湖北省十一校2025-2026学年高三12月联考数学试题

数学试题 (试卷满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题罔要求的， 1.已知全集为U,若B∩(CA)=②，则AUB=() A.A B.B C.CuA D.CiB 2.设a,bcR,1是虚数单位，则“复数a+为纯虚数”是“b=0”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若cos95°=a,则sin100°的值为（) A.1-a2 B.1-2a2 C.2a2-1 D.a2-1 4.己知等差数列{a}的前n项和为S,,等比数列{bn}的前n项积为Tn,a4=8,b4=-1,则S,+T 的值为() A.58 B.57 C.56 D.55 5.已知耳，F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以E为直径的圆过点P, ∠PF,=2∠PFF,,则C的离心率为() A1-3 B.3-1 2 C.5-1 D.2-V5 8.已知平面向量a,i,a啡5列，设万-a在a上的投影向量为a,则后与5的夹角为(） A. c. D. 6 7.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点M是AD的中点，点N是侧面BBCC上的一个动 点，满足N1/平面ABD,则线段MN长度的最大值为() 2025年秋季学期高三年级12月质量检测数学试题第1页共4页 A.22 B.√2 C.√5 D.√6 8.已知函数f(x)及其导数(x)的定义域均为R,'{狂R上甲调递增，(1+x)为奇函数； 若29=4,4°=5,3=4，则( A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(a)<f(c) C.f(b)<f(c)<f(a) D.f(c)<f(b)<f(a) 一、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符含 题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9.已知函数f(x)=cosx(sinx+sinx),关于函数f(x)下列说法正确的是() A.π为f()的一个周期 B关于宜线x=艺对称 C.f(x)的值域为[-1， D九9在学学1上单湖淀减 10.若二项式(：-0≤N展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为6， 二项式系数之和为c,则() B.·3n∈N,使得an>bn>cm C. D.对任意n∈N*均有a+b,≤cu 1.在平面直角坐标系x0中，已知双曲线C:x-号-1的右焦点为F,过且倾斜角为的 2 直线1与双曲线C的左右两支分别交于点A,B,直线AO交双曲线C于另一点D,连接OB,BD, DF,则() A.DF⊥OF B.AF=5B到 C.∠DOr=2∠BOF D.∠ADB=∠FDB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布N(110,σ2)，若 P(90≤X≤110)=0.47，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为 13.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名 志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的不同安排方法数有 种. 14.已知正△ABC的边长3，E,F分别为边AB,AC的中点，将△MEF沿直线EF翻折到A4EF,当 三棱锥B-4CF的体积最大时，四棱锥A-CFE外接球O的表面积为，此时分别过 C,E作球O的两个相切的平面c,B,设a,B相交所成的二面角大小为6，则sn9= 2025年秋季学期高三年级12月质量检测数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分) 已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边，满足5c·snA-c·cosA=V3a-b. ()求角C的大小： (Ⅱ)若△ABC的面积S=√3b,求五的取值范围. 16.（本小题满分15分) 在三棱柱OAB-O4B中，P,2为AA的三等分点，侧面OBBO为正方形，OA LOB,BP⊥OO. (I)证明：平面OBB,O⊥平面OA4,O； (Ⅱ)证明：PO⊥平面OBB,O; (Ⅲ)正方形OBB,O,边长为3，OA=√2，求直线O0与 B 平面OAB所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的 小球，其中3个黑球和2个红球 取球结果 2个红球 2个黑球红、 黑球各1介 奖金 300元 200元 100元 (T)消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按 照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望： (I)若该商场对消费不足2000元的都分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客 抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球， 若取出黑球，则放回小盒中，无奖励：若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中， 奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为 止，设“第i个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件A，设“第j个抽幸运奖顾客获 得第2份幸运礼品”记为事件B,, ()求P(AB)和P(A2B3); (ii)求第(n≥2)位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 2025年秋季学期高三年级12月质量检测数学试题第3页共4页 18.（本小题满分17分) 已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(一4,0)，且与x轴，y轴分别交于B(x,0),C(0,y)两个动 点.记动点M(x,y)轨迹为曲线E. (I)求点M(x,y)的轨迹方程： (Ⅱ)设直线1与曲线E相交于R,S两点，与圆O:(x-8)+y2=r2相切于点T,若T为R,S 中点，求T的纵坐标取值范围； (Ⅲ)过点D(4,4)作圆(x-8)2+y2=r2(圆在曲线E内部)的两条切线分别交于曲线E于P,Q 两点（异于D点），探究直线P2是否过定点. 19.(本小题满分17分) 定义：[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]=2，[-3.1=-4.已知函数f(x)=e*-, g(x)=nx],其中k>0. (I)讨论f(x)在x∈(0，+∞)上零点的个数： (Ⅱ)已知函数h(x)=[f(x)]+g(x). (i)写出(x)定义域D;若Vx∈D,恒有h(x)≥1，求的取值范围； ()Vm,n∈D,当m>n时，有h(m)≥h(nm),证明：0<k≤e. 2025年秋季学期高三年级12月质量检测数学武题第4页共4页2025年秋季学期高三年级12月检测数学 参考答案 1.【答案】A因为B∩(CA)=中，所以BsA,所以AUB=A.故选：A 2.【答案】Bb=0即a,b中至少有一个是零：复数a+=a-bi为纯虚数，故a=0,b≠0为小范围， i 故为充分不必要条件 3.【答案】B由cos95°=cos(90°+5)=-sin5°=知：sin5°=-，因此sin10°=sin(90°+10)= c0s10°=1-2sin25°=1-22 4.【答案】D设等差数列{a}的首项为4，等比数列{b,}的首项为b,则7=(1+7)=乙×24= 74=56,T,=bb2…bb,=(b4)7=(-1)7=-1,所以S,+T=56-1=55.故选：D 5.【答案】C如图，在焦点△PFE中，由题意知：|PE|+|PF=2a①，且△PFE为直角三角形， 再由∠PFF=2∠PFE,又∠PEF+∠PEE=90°，故 ∠PFE=30°，所以|PFHFF1cos30°=V5c, PF月FF|sin30°=c,代入①式得(V3+1)c=2a,故 e=c-2,=V5-1.故选：C a√3+1 2a,即 3 (6-a)aa3.(b-a)a_3 6.【答案】A方-a在a上的投影向量为 → e 2 a 则有5.d=,因为5.所以eosa- ab 3 2.故选4： 7.【答案】A取A1B1的中点P,B1B的中点E,BC的中点F,连接MP,PE,EF和MF, 由P,E分别为A1B1,B1B的中点，知PE//A1B,同理可知：EF/B1C,B1C/A1D,有EF//A1D, 又由P/1,￠面1且1c面1，所以/面1，同理可知，/面1因为n 第1页共8页 c面 c面 ,所以面1/面 而 c面 ,故动点在面11内的轨迹为，由=2可知， =V2, =2V2, 1+(V⑤=V6,所以2+2=M2,即 上，所以线段的最大值为=2V2。故选：A. 8.【答案】C因为'(1+)为奇函数，所以f'(1+x)=-f'(1-),令x=0,则f'()=-'),故f'(1)=0, 又f(x)在R上单调递增，所以当x<1时，'(x)<0,则f(x)单调递减：当x>1时，f'(x)>0,则f(x) 单调递增；又因为f'(1+x)=-f'(1-,则f(1+x)+C1=f(1-x)+c2(G,C2∈R)① 在①式中令x=0,可得f)+G=f(I)+c2→C=C2,所以f1+x)=f(l-x), 因为2”=等=5，子=4，所以a=l8:专<1，b=og,5>8,4=1,c=l6g,4g,3=1,因为 f0+)=0-,所以fa=0os号=0-e:争=f0o83) 因为4n2)n4)≤(n2+ln4)2=In8)2<n9)2=4n3)2,由于n2≠n4,故上式等号不成立， 则(n2h4<(h3,又h3>0,h2>0,所哈<2即logg4<log23,即c<a, 同理可得b<C,所以1<b<c<a,所以()<()<（)故选：C 9.【答案】CD f(x)= sin2x,x∈[2kx,2kπ+对k∈Z,由图象知，A,B错误：f()的值 0,x∈(2kπ+π，2kπ+2π) 域为1川，C正确：在匠，径1上单调递减，D正确、故法CD 10.【答案】ACD令x=1,可得a 求所有项的系数绝对值之和， 等价于求x+2) 的所有项系数和，令x=1,可得b。 所以A正确，二项式系数之和为c。=2”, 对于层因为<月2，所以a<<:放B错误： 对于C:名+号=”+因为3≥3，且8闭=+子在∈上递增， a b 所以8网-3+行的最小值为g0=号，所以.合+&≥兮，故C正确 6+≥10 第2页共8页 对于D: 故D正确故选：ACD 1.【答案】B双曲线cr2-)-1的右焦点为F5,0,直线4B:y=5 2 x-V3) (x-5) 联立 3 2、y2 48225有 =1 2 根据对称性知D(V3,2) 对选项A:xD=xF故DF⊥OF,正确； 对选项B: AF y以_2=5故AF=5BF正确： 对选项C:an∠DoF=2 3,ian∠BoF=2 9 ,∠Dor,∠B0re0,} tan2∠BOF= 2tan∠BOF12√3 1-tan2∠BOF23 ≠tan∠DoF=2V3 错误； 3 对选项D:AD=2V7,DF=2→ D=N，而 AB -5,所以 AB ,由角平分线定理可知： DF BF DF BF ∠ADB≠∠FDB,错误 穷解：直线4D2-B0,A到D的距离为3S，8到DF的距离为 2v3 5， 两者不相等， ∠ADB≠∠FDB,错误)故选：AB 12.【答案】240期末考试数学成绩×服从正态分布N(110,o2),则P(X>130)=P(X≥110) P(110≤X≤130)=0.50-0.47=0.03， 故P(X>130)=P(X≥110)-P(110≤X≤130)=0.5-0.45=0.05，：某地有8000名学生参加考试， .估计某地学生数学成绩在130分以上的人数为8000×0.03=240 13.【答案】60种，分两种情形：①A家庭只有志愿者甲，则另外4人在其他的3个特殊家庭，此时有 C4=36;②A家庭除了甲还有另一名志愿者，此时有C44=24,则共有36+24=60种，故志愿 者甲恰好被安排在A家庭有60种不同安排方法， 第3页共8页 14.【答案】9：号 4 △BCF的面积为定值， .翻折后平面AEF⊥平面BCFE时，A到平面BCFE的距离最大，这时三B-A,CF的体积最大.设 BC的中点为M,△AEF的中心为G,EF的中点为H, :四棱锥A-BCFE外接球的球心为O, H 则= =1=×9 2 =此球的半径 4 =V2+2 32+( ,“外接球的表面积 球=42=39 这时 =V2十 2 (2+(9) 解△BEC知， =3V3,在AEOC中0E=0C=R= 2 4 =3v5,则∠EOC就是a,B相交所成的二 2 面角的平面角，则cos0=cos∠EOC= OE2+0C2-EC2 5 20E.0C 13 12 故sin0=V1-c0s20= 13 15.解析：(1)V3 =√3-由正弦定理得：√3 =V3 所以v3 =V3 2分 又因为 >0,可得V3 =V3,即sin(+g)= 2 ，.4分 又因为在锐角△ 中E(0,),·+(石，)可得+石3·= 行.6分 (2)因为= =克×=V3,可得=4√3，由正弦定理得b=三=， ,.8分 又+ -6,所以6=)-民受-2边+6 .10分 在锐角△ 中 0<A<2 0<-A< 所以3<A<2 >V3, 1∈(0，)，b=2+6∈(6,8， 所以的取值范围为(6,8) ..13分 第4页共8页 16.解析：(1)证明：由四边形11是正方形，可知上1，又上 ，2分 1c平面 11,n1=0,可知1平面 11· 4分 态 c平面11，故平面111平面 11 .5分 (2) ⊥，⊥1，，BPC平面 =B,可知1⊥平面 。.7分 由 c平面 ,可知1 1, .8分 由(1)知平面111平面 11,平面 11n平面 11= 1 C平面 11 故PO⊥平面 11； .10分 (3)故以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 的方向 为轴正方向， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系一.在△中=V2,AP=1,则 =1…11分 B1 (3,0,0),A(0,-1,1),(0,1,1).得1=(0，-2,1)， (3,0,0),=(0,-1,1),记平面 的一个法向量为=(，)，由： =3=0,。即0取 =-+=0,= 1,得=(0,1,1)…13分 记直线1与平面 所成的角为，故sin=0Q= 1 V10 101QT=V5xV2=10 .15分 17.解析：(1)设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为100,200,300.…1分 （=100=警=0 (=20)-警=品(=300- c9c31 210 则的分布列为 4440.4分 X 100 200 300 6 3 10 10 10 3 故()=100X名0+200X0+300X0=150（元)。aaa5分 3)(i)（1××品 7分 ()=（1)+（2)号××+xx,(2)气=要=月 (3) 7 .10分 125 (ⅱ)设第(<)个顾客获得第1份幸运礼品，第个顾客获得第2份幸运礼品的概率为， (1)=)x×() x,=12…-1 .12分 第5页共8页 则第个顾客获得第2份幸运礼品的概率()=(1)+(2)+…+（-1) ✉自-6*].×自'×k-01-'-自 1-5×年 所以第个抽幸运奖顾客获得第二份幸运礼品的概率为 )-(食)] …15分 18.解析：(1)依题意可知圆的圆心在x轴，即圆关于x轴对称，三角形ABC是直角三角形，且B点必 在y轴右侧，由直角三角形射影定理可知OC2=OA×OB,代入得y2=4x.…4分 (2)R(x,y),S(x2,y2),T(xo,o) =4→-坊=4-→8=7 .5分 y2=4x2 由直线与圆相切可知kgska,=-1,即为二×少-0=-1， x2-xx0-8 乃-乃×6-0=4x%=2 =-1,故x0=6 x2-xx-8片+y2x,-8x-8 7分 由T在抛物线内部可知y<4x0=24,故-2√6<y<2√6.… .9分 (3)设过点D且斜率存在的直线方程为y-4=k(x-4),即x-y+4-4k=0. 由该直线与动圆相切可得d=4+4=r, Vk2+1 整理得(16-r2)k2+32k+16-r2=0 易知直线DP,DQ的斜率存在，分别设为k3,k4,则k3,k4是方程的两个不等实根， 则有k×k 6-2 16-2=1. 12分 由于PQ的斜率不为0，设P(x,片)，Q(x2,2),设P2方程为x=my+n,带入y2=4x, 得y2-4my-4n=0，则y+y2=4m,yy3=-4n, 第6页共8页 飞k=片-4×业-40-4)x052-4) 16 -46-4存-到x4-到++ 整理得y》2+4(0y+y2)=0,即-4n+16m=0,n=4m,15分 即PQ方程为x=my+4m,此时直线恒过点(0，-4) .17分 19.解析：(1)（)=-，则'()=-，令'()=0，解得=， 所以（)在(0，)上单调递减，在(，十。⊙)上单调递增，…1分 （)的最小值为()=-=(1-)，(0)=1， ①（)=(1-)=0，即=时，()只有一个零点. ②()>0，即0<<时，()没有零点. ③()<0，即<时，设()=-，'()=1-1，当1<时，()单调递增 ()=->0即>，()=-2>2-2=0 故()在(0，)，（，)各有一个零点，共两个零点… …4分 综上所述： =时，()只有一个零点，0<<时，()没有零点.>时，（)共两个零点…5分 (2)(i)h()=[（〗+（)=[-]+[]，定义域∈[已，+∞)，>0.6分 因为h()=[-1+[=[-1≥1，所以-1≥1，即≥2， 所以0<≤2… 7分 当0<≤时，由(1)可知()在(0，)上单调递减，在(，+©)上单调递增， 又因为-1≤()-2=-[(2)+2]=-(4)<0，所以≤， 所以h()在[，十四)上不减，9分 所以h()≥h(凸)≥1，故0<≤… 10分 (3)(ii)因为V,∈，当>，有h()≥h(),所以h()在[已，+∞)不能是递减的， 假设>，易知2<，由(1)可知，()在已，)为减函数，在(，+∞)上为增函数， 而()=-<0，()=-1>0，(-)=--<0， 第7页共8页 ()=-2>0(构造=-2，∈(，+o)说明单调性及最值) (又当x→0时，()→+o,也给分)故()在，+∞)上有两个不同的零点，…12分 设较小的零点为x,则<1<，（)=0 若<1<2，则h()=[(1】+(1)=[]=0. 取e(,2),则h()=[-]+[], 而1<1<<2，-<0，[-]≤-1，[]=1即[]=0 故h()≤-1<h(1),这与题设矛盾… 14分 若2<1<，则2<1<，故h()=[(]+（)=【=2, 取∈(1，-)，则h()=[-]+[], 而2≤1<<，-<0，[-]≤-1，[]=2即[]=2 故h()≤-1十2<h(1),这与题设矛盾. …16分 又>0，所以0<≤17分 第8页共8页