得点P设在与之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； 结论应用（填空）： ①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：探索材料1（填空）： ， 的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，6，，，． 探索材料2（填空）： ①由题知， 材料供应点P应设在的左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在B的右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在与之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小； 故答案为：与之间，处，之间． 结论应用（填空）： ①代数式表示x到的距离与x到的距离之和， 的最小值是； ②代数式表示x到的距离与x到与x到的距离之和， 的最小值是； ③代数式表示x到的距离与x到与x到与x到的距离之和， 的最小值是． 故答案为：，，． 例4（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）【数学实验室】 点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是 ；数轴上表示和7的两点之间的距离表示为 ． (2)若表示一个有理数，则 的最小值 ． (3)已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．    若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【答案】(1)4， (2)6 (3)或8 (4)12秒或28秒 【分析】（1）根据题意数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值解答即可; （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据数轴上两点间的距离和绝对值几何意义解答即可； （4）设运动时间为，用表示移动后对应的数，表示，由题目知道，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，数轴上表示4和8两点之间的距离是：, 数轴上表示和7的两点之间的距离表示为： 故答案为：4，． （2）解：根据绝对值的定义有：可表示为点到2与两点距离之和， 根据几何意义分析可知: 当时，距离和最小，即 的最小值6 故答案为：6． （3）解： ∵ 或， ∵表示数轴上表示到，3，5之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7， 或； 故答案为：或8． （4）解：设运动秒两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度 ， 或 答：运动12秒或28秒两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度． 【点睛】本题考查了绝对值几何意义和数轴上动点问题，包含数轴上两点的距离，解含绝对值的方程，数轴动点问题总结，熟练掌握绝对值几何意义是解题的关键． 例2（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，求的值． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值． (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，求这些点表示的数的和． (4)当__________时，的值最小，最小值是__________． 【答案】(1)，，的值为或 (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可； （2）根据已知可得，掉绝对值号，然后进行计算即可得解； （3）分情况去掉绝对值，可得当时，，找到和之间的整数点，再相加即可求解； （4）分情况分别去绝对值计算，得到时三个绝对值的和最小，然后计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为：， 表示和两点之间的距离为， 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：， 或， 故答案为：， （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， ，， ； （3）当时，， 当时，， 当时，， 使得的所有整数有：，，，， ； （4）当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． 例3（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________________；表示和2两点之间的距离是________________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么________________． (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为________________； (3)利用数轴找出所有符合条件的点，使得，点是________________． (4)当________________时，的值最小，最小值是________________． 【答案】(1)3，5，2或 (2)6 (3)或 (4)1，7 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）分析出的意义，结合数轴计算即可； （3）分析出的意义，利用数轴计算即可； （4）使中间一项为0，转化成两个绝对值相加求最小值问题即可． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； 如果表示数和的两点之间的距离是3， 则， 则或； （2）表示数的点到与2的距离之和， ∵表示数的点位于与2之间， ∴的值为； （3）表示数轴上表示数x的点与和的距离之和为12， ∵和的距离为， 则符合要求的x为或；    （4）∵当时，的最小值为7， ∴只需要的值最小即可， 此时，， ∴当时，的值最小，最小值是7． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，有理数的加法和减法，理解数轴上两点间的距离的意义是解题的关键． 例4（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和−1的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)求数轴上表示2和−3的两点之间的距离； (2)若数轴上表示数a的点位于−3与5之间，求的值； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是________； (4)求的最小值是________． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在紧靠______居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为________． 【答案】(1)5 (2)8 (3) (4)2 (5) (6)−4 【分析】(1)根据题意即可解答； (2)根据a的取值范围，去绝对值符号，即可求得； (3)根据绝对值的意义即可求得； (4)根据绝对值的意义即可求得； (5)根据两点间的距离即可求得； (6)由题意可得：，，据此即可求得a、b的范围，即可求得． 【详解】（1）解：数轴上表示2和−3的两点之间的距离为： ； （2）解：数轴上表示数a的点位于−3与5之间， ， （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值， 最小值为：， 故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小， 故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值2， 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值9， 此时， 的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，熟练掌握和运用绝对值的几何意义是运算解决本题的关键． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______； （2）当取最小值时，x可以取整数_______； （3）最大值为_______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．    【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；（2），0，1，2，3；（3）4；（4）便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【分析】（1）根据题意即可得出结论； （2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果； （3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值， 即可求出结果； （4）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得， 的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和， ∴当时，取最小值， 即当x可以取整数，0，1，2，3； 故答案为：，0，1，2，3． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最大值， 的最大值是：． （4）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时， 取得最小值， 此时， 答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键． 例2（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M，N表示的数分别为，3，则线段的长度可以这样计算或，那么当点M，N表示的数分别为m，n时，线段的长度可以表示为或． 请你参考小兰的发现，解决下面的问题． 在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c 给出如下定义：若，则称点B为点A，C的双倍绝对点． (1)如图1， ，，点D，E，F在数轴上分别表示数，5，6，在这三个点中，点　 是点A，C的双倍绝对点； (2)点B为点A，C的双倍绝对点 ①，，求b的值； ②，，求c的值． 【答案】(1)E (2)①或3；②或 【分析】（1）根据双倍绝对点的定义可列式计算即可求解； （2）①根据双倍绝对点的定义可列式计算即可求解； ②由已知条件结合新定义可得，再分两种情况：①当时，②当时，列算式计算即可求解． 【详解】（1） 解得或， ∴点E是点的双倍绝对点， 故答案为：E； （2）①因为，点B为点A，C的双倍绝对点 所以 因为， 所以， 解得或3； ②因为点B为点A，C的双倍绝对点 所以 又因为，所以 因为， 所以，或， 当时，， 解得； 所以，或 当时，， 解得； 当时， 解得： 综上，c的值为或 【点睛】本题主要考查绝对值，数轴，有理数的减法，属于新定义题型，注意分类讨论解问题． 例3（24-25七年级上·江苏淮安·期末）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)当取最小值时，x可以取整数 ； (3)最大值为 ； (4)的最小值为 ； 【解决问题】 (5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离 (2)-1，0，1，2，3 (3)4 (4)7 (5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【分析】（1）根据题意即可得出结论； （2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果； （3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值， 即可求出结果； （4）的几何意义是表示x的点到的点和到的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果； （5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得， 的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和， ∴当时，取最小值， 即当x可以取整数，0，1，2，3； 故答案为：，0，1，2，3． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最大值， 的最大值是：． （4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点和到表示的点和表示1的点的距离之和， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时，的值最小，最小值为7； 故答案为：7． （5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示3的点的线段上，有最小值，即， 当时， 取得最小值，此时， 答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键． 例4（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1) (2)10或8 (3)的最小值是7，此时 (4) 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键． （1）求出，，4的绝对值，比较即可解答； （2）分和，两种情况，利用两点间距离公式计算即可； （3）根据绝对值的几何意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时，求的值为8或10； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：， 此时：； （4）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：； 此时：． 1．当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|-|x-1|的值最大是 ，最小是 . 【答案】 0 -1 【详解】根据当|x-2|+|x-3|的值最小时，即可求得x的范围是2≤x≤3，且最小值是1，化简|x-2|+|x-3|-|x-1|，即可把x分成1≤x＜2和2≤x≤3两种情况，在每个范围内分别取一个值，代入即可求得 解：当|x-2|+|x-3|的值最小时，2≤x≤3， 又因为1不在2和3之间，所以可令x=2， 则|x-2|+|x-3|-|x-1|=0， 令x=3，则|x-2|+|x-3|-|x-1|=-1， 所以，所求最大值为0，最小值为-1 2．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 －1 1 【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问． 【详解】∵， ∴ 即 ∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2， ∴ ∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和， ∴当x取中间值1时，和为最小值为2023； 故答案为：-1,1 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）当 时，的值最小，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，化简绝对值，表示到各个点的距离之和，最中间的点为，进而得到当，的值最小，进行求解即可．掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：表示到的距离之和，最中间的点为， ∴当时，的值最小为： ； 故答案为：． 4．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 5．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）当 时，最小． 【答案】2 【分析】根据绝对值得性质可知，故当时，的值最小，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，的值最小， ∴当时，的值最小． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，理解并掌握绝对值非负数的性质是解题关键． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______； 表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． (2)若|a-3|=6， |b+2|=3， 且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是 最小距离是_________． (3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______． (4)当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小， 最小值是________． 【答案】（1）1， 3 ，（2）14，2，（3）9，（4）1，9 【分析】（1）根据数轴两点间的距离用右边点表示的数减去左边点表示的数即可 （2）利用A点在3点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，利用B点在-2点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，比较大小，再求最大与最小值即可 （3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，确定|a+4|=a+4，|a-5|=5-a化去绝对值再计算即可， （4）分类讨论化去绝对值符号，确定每个范围内的最大与最小值，最后找出最小的值即可． 【详解】（1）3-2=1，1-（-2）=1+2=3， （2）|a-3|=6，若a<3,3-a=6，a=-3，若a>3，a-3=6，a=9， |b+2|=3，若b<-2，-b-2=3，b=-5，若b>-2，b+2=3，b=1，-5<-3<1<9 |a-b|最大值=9-（-5）=9+5=14，|a-b|最小值=（-3）-（-5）=-3+5=2， （3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，a>-4，a+4>0，a<5，a-5<0， |a+4|+|a-5|=a+4-（a-5）=a+4-a+5=9， （4）当a<-5时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a-a-5+4-a=-3a>15， 当-5≤a<1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a+a+5+4-a=10-a， 9<10-a≤15， 当1≤a<4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+4-a=a+8， 9≤a+8<12， 当a≥4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+a-4=3a≥12， 当a=1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的最小值为9． 故答案为（1）1， 3，（2）14， 2，（3）9，（4）1，9． 【点睛】本题考查主要涉及的知识为数轴与绝对值，借助数轴比较大小，化简绝对值是解题关键． 7．（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键熟练掌握绝对值的意义． （1）一共有123个数，求出，代入求值即可； （2）将原式变形后，得出，代入求值即可． 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 8．（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【答案】（1）①4；②x，；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；③18 【分析】（1）①按照化简绝对值的求法即可； ②，根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离； （2）①通过观察，比较可得点在点、之间时，可使到的距离与到的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点在点处时，到，，三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：（1）①； 故答案为：4； ②， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，； （2）①点可能在点的左边，点和点之间，点的右边； 当点在点的左边或点的右边时，的长度均大于的长度； 当点在点和点之间时，的长度等于的长度． 当材料供应点在点和点之间时，到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间； ②当点在点处时，到，，三点的距离之和为的长度； 当点在除点外的任意位置时，到，，三点的距离之和均大于的长度． 材料供应点应设在点，才能使到，，三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点在点、之间时，到，，，四点的距离之和为的长度； 当点在除点、之间的任意位置时，到，，，四点的距离之和均大于的长度； 材料供应点应设在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小； 故答案为：点、点之间； （3）①， 在点和4之间．代数式的最小值； 故答案为：7； ②， 时．代数式的最小值； 故答案为：8； ③， 在2和之间，代数式的最小值； 故答案为：18． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离的意义；通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 9．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题： (1) (2)若，求x的值 (3)解决问题： ①若，利用数轴求出的整数值 ②取最小值时，相应 ，最小值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点距离； （1）直接去绝对值即可； （2）分情况讨，化简绝对值，然后解方程，即可求解； （3）①根据数轴的点到与的距离为，可得答案； ②①根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵ 当时，即时，原方程为，解得：， 当时，即时，原方程为，解得：， ∴或； （3）①如图所示， ∵到的距离为， ∴，则 ∴的整数值为 ②当式子取最小值时，则相应的，最小值是4； 故答案为4，4． 10．（23-24七年级上·福建泉州·期中）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离． (1)已知点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且． ①　　，　　． ②P是数轴上任意一点，且点P表示的数是x，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小哲的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小哲家在O处，自习室A在小哲家西边60米处，B在小哲家东边180米处，C在小哲家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小?最小值为多少?    【答案】(1)①，；②的最小值为 (2)小浩把复印店开设在自己家和自习室B之间，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值为240米 【分析】（1）本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0可求出a，b，再由的几何意义可求其最小值； （2）本题考查了数轴上两点间的距离，判断出点P在之间时，取最小值为；点P在之间时，取最小值为，即可得到的最小值是． 【详解】（1）解：①因为， 所以，， 所以，， 所以，， 故答案为：，； ②因为的意义是点P到数轴上表示和4的点的距离之和， 所以点P在和4之间时，取最小值， 即的最小值为． （2）解：由题意得：（米），（米）， 由（2）可知：当点P在之间时，取最小值为；当点P在之间时，取最小值为， 所以当点P在之间时，的值最小，最小值为（米）， 即小浩把复印店开设在自己家和自习室B之间，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值为240米． 11．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而；表示和2两点之间的距离是5：而；表示和两点之间的距离是3，而，一般地，数轴上表示m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么　 　 (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间，求的值：    (3)当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．    【答案】(1)10或 (2)； (3)时，的值最小，最小值是7． 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）先求得和的符号，再化简绝对值，再计算即可求解； （3）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案． 【详解】（1）解：如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：， 则或， 那么或， 故答案为：10或； （2）解：若数轴上表示数a的点位于与3之间， ，， 则； （3）解：∵表示数轴上数a和数，1，3之间的距离之和， ∴时距离的和最小， ∴． ∴时，的值最小，最小值是7． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小． 12．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)西门和端履门； (2)①1；②1；③满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； (3)到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【分析】（1）观察图形可直接得出答案， （2）表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和；表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差；分情况讨论：当时，当时，当时，去绝对值化简即可； （3）根据这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是位于中间的两个可求得答案． 【详解】（1）解：由图可知，到广济街的距离等于两站的地方是西门和端履门； （2）解：①在数轴上表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和， ∴当a在点1和点2之间（包括1和2），即时，的值最小，最小值为； 解：②在数轴上表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差， ∴当时，的值最大，最大值为1； 解：③∵， ∴当时，， ∴； 当时，满足条件的所有站地表示的数为0或1； 当时，， ∴； 综上，满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； （3）解：这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是是位于中间的两个，即广济站和钟楼站， 最小值是：， ∴到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离及绝对值的化简法则等知识点，数形结合并分类讨论是解题的关键． 13．（24-25七年级上·广东深圳·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和5的两点之间的距离是 ． （2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么 ． ②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值． ③当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①4，②5（3）①9或；②7；③1 【分析】（1）根据两点之间的距离较大的数较小的数可得结论； （3）①根据绝对值的意义可得，解方程即可；②根据的取值范围化简绝对值，再合并即可；③分析得出表示一点到、1、2三点的距离的和，据此可解． 【详解】解：（1）①数轴上表示7和3的两点之间的距离是， ②数轴上表示和的两点之间的距离是， ③数轴上表示和5的两点之间的距离是， 故答案为：①4，②5，③8； （3）①， ，或， 解得：或， 故答案为：9或； ②数轴上表示数的点位于与2之间， ， ，， ； ③表示一点到、1、2三点的距离的和， 又， 当时，该式的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查了数轴在两点之间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键． 14．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为，比如表示3的点与﹣2的点之间的距离表示为；可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数﹣2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时x的取值范围为，    请根据以上材料，解答下列问题： (1)的最小值是 　　；当　时，的值最小． (2)当的最小值是时，求出a的值． (3)若的最小值是b，经探究发现b会随着a的变化而变化，但a在某一范围内变化时，b的值不变，请求出a的这一范围和相应b的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据绝对值的意义，得到当时，两个距离之和最小，以及当时，三个距离之和最小，进行计算即可； （2）根据绝对值的意义，得到当时，的值最小为3，再根据的最小值为，得到，即可得到的值； （3）由绝对值的意义，得到当时，的值最小为4，当时，的值最小为1，当时，有最小值为0，进而得到当，且时，始终有最小值为5，即可． 【详解】（1）解：表示到的距离和到的距离之和， ∴当时，最小为； 由绝对值的意义可知，当时，的值最小为； 故答案为：； （2）由绝对值的意义，可知，当时，的值最小为3，又的最小值为， ∴当时：，即：， ∴； （3）由绝对值的意义，可知当时，的值最小为4，当时，的值最小为1，当时，有最小值为0， ∴当，且时，始终有最小值为5， 即：，． 【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离公式，以及绝对值的意义，利用数形结合的思想进行求解． 15．（24-25七年级上·浙江台州·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：    (1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 ___________个单位（其中点C不与点A重合）． (2)若在表示﹣1的点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长，小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步…按此规律继续跳下去，那么跳第99次时，应跳 ___________步，落脚点表示的数是 ___________； (3)若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 ___________种，其中移动所走的距离和最小的是 ___________个单位； (4)若数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是 ___________． 【答案】(1)3 (2)197， (3)3，7 (4)7 【分析】（1）由AB＝2，结合数轴即可得出点C向左移动的距离； （2）根据规律发现，所跳步数是奇数列，写出表达式，然后把n＝100代入进行计算即可求解，根据向左跳是负数，向右跳是正数，列出算式，然后两个数一组，计算后再求和即可，当跳了n次时，分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求解； （3）分为三种：移动B、C；移动A、C；移动A、B．然后计算每种情况移动所走的距离和即可； （4）根据绝对值的意义和线段的性质，两点之间，线段最短，可知当−5≤x≤4时，|x＋1|＋|x−4|＋|x＋5|有最小值． 【详解】（1）解：由数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：−2、3， 所以当C、B两点的距离与A、B两点的距离相等时，需将点C向左移动3个单位， 故答案为：3； （2）∵第1次跳1步，第2次跳3步，第3次跳5步，第4次跳7步， … ∴第n次跳（2n−1）步， 当n＝99时，2×99−1＝198−1＝197， 此时，所表示的数是：−1−1＋3−5＋7−…＋195−197 ＝−1＋（−1＋3）＋（−5＋7）＋…＋（−195＋197） ＝−1−197＋2× ＝−100； 故答案为：197，−100； （3）有3种方法：①移动B、C，把点B向左移动2个单位长度，把C向左移动7个单位长度，移动距离之和为：2＋7＝9； ②移动A、C，把点A向右移动2个单位长度，把C向左移动5个单位长度，移动距离之和为：2＋5＝7； ③移动B、A，把点A向右移动7个单位长度，把B向左右移动5个单位长度，移动距离之和为：7＋5＝12． 所以移动所走的距离和最小的是7个单位， 故答案为：3，7； （4）∵|x＋4|≥0， |x＋2|≥0，|x−3|≥0， 当x≥3，原式＝x＋4＋x＋2＋x﹣3＝3x＋3 最小值为x＝3时，3x＋3＝12， 当−2≤x＜3时，原式＝x＋4＋x＋2﹣x＋3＝x＋9 最小值为x＝−2时，x＋9＝7， 当−4＜x＜−2时，原式＝x＋4﹣x﹣2﹣x＋3＝−x＋5 最小值大于7， 当 x≤−4时，原式＝﹣x﹣4﹣x﹣2﹣x＋3＝−3x−3， 最小值为x＝−4时，−3x−3＝9， 综上，的最小值是7， 故答案为：7． 【点睛】本题借助数轴考查了数轴上两点之间的距离的求解问题，以及数字变化规律的探讨问题，综合性较强，难度较大，但只要仔细分析，从中理清问题变化的思路便不难求解，此题计算求解时一定要仔细认真． 16．（24-25七年级上·陕西西安·期中）问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究 (1)若，则　 　． (2)若，则　 　． (3)若，则　 　． 问题解决 (4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)5或4 【分析】（1）根据绝对值的意义得出或，求出x的值即可； （2）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可； （3）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可： （4）先分类讨论求出m为3或，再根据绝对值的意义求出，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得：或． 故答案为：或． （2）解：分三种情况讨论： ①时，化简为：，此方程无解； ②时，化简为：，解得； ③时，化简为：，此方程无解． 故答案为：． （3）解：分三种情况讨论： ①时，， 化简得：，解得； ②时，， 化简得：，此方程无解； ③时，， 化简得：，解得． 故答案为：或． （4）分三种情况讨论： ①时，，化简，解得； ②时，，化简，此方程无解； ③时，，化简，解得． ∴m为3或， ∵表示数轴上的点到，，这三个点的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴或． 故答案为：5或4． 【点睛】本题主要考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，注意进行分类讨论． 17．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为，即5到0点的距离．又如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； (2)利用上面的知识回答：数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是___________，如果，那么x的值为___________； (3)应用： 小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和|的最小值是：___________． (4)拓展：的最小值是：___________． 【答案】(1)3，3，4 (2)，1或 (3)1 (4)625 【分析】（1）根据两点间的距离公式直接得出即可； （2）根据两点间的距离公式直接得出即可； （3）根据两点间线段最短，即可得到答案； （4）x在25～26之间和最小． 【详解】（1）解：根据两点间的距离公式得： ； 故答案为：； （2）根据两点间的距离公式得：=， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 故答案为：，或1； （3）根据两点之间线段最短可知，x在1～2之间， 即； 故答案为：1； （4）由（3）可知x在25～26之间， ， 故答案为：625． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是数轴上两点间的距离，两点之间线段最短这两个知识点的运用． 18．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们需要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形： 如果直线上只有2台机床，时，很明显供应站P设在和之间的任何地方都行，距离之和等于到的距离； 如果直线上有3台机床、、，供应站P应设在中间一台机床处最合适，距离之和恰好为到的距离； 如果在直线上4台机床，供应站P应设在第2台与第3台之间的任何地方； 如果直线上有5台机床，供应站P应设在第3台的地方； (1)阅读递推：如果在直线上有7台机床，供应站P应设在（     ）处． A．第3台        B．第3台和第4台之间        C．第4台        D．第4台和第5台之间 (2)问题解决：在同一条直线上，如果有n台机床，供应站P应设在什么位置？ (3)问题转化：在数轴上找一点P，其表示的有理数为x．当_______时，代数式取到最小值，此时最小值为___________． 【答案】(1)C (2)当n为奇数时，供应站P应设在第台的位置；当n为偶数时，供应站P应设在第台第台之间的任何位置 (3)50，2450 【分析】（1）从所给材料中找出规律即可求解； （2）分n为奇数和n为偶数两种情况，找出规律即可求解； （3）根据绝对值的几何意义和连续整数的和的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知： 直线上有3台机床，供应站P应设在中间一台机床处最合适， 直线上有5台机床，供应站P应设在中间一台机床处最合适， 以此类推，如果在直线上有7台机床，供应站P应设在中间一台机床处最合适， 故选C； （2）解：由题意知： 当n为奇数时，供应站P应设在第台的位置； 当n为偶数时，供应站P应设在第台和第台之间的任何位置； （3）解：1到99最中间的数为：， 应用（2）中结论可知，当时，代数式取到最小值， ， 即当时，代数式取到最小值，最小值为． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离、有理数的混合运算等，解题的关键是掌握从特殊到一般和分类讨论的方法． 19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______，表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|，如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么a=_____． (2)若数轴上表示数a的点位于与4之间，则的值为______． (3)当a=_____时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)3，5，或1 (2)6 (3)7 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的定义解答即可； （2）根据数轴上两点之间距离的定义求解即可； （3）根据数轴上两点之间距离的定义解答即可． 【详解】（1）解：由数轴上两点之间的距离公式可知：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是； ∵数a和的两点之间的距离是2， ∴或． 故答案为：3，5，或1； （2）解：表示数a的点到4和表示的点的距离之和， ∵表示数a的点位于与4之间， ∴数a的点到4和表示的点的距离之和等于4和表示的点的距离， ∴． 故答案为：6． （3）解：表示数a的点到、1和4表示的点的距离之和， ∵当时，距离之和等于与4之间的距离，此时最小， ∴最小值是． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值的意义，以及数轴上两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用两点间距离的定义解答． 20．（24-25七年级上·浙江台州·期中）同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|-4+6|=______；|-2-4|=______； （2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立； （3）若数轴上表示数a的点位于-4与6之间，求|a+4|+|a-6|的值； （4）当a=______时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是______； （5）当a=______时，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，最小值是______． 【答案】（1）2，6；（2）-2，-1，0，1；（3）10；（4）1， 9；（5）1， 4n+1. 【分析】（1）用绝对值定义可以求解； （2）即整数x与-2的距离加x与1的距离和为3，则-2≤x≤1，则所有符合条件的整数x有：-2，-1，0，1； （3）即：-4≤x≤6，则|a+4|+|a-6|=10； （4）取-5，1，4三个数的中间值即可，即a=1，则最小值为9； （5）依据（4）取-2n，-2n+1，…1，2，3…，2n+1的中间值1，则最小值为2n+1-（-2n）=4n+1． 【详解】（1）2，6； （2）即整数x与-2的距离加x与1的距离和为3，则-2≤x≤1， 则所有符合条件的整数x有：-2，-1，0，1； （3）即：-4≤x≤6，则|a+4|+|a-6|=10， 故答案为10； （4）取-5，1，4三个数的中间值即可，即a=1， 则最小值为9， 故答案为1，9； （5）依据（4）取-2n，-2n+1，…1，2，3…，2n+1的中间值1， 则最小值为2n+1-（-2n）=4n+1， 故答案为1，4n+1． 【点睛】本题考查的是绝对值的定义，按照题目的逻辑思路即可求解，本题难度较大． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$