精品解析：上海市普陀区2025-2026学年高三上学期质量调研测试（一模）数学试题

普陀区2025学年第一学期 高三数学质量调研 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一种不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分． 1. 已知集合，则___________． 2. 不等式的解集为___________． 3. 若复数 是纯虚数，且，则的实部为___________． 4. 若 ，则的最小值是__________. 5. 设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________． 6. 的展开式中含项的系数是___________． 7. 设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为 ”（），若事件与事件相互独立，则 的一个可取值为___________. 8. 在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为___________． 9. 设，直线经过点，若向量，则点到直线 的距离为___________． 10. 某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有___________个． 11. 设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是___________． 12. 设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则 的取值范围是___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分． 13. 下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A. B. C. D. 14. 已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A. 的最大值是5 B. 的最小值是5 C. 的最大值是7 D. 的最小值是7 16. 设，数列和满足，且，，现有如下两个命题： ①若数列是等比数列，则数列是常数列： ②设是数列的前项和，若是符合题意的的最大值，则能被7整除． 则下列结论中正确的是（　　） A. ①为真②为真 B. ①为真②为假 C. ①为假②为真 D. ①为假②为假 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点． （1）设平面平面，求证：； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 18. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求 的取值范围． 19. 人工智能生成内容（AIGC）是引领未来的新兴战略性产业．根据国家工信部发布的《人工智能产业发展年报（2025）》及国家统计局相关数据显示，中国AIGC产业已形成完整产业链结构，截至2025年10月，产业链核心层企业分布及核心市场规模分别如表一、表二所示． 表一 表二 产业链层级 企业数量（家） 年份 市场规模（亿元） 第一层基础 1820 2021 800.2 2022 1200.3 第二层模型框架 1590 2023 1848.5 2024 2600.6 第三层应用 1890 2025 3500.4 （1）根据表二所提供的数据，请判断“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法是否正确，并基于你对整体变化趋势的分析，试选用平均增长率模型预测2026年我国AIGC的市场规模（结果精确到1亿元）； （2）赫希曼指数（HHI）是衡量产业集中程度的综合指标，计算公式为，其中为第个层级的企业数量，为企业总数．请根据表一所提供的数据，计算我国AIGC产业链的HHI指数（结果保留整数），并参照“为竞争型，为低集中寡占型，为高集中寡占型”的标准，判断其产业分布结构类型； （3）为制定产业支持政策，现计划从表一所提供的AIGC核心企业中随机抽取4家进行深度调研，求抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率（结果精确到0.001）． 20. 设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于 两点，为坐标原点． （1）若，且四边形为矩形，求的离心率； （2）若，且的周长的最大值为12，求的方程； （3）若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求 的值以及的面积的值． 21. 设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在 ，使得成立，则称函数具有性质． （1）若函数 ，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设 ，若函数 具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数 ，求证：该函数具有性质的充要条件是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普陀区2025学年第一学期 高三数学质量调研 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一种不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分． 1. 已知集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】解不等式得，则， 则. 故答案为：. 2. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把分式不等式转化为二次不等式来求解即可. 【详解】由不等式， 所以解得 ， 即不等式的解集为， 故答案为： 3. 若复数 是纯虚数，且，则的实部为___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由纯虚数定义设，再根据复数的模及复数的概念即可求解. 【详解】由复数 是纯虚数，设， 由，得， , 所以的实部为. 故答案为：. 4. 若 ，则的最小值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵ ， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴当时，取得最小值5. 故答案为：5． 5. 设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】设出基本量，根据已知条件列方程组即可求解. 【详解】设等差数列的公差为 ， 由得， 即，解得. 故答案为：2. 6. 的展开式中含项的系数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项，根据通项公式，即可写出展开式中含的项，进而可得结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中含的项为， 因此的展开式中含项的系数为. 故答案为： 7. 设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件 表示“两枚骰子向上的点数之和为 ”（），若事件与事件 相互独立，则 的一个可取值为___________. 【答案】3（或5、7、9、11其中之一） 【解析】 【分析】设第一次的点数为，第二次的点数为 ，进而依次讨论的情况即可得答案. 【详解】设第一次的点数为，第二次的点数为 ， 则两次抛掷两枚质地均匀的骰子的结果记为，其中，共种基本事件， 故由题知，， 当时， 的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件 不独立； 当 时， 的基本事件为，的基本事件为，故，， ，事件与事件 相互独立； 当时， 的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件 不独立； 当 时， 的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件 相互独立； 当时， 的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件 不独立； 当时， 的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件 相互独立； 当时， 的基本事件为，的基本事件为， 故，，事件与事件 不独立； 当时， 的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件 相互独立； 当时， 的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件 不独立； 当时， 的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件 相互独立； 当时， 的基本事件为，的基本事件为， 故，，，事件与事件 不独立； 综上， 的可能取值为 故答案为：3（或5、7、9、11其中之一） 8. 在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点 的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由、、得到为等边三角形，取的中点 ，的中点 ，得到，从而得到，由平面平面得到平面，过 作的平行线作为 轴，以 为原点，为轴，为轴，建系，写坐标，求出和平面的法向量， 设直线与平面所成的角为 ，利用数量积求出即可得解. 【详解】，， ，为等边三角形， 取的中点 ，的中点 ，连接，则， 现将沿边折起，使得点至点 的位置，则， 平面平面，平面平面，， 平面， 过 作的平行线作为 轴，以 为原点，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 为等边三角形，，， ，， ， ， 平面的法向量为，， 设直线与平面所成的角为 ， 则， 故直线与平面所成的角的正弦值. 9. 设，直线经过点 ，若向量，则点到直线 的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点 的坐标，并求出点的坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】由直线经过点 ，设， 由向量，得， 所以点到直线 的距离. 故答案为： 10. 某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有___________个． 【答案】18 【解析】 【分析】先选出数值，再把它们分配到三个位置上，结合乘法计数原理可得答案. 【详解】先从这3个数中选2个，有种选法； 再分配2个数到3个位置，必有2个位置的数是相同的， 选择出现1次的数：从选中的2个数中选1个，有种选法， 选择出现1次的数的位置：有种选择； 共有种编码. 故答案为：18 11. 设 是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，由可得点 的轨迹，再利用中点向量公式可得，并利用圆的性质求出最小值. 【详解】以正六边形的中心 为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由，得轴交于点，交于点， 由，得 在以线段为直径的圆上，圆心为，半径为， 因此 ， 则， 当且仅当 是圆与线段的交点时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 12. 设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数不等式恒大于等于零，通过判别式可求得参数范围，再利用分离参变量来求不等式恒成立的参数范围，最后可得充分条件是，接下来分析必要性，即对 的补集范围进行分类讨论，利用二次不等式的最小值小于0，来分析此时的，从而找到矛盾，最后可得充要条件是. 【详解】由恒成立可得：， 解得， 再由或， 令，则， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，恒有，则， 当时，，则， 即可得， 综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件. 当，由 ，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，满足， 而此时，所以不满足； 又当，可知不等式不恒成立，此时必存在， 而在时，，不等式恒成立，即此时， 所以不满足； 当，由 ，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有，所以不满足； 当时，由 ，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为 ，，必有， 所以不满足； 综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件， 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分． 13. 下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解. 【详解】对于A，根据图象可知，函数的定义域为R，， 所以以为周期的偶函数，故A错误； 对于B，，，函数的定义域为R，，所以以为周期的偶函数，故B错误； 对于C，，，函数的定义域为R，， 所以以为周期的奇函数，故C错误； 对于D，，函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以以为周期的奇函数，故D正确. 故选：D 14. 已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间线面、线线位置关系逐项判断即可. 【详解】由，，可得， 对于A，，，则直线可能相交、平行或异面，故错误； 对于B，若，则或，故错误； 对于C，因为，，所以，又， 所以，正确； 对于D，要证明，需 垂直平面 内两条相交直线，现在只有，条件不够，故错误； 故选：C 15. 设点 是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A. 的最大值是5 B. 的最小值是5 C. 的最大值是7 D. 的最小值是7 【答案】D 【解析】 【分析】作出图象，根据图象利用两边之和、差与第三边的关系分析最大值与最小值即可得解. 【详解】如图， 由点 是抛物线的焦点，故， 由双曲线知，， 故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线右支无交点，故，故AC错误； 由双曲线的定义，， 所以， 即点运动到点，三点共线时，有最小值7，故B错误D正确. 故选：D 16. 设，数列和满足，且，，现有如下两个命题： ①若数列是等比数列，则数列是常数列： ②设是数列的前项和，若是符合题意的的最大值，则能被7整除． 则下列结论中正确的是（　　） A. ①为真②为真 B. ①为真②为假 C. ①为假②为真 D. ①为假②为假 【答案】A 【解析】 【分析】对于①：结合等比数列的定义，采用反证法证明； 对于②分析的取值，可得的关系，得出，据此可求出的最大值时的，再根据二项式定理处理整除问题. 【详解】假设为等比数列，而不为常数列， 则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中， 所以， 则等比数列的公比为. 又，得等比数列的公比为，与式矛盾， 所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，故①为真命题； 当时，，当时，， 当时，，当时，. 综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）. 又由题意可知，所以， 所以，而 ， 故，所以取得最大值时为， 此时，， 故 ， 根据二项式定理可知， 故除以7余数为1，所以可以被7整除，故②为真命题. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点． （1）设平面平面，求证：； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）由已知得，又平面，在平面外， 则平面， 又平面平面平面 则. （2）. 【解析】 【分析】（1）由平面，结合线面平行的性质定理即可求解； （2）由线面垂直得到是二面角的平面角，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 的边上的高为，则， 当三棱锥的体积最大时， ，即 为的中点， 又 平面在平面 上，所以 又，为平面内两条相交直线， 所以 平面，又 在平面内， 所以， 则是二面角的平面角， 在直角三角形中，，则， 即所求的二面角的余弦值为. 18. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角正弦公式和正弦定理得，结合得，结合角的范围即可求解； （2）先求得，然后利用整体法，结合正切函数性质列不等式求解即可. 【小问1详解】 由已知条件得， 由正弦定理得， 又，则，因为，所以. 【小问2详解】 由得，， 又，则，又，则， 要在区间上恰有3次使得函数的值能取遍内的所有值， 则，即， 则所求的 的取值范围是. 19. 人工智能生成内容（AIGC）是引领未来的新兴战略性产业．根据国家工信部发布的《人工智能产业发展年报（2025）》及国家统计局相关数据显示，中国AIGC产业已形成完整产业链结构，截至2025年10月，产业链核心层企业分布及核心市场规模分别如表一、表二所示． 表一 表二 产业链层级 企业数量（家） 年份 市场规模（亿元） 第一层基础 1820 2021 800.2 2022 1200.3 第二层模型框架 1590 2023 1848.5 2024 2600.6 第三层应用 1890 2025 3500.4 （1）根据表二所提供的数据，请判断“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法是否正确，并基于你对整体变化趋势的分析，试选用平均增长率模型预测2026年我国AIGC的市场规模（结果精确到1亿元）； （2）赫希曼指数（HHI）是衡量产业集中程度的综合指标，计算公式为，其中为第个层级的企业数量，为企业总数．请根据表一所提供的数据，计算我国AIGC产业链的HHI指数（结果保留整数），并参照“为竞争型，为低集中寡占型，为高集中寡占型”的标准，判断其产业分布结构类型； （3）为制定产业支持政策，现计划从表一所提供的AIGC核心企业中随机抽取4家进行深度调研，求抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率（结果精确到0.001）． 【答案】（1）该说法不正确；5062亿元 （2）3351；目前我国AIGC产业分布结构为高集中寡占型 （3）0.880 【解析】 【分析】（1）先计算出2021-2025年市场规模逐年增长率，指出五年内的变化趋势，即可得出说法不正确的结论；再求出五年的平均增长率，即可依据此模型预测2026年我国AIGC的市场规模； （2）由表一中的数据以及赫希曼指数的计算公式，求出我国AIGC产业链的赫希曼指数为，即可判断其产业分布结构类型； （3）先求出抽到的这4家企业全来自第一层的概率和来自第一层的有3家，来自第二或第三层的有1家的概率，用即可得解. 【小问1详解】 2021-2025年市场规模逐年增长率分别为： ， 由此可看出：2021-2023年增长率加快，2023-2025年市场规模增长逐年放缓， 所以“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法不正确； 五年的平均增长率为， 则按照该模型预测2026年我国AIGC市场规模约亿元. （说明：若按照最后一年增长规模估计，亿元； 若按照最后两年增长规模估计，亿元） 【小问2详解】 由表一中的数据以及赫希曼指数的计算公式得，我国AIGC产业链的赫希曼指数为： 所以目前我国AIGC产业分布结构为高集中寡占型； 【小问3详解】 抽到的这4家企业全来自第一层的概率为：； 抽到的这4家企业中来自第一层的有3家，来自第二或第三层的有1家的概率为： ； 则抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率为： . 20. 设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于 两点， 为坐标原点． （1）若，且四边形为矩形，求的离心率； （2）若，且的周长的最大值为12，求的方程； （3）若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求 的值以及的面积的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意得到，从而求出离心率； （2）根据，再由题意可求出，即可求出方程； （3）设，根据题目信息求出，将点代入椭圆方程并化简得到，根据点 均在上以及得到，解方程即可求出 ；根据题目信息及求出的 可得，求出的长及原点 到直线 的距离，利用三角形面积公式即可求出答案. 【小问1详解】 由，得，， 将代入椭圆方程得，解得，则， 又四边形是矩形，则，即离心率. 【小问2详解】 由得，，即轴， 则， 当且仅当过右焦点时等号成立，即的周长的最大值为， 即，即， 则方程为 【小问3详解】 设， 由得，点，又， 则， 因为点在上，所以 则， 又点 均在上，则， 由得，即， 则，又，即. 由得，， 又，即直线， 由得，， 则， 则 由得，， 即， 即， 化简整理得，，则， 又原点 到直线 的距离为， 则 则. 21. 设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在 ，使得成立，则称函数具有性质． （1）若函数 ，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设 ，若函数 具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数 ，求证：该函数具有性质的充要条件是 【答案】（1） 由 得， 设 ， 当时， ， 又 则存在，使得 ，即 故函数 具有性质 （2） （3） 由 得， ， 由得，， 设， 先证充分性：当 时， ， 考虑函数 ，则 ， 当 时， ，当时， ，当 时， ， 所以函数 在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值 ， 所以，当时， ，函数具有性质， 当 且 时， ， 且当时， ，则 ， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数 具有性质，则 由得， 若，则 ，与已知矛盾； 若 ，设 ，则 ，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又 ， ， 则存在使得 ，即 ， 当时， ，即函数严格减函数， 当时， ，即函数严格增函数， 所以 ， 需证 ， 令，则 ， 在单调递增， 所以 ， 所以 ， 则不存在 ，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为 . 【解析】 【分析】（1）求导，将问题转化为函数 的零点问题，进而结合单调性与零点存在性定理求解即可； （2）根据函数定义，将问题转化为存在实数，使得有三个实数根问题，再构造函数求解即可. （3）由题将问题转化为存在实数根的充要条件为 充分性的证明方面，先验证当时，函数具有性质，再讨论当 且 时，结合函数隐零点得存在满足，即成立；再证必要性：先说明不成立，再研究 的性质得函数在严格减函数，严格增函数，进而得 得矛盾即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由 得，， 因为函数 具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令 ，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数 具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $