专题06 线段中的五类动态模型（几何模型讲义）数学湘教版2024七年级上册

该初中数学讲义通过分类梳理构建线段动态问题知识体系，以框架图呈现中点与和差倍分、定值、存在性、分类讨论、新定义五类核心模型，清晰展示各模型的重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于真题导向的模型化训练，如存在性模型探究题引导学生设未知数列方程解决动态问题，培养推理意识与模型意识。分层例题和方法总结助力不同层次学生掌握，为教师实施精准复习提供系统支持。

专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，． （2）解：设运动时间为t，则，，，， 又，，即， ，，； （3）解：当点N在线段上时，如图 ，又，，，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ，又，，即． 综上所述的值为或． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 【答案】(1)   (2)①　②　③ 【详解】（1）解：因为，所以． 因为，所以．所以．故答案为：    （2）①设，则，． 根据题意，得 解得 ．．所以． ②根据题意，得，．，． 根据题意，得解得 ③设．当点在点的左侧时：，，， ，可得解得；所以． 当点在点的右侧时：，，． ．可得 解得 所以．综上所述，或．故答案为：或 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点C是线段的中点，且，若，则线段（   ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差、两点间的距离、线段的中点等知识点，掌握两点间的距离、线段中点的定义是解题的关键． 由点C是线段的中点，，则，再根据可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 例2（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，在线段上有一点，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的中点及线段的和差计算，熟练掌握线段中点的定义和分类讨论线段的位置是解题的关键． 先根据线段中点的定义求出、的长度，再结合求出，最后分情况计算的长度． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： 当在右侧时，； 当在左侧时，． 故答案为：或． 例3（25-26七年级上·全国·月考）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧 (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，线段的和差，比较难，需要熟练进行分类讨论． （1）根据，，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，根据中点定义即可求的长； ②分情况讨论，即点在点的左侧或右侧，分别讨论即可解答； （2）根据，，线段在直线上移动，满足关系式，可以设，，用含和的式子表示线段长，从而得出与的等量关系，即可求出的值． 【详解】（1）解：，，， ，， ①如图， 为中点， ， ， ； ②分两种情况：i）当点E在点F的左侧，且E在线段上，如图， ， ， ， ， ； 当点E在点F的左侧，且E在线段上，如图， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得，此时，（不合题意舍去） ⅱ）当点E在点F的右侧，如图， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得（不合题意舍去） 综上所述，的长为； （2）解：，，满足关系式， Ⅰ、当点在点右侧时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ． Ⅱ、当点在点左侧时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ． 点在点右侧，及点在点右侧， 无解，不符合题意； 当在线段内部时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，不符合题意，舍去． 其他情况不存在，舍去． 故答案为：或． 例4（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）线段，点C是上一点，，点D是的中点，求线段的长度． 【答案】线段的长度为． 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键．根据比例求出，根据中点求出，依据线段和差关系，由，代入数据计算即得． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 线段的长度为． 例5（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 【答案】（1）①，；②；（2）①；②1或4 【分析】此题考查解一元一次方程的应用、线段的中点、两点间的距离等知识与方法，解题的关键是理解和把握线段中点的定义． （1）①根据线段的和差解答即可； ② 设为，表示出长，再列出方程，计算即可； （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，时间为3秒，则； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为6秒，当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当为中点，，即，计算求解即可；②当为中点，，即，计算求解即可；当绕点顺时针旋转时，时间为秒，为中点，，即，计算求解即可． 【详解】解：（1）①， 故答案为：，． ②设， ， ， 是线段中点， ， ， ， ． （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒）， ∴， 故答案为：； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， 当为中点，，即， 解得； 当为中点，，即， 解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即， 解得． 综上，的值为1或4． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)是定值，值为2 【分析】本题考查了数轴上动点问题、多项式的定义，根据二次多项式的次数及系数，掌握数轴上两点间的距离的表示方法，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）根据代数式是关于的二次多项式，得出，代数式，二次项的系数为．得出，由．可列方程求解即可； （2）设点P的出发时间为t秒，则，，，，，当时，根据线段的和差得到，，即可求出比值；当时，此时点Q与点A重合，，点F对应的数值为，点E对应的值为，进而得出，，即可求出比值． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b， ，， ， ， ， ， ， ，，． （2）设点P的出发时间为t秒， 由题意得：，，，，， 当时，如图1， ， ， ∴； 当时，此时点Q与点A重合，如图2， 此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧， ， 点E对应的值为， ， ， ， ； 综上，的值是定值，值是2． 例2（25-26七年级上·北京·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)直接写出当为何值时，． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)， (2)或 (3)线段的长度不发生变化，长度为5，理由见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，两点之间的距离，绝对值的几何意义，解含绝对值的方程，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据动点的平移表示出点表示的数即可； （2）根据两点之间的距离，利用绝对值的几何意义，列出方程，然后求解即可； （3）根据中点公式表示出两个中点，然后利用绝对值的几何意义，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：根据题意得， 解得或； （3）解：线段的长度不发生变化，长度为5，理由如下： 根据题意得，点所表示的数为， 点所表示的数为， 线段的长为， ∴线段的长度不发生变化，长度为5． 例3（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ． (2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，？ ②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 【答案】(1)10或30 (2)①t为1或5；②2或4 【分析】（1）分两种情况：点C在线段上，点C在线段的延长线上，进行讨论即可求解； （2）①分两种情况：点Q在点D的左侧，点Q在点D的右侧，利用中点的定义和线段的和差列出方程即可求解； ②分三种情况：点P，R相遇前；当点P，R相遇后，且点P到达点B前；当点P，R相遇后，且点P到达点B后，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：点C在线段上， ∵，， ∴； 点C在线段的延长线上， ∵，， ∴ ∴． 综上分析可知：或30． （2）解：①点Q在点D的左侧， 依题意有， 解得； 点Q在点D的右侧， 依题意有， 解得． 综上分析可知：当t为1或5时，； ②根据题意可知： ∵点D在线段上，， ∴， 点P，R相遇时， ， 解得， 点P，R相遇前，即当时，，， ， 点P，R相遇后，即当时，，， ， 综上可得； 当时，， ； 点P到达点B时，， 解得， 当点P到达点B前，即当时，， 当点P到达点B后，即当时，， 综上可得； 点P，R相遇前，即当时， ， ， 点P，R相遇后，即当时， ， ， 综上可得； 当时，分三种情况： 当点P，R相遇前，即当时， 依题意有， 解得； 当点P，R相遇后，且点P到达点B前，即当时， 依题意有， 解得（舍去）； 当点P，R相遇后，且点P到达点B后，即当时， 依题意有， 解得． 综上分析可知：或4． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和线段的和差，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 例4（25-26七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知点C在线段上，且，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；    （2）若点C是线段上任意一点，且，点M、N分别是、的中点，请直接写出线段的长度 （用a、b的代数式表示）； （3）在（2）中，把“点M、N分别是、的中点”改为：点M、N分别是的中点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，请直接写出的长度． 【答案】（1）7cm；（2）cm；（3）会变化，． 【分析】本题考查线段中点有关的计算，线段的和差． （1）由中点的定义得到，再利用，即可得出结果； （2）同法（1）进行求解即可； （3）同法（1）进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，点M、N分别是、的中点， ∴， ∴； （2），点M、N分别是、的中点， ∴， ∴； 故答案为：； （3）会； ∵，点M、N分别是、的中点， ∴，， ∴． 例5（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在数轴上点A表示，点B表示b，点C表示c，并且是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当时，分别求的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)，1，8； (2)①，；②变化，理由见详解． 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，线段的和差，整式的加减运算； （1）根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，再结合数轴可得答案； （2）①根据题意得，，再代入即可求解； ②根据，，表示出，再根据整式加减求解即可． 【详解】（1）解：多项式的二次项系数是，则， 数轴上最小的正整数是1，则， 单项式的次数为8，则， 故答案为：，1，8； （2）解：①∵，， ∴当时，，； ②不改变，∵，， ∴． ∴的值随着时间的变化而改变． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，，点在线段的延长线上，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键，中点得到，进而得到，根据，得到，推出，进而得到，得到即可． 【详解】解：∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 例2（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为 【答案】/ 【分析】此题主要考查了线段的计算，线段中点的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差运算是解决问题的关键； 设，根据线段中点的定义得，求得的长度，再根据，然后根据即可得出的值； 【详解】解：设，， ， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ， 整理得：， ， ， 解得：； 故答案为： 例3（25-26七年级上·福建泉州·期中）我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段的长表示为．当点C为线段中点时，即时，点C表示的数为请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为秒 (1)当时，动点Q表示的数为______；当时，动点Q表示的数为______；用含t的代数式表示 (2)分别取和的中点E， ①当时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①t的值为秒或秒；②存在常数m，使得的值是定值，m的值为 【分析】（1）利用当时动点Q表示的数=点B表示的数点Q的运动速度点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当时动点Q表示的数；利用当时动点Q表示的数=原点表示的数+点Q的运动速度点Q的运动时间，可用含t的代数式表示出当时动点Q表示的数； （2）①分及两种情况考虑，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分及两种情况，可找出，，的值，结合的值是定值，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 当时，动点Q表示的数为； 当时，动点Q表示的数为 故答案为：； （2）①当时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：， 解得：； 当时，点E表示的数为，点F表示的数为， 根据题意得：， 解得： 答：t的值为秒或秒； ②当时，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， ， ， 若的值是定值，则， 解得：； 即时，为定值，该定值为0； 当时，点Q表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， ， ， 若的值是定值，则， 解得： 综上所述，存在常数m，使得的值是定值，m的值为． 【点睛】本题考查了数轴与动点，熟练掌握路程与速度和时间的关系，动点在数轴上表示的数，两点之间的距离，一元一次方程的应用，分类讨论，是解题的关键． 例4（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)， 【分析】（1）求出当时，， ，然后列式求解即可； （2）首先求出点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为，然后分两种情况列式即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，分别表示出求解即可． 【详解】（1）当时，， ∴； （2）∵，点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，点P以的速度从点A沿线段向点B运动， ∴点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为 ∴当时， ∴； 当时，； （3）当时，，， ∵点C为中点， ∴，即 解得，（此时点三点重合，舍去）； 当时，，， ∵点C为中点， ∴，即， 解得 综上所述，； （4）当时， ∵点D是线段的中点， ∴ ∴ ∴的长度随t的变化而变化 当时， ∴ ∴，是定值 ∴当时，的长度不变，为3． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 例5（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，线段，A是线段的中点，B是线段的中点． (1)求线段的长． (2)若线段上存在一点C位于点A的右侧，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的性质，两点间的距离，线段的和差定义，灵活掌握线段中点性质以及线段和差定义是解题的关键． （1）根据线段中点的性质，算出的长，由即可求解； （2）先算出的长，再由即可求解． 【详解】（1）解：，A是的中点， ． ∵B是的中点， ， ； （2）解：，， ． ∵点C在点A的右边，， ∴的长为． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为，分别表示出和的长，再结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：线段，O是线段上的中点， ， 设运动时间为，则， ， ， 点P沿以的速度运动， 分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，， ， ， ， 或， 解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：C． 例2（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 例3（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①，②线段的长为或 【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键； （1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解； （2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解； ②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ， 故答案为：， （2））①由题意，得，， 当点，相遇时，，， 则， 所以， 因为， 所以， 所以； ②由①可得，， 因为， 所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，， 故线段的长为或． 例4（24-25七年级上·吉林长春·月考）如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示的长 (2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？ (3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列结论：①的长度不变；②的值不变．其中正确的结论是__________，请求出其值． 【答案】(1)或； (2)当点在射线上运动时，出发秒后； (3)①，12． 【分析】本题考查了线段中点以及线段的和差，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先表示出，再根据点的位置分别表示出的长即可； （2）根据题意得，根据点的位置分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （3）当点在线段的延长线上运动时，根据线段中点，得到，，再计算线段的和差即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为秒，则， 当点在线段上时，， 当点在的延长线上时，， 综上可知，的长为或； （2）解：，点为的中点， ， ①当点在线段上时，此时，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，此时，， ，此方程无解； 即当点在射线上运动时，出发秒后； （3）解：当点在线段的延长线上运动时， ，， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， 的长度不变，①结论正确； ，， ， 的值是变的，②结论错误． 例5（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·福建莆田·期中）已知点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的K倍，则称P是的“K倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图，为数轴上三点，回答下面问题： ①______； ②若点D是数轴上一点，且，求点D表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为25，点M，N为线段上的两点，且，，求线段的长度． 【答案】(1)①4；②3或11 (2)5或7.5 【分析】本题考查一元一次方程的几何应用，数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据新定义，求得即可求解； ②根据新定义分两种情况：点在线段上和点在线段的延长线上，分别求解即可； （2）根据新定义得到，设，分点在的左边和右边两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：①由数轴知， ∴，则， 故答案为：4； ②∵点是数轴上一点，且， ， ∵点表示的数为，点表示的数为5， ， 当点在线段上时，，点表示的数为， 点在线段的延长线上，，点表示的数为， ∴点表示的数为3或11； （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为25， ， ， ， 设，则， ∵点为线段上的两点， ∴分两种情况， 当点在的左边时，如图， ， 解得：， ， 当点在的右边时，如图， ， 解得：， ， 综上可知：的长为5或7.5． 例2（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式进行解答即可； （2）设线段、的中点为、，分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式列出关于的方程，解方程即可求出的值； （3）设数轴上点、对应的数分别为、，则点所对应的数，依据相对离散度的计算公式分别得出、，根据，得到关于、的方程，然后运用分类讨论思想，最终得出的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5， ，线段的中点表示的数是， ，线段的中点表示的数是， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：设线段，的中点为，， 数轴上的点O表示的数是0，点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数是2， ，， 点，在数轴上表示的数分别为，， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 解得：或， 的值为或； （3）解：，理由如下： 设数轴上点、对应的数分别为、， 数轴上点、都在点的右侧（其中、不重合）， ，，且， ，，， 点是线段的中点， 点所表示的数， 设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 同理可得：， ， ， 分四种情况讨论： 当，时， 解得：， 、不重合， ， 此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：， 同样，此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：； 当，时， 解得：； 综上，， ， ， ， 即：， ， 即：， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，等式的性质，绝对值方程等知识点，准确理解题目中的定义与公式并能熟练应用是解题的关键． 例3（24-25七年级上·河北张家口·期中）已知数轴上两点A、B，若在数轴上存在一点C，使得，则称点C为线段的“n倍点”．例如如图1所示：当点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为0，有，则称点C为线段的“1倍点”． 请根据上述规定回答下列问题： 已知图2中，点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为x． (1)当时，点C______（填“一定是”或“一定不是”或“不一定是”）线段的“1倍点”； (2)若点C为线段的“n倍点”，且，求n的值； (3)若点D是线段的“2倍点”，则点D表示的数是多少？请说明理由． 【答案】(1)一定是 (2)1.5 (3)或3，见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程， （1）根据数轴上两点距离公式求出与之间的关系即可得到答案； （2）根据数轴上两点距离公式求出长，进而求出与之间的关系即可得到答案； （3）设点D表示的数为m，根据两点距离公式结合已知条件得到，据此求解即可； 正确理解题意熟知“n倍点”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解∵点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为x， ∴， ∵， ∴， ∴点C一定是线段的“1倍点”， 故答案为：一定是； （2）解：点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设点D表示的数为m， ∴， ∵点D是线段的“2倍点”， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，此时不满足题意； 当时，则，解得； 综上所述，点D表示的数为或3， 故答案为：或3． 例4（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）（1）根据下图补全作法： ①已知线段a，b，作射线， ②在射线上依次截取； ③：_________． 结论：如图，线段即为所求．此时_________．（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的作图基础上，若，，E为线段的中点，F为线段的中点，求线段的长． （3）如图，折线由有公共端点B的两条线段，组成，点D把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“总长平分点”．已知点Q是折线的“总长平分点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】（1）在线段上截取，；（2）线段的长为；（3）4或 【分析】本题考查了作图，列代数式，两点间的距离，解题的关键是要结合题意进行分类讨论； （1）根据作图，列出代数式即可； （2）将，然后分别用进行表示求解即可； （3）提出一个新的定义——“总长平分点”，利用新的定义来解决问题，需根据题意进行分类讨论． 【详解】解：（1）解：由题意及图可知： ③在线段上截取， 此时， 故答案为：在线段上截取，； （2）如下图： 由题意知： ， 线段的长为； （3）解：如图3， ①在上， 点为线段的中点，， ， 点是折线的“总长平分点”， ， ， ， ， ， ； ②如图4，在线段上， 同理：， ， ， ， 故答案为：4或． 例5（24-25七年级上·吉林长春·期末）课题学习：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点．如图①，点C是线段的中点，可以写成，或． 学以致用： (1)如图②，点C是线段的中点，点M、N分别是线段、的中点，若，则线段的长为________cm； (2)如图③，点C是线段上的一点，点M、N分别是线段、的中点，若，求线段的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法是解题的关键． （1）根据题意，推出，可知，即可求出答案； （2）根据线段中点的性质得到，再根据，代入计算即可． 【详解】（1）解：M是的中点，N是的中点， ， ， ， 故答案为：． （2）解：M是的中点，N是的中点， ，， ， ， ． 1．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，点、、在同一直线上，，，点、分别是、的中点，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和与差计算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先求出线段的总长，再根据线段的中点的定义分别求出、的长，再根据即可求解． 【详解】解：点、、在同一直线上，，， ， 又点、分别是、的中点， ，， ． 故选：D． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，掌握知识点是解题的关键． 先由线段之间的关系得到，再由线段中点的定义可得，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴． 故选B． 3．（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，点是线段上一点，且的长度是的倍，点是线段的中点，那么 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的中点．首先根据的长度是的倍得到和的长，然后根据中点的性质得到的长，最后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵的长度是的倍， ∴， ∵，， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）已知有理数、满足，如图线段在直线上运动（点在点的左侧），，，下列结论①，；②当点与点重合时，点恰好为线段的中点；③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；④在线段运动过程中，若点为线段的中点，点为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据有理数的非负性，得，，可判断①；根据可判断②；根据线段的和差，分类解答，可判断③，分类计算可判断④． 本题考查了实数的非负性，线段的中点，线段和差倍分，熟练掌握性质和线段的中点是解题的关键． 【详解】解：∵，∴，，解得：， 故①正确. ∵，，∴， ∴当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点，故②正确. ∵当点与点A重合时， ∴点表示的数为4， ∵点B在点C的左侧，， ∴点表示的数为， ∵点P是线段延长线上的点， ∴，， ∴，即③正确； 分为五种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ； 第四种情况：当B、C在点A两侧时，如图： ； 第五种情况：当和都在右边时，如图： ， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点， 则线段的长度不变，即④正确. 综上所述，结论正确的是①②③④.， 故答案为：①②③④． 5．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确地画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 根据点A、B、C的相对位置，分两种情况讨论：点B在线段上或点A在线段上． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ①当点B在线段上时， ， 点D在线段上， ∴； ②当点A在线段上时， ， 点D在线段上，且， ∵， ∴点A在线段上， ∴， 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，点C在线段上，D，E分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变的前提下，若C为线段上任意一点（不与点A，B重合），且满足，请直接写出线段的长（结果中可以含有字母m）； (3)若点C在线段的延长线上（不与点B重合），且满足，点D，E分别是的中点，猜想线段的长（结果中可以含有字母n），并说明理由． 【答案】(1)13 (2)；理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了线段中点、线段的和差等知识点，能熟练利用线段的中点及线段的和差进行求解是解题的关键． （1）由线段的中点得、，由线段的和差得求解即可； （2）由线段的中点得、，由线段的和差得求解即可； （3）由线段的中点得、，由线段的和差得求解即可． 【详解】（1）解：∵D，E分别是的中点， ，， ． （2）解：；理由如下： ∵D，E分别是的中点， ∴、， ． （3）解：，理由如下： 如图：∵D，E分别是的中点， ∴、， ． 7．（25-26七年级上·山东济南·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离（当时，；当时，），线段的中点表示的数． 如图，数轴上点A，点B，点C表示的数分别为，2，3，点P，Q，R分别从A，B，C出发沿数轴的正方向移动，其中点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，点R的速度为每秒m个单位长度，线段的中点为D，运动时间为t． (1)当时，______； (2)试用含t的代数式表示点D表示的数； (3)若在运动过程中，点R始终在点D的右边，且R，D两点间的距离保持不变，试求m的值和的长度； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)m的值为3，的长度为5 (4)t的值为或 【分析】本题考查了数轴两点间的距离和一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意，将进行代入求解即可； （2）根据中点坐标公式求解即可； （3）先根据题意求出点R表示的数，再求出，再根据R，D两点间的距离保持不变进行求解即可； （4）先求出和，再根据进行分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，点表示的数：； 点表示的数：； ∴ 故答案为：4； （2）解：由（1）得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴线段的中点表示的数为：； （3）解：由题意得，点R表示的数：； ∴． ∵距离保持不变， ∴t的系数为0， ∴ 解得， 此时； （4）解：由题意得，，， ∵， ∴， 分情况讨论：当时：， 解得； 当时：， 解得； 当时：， 解得，故此情况无解． 综上所述，t的值为或． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 【答案】(1)①16，8；②14； (2)或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）①根据线段的和差关系求解即可；②先求得，再由点是的中点，可得，可得，最后由可得结果； （2）根据题意，分两种情况，画出图形，当点在点左侧时；当点在点的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， 故答案为：16，8； ②，， ， 点是的中点， ， ， ； （2）分两种情况： 如图所示，当点在点右侧时， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ， ， 如图所示，当点在点左侧时， 由条件可知，， ， 综上所述，的长为或． 9．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①、两点间的距离_______，线段的中点表示的数为_______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为_______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①,；②， (2)或 (3)不发生变化，线段的长为 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用含的代数式表示出点运动后表示的数是解题的关键． （1）①利用数轴上两点间的距离公式和线段的中点公式，即可求值；②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含的代数式得出点，表示的数； （2）先根据两点间的距离公式得出，进一步得，即可求出的值； （3）根据题意，先将点，点表示的数用含的代数式表示，再根据两点间的距离公式得出线段的长即可． 【详解】（1）解：①由题意得， ， 线段的中点表示的数为：． 故答案为：,； ②由题意得，秒后，点表示的数为：， 点表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， ． 又， ， 解得，或． 即当或时，． （3）解：不发生变化． 点为的中点，点为的中点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ． 答：线段的长度不发生变化，线段的长为． 10．（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 【答案】(1)，； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）设点所表示的数为，分和和 三种情况讨论即可； （3）①，的路程和为时，两点第一次重合，列方程解答即可； ②分，两点相遇前、，两点相遇后且点未到达点前、从点返回后三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：、两点间的距离， 线段的中点表示的数为：； （2）设点表示的数为， ∵， ∴． 当时，，； 当时，，此方程无解； 当时，， ∴； ∴点表示的数为或； （3）解：①， ∴； ②当，两点相遇前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当，两点相遇后，点未到达点前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当点从点返回后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴． ∴或或时，两点间距离为． 11．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 【答案】(1)①2；② (2)①；② (3)或10 【分析】本题考查了新定义、数轴上的点、相反数以及有理数的计算，解题的关键在于理解题意． （1）①根据新定义计算即可； ②根据倒数的性质和新定义计算即可； （2）①根据绝对值和相反数的性质和新定义计算即可； ②根据新定义求出，，的值，再比较大小即可； （3）分两种情况，点P在点O的右侧，点P在点O的左侧进行求解即可； 【详解】（1）解：①若点表示的数为1，则， ∴， 故答案为：2； ②∵点表示的数的倒数为， ∴表示的数， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点在原点O的左侧，且点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； ②∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数是3， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： ①当点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴； ②当点P在O点右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴的值为或10． 12．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【答案】(1)6，11． (2)①，，．②．③的值不变，为30． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，列代数式，整式的加减，线段中点的有关计算，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行求解即可； （2）①根据数轴上两点之间的距离进行求解即可； ②先求出，当动点M是线段的中点时，，列方程求解即可； ③将代入，根据整式的加减进行化简，即可解答． 【详解】（1）解：∵A，B，C，表示的数分别是，，7， ∴． 故答案为：6，11． （2）①∵点B表示的数是，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，点M表示的数为， ∵点C表示的数是7，动点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，N表示的数为， ∵点A表示的数是，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动， ∴t秒后，P表示的数为． 故答案为：，，． ②∵点M，N，P分别表示的数是，，，且点P在点M的左边，点N在点M的右边， ∴， 当动点M是线段的中点时，， ∴， 解得． 答：当时，动点M是线段的中点． ③∵， ∴ ． 答：的值不变，为30． 13．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，，是线段上一点，且．动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，运动的时间为 (1)，； (2)当时，的长为______； (3)用含有的代数式表示______； (4)当为的中点时，的值为______； (5)将线段折叠，使点和点重合，折点记为 ①在点、点运动过程中，、的距离为时，直接写出的值为 ②在点、点运动过程中，时，直接写出的值为___． 【答案】(1)； (2) (3) (4) (5)或 【分析】本题综合考查数轴上的线段比例、动点位置表示、中点性质及一元一次方程的应用； （1）根据，，即可求解； （2）当时，分别求得，，根据，即可求解； （3）根据题意分别表示出，，根据，即可求解； （4）依题意，，根据（3）的结论，列出方程，解方程，即可求解； （5）①根据题意得出点从左往右运动，分相遇前和相遇后，根据、的距离为，列出方程，解方程，即可求解； ②先求得，同①的方法，分相遇前和相遇后，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是线段上一点，且． ∴，， 故答案为：，． （2）当时，，， ∴， 故答案为：． （3）∵，，动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，，同时动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动 ∴当时，在上，在上， ∵，， ∴， 故答案为：． （4）依题意， ∴， 解得： ∴当为的中点时， 故答案为：． （5）①将线段折叠，使点和点重合，折点记为 ∴点从左往右运动， 相遇前，∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 相遇后， ∵， ∴， 解得：， ②折叠后为中点，， ∵， 当相遇时，，解得： 相遇前，，， ∵ ∴或 解得：（舍去）或（舍去） 相遇后， ∵ ∴或 解得：或 14．（25-26七年级上·河北唐山·期中）对于题目“已知、、在同一直线上，，，求的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二． (1)请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： 如图，点在线段上， ； 如图，点在线段延长线上， ．所以线段的长为或． 解法二：如图，在直线上，以点为原点，点向右的方向为正方向，线段的长为个单位长度建立如图所示的数轴．则：表示的数为，：表示的数为；因为，所以点表示的数为 ；所以线段的长为或． (2)已知、、、在同一直线上，，，，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． (3)已知线段，线段在直线上运动，且，在运动的过程中，若点、分别为线段、的中点，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． 【答案】(1) 解法一：， 解法二：或 (2)或或 (3)线段的长度为或． 【分析】本题考查数形结合的应用，数轴上两点间的距离，线段之间的和差． （1）解法一：根据线段的和差即可求解， 解法二：利用数轴上点的位置和两点间的距离即可求解； （2）解法一：按照点和点与线段的位置关系进行分类讨论，根据线段的和差计算即可；解法二：在直线上，以点为原点，点向右的方向为正方向，线段的长为个单位长度建立数轴，则表示的数为，表示的数为，由，可得点C表示的数为或，由，可得点表示的数为，分类讨论，分别计算线段的长即可； （3）解法一：按照点和点与线段的位置关系进行分类讨论，根据线段的和差计算即可；解法二：在直线上，以点为原点，点向右的方向为正方向，线段的长为个单位长度建立数轴，则表示的数为，表示的数为，由线段在直线上运动，且，设点表示的数为，则点表示的数为或，可得点和点表示的数，分类讨论，分别计算线段的长即可． 【详解】（1）解：解法一：根据线段的和差， 点在线段上，， 故答案为：． 点在线段延长线上，， 故答案为：． 解法二：设点表示的数为， 若点在上，则，解得， 若点在延长线上，，解得， ∴点表示的数为或． 故答案为：或． （2）解：解法一：根据题意可分如下四种情形： 点和点都在线段上，， 点在线段上，点在线段的延长线上，， 点在线段的延长线上，点在线段上，， 点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，， ∴的长为或或． 故答案为：或或． 解法二：在直线上，以点为原点，点向右的方向为正方向，线段的长为个单位长度建立如图所示的数轴，则表示的数为，表示的数为， ∵， ∴点表示的数为或， ∵， ∴点表示的数为， ∴当点表示，点表示时，， 当点表示，点表示时，， 当点表示，点表示时，， 当点表示，点表示时，， ∴的长为或或． 故答案为：或或． （3）解：解法一：根据题意可分如下情形： ， ， ∴线段的长度为或． 解法二：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则表示的数为，表示的数为， ∵线段在直线上运动，且， 设点表示的数为，则点表示的数为或， ∵点为的中点， ∴点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，． ∴线段的长度为或． 15．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）概念学习：A，B，C为数轴上的三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的“妙点”；若点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍，我们就称点C是【B，A】的“妙点”. 例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的“妙点”； 知识运用： (1)如图1，D______【A，B】的“妙点”；D______【B，A】的“妙点”；A_______【C，D】的“妙点”；C_______【A，D】的“妙点”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，M，N，E为数轴上的三点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．若点M是【N，E】的“妙点”，则点E表示的数是_______； (3)如图3，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向左运动，到达点A时停止，分别求出当t为何值时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？ 【答案】(1)不是；是；是；是 (2)1或 (3)经过4秒、6秒、8秒时，点P、A、B中有一个点为其余两点的妙点 【分析】本题考查的是数轴和定义新概念，利用数轴上两点之间的距离进行计算，比较简单．但是在分情况讨论时有可能考虑不全面． （1）根据“妙点”的定义判断是否为“妙点”； （2）由进行分情况讨论：点E在点M的右边和点E在点M的左边两种情况进行解答； （3）如图3，由题意可得，，然后根据“妙点”的定义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：因为，，，所以D是【B，A】的“妙点”． 故答案为：不是； 因为，，，所以D是【B，A】的“妙点”． 故答案为：是； 因为，，，所以A是【C，D】的“妙点”． 故答案为：是； 因为，，，所以C是【A，D】的“妙点”． 故答案为：是． （2）解：由题意知，线段，因为点M是【N，E】的“妙点”， 所以，即：， 所以， 当点E在点M右侧时，点E表示的数是； 当点E在点M左侧时，点E表示的数是：． 故答案为：1或． （3）解：如图3，由题意得：，， 分四种情况讨论： 当时，，解得：．所以当秒时P是【A，B】的“妙点”； 当时，，解得：．所以当秒时，P是【B，A】的“妙点”； 当时，，解得：，所以当秒时，A是【B，P】的“妙点”； 当时，，解得：，所以当秒时，B是【A，P】的“妙点”． 综上所述，当秒时P是【A，B】的“妙点”；当秒时，P是【B，A】的“妙点”；当秒时，A是【B，P】的“妙点”，B是【A，P】的“妙点”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型）例1（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点C是线段的中点，且，若，则线段（   ）． A．7 B．8 C．9 D．10 例2（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，在线段上有一点，，则的长为 ． 例3（25-26七年级上·全国·月考）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧 (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 例4（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）线段，点C是上一点，，点D是的中点，求线段的长度． 例5（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 例2（25-26七年级上·北京·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)直接写出当为何值时，． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 例3（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ． (2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，？ ②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 例4（25-26七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知点C在线段上，且，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；    （2）若点C是线段上任意一点，且，点M、N分别是、的中点，请直接写出线段的长度 （用a、b的代数式表示）； （3）在（2）中，把“点M、N分别是、的中点”改为：点M、N分别是的中点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，请直接写出的长度． 例5（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在数轴上点A表示，点B表示b，点C表示c，并且是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当时，分别求的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，，点在线段的延长线上，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 例2（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为 例3（25-26七年级上·福建泉州·期中）我们曾探究过，如果数轴上点A表示数a，点B表示数b，线段的长表示为．当点C为线段中点时，即时，点C表示的数为请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数若在原点O处放一挡板，一动点Q从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到B点后，点Q停止运动．假设运动的时间为秒 (1)当时，动点Q表示的数为______；当时，动点Q表示的数为______；用含t的代数式表示 (2)分别取和的中点E， ①当时，求时间t的值； ②试判断是否存在常数m，使得的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 例4（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 例5（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，线段，A是线段的中点，B是线段的中点． (1)求线段的长． (2)若线段上存在一点C位于点A的右侧，且，求的长． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 例2（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 例3（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 例4（24-25七年级上·吉林长春·月考）如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示的长 (2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？ (3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列结论：①的长度不变；②的值不变．其中正确的结论是__________，请求出其值． 例5（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·福建莆田·期中）已知点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的K倍，则称P是的“K倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图，为数轴上三点，回答下面问题： ①______； ②若点D是数轴上一点，且，求点D表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为25，点M，N为线段上的两点，且，，求线段的长度． 例2（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 例3（24-25七年级上·河北张家口·期中）已知数轴上两点A、B，若在数轴上存在一点C，使得，则称点C为线段的“n倍点”．例如如图1所示：当点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为0，有，则称点C为线段的“1倍点”． 请根据上述规定回答下列问题： 已知图2中，点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为x． (1)当时，点C______（填“一定是”或“一定不是”或“不一定是”）线段的“1倍点”； (2)若点C为线段的“n倍点”，且，求n的值； (3)若点D是线段的“2倍点”，则点D表示的数是多少？请说明理由． 例4（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）（1）根据下图补全作法： ①已知线段a，b，作射线， ②在射线上依次截取； ③：_________． 结论：如图，线段即为所求．此时_________．（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的作图基础上，若，，E为线段的中点，F为线段的中点，求线段的长． （3）如图，折线由有公共端点B的两条线段，组成，点D把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“总长平分点”．已知点Q是折线的“总长平分点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 例5（24-25七年级上·吉林长春·期末）课题学习：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点．如图①，点C是线段的中点，可以写成，或． 学以致用： (1)如图②，点C是线段的中点，点M、N分别是线段、的中点，若，则线段的长为________cm； (2)如图③，点C是线段上的一点，点M、N分别是线段、的中点，若，求线段的长． 1．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，点、、在同一直线上，，，点、分别是、的中点，则的长是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 3．（24-25六年级上·上海·月考）如图，已知线段，点是线段上一点，且的长度是的倍，点是线段的中点，那么 4．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）已知有理数、满足，如图线段在直线上运动（点在点的左侧），，，下列结论①，；②当点与点重合时，点恰好为线段的中点；③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；④在线段运动过程中，若点为线段的中点，点为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是 ．（填序号） 5．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，点C在线段上，D，E分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变的前提下，若C为线段上任意一点（不与点A，B重合），且满足，请直接写出线段的长（结果中可以含有字母m）； (3)若点C在线段的延长线上（不与点B重合），且满足，点D，E分别是的中点，猜想线段的长（结果中可以含有字母n），并说明理由． 7．（25-26七年级上·山东济南·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离（当时，；当时，），线段的中点表示的数． 如图，数轴上点A，点B，点C表示的数分别为，2，3，点P，Q，R分别从A，B，C出发沿数轴的正方向移动，其中点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，点R的速度为每秒m个单位长度，线段的中点为D，运动时间为t． (1)当时，______； (2)试用含t的代数式表示点D表示的数； (3)若在运动过程中，点R始终在点D的右边，且R，D两点间的距离保持不变，试求m的值和的长度； (4)当时，直接写出t的值． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 9．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①、两点间的距离_______，线段的中点表示的数为_______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为_______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 10．（25-26七年级上·湖南永州·期中）【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 11．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 12．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 13．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，，是线段上一点，且．动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发向终点运动，运动的时间为 (1)，； (2)当时，的长为______； (3)用含有的代数式表示______； (4)当为的中点时，的值为______； (5)将线段折叠，使点和点重合，折点记为 ①在点、点运动过程中，、的距离为时，直接写出的值为 ②在点、点运动过程中，时，直接写出的值为___． 14．（25-26七年级上·河北唐山·期中）对于题目“已知、、在同一直线上，，，求的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二． (1)请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： 如图，点在线段上， ； 如图，点在线段延长线上， ．所以线段的长为或． 解法二：如图，在直线上，以点为原点，点向右的方向为正方向，线段的长为个单位长度建立如图所示的数轴．则：表示的数为，：表示的数为；因为，所以点表示的数为 ；所以线段的长为或． (2)已知、、、在同一直线上，，，，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． (3)已知线段，线段在直线上运动，且，在运动的过程中，若点、分别为线段、的中点，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出的长为 ． 15．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）概念学习：A，B，C为数轴上的三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的“妙点”；若点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍，我们就称点C是【B，A】的“妙点”. 例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的“妙点”； 知识运用： (1)如图1，D______【A，B】的“妙点”；D______【B，A】的“妙点”；A_______【C，D】的“妙点”；C_______【A，D】的“妙点”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，M，N，E为数轴上的三点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．若点M是【N，E】的“妙点”，则点E表示的数是_______； (3)如图3，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向左运动，到达点A时停止，分别求出当t为何值时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $