专题27 正弦函数、余弦函数的图象与性质（十类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题27 三角函数的图象与性质 （十类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、正、余弦函数图象的识别及应用 类型二、由正、余弦函数的值域（最值）求参数 类型三、正、余弦函数的周期性及应用 类型四、求正、余弦函数的单调区间 类型五、利用正、余弦函数的单调性求参数 类型六、比较大小问题 类型七、正、余弦函数的奇偶性及应用 类型八、正、余弦函数的对称性及应用 类型九、正、余弦函数的零点问题 类型十、正、余弦函数的图象与性质的综合应用 压轴专练 类型一、正、余弦函数图象的识别及应用 【技巧方法】 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 常见正、余弦函数图像的应用： 1.两个函数图象的交点问题． 2.方程的根的问题，借助图象求解． 例1．（1）函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． （2）已知的部分图象如右图，则可能的解析式为（  ） A． B． C． D． （3）函数的图象与直线交点的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-1．函数的图象是（  ） A．   B．   C．   D．   变式1-2．函数的大致图象为（  ） A．   B．   C．   D．   变式1-3．方程的解的个数是（  ） A． B． C． D． 变式1-4．函数的图象与直线，及轴所围成的图形的面积是（  ） A． B． C． D． 变式1-5．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 类型二、利用正、余弦函数的值域（最值）求参数 常见的正、余弦函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 性． 例2．已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； 变式2-1．若实数满足，则（  ） A． B． C． D． 变式2-2．将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称数的最小值为（  ） A． B． C． D． 变式2-3．当时，不等式成立，则的取值范围是 ． 类型三、正、余弦函数的周期性及应用 【技巧方法】 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 例3．下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 变式3-1．下列函数中，周期为的是（  ） A． B． C． D． 变式3-2．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（  ） A． B． C． D． 变式3-3．设为正数，若函数的最小正周期为，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-3．若，是函数两个相邻的最值点，则等于（  ） A．2 B． C．1 D． 类型四、求正、余弦函数的单调区间 求正、余弦函数以及正切函数的单调区间的策略: (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此． 【技巧方法】 求正弦型、余弦型函数单调区间的技巧： 求形如y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)以及y＝Atan(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当ω>0，A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当ω>0，A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 例4．函数的单调减区间是（  ） A． B． C． D． 变式4-1．函数的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 变式4-2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 变式4-3．函数的单调增区间为（　　） A． B． C． D．不存在 类型五、根据正、余弦函数的单调性求参数 已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 例5．已知函数，其中，且恒成立，在上单调，则的取值范围是 . 变式5-1．已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（  ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式5-3．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是_________ 类型六、比较大小问题 【技巧方法】 比较两个三角函数值的大小: （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． 例6．已知函数，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式6-1．已知，，，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式6-2．已知a＝log0.20.05，b＝0.51.002，c＝4cos1，则下列判断正确的是（  ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c 变式6-3．已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 类型七、正、余弦函数的奇偶性及应用 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 【技巧方法】 判断函数奇偶性的方法: （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 例7．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则的值为（  ） A． B． C． D． 变式7-1．已知函数，“为奇函数”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-2．若是偶函数，则 变式7-3．设函数，若是偶函数，则的一个可能值是 . 类型八、正、余弦函数的对称性及应用 正、余弦函数的对称性： （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． 例8．若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（  ） A． B． C． D． 变式8-1．若函数的图象关于直线对称，则（  ） A． B． C． D． 变式8-2．函数在内恰有两个对称中心，，则 . 变式8-3．已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 变式8-4．已知函数满足，则的最小值为_____________ 类型九、正、余弦函数的零点问题 方程的根（或函数零点）问题： 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 【技巧方法】 1、性质+数形结合：通过研究三角函数的性质，结合图象分析零点． 2、分离参数+数形结合：将参数分离，转化为两个函数图象的交点问题． 3、方程+数形结合：将零点问题转化为方程的根的问题，借助图象求解． 例9．已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为（  ） A．2025 B．1012 C．1350 D．1348 变式9-1．设函数的图象在区间上恰有三条对称轴、函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式9-2．函数在上的零点个数为（  ） A．3 B．4 C．6 D．8 变式9-3．已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（  ） A． B． C． D． 变式9-4．函数，关于函数的零点情况说法正确的是（  ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点. 类型十、正、余弦函数的图象与性质的综合应用 利用正、余弦函数的图象与性质解决: 1、熟悉三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性等基本性质，这是解题的基础． 2、通过绘制或分析三角函数的图象，直观理解函数的性质和变化规律，帮助快速定位问题的关键点． 3、对于含参数的三角函数问题，通过讨论参数的取值范围，结合图象或性质，确定函数的特征． 例10．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称. (1)求函数的解析式； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值. 变式10-1．（多选）于函数的叙述正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是偶函数 C. 的最大值为2 D. 在上有4个零点 变式10-2．已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则_____. 变式10-3．已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围. 1.以下函数中最小正周期为的个数是（  ）                          A．1 B．2 C．3 D．4 2.函数的部分图象可能是（  ） A． B． C． D． 3.设函数.已知，，且的最小值为，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 5.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6.（多选）下列命题正确的是（  ） A．在第二象限是减函数 B．在上是增函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 7.（多选）已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（　　） A． B． C．点是函数图象的对称中心 D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称 8.（多选） 已知函数的图象关于对称，则（  ） A．函数为奇函数 B．在区间有两个极值点 C．是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 9.已知函数的图象关于点对称;则的值为__________； 10.定义在区间的函数与的图象交点个数为 ． 11.已知函数，则函数的值域为 ；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 12.已知函数在上的值域为，则的取值范围是__________- 13.已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 14.已知函数，其中. (1)若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； (2)若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27 三角函数的图象与性质 （十类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、正、余弦函数图象的识别及应用 类型二、由正、余弦函数的值域（最值）求参数 类型三、正、余弦函数的周期性及应用 类型四、求正、余弦函数的单调区间 类型五、利用正、余弦函数的单调性求参数 类型六、比较大小问题 类型七、正、余弦函数的奇偶性及应用 类型八、正、余弦函数的对称性及应用 类型九、正、余弦函数的零点问题 类型十、正、余弦函数的图象与性质的综合应用 压轴专练 类型一、正、余弦函数图象的识别及应用 【技巧方法】 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 常见正、余弦函数图像的应用： 1.两个函数图象的交点问题． 2.方程的根的问题，借助图象求解． 例1．（1）函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解析】在定义域内，，函数为奇函数，排除A，B， 当时，，，则，排除D． 故选：C． （2）已知的部分图象如右图，则可能的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域逐项判断即可。 【解析】由图可知的定义域为且， 选项A，，则的定义域是R，故A错误； 选项B，，因此的定义域是，故B错误； 选项C，，因此的定义域是，故C错误； 选项D，若，则的定义域为且，故D正确． 故选：D． （3）函数的图象与直线交点的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】画出的图象，观察其与直线的交点个数即可. 【解析】的图象如图所示， 由图可知其与直线有2个交点. 故选：C. 变式1-1．函数的图象是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解析】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 变式1-2．函数的大致图象为（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】结合图象特点，分别计算和的值，进而得到答案. 【解析】当时，，所以，排除C，D； 当时，，所以，A正确，B错误， 故选：A. 变式1-3．方程的解的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数y＝sinx和y＝lgx的图象，利用数形结合进行判断即可． 【解析】作出函数y＝sinx和y＝lgx的图象， 由图象可知两个函数有3个交点， 即方程sinx＝1gx的解有3个． 故选C 变式1-4．函数的图象与直线，及轴所围成的图形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图所示， 利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为， 故选：C. 变式1-5．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数与的图象进行判断. 【解析】， 如图所示， 要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需. 故选：C. 类型二、利用正、余弦函数的值域（最值）求参数 常见的正、余弦函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 性． 例2．已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； 【答案】(1)；(2)或5； 【分析】（1）利用平方关系化为关于二次函数研究值域求解即可；（2）化为动轴定区间问题求解即可。 【解析】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为 （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. 变式2-1．若实数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正余弦函数的值域求解即可. 【解析】由三角函数的值域可知，，所以，所以， 当且仅当时取等号，此时, 所以，， 所以． 故选：C． 变式2-2．将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称数的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将曲线向右平移个单位长度后得到的曲线为：. 因为该曲线关于原点对称，所以， 解得.因为， 当时，取最小值为. 故选：B. 变式2-3．当时，不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以． 由题意得成立， 即，即． 令 因为关于的函数在上单调递减， 所以的最小值为12，所以， 解得，即的取值范围是． 故答案为：. 类型三、正、余弦函数的周期性及应用 【技巧方法】 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 例3．下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A、B直接由正弦函数的周期公式求出即可判断；对于C、D求出不带绝对值的函数的周期，再减半，即可判断. 【解析】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 变式3-1．下列函数中，周期为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正余弦型的三角函数的周期公式求解. 【解析】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，， 故选：D． 变式3-2．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶函数的定义以及正余弦型的三角函数的周期公式求解. 【解析】对于A，易知满足，为偶函数， 画出函数图象如下图所示：    最小正周期为，满足题意，即A正确； 对于B，易知为奇函数，因此B错误； 对于C，易知为奇函数，可知C错误； 对于D，易知满足为偶函数， 其图象如下图所示：    显然其最小正周期为，不合题意，即D错误. 故选：A 变式3-3．设为正数，若函数的最小正周期为，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦型三角函数，代入计算即可. 【解析】由，且为正数，可得，解得. 故选：C. 变式3-3．若，是函数两个相邻的最值点，则等于（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用正弦型三角函数，代入计算即可. 【解析】由，是函数两个相邻的最值点， ，所以，即. 故选：A. 类型四、求正、余弦函数的单调区间 求正、余弦函数以及正切函数的单调区间的策略: (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此． 【技巧方法】 求正弦型、余弦型函数单调区间的技巧： 求形如y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)以及y＝Atan(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当ω>0，A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当ω>0，A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 例4．函数的单调减区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【解析】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D. 变式4-1．函数的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案. 【解析】令，解得， 所以的单调递减区间为． 故选：B. 变式4-2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【解析】对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，当时，，所以单调递增，故B错误； 对C：的最小正周期为，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 变式4-3．函数的单调增区间为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】（1）利用平方关系化为关于二次函数研究单调区间求解即可。 【解析】即， 由此可知与同增同减即可得函数的单调增区间， 则增区间满足或，， 即或，， 解得或， 所以函数的单调增区间为：. 故选：C. 类型五、根据正、余弦函数的单调性求参数 已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 例5．已知函数，其中，且恒成立，在上单调，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性，利用整体代换的方法求解即可. 【解析】由题意知，，则，即，解得. 由，，得， 即， 若函数在上单调递增，则， 即，，解得，则不等式组无解； 若函数在上单调递减，则， 即，，解得，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 变式5-1．已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的单调性，利用整体代换的方法求解即可. 【解析】由在上单调，，故， 而，则， 又，如下图依次讨论对应为点四种情况， 若，则，满足； 若，则，满足； 由，若，则，满足； 若，则，不满足，其它情况均不符合； 综上，B不可能，A、C、D可能. 故选：B 变式5-2．已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【解析】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 变式5-3．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可. 【解析】因为，，所以， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，,即， 故当时，. 故答案为： 类型六、比较大小问题 【技巧方法】 比较两个三角函数值的大小: （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． 例6．已知函数，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性进行比较大小即可. 【解析】由，，故为奇函数， 则，， 函数在上单调递减，故在上单调递增， 则，即. 故选：A. 变式6-1．已知，，，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用函数、和的单调性，对“，，”三个因式进行估值即可. 【解析】因为函数是增函数，且，则， 因为函数是增函数，且，则， 因为正弦函数在区间上是减函数，且， 所以， 所以， 故选：D. 变式6-2．已知a＝log0.20.05，b＝0.51.002，c＝4cos1，则下列判断正确的是（  ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c 【答案】D 【分析】根据对数函数、指数函数和余弦函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系． 【解析】由0.51.002＜0.50＝， ∴b＜a＜c． 故选：D． 变式6-3．已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数、指数函数和正余弦函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系． 【解析】对于A：函数为R上的增函数，且当时，， 因为，所以，且，故B正确； 对于B：因为，所以， 当时，函数为上的增函数，所以， 当时，函数为上的减函数，所以，故B错误； 对于C：在上单调递增，又， 所以，所以，故C错误； 对于D：， 在上单调递减，时， ，即，故D错误. 故选：A. 类型七、正、余弦函数的奇偶性及应用 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 【技巧方法】 判断函数奇偶性的方法: （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 例7．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用余弦函数的图象变换规律，以及奇偶性，的取值范围，进而即可求得的值． 【解析】由将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得函数为为奇函数， 则，得， 又，则，， 故选：B． 变式7-1．已知函数，“为奇函数”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意利用余弦函数的图象变换规律，以及奇偶性，进而即可判断． 【解析】若为奇函数，则，充分性不成立， 若，则为奇函数，必要性成立， 所以“为奇函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B 变式7-2．若是偶函数，则 【答案】0或2 【分析】由题意利用对数型函数、正弦函数的图象变换规律，以及奇偶性，的取值范围进而即可判断． 【解析】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 变式7-3．设函数，若是偶函数，则的一个可能值是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意利用正弦函数的图象变换规律，以及奇偶性，的取值范围进而即可判断． 【解析】∵，∴， ∵是偶函数，∴，，即，， 则的一个可能值是. 故答案为：（答案不唯一）. 类型八、正、余弦函数的对称性及应用 正、余弦函数的对称性： （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． 例8．若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的周期性求得，进而求得的对称轴. 【解析】依题意，由， 得，所以的图象的一条对称轴为， D选项正确，ABC选项错误. 故选：D 变式8-1．若函数的图象关于直线对称，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由余弦函数的对称性直接求解. 【解析】 因为的图象关于直线对称， 所以，得， 因为，所以. 故选：C. 变式8-2．函数在内恰有两个对称中心，，则 . 【答案】2或 【解析】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 变式8-3．已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【解析】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B. 变式8-4．已知函数满足，则的最小值为_____________ 【答案】 【分析】根据题意可知为的对称中心，结合余弦函数对称性分析求解. 【解析】因为，可知为的对称中心， 则，可得， 解得， 且，可知：当时，取到最小值. 故答案为： 类型九、正、余弦函数的零点问题 方程的根（或函数零点）问题： 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 【技巧方法】 1、性质+数形结合：通过研究三角函数的性质，结合图象分析零点． 2、分离参数+数形结合：将参数分离，转化为两个函数图象的交点问题． 3、方程+数形结合：将零点问题转化为方程的根的问题，借助图象求解． 例9．已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为（  ） A．2025 B．1012 C．1350 D．1348 【答案】C 【解析】依题意，， 令，则，由，得， 显然，即方程有两个不等的实数根，， 即，，此时在上恰有3个实根， 而，因此，则. 故选：C. 变式9-1．设函数的图象在区间上恰有三条对称轴、函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称轴满足的条件，结合在区间上恰有三条对称轴，可得，结合区间上恰有两个零点，知，从而可得的取值范围. 【解析】由，得． 根据函数的图象在区间上恰有三条对称轴，知，得． 根据函数在区间上恰有两个零点，知，得． 综上，的取值范围为． 故选：C 变式9-2．函数在上的零点个数为（  ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以当时，， 由，. 只有当时，的值分别对应. 又因为在上各有2个解， 所以在上有6个零点. 故选：C 变式9-3．已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 因为， 且函数的图象都关于对称， 在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示： 由图可知共有20个交点，故，则A，B错误； 又， 故，则C正确，D错误， 故选：C 变式9-4．函数，关于函数的零点情况说法正确的是（  ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点. 【答案】D 【解析】画出函数的图象，如图所示， 因为，令，即， 则函数的零点，即为与的交点的横坐标， 对于A，当时，在上与无公共点，所以A正确； 对于B，当时，在上与只有1个公共点，所以B正确； 对于C，当时，在上与有2个公共点，所以C正确； 对于D，由图象可得，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍， 即， 因为，可得， 所以不存在t的值，使得有3个零点，所以D不正确. 故选：D. 类型十、正、余弦函数的图象与性质的综合应用 利用正、余弦函数的图象与性质解决: 1、熟悉三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性等基本性质，这是解题的基础． 2、通过绘制或分析三角函数的图象，直观理解函数的性质和变化规律，帮助快速定位问题的关键点． 3、对于含参数的三角函数问题，通过讨论参数的取值范围，结合图象或性质，确定函数的特征． 例10．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称. (1)求函数的解析式； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用三角函数的图像与性质求解即可；（2）通过换元化归为存在，使得成立即可求解。 【解析】（1）设为函数图象上任意一点， 则M关于的对称点为， 由题知点在函数的图象上， 故，即 （2）当时，则， 令，则存在，使等式成立， 等价于：存在，使得成立， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间单调递增， 故当或时，有最大值3，当时，有最小值， 所以的取值范围为. 变式10-1．（多选）于函数的叙述正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是偶函数 C. 的最大值为2 D. 在上有4个零点 【答案】BC 【分析】对于A，化简函数解析式即可判断；对于B，偶函数定义即可判断；对于C，由，当时两等号可同时成立即可判断；对于D，由函数在上的零点结合偶函数性质即可得函数在上的零点. 【解析】对于A，当时，， 所以区间上单调递减，故A错误； 对于B，函数定义域为R关于原点对称，且， 所以是偶函数，故B正确； 对于C，，当时两等号同时成立，所以的最大值为2，故C正确； 对于D，当时，， 令得或，又是偶函数， 所以当时，的解为或， 所以函数在上有3个零点，故D错误. 故选：BC. 变式10-2．已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则_____. 【答案】18 【分析】根据给定条件，结合正弦函数的对称性列式求出及的表达式，再利用零点个数求出范围，求出值并验证得解. 【解析】依题意，，解得， ，而，则， ，由，得， 由在区间上有且仅有两个零点，得，解得， 于是，或，当时，，，不符合要求， 当时，，，符合题意， 所以. 故答案为：18 变式10-3．已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用三角函数的图像与性质求解即可；（2）分参研究函数值域即可求解。 【解析】（1）令，则， 的单调递减区间为； （2）， ， 在上单调递增， ， 方程在区间上有解，的取值范围为. 1.以下函数中最小正周期为的个数是（  ）                          A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可. 【解析】画出函数的图象如图所示：    由图可知函数的最小正周期为，满足题意； 对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意； 对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意； 对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意； 综上所述，满足题意的函数的个数有1个. 故选：A. 2.函数的部分图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解析】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 3.设函数.已知，，且的最小值为，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即，且，所以 .故选：B. 4.已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【解析】，可化为， 故单调增区间满足：，， 解得，. 令，，令，， ， 所以的单调递增区间是，. 故选：D 5.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的单调性结合已知函数的单调区间列出不等式组，解之即可. 【解析】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 且， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 6.（多选）下列命题正确的是（  ） A．在第二象限是减函数 B．在上是增函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 【答案】BC 【解析】对于A，在每一个区间上都是减函数， 在第二象限是减函数，故A错误； 对于B，在上是增函数，故B正确； 对于C，， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，在的每一个区间上是增函数， 不能说在第一、四象限内是增函数，故D错误. 故选：BC. 7.（多选）已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（　　） A． B． C．点是函数图象的对称中心 D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称 【答案】ABD 【解析】因为函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，， 因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，，则，， 因为，所以，故AB正确； 所以，因为，故C错误； 将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为 ，图象关于轴对称，故D正确. 故选：ABD. 8.（多选） 已知函数的图象关于对称，则（  ） A．函数为奇函数 B．在区间有两个极值点 C．是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】因为函数的图象关于对称， 所以，则，即， 因为，所以，则， 对A，由得，定义域为R，且， 所以函数为奇函数，正确； 对B，当时，， 由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得， 即为函数的唯一极值点，错误； 对C，当时，，， 所以是曲线的对称中心，正确； 对D，由，得， 解得或， 从而得或， 所以函数在点处的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 即直线是曲线的切线，正确. 故选：ACD 9.已知函数的图象关于点对称;则的值为__________； 【答案】 【分析】由题意，，又，从而即可求解； 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以， 又，所以； 故答案为： 10.定义在区间的函数与的图象交点个数为 ． 【答案】4 【解析】在平面直角坐标系中，函数与的图象如图所示， 根据图象，可得函数与的图象交点个数为4. 故答案为：4. 11.已知函数，则函数的值域为 ；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 ； . 【解析】当时，； 当时，； 当时，. 综上，函数的值域为. 作出函数的图象如图： 因为关于的方程恰有三个不相等的实数根， 所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可知，，即实数的取值范围为. 故答案为：；. 12.已知函数在上的值域为，则的取值范围是__________- 【答案】 【分析】利用余弦函数的图象性质求解即可. 【解析】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，， 所以， 所以 故答案为： 13.已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2); (3). 【分析】（1）运用正弦函数周期公式求出最小正周期，用整体代入法求单调区间； （2）由 时，得，结合函数单调性列出m的不等式即可求出； （3）方程有两个不相等的实数根，转化为函数与函数的图象有两个交点，结合图象求解即可. 【解析】（1），所以函数的最小正周期为. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，， 因为在区间上单调递减，所以，解得. 所以实数的取值范围是. （3）令，∵，∴， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以函数与函数的图象有两个交点. 结合图象得，，解得，. 所以实数的取值范围是. 14.已知函数，其中. (1)若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； (2)若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据题意得出函数的最小正周期，可求出的值，然后利用余弦型函数的基本性质可求出函数在上的值域； （2）由可求出的取值范围，结合余弦函数的基本性质可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为， 因为，则，所以，， 当时，，则， 则， 因此，当时的值域为. （2）当时，， 因为函数在开区间内恰有个零点，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $