专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型（几何模型讲义）数学沪科版2024七年级上册

该初中数学讲义以“线段与角的等量代换及计数”为核心，通过“模型来源-真题提炼-拓展运用”逻辑构建知识体系，用表格归纳直线交点/平面分割规律，结合图形推导从特殊到一般的计数公式，清晰呈现模型间的内在联系与重难点分布。 资料亮点在于真题与模型深度融合，如重庆期末n点线段计数题培养抽象能力，机器人工具箱放置问题发展模型意识，分层例题覆盖基础到拓展，助力不同学生提升推理与应用能力，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，C，B是线段上的两点，若，，那么与的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 例2（2025七年级上·上海·专题练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，与互余，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，则的度数为________． 例3（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）追本溯源 题（）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（）． （）如图，点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的_____，_____． 拓展延伸 （）如图，线段上依次有，两点，是的中点，．求线段的长． 例4（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点是直线上一点，、为从点O引出的两条射线，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在内部作，直接写出和之间的数量关系：_____； (3)在（2）的条件下，若为的平分线，试说明． 例5（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图，，是的平分线，为的延长线． (1)当时，求的度数 (2)当时，求的度数 (3)通过（1）（2）的计算，直接写出和之间的数量关系 模型2.线段与角度的计数模型 例1（2025七年级上·上海·专题练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的个点表示个车站．在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（   ） A．10种 B．22种 C．20种 D．25种 例2（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；……，依次进行这样的标记，则（   ） A．48 B．56 C．64 D．65 例3（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 例4（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．请写出正确结论的序号 ． 例5（25-26七年级上·河北衡水·期中）若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点，，，则可以确定______条线段，______条射线； (2)若平面上有四个点，，，，则可以确定______条线段，______条直线； (3)2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？ 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级下·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 例2（24-25七年级下·福建三明·期中）在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 例3（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 例4（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 例5（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有 条对角线． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（   ）边形 A．六角形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 例3（24-25·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 例4（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 1．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）一列火车往返甲、丙两地，中间要停靠乙、丁两地，铁路局要制定（   ）种火车票． A．4 B．6 C．8 D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）两条直线相交，把一个平面分成4部分，三条直线相交，最多可以将平面分成7部分，那么10条直线相交，最多可以将平面分成（   ）部分 A．53 B．54 C．55 D．56 3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 5．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）通过画图，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 … … … 若直线上有个不同的点，则此图中共有 条线段． 6．（2024七年级·全国·竞赛）如图，的两边上分别有6个点和5个点，线段中，在内及边上不相交的线段称为“和睦线对”（不分顺序），如与是“和睦线对”，图中“和睦线对”共有 对． 7．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）已知往返于汕头与广州东的D7150次列车，运行途中须停靠汕头、潮汕、普宁、深圳北、东莞南、东莞、广州东7个站点，那么该次列车共有 种不同的车票．一列火车往返于，两个城市，若共有个站点，则需要 种不同的车票． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）【观察思考】如图，线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段（用含m的代数式表示）． 【拓展应用】若有6支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负，现在每队胜1场得2分，负一场得1分，某队一共得8分，则一共进行多少场比赛，该队胜了多少场比赛？ 9．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 10．（24-25七年级下·四川凉山·期末）如图，交于点G，，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，为直线上一点，（和均在上方，且在左侧），平分，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的结论共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③；④．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 13．（24-25七年级上·山西太原·期末）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    14．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，在的右侧作，在的右侧，且，分别在内部和内部画射线，，使，，则的大小为 ． 15．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，直线，相交于点，与互余，且，则 ． 16．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）如图，是的平分线，是的平分线， (1)如果，，求出的度数； (2)如果，求出的度数； (3)如果的大小改变，的大小是否随之改变？它们之间有怎样的大小关系？请写出来． 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 18．（24-25七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 19．（25-26七年级上·重庆·期中）点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 20．（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 21．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 22．（25-26七年级上·江苏·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 23．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图①，已知线段，点为上的一个动点，点，分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则的长是多少？（直接写出结果） (2)若，求的长． (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． (4)知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点画射线，若，分别平分和，试求出的大小，并说明的大小与射线的位置是否有关？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，即：；故选：C． （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分，∴， ∴．故选B． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，C，B是线段上的两点，若，，那么与的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段的和差运算是解题关键．先求出，再根据和求解即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 例2（2025七年级上·上海·专题练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，与互余，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，则的度数为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查余角的定义、角平分线的定义、角的和差计算，掌握互余的概念，角平分线的定义是关键． （1）根据互余得到，由角的和差即可求解； （2）根据题意得到，由角平分线的定义即可求解； （3）设，则，，所以，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）追本溯源 题（）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（）． （）如图，点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的_____，_____． 拓展延伸 （）如图，线段上依次有，两点，是的中点，．求线段的长． 【答案】 （）中点，； （）． 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的定义，是解题的关键． ()根据中点的定义，作答即可； ()中点求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：（）点M把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的中点，； 故答案为：中点，； （）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 例4（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点是直线上一点，、为从点O引出的两条射线，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在内部作，直接写出和之间的数量关系：_____； (3)在（2）的条件下，若为的平分线，试说明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据OD的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）由题意可知：，即，由此求解即可； （2）由角的和差关系进行代换计算即可得出结论； （3）是的角平分线，可以求出，而，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， （2）∵， ∴，即， ∵，即：， ∴， ∴， （3）∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 例5（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图，，是的平分线，为的延长线． (1)当时，求的度数 (2)当时，求的度数 (3)通过（1）（2）的计算，直接写出和之间的数量关系 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由，可求得，再由角平分线可得，从而可求的度数； （2）由，可得，由角平分线可得，从而可求的度数； （3）根据（1）（2）进行总结即可． 【详解】（1）解：，当， ， 是的平分线， ， 为的延长线， ； （2）解：，是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ； （3）由（1）（2）得：， 故和之间的数量关系是：． 证明：设， ， ， 是的平分线， ， 为的延长线， ； ∴． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（2025七年级上·上海·专题练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的个点表示个车站．在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（   ） A．10种 B．22种 C．20种 D．25种 【答案】C 【分析】本题主要考查了数线段的条数，熟知两点构成一条线段是解题的关键．根据有多少条线段单程就需要印制多少种车票进行求解即可． 【详解】解：∵图中线段有共10条， ∴单程要10种车票，往返就是20种， 故选：C． 例2（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；……，依次进行这样的标记，则（   ） A．48 B．56 C．64 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义及图形的变化规律，先根据线段中点的定义分别求出，从而求出，同理得到，，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵线段和的中点分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理：，， ∴， 故选：B． 例3（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 例4（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．请写出正确结论的序号 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，与余角、补角有关的计算等知识点，熟练掌握互余和互补的定义是解题的关键：如果两个角的和等于（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角． 由平分，平分，平分可得，，，再结合，，进而可得，由此即可判断结论①；可得，由此即可判断结论②；可得，进而可得，由此即可判断结论③；可得，进而可得，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：平分，平分，平分， ， ， ， ，， ， 即：与互余， 故结论①正确； ， 故结论②错误； ， ， 即：与互补， 故结论③正确； ， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 例5（25-26七年级上·河北衡水·期中）若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点，，，则可以确定______条线段，______条射线； (2)若平面上有四个点，，，，则可以确定______条线段，______条直线； (3)2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？ 【答案】(1)3，6 (2)6，1或4或6 (3)30场 【分析】本题考查了线段、射线、直线的定义，有理数乘法的应用，解题的关键是正确理解线段、射线、直线的定义的区别． （1）根据线段和射线的定义即可求解； （2）根据线段的定义即可求解条数，然后数直线需要分类讨论，画图求解即可； （3）根据共有6支队伍，则每个队伍需要比赛5场，即可求解总场数． 【详解】（1）解：直线l上有三个点，，，则可以确定线段，共3条； 分别以为端点，左右两边各1条，共条； 故答案为：3，6 （2）解：平面上有四个点，，，，则可以确定线段，共6条； 当四个点，，，共线时，如图： 则只有1条直线； 当有3个点共线时，如图： 有条直线； 当有2个点共线时，如图： 有条直线， ∴可以确定直线条数为1或4或6， 故答案为：6，1或4或6； （3）解：由题意得，（场） 答：需要进行30场比赛． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级下·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， ∴12条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 例2（24-25七年级下·福建三明·期中）在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化类，在相交线的基础上，通过观察、实验和猜想、归纳得出结论．． 【详解】解：①∵7条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而，，， ∴七条直线相交最多有交点的个数是：．故结论①正确； ②假设所有的角都大于等于26°， 假设7条线相交于同一点P，则以点P为中心形成14个角．如果所有的角都， 则其和，与圆心角矛盾． 假设7条线不相交于同一点．则可通过平移，使7条线相交于同一点，角的度数不变，可知与定理矛盾． 综上可知假设不成立，因此至少有一个角小于．故结论②正确； ③在平面上不能画出没有三线共点的七条直线，使得其中每条直线都恰与另外三条直线相交． 理由如下：假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线， 其中每一条直线都恰与另外三条相交，两直线相交只有一个交点， ∵每条直线上恰有另三条直线交得的三个不同的交点， ∴七条直线共个交点， ∵每个交点分属于两条直线，重复计数一次， ∴这七条直线交点实际数为个，这与交点个数为整数矛盾．所以满足题设条件的七条直线是不存在的．故结论③不正确； 故选：A． 例3（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有 个交点，4条直线相交最多有 个交点，……，像这样，8条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成 部分，4条直线最多把平面分成 部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成 部分，n条直线最多把平面分成 部分． 【答案】 3 6 28 7 11 37 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点； 5条直线相交最多有个交点； 6条直线相交最多有个交点； 7条直线相交，最多有个交点， 8条直线相交，最多有个交点， … n条直线相交最多有个交点； 故答案为：，，， （2）1条直线最多把平面分成部分； 2条直线最多把平面分成部分； 3条直线最多把平面分成部分； 4条直线最多把平面分成部分； 5条直线最多把平面分成部分； 6条直线最多把平面分成部分； 7条直线最多把平面分成部分； 8条直线最多把平面分成部分； … n条直线最多把平面分成； 故答案为：，，，； 例4（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 【答案】(1)1或4或6 (2) (3)1770 (4)①21，②42 【分析】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题． （1）分三种情况：当四个点在同一直线上时；当只有三个点在同一直线上时；当任意三点都不在同一直线上时，即可求解； （2）根据题意可得线段的总条数为，即可求解； （3）共要握手的次数为，即可求解； （4）①根据题意可得要定种不同的票价；②根据往返车票不同，可得车票的种类是票价的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线； 当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线； 当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线． 综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线； 故答案为：1或4或6 （2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ； 故答案为： （3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握（次）； 故答案为：1770 （4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)， 所以包括甲地和乙地共有七个站， 所以要定种不同的票价； 故答案为：21 ②因为往返车票不同， 所以要准备种不同的车票． 故答案为：42 例5（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是10进行分析，即可得解． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：， ， 则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图： 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有 条对角线． 【答案】14 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得，解得， 所以对角线总数为：．故答案为：14． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（   ）边形 A．六角形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【详解】解：从一个多边形的一个顶点出发可以引6条对角线，设多边形边数为n， ，解得．则这个多边形是九边形．故选：D． 例3（24-25·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】A 【详解】解：五边形的对角线共有5×(5−3)=5，故选A． 例4（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)见解析；(2)，(3)场 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； ……∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场）∴总共要比赛场． 1．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）一列火车往返甲、丙两地，中间要停靠乙、丁两地，铁路局要制定（   ）种火车票． A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查线段计数问题，掌握相关知识是解决问题的关键．本题相当于一条直线上共4个点，因为火车往返于甲、丙两地，所以计算线段条数的2倍即为所求． 【详解】解：如图，共有条线段， ∵火车往返于甲、丙两地， ∴共需种车票． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）两条直线相交，把一个平面分成4部分，三条直线相交，最多可以将平面分成7部分，那么10条直线相交，最多可以将平面分成（   ）部分 A．53 B．54 C．55 D．56 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的几何规律，先总结规律，再求解是解题的关键．先分别求得1条、2条、3条、4条直线两两相交最多可将平面分割成的部分个数，总结规律，进而求解． 【详解】解：1条直线，将平面分为2个部分； 2条直线，较之前增加1条直线，平面最多增加了2个部分； 3条直线，与之前两条直线均相交，平面最多增加了3个部分； 4条直线，与之前三条直线均相交，平面最多增加了4个部分； … 以此类推，n条直线，与之前条直线均相交，平面最多增加n个部分， 所以n条直线相交，最多可以将平面分成的总数为 ， 把代入，则， 即10条直线相交，最多可以将平面分成56个部分． 故选：D． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 5．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）通过画图，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 … … … 若直线上有个不同的点，则此图中共有 条线段． 【答案】 【分析】本题考查线段的概念，图形数字规律，根据表中规律即可求解，找到线段的组成规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知：个点时：， 个点时：， 个点时：， 个点时：， ， 个点时：线段数， 故答案为：． 6．（2024七年级·全国·竞赛）如图，的两边上分别有6个点和5个点，线段中，在内及边上不相交的线段称为“和睦线对”（不分顺序），如与是“和睦线对”，图中“和睦线对”共有 对． 【答案】150 【分析】本题考查了线段数量问题；根据题意，在两边各取两点，四点恰有一对“和睦线对”，分别计算出从，上取两点的方法数，即可求解． 【详解】解：在两边各取两点，四点恰有一对“和睦线对”， 从上取两点有15种方法， 从上取两点有种方法， “和睦线对”共（对）． 故答案为：150． 7．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）已知往返于汕头与广州东的D7150次列车，运行途中须停靠汕头、潮汕、普宁、深圳北、东莞南、东莞、广州东7个站点，那么该次列车共有 种不同的车票．一列火车往返于，两个城市，若共有个站点，则需要 种不同的车票． 【答案】 42 【分析】本题考查了线段、射线、直线等知识点． 从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；以此类推，则应分别制作4、3、2、1种车票，因为是来回车票，所以车票数需要乘以2． 若A，B两个城市间有n个站，则第一个站要准备种车票，第二个站台要准备种车票，第三个站台要准备种车票，……，倒数第三个站台要准备2种车票，倒数第二个站台要准备1种车票，它们的和乘以2即可得出答案． 【详解】往返于汕头与广州东的D7150次列车，共制作车票为： （种） 若有n个站点，共制作车票为： （种）． 故答案为：42， 8．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）【观察思考】如图，线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段（用含m的代数式表示）． 【拓展应用】若有6支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负，现在每队胜1场得2分，负一场得1分，某队一共得8分，则一共进行多少场比赛，该队胜了多少场比赛？ 【答案】观察思考：6；模型构建：；拓展应用：一共进行15场比赛，该队胜了3场比赛 【分析】本题主要考查了线段的条数问题，图形类的规律探索，一元一次方程的应用，熟知相关知识是解题的关键． （1）两点确定一条线段，据此求解即可； （2）求出线段上有2个点（包括端点），线段上有3个点（包括端点），线段上有4个点（包括端点）时，线段的条数，进而总结规律求解即可； （3）把6支球队看做一条线段上的6个点（包括端点），比赛场次即为线段的条数，结合（2）所求可求出比赛场次；6支球队两两比赛，那么每支球队要比赛5场，设该队胜x场比赛，则该队负了场，根据积分为8分建立方程求解即可． 【详解】解：观察思考：由题意得，图中线段有线段，共6条； 模型构建：当线段上有2个点（包括端点）时，有1条线段， 当线段上有3个点（包括端点）时，有条线段， 当线段上有4个点（包括端点）时，有条线段， ……， 以此类推，可知线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有条线段； 拓展应用：把6支球队看做一条线段上的6个点（包括端点），比赛场次即为线段的条数， ∴一共比赛场； 设该队胜x场比赛，则该队负了场 ∴， 解得， ∴该队胜了3场比赛， 答：一共进行15场比赛，该队胜了3场比赛． 9．（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【答案】（1）4；10；（2）；；（3）①15；②30 【分析】本题主要考查了图形规律探究，两点确定一条直线，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律． （1）根据图形进行解答即可； （2）根据已知图形得出一般规律，进行解答即可； （3）①将代入代数式进行求解即可； ②将代入求出结果即可． 【详解】解：（1）当点数为5时，过任意一点的直线有4条，共有直线（条）； 故答案这：4；10； （2）当点数为时，过任意一点的直线有条，共有直线（条）； 故答案为：；； （3）①进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行的比赛场数为： （场）； ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出的纪念品件数为： （件）． 10．（24-25七年级下·四川凉山·期末）如图，交于点G，，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，角平分线的有关计算，邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据已知可设，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，从而列出关于的方程，进行计算可求出，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ， ， ， ， ∵平分， ， ， 解得：， ， ， 故选：A． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，为直线上一点，（和均在上方，且在左侧），平分，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的结论共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了互为余角和补角的概念，角平分线的定义，准确识图，理解互为余角和补角的概念，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．①根据，得，由此可对该结论进行判断；②根据，得，再根据角平分线的定义可求出的度数，进而可对该结论进行判断；③设，则，根据角平分线的定义得，则，再根据得，由此可对该结论进行判断；④假设平分，则，根据角平分线的定义，再根据得，但是根据已知条件，无法确定，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为直线上一点， ∴， ∵， ∴，故结论①正确； ②∵为直线上一点， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故结论②正确； ③设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ④假设平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴90， ∴， ∴∠， ∴， 根据已知条件，无法确定，故结论④不正确， 综上所述：结论正确的是①②③． 故选：C． 12．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③；④．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角、补角的定义，角的和差，由题意得，，，据此逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵三点在同一直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余，故①正确； ∵， ∴与互补，故②正确； ∵， ∴③正确； ∵， ∴④正确； 综上，正确的有个， 故选：． 13．（24-25七年级上·山西太原·期末）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 14．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，在的右侧作，在的右侧，且，分别在内部和内部画射线，，使，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和与差，首先设，可知，，因为，，所以可得：，，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解：设， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为： ． 15．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，直线，相交于点，与互余，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，余角的定义，根据度数之和为90度的两个角互余得到，再由已知条件得到，则，据此利用平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）如图，是的平分线，是的平分线， (1)如果，，求出的度数； (2)如果，求出的度数； (3)如果的大小改变，的大小是否随之改变？它们之间有怎样的大小关系？请写出来． 【答案】(1) (2) (3)的大小随之改变，． 【分析】本题考查了角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据，代入数据计算即可得解； （2）根据角平分线的定义可得，然后求出，代入数据计算即可得解； （3）同（2）计算即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：的大小随之改变，，理由如下： ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴． 即的大小随的大小的改变而改变，． 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 18．（24-25七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）根据（1）可直接进行求解； （3）由题意易得，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ． （2）解：由（1）得， 即． （3）解：． 理由：，平分， ． 则得， 即． 19．（25-26七年级上·重庆·期中）点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，15 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查角的计算与角平分线的性质，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）用含的式子表示，结合角平分线和直角定义求； （3）设为，同（2）通过角的关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：∵点是直线上的一点，是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，15； （2）解：∵点是直线上的一点，， ， ∵平分， ， ∵是直角， ， ； （3）解：和之间的数量关系为，理由如下： 设， ∵点是直线上的一点， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴， 即． 20．（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， 故答案为：7； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ． 故答案为：； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：80． 21．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 【答案】（1）24；（2）①；② 【分析】本题考查了线段中点以及角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可得，再由线段中点的定义可得，即可求解； （2）①根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解；②根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点和点分别是和的中点， ，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， ； ②∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， 22．（25-26七年级上·江苏·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边、上的点，线段、分别以、的速度同时绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在内部旋转时，总有，求的值； (3)如图③，C是线段上的一点，点M 从点A 出发沿线段向点C 运动，同时点N 从点C 出发沿线段向点 B 运动，M，N两点的速度比是．若在运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算，两点间的距离，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键． （1）先求出、，再表示出、，然后相加并根据计算即可得解； （2）设旋转时间为，表示出、，然后列方程求解得到、的关系，再整理即可得解； （3）设运动时间为，点、的速度分别为、，然后表示出、，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转， ，， ，， ， ， ； （2）解：设旋转时间为，则， ， ， ， ， ； （3）解：解：因为两点的速度比是， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 23．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图①，已知线段，点为上的一个动点，点，分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则的长是多少？（直接写出结果） (2)若，求的长． (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． (4)知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点画射线，若，分别平分和，试求出的大小，并说明的大小与射线的位置是否有关？ 【答案】(1) (2) (3)说明见解析 (4)，的大小与射线的位置无关，理由见解析． 【分析】本题主要考查了线段中点和角平分线的性质，熟练掌握线段中点及角平分线的性质是解题的关键． （1）利用线段中点的性质先求出，，再利用线段中点的性质求出与即可； （2）先求出，再利用线段中点的性质求出与即可； （3）利用线段中点的性质证明即可； （4）利用双角平分线的性质证明即可． 【详解】（1）解：点是中点，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； （2）解：，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； （3）解：点，分别是和的中点， ，， ， 不论取何值（不超过），的长不变； （4）解：，分别平分和， ，， ， ， ， ∴的大小与射线的位置无关． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $