专题02 代数式（期末复习知识清单，3知识&9题型&3易错&3方法清单）七年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学代数式专题知识清单系统梳理了代数式核心内容，涵盖字母表示数、代数式概念、整式加减3大知识清单，9类典型题型，3个易错点及3种解题方法，搭建从基础规范到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“定义-规则-应用”三级知识体系，题型按难度分级标注，易错点配反例解析，方法清单含“整体代入”等技巧口诀。如书写规范“数前字母后，带分变假分”，同类项“两同两无关”判定法，培养学生抽象能力与运算能力，助力学生自主梳理知识，教师精准设计教学活动。

专题02 代数式（3知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】3.1 字母表示数 1. 字母表示数的意义： 用字母表示数，可以把数量关系简明地表达出来，也可以表示运算的结果。字母和数一样，可以参与运算，并且可以表示我们还不知道的数（未知数）。例如，小明今年a岁，爸爸比他大28岁，那么爸爸今年就是(a+28)岁；又如，若一个长方形的长为m，宽为n，那么它的面积就是mn。 2. 用字母表示运算律： · 加法交换律：a + b = b + a · 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) · 乘法交换律：a × b = b × a （或 ab = ba） · 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) （或 (ab)c = a(bc)） · 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c （或 a(b + c) = ab + ac） 3. 用字母表示公式与法则： · 正方形的边长为a，周长C = 4a，面积S = a²。 · 长方形的长为a，宽为b，周长C = 2(a + b)，面积S = ab。 · 圆的半径为r，周长C = 2πr，面积S = πr²。 · 圆柱的底面半径为r，高为h，体积V = πr²h。 · 路程问题：路程s = 速度v × 时间t，即s = vt。 4. 书写规范： · 字母与字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“·”表示。例如，a×b可以写成ab或a·b。 · 数与字母相乘时，乘号可以省略不写，但数必须写在字母前面。例如，3×a应写成3a，不能写成a3；当数是带分数时，要化成假分数。字母与1相乘时，1可以省略不写。例如，1×a可以写成a。 · 字母与0相乘时，结果是0。例如，0×a = 0。 · 含有字母的除法运算中，结果一般写成分数形式。用字母表示的式子后面有单位时，如果式子是和或差的形式，要把整个式子用括号括起来。例如，(a + b)米，不能写成a + b米。 【清单02】 代数式的概念 1. 代数式的定义： 用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。 2. 代数式的组成： 代数式由数、表示数的字母和运算符号组成。这里的运算指的是加、减、乘、除、乘方和开方六种基本运算。 3. 代数式与等式、不等式的区别： 代数式中不含有等号或不等号，而等式是表示相等关系的式子（含有“=”），不等式是表示不等关系的式子（含有“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”）。例如，3x + 5是代数式；3x + 5 = 8是等式；3x + 5 > 8是不等式。 4. 列代数式： 列代数式是把文字语言描述的数量关系转化为代数式。 · 关键：正确理解题意，抓住关键词语，明确运算关系和运算顺序。 · 常见关键词对应的运算： · 和、加、增加、加上：用“+”表示。例如，a与b的和表示为a + b。 · 差、减、减少、减去：用“-”表示。例如，x比y大5表示为x - y = 5（这是等式，若仅表示差则为x - y）；a减去b的差表示为a - b。 · 积、乘、乘以：用“×”（或省略）表示。例如，m与n的积表示为mn；2乘以3的积表示为2×3。 · 商、除、除以：用“÷”或分数形式表示。倍：用乘法。例如，x的3倍表示为3x。 · 几分之几：用乘法。 · 平方、立方：表示为“²”、“³”。例如，a的平方表示为a²；b的立方表示为b³。 · 多、少：比一个数多几用加法，比一个数少几用减法。例如，比m多3的数表示为m + 3；比n少2的数表示为n - 2。 · 和的一半、差的平方等：要注意运算顺序，必要时添加括号。 5. 代数式的值： · 定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果，叫做代数式的值。 · 求代数式的值的步骤： 1. 代入：把字母所取的值代入代数式中（注意：如果字母的值是负数或分数，代入时要根据情况添上括号）。 2. 计算：按照代数式中指定的运算顺序进行计算。 · 注意：代数式的值是由代数式中字母的取值决定的，同一个代数式，字母的取值不同，所得的值可能不同。 【清单03】 整式的加减 1. 单项式： · 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，单项式3x的系数是3；-5xy的系数是-5；a的系数是1（因为a = 1×a）；-b的系数是-1。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，单项式3x中x的指数是1，所以次数是1，叫做一次单项式；-5xy中x的指数是1，y的指数是1，次数是1 + 1 = 2，叫做二次单项式； 2. 多项式： · 定义：几个单项式的和叫做多项式。例如，2x + 3y，a² - 2ab + b²，m³ - 1等都是多项式。 · 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。例如，多项式3x² - 2x + 5中，3x²、-2x、5是它的项，5是常数项。 · 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式3x² - 2x + 5中，次数最高项是3x²，次数是2，所以这个多项式是二次多项式；多项式x³y - 2xy² + x - 1中，各项的次数依次是4（x³y：3 + 1 = 4）、3（-2xy²：1 + 2 = 3）、1（x）、0（-1），次数最高项是x³y，次数是4，所以这个多项式是四次多项式。 · 多项式的命名：通常按照多项式的次数和项数来命名，称几次几项式。例如，3x² - 2x + 5是二次三项式；x³y - 2xy² + x - 1是四次四项式；a + b是一次二项式。 3. 整式： 单项式和多项式统称为整式。即整式包括单项式和多项式。 4. 同类项： · 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。例如，3x²y与-5x²y是同类项（都含有x、y，x的指数都是2，y的指数都是1）；5和-7是同类项。 · 注意：同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关。例如，2ab²与-3b²a是同类项。 5. 合并同类项： · 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 · 法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。例如，3x + 5x = (3 + 5)x = 8x；-2a²b + 3a²b = (-2 + 3)a²b = a²b；4xy - 2xy + 5 = (4 - 2)xy + 5 = 2xy + 5。 · 步骤： 1. 找出多项式中的所有同类项（可以用不同的符号标记）。 2. 将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 3. 写出合并后的结果（没有同类项的项也要写在结果中）。 6. 去括号法则： 在整式的加减运算中，常常需要去掉括号。 · 如果括号前面是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项的符号都不改变。例如，+(a - b + c) = a - b + c；x + (y - z) = x + y - z。 · 如果括号前面是“-”号，去掉括号和它前面的“-”号，括号里各项的符号都要改变（即“+”变“-”，“-”变“+”）。例如，-(a - b + c) = -a + b - c；m - (n - p) = m - n + p。 · 括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律将数字因数与括号内的各项分别相乘，再去括号。例如，2(a + b) = 2a + 2b；-3(x - 2y) = -3x + 6y。 7. 整式的加减： 整式的加减的实质就是合并同类项。如果有括号，要先去括号，再合并同类项。 · 步骤： 1. 根据去括号法则去括号：如果括号前面是正号，去掉括号后，括号内的各项不变号；如果括号前面是负号，去掉括号后，括号内的各项都要变号；如果括号前面有数字因数，要先用数字因数乘以括号内的每一项。 2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，合并时系数相加，字母和字母的指数不变。 · 例如： 1. 计算 + = 2x² - 3x + 1 - 3x² + 5x - 7 （去括号，括号前是正号，各项不变号） = + (-3x + 5x) + (1 - 7) （合并同类项） = -x² + 2x - 6 2. 计算 - 2 = 5a² - 2ab - 6a² - 8ab + b² （去括号，第二个括号前是-2，各项都乘以-2并变号） = + (-2ab - 8ab) + b² （合并同类项） = -a² - 10ab + b² · 整式加减的结果还是整式。 【题型一】用字母表示数 【例1】如果甲数为x，且甲数为乙数的3倍，那么乙数是（    ） A． B．3x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，要明确给出文字语言中的运算关系，甲数是乙数的3倍表示为：甲数=3×乙数． 【详解】甲数是乙数的3倍，那么乙数是甲数的. 若甲数为x，则乙数为. 故选A. 【点睛】此题考查列代数式，解题关键在于理解题意. 【变式1-1】一根2米长的铁丝，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第10次后剩下的铁丝的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】一根2米长的铁丝，第一次剪去一半后剩下的是 1米，第二次剪去剩下的一半后剩下的长度是米，第三次剪去剩下的一半后剩下的长度是（ ）2米，依此类推，第10次后剩下的长度为（ ）9，…即可求解． 【详解】根据题意得：第10次后剩下的长度为（ ）9． 故选B． 【点睛】本题考查了乘方运算在实际问题中的应用，理解每剪一次后，剩余的长度是原来长度的一半是解题的关键． 【变式1-2】小明和小刚在一次赛跑比赛中，小明的速度与小刚速度之比为3：2，若小明的速度为b米/秒，两人同时同一地点起跑，跑了t秒后，两人的距离为 米. 【答案】bt. 【分析】结合题意就可得到小刚的速度，继而利用路程=速度×时间，结合已知条件，即可得到小明和小刚行驶的路程，问题也就迎刃而解了. 【详解】解：小刚的速度为：b÷=b， t秒后两人相距：bt-bt=bt(米). 故答案为bt. 【点睛】本题是一道有关行程问题中求路程差的题目.对于解答这类题目的关键就是利用已知条件，分别求出对应的路程.其中路程=速度×时间这个等量关系起到了非常重要的作用. 【题型二】代数式的识别与书写 【例2】在式子：0，，，，，，中，代数式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查代数式的定义，代数式是由数字、字母和运算符号（如加、减、乘、除、乘方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号，因此，方程和不等式不是代数式，据此判断． 【详解】∵ 代数式需由数字、字母和运算符号组成，且不含等号或不等号， ∴ 0是数字，是代数式； a是字母，是代数式； 含有等号，是方程，不是代数式； 由变量和数字通过减号连接，是代数式； 由数字和字母通过乘法连接，是代数式； 含有不等号，是不等式，不是代数式； 含有不等号，是不等式，不是代数式， ∴ 代数式有0、a、、，共4个， 故选：C 【变式2-1】下列代数式中，符合书写要求的是（   ） A． B． C． D．元 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、使用带分数，不符合书写要求（应写为假分数形式，如），原式错误，不符合题意； B、中系数1不应写出，应直接写为，原式错误，不符合题意； C、使用除号÷，应写为分数形式，原式错误，不符合题意； D、元使用括号正确分组表达式，并附加单位，原式正确，符合题意． 故选：D． 【变式2-2】有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查代数式的书写规则，根据代数式的书写规则逐一进行判断即可． 【详解】①符合书写要求； ②百分比符号符合书写要求； ③米应写成米，不符合书写要求； ④符合书写要求； ⑤应写成，不符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求． 故符合要求的有①②④． 故答案为：①②④． 【题型三】求代数式的值 【例3】已知，则多项式的值为（    ） A．25 B．30 C．35 D．45 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式求值，掌握整体代入计算是关键． 将已知条件 整体代入多项式直接计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∴ 原式 = ， 故选：A． 【变式3-1】若，，且，则等于（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、求代数式的值，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据绝对值和有理数乘方的逆运算求出a和b的可能值，再分4种情况讨论，结合找出符合题意的情况，从而计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ①当，时，，符合题意，此时； ②当，时，，不符合题意，舍去； ③当，时，，不符合题意，舍去； ④当，时，，符合题意，此时； ∴综上所述，． 故选：B． 【变式3-2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，由已知可得，进而代入代数式计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型四】单项式与多项式的概念 【例4】下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子，或单独的一个数或字母．分别检查各选项中的代数式是否符合定义． 【详解】解：∵单项式是数或字母的积，或单独的数或字母； 选项A中，含有减法，不是单项式； 选项B中，是常数与字母的积，为单项式；是单项式；是单项式； 选项C中，分母有字母，是分式，不是单项式； 选项D中，含有加法，不是单项式； ∴全是单项式的一组是B． 故选B 【变式4-1】在代数式，，，，，中，整式有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的判断，单项式的判断，多项式的判断，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据整式的定义（分母中不含字母的代数式），逐一判断每个代数式是否为整式． 【详解】解：是单项式，属整式； 是单项式，属整式； 是单项式，属整式； 是多项式，属整式； 是单项式，属整式； 分母含字母x，不是整式， ∴整式有5个， 故选：C． 【变式4-2】下列各式：，，，，，，，其中整式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整式，根据单项式和多项式统称为整式，由此判断即可，熟知整式包括单项式和多项式是解题的关键． 【详解】解：整式有，，，，，，共个， 故答案为：． 【题型五】代数式的整体代入 【例5】如果代数式的值为7，那么代数式的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．先根据已知条件得出，再整体代入计算即可得． 【详解】解：∵代数式的值为7， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-1】已知当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键．根据已知条件求出的值，然后整体代入所求代数式，求出结果即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴当时， ． 故选：C． 【变式5-2】已知当时，代数式的值为，那么当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，准确计算是解题的关键． 通过代入求出的值，再代入并利用奇次幂的性质进行计算． 【详解】当时，代数式的值为， ， 当时，代数式的值为， ， ． 故答案是：． 【题型六】整式的加减运算 【例6】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先判断各项是否为同类项，根据合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，可知， A、，故选项A错误，不符合题目要求， B、，故选项B错误，不符合题目要求， C、，故选项C正确，符合题目要求， D、和不是同类项，无法合并，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：C． 【变式6-1】定义一种新运算“”，规定：．例如：． （1）计算： ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数运算和整体代入思想，对新定义运算的理解和应用能力，解题的关键在于读懂新定义运算的运算法则． （1）直接根据新运算法则计算； （2）先根据新运算法则化简代数式，再整体代入求值． 【详解】（1）根据新运算规定 ， ． 故答案为． （2） ． 已知，代入得： ． 故答案为． 【变式6-2】已知，． (1)化简：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将A，B，代入化简即可； （2）用整体思想进行求解即可． 【详解】（1）解：将A，B代入， 得： ； （2）解：，， ，， 【题型七】代数式与绝对值、平方的非负性 【例7】已知，则代数式的值是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”是解题的关键． 利用绝对值的非负性，由两个非负数的和为0得出每个绝对值内的式子为0，求出、的值，再代入计算代数式的值． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， 故选：． 【变式7-1】若x，y为有理数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，进而根据乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故答案为：1． 【变式7-2】已知，． (1)求的值； (2)，求的值； (3)，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了代数式求值，求一个数的绝对值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再代值计算即可； （2）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再根据得到异号，据此可确定a、b的值，再代值计算即可； （3）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再根据得到，据此可确定a、b的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴异号， ∵，， ∴或， ∴或； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 【题型八】代数式中的阴影部分面积 【例8】如图，已知正方形与正方形的顶点、、在同一直线上，且，． (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式及求值，面积的和差是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于三角形的面积加上正方形的面积，再减去三角形的面积； （2）把，的值代入（1）中的代数式求解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为：； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为： ， 图中阴影部分的面积为． 【变式8-1】如图，有足够多的完全相同的小长方形（图1）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为a，b，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为，． (1)如图2，当，时，直接写出和的周长和是______； (2)如图3，若大长方形分割为6个小正方形，且中间的最小正方形的边长是1，求大长方形的面积． 【答案】(1)40 (2)143 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握长方形面积和边长的求法，整式的加法运算法则，利用边长建立等量关系是解题的关键． （1）根据题意分别求出和的长宽，再由矩形的周长公式求解即可； （2）设，利用的长建立等量关系，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴的长宽分别为、， 的长宽分别为b、， ∴的周长， 的周长， ∴和的周长和， 故答案为：40； （2）解：设， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴大长方形的面积为：． 【变式8-2】小东同学用若干长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4个长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9个长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 【答案】(1) (2) (3)190 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求值，理解题意，数形结合，是解题的关键． （1）根据图2中长方形的边长，得出答案即可； （2）分别表示出，，再求出长方形的周长即可； （3）分别求出各个部分的周长，然后相加，最后代入数据求值即可． 【详解】（1）解：根据图2可知：与之间满足的关系式为； （2）解：根据图3可知：， ， 长方形的周长为； （3）解：图3中5个阴影图形的周长和为： ， 把代入得： ． 【题型九】代数式中的数轴动点求t 【例9】如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，已知a是，数b是最大的负整数，c是单项式的次数． (1) ， ． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1)； (2)①；②当时，的值不随t的增大而增大，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变． 【分析】本题考查了数轴上的数、单项式的次数及数轴上点运动的距离计算，解题的关键是确定各点初始值，根据运动方向与速度表示出t秒后点的位置，进而计算距离． （1）根据最大负整数的定义得b，根据单项式次数的定义得c； （2）①表示出t秒后A、B的位置，作差得；②表示出，代入式子分两种情况讨论判断． 【详解】（1）解：∵最大的负整数是， ∴； ∵单项式的次数是， ∴． 故答案为：；． （2）解：①t秒后，点A的位置：，点B的位置：， ∴． 故答案为：． ②t秒后，点B的位置为，点C的位置为， 由（2）①知， ． 将、代入得：． 当，即时：．此时的值不随t的增大而增大， 当，即时：．此时的值会随着时间t的变化而改变． 综上，当时，的值不随t的增大而增大，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变． 【变式9-1】有理数a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，其中点A在原点的左边，与原点的距离为10个单位长度，且a、b、c满足． (1)则 ， ， ． (2)在数轴上A、B两点之间的距离，B、C两点之间的距离，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”、我们称A，C两点在折线数轴上的路程为三段的和、动点P从点A出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒． ①当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ②当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ③当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度． 【答案】(1)，， (2)的值不随时间t的变化而变化，且 (3)①19；②8；③5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，非负数的性质，整式的加减计算，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）先根据题意求出点A表示的数，即a的值，再根据非负数的性质可求出b、c的值； （2）分别表示出点A，点B，点C运动t秒后表示的数，再根据两点之间的距离计算公式表示出，再计算即可得到结论； （3）①求出点P到达点O和到达点B的时间，则可求出时，点P和点Q表示的数，再根据两点之间的距离计算公式求解即可；②同理求出时，点P和点Q表示的数，再根据两点之间的距离计算公式求解即可；③同理求出时，点P和点Q表示的数，再根据两点之间的距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在原点的左边，与原点的距离为10个单位长度， ∴点A表示的数为，即； ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不随时间t的变化而变化，且； （3）解：①由（1）可知，， ∴点P运动到点O的时间为秒，点P运动到点B的时间为秒， ∴当时，点P在上运动， ∴当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度； ②由（3）①可知，当时，点P在上运动， ∴当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度； ③由（3）①可知，当时，点P在上运动， ∴当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度． 【变式9-2】如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动6个单位长度到达点A，再向左移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A、B、C三点的位置： (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q、R从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（）． ①两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为______，点Q表示的数为______，点R表示的数为______； ③探究：在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)见详解 (2)不变，值为11 【分析】本题考查了数轴上点的运动，整式加减的应用等知识﹒ （1）先根据题意得到点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再在数轴上表示即可； （2）①根据题意即可得到两点间的距离； ②根据三个点的运动方向和速度，结合数轴特点即可求解； （3）先根据②结论求出，，进而求出，从而得到在移动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，其值为11﹒ 【详解】（1）解：由题意得点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为． A、B、C三点的位置如图所示： ； （2）解：①两点间的距离﹒ 故答案为：3； ②由题意得t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为﹒ 故答案为：，，； ③因为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 所以， ， 所以， 所以在移动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，其值为11﹒ 【题型一】列代数式时的关键词翻译错误 【例1】若m是一个两位数，把3放在它的右边得到一个三位数，则这个三位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，解题关键是掌握列代数式并能运用求解． 将数字3放在两位数m的右边，相当于将m乘以（使m变为百位和十位）后加上3（个位），从而得到三位数． 【详解】解：∵m为两位数，将3放在其右边，即m的各位数字左移一位，需乘以，再添加个位数字3． ∴得到的三位数为． 故选：B． 【变式1-1】一列火车长m米，以每秒n米的速度通过一个长为p米的桥洞，用代数式表示它通过桥洞所需的时间为（    ） A．秒 B．27秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握列代数式的方法是解题关键．火车通过桥洞所需的时间是从车头进入桥洞到车尾离开桥洞的时间，总路程为桥洞长与火车长之和，再除以速度，由此即可得． 【详解】解：∵一列火车长米，桥洞长为米， ∴火车通过桥洞所走的路程为米， ∵火车通过桥洞的速度为每秒米， ∴火车通过桥洞所需的时间为秒， 故选：A． 【变式1-2】一件商品的成本是a元，提高后标价，然后打9折销售，此时售价应为 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式． 先计算提高后的标价，再计算打9折后的售价． 【详解】解：标价为元． 售价为元． 故答案为：． 【题型二】同类项的判定与合并法则错误 【例2】若与是同类项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查同类项，根据字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 故选：A． 【变式2-1】下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选B． 【变式2-2】如果单项式与 是同类项，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，解题的关键是熟练掌握同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． 根据同类项的定义得到且，求出，再代入求值． 【详解】解：因为单项式与 是同类项， 所以且， 解得，， 所以， 故答案为：． 【题型三】探索规律问题中代数式的表达不合理 【例3】是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”， …， 依此类推， 则等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，通过计算探索出运算结果的循环周期规律是解题的关键．先求出的值，发现运算结果的周期性，周期为4，然后根据2025除以4的余数确定对应项，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴每次运算结果是以为一个周期循环的，周期为4， ∵， ∴， 故选：D． 【变式3-1】如图，每一幅图中有若干个大小不同的四边形，第一幅图中有1个四边形，第二幅图中有3个四边形，第三幅图中有5个四边形，那么第2025幅图中有（   ）个四边形 A．2024 B．2047 C．4049 D．4051 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化规律，数字规律，正确找出数字变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中四边形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， ①四边形的个数为：； ②四边形的个数为：； ③四边形的个数为：； ， ∴第幅图中，四边形的个数为个， ∴当时，． 故选：C． 【变式3-2】用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ；第n个图形中白色正方形的个数记为Sn，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律探究与分式的化简求值，解题的关键是找出图形中正方形个数的规律及利用裂项相消法化简分式乘积． 先通过图形找出第个图形中正方形总个数的规律；再确定白色正方形个数的表达式，进而对分式乘积进行裂项化简． 【详解】解： ①观察图形第1个图形：； 第2个图形：； 第3个图形：； 第4个图形：； …… 第个图形：． ②由图形可知，白色正方形个数 则 因此： ． 故答案为：；． 【题型一】代数式中的整体思想 方法技巧 一、整体代入——化繁为简，直接替换 核心思路：当所求代数式与已知条件存在整体结构关联时，将已知条件中的“整体”直接代入所求式，避免局部求解的繁琐。 示例：若 ( x + y = 5 )，求 ( 2(x + y) - 3 ) 的值。 分析：直接将 ( x + y = 5 ) 作为整体代入，得 ( 2×5 - 3 = 7 )。 应用场景：已知代数式的值（如 ( a - b = 3 )），求含该整体的多项式（如 ( 2(a - b) + 5 )）。 二、整体加减——合并条件，构造目标 核心思路：当已知多个等式，且所求式为这些等式的线性组合时，通过整体相加或相减消去无关项，直接得到目标整体。 示例：若，求 ( 4x + 3y ) 的值。 分析：将两个方程整体相加：( (x + 2y) + (3x + y) = 3 + 4 )，即 ( 4x + 3y = 7 )。 应用场景：二元一次方程组中，所求式为方程左右两边的和或差（如 ( x + y )、( x - y )）。 三、整体换元——简化结构，转化问题 核心思路：用新字母代替代数式中的重复整体，将复杂表达式转化为简单形式，降低运算难度。 示例：化简。 分析：设 ( t = a + b )，则原式转化为，再代回 ( t = a + b )，得 ( (a + b - 1)(a + b - 2) )。 应用场景：含重复多项式（如、( 2m - n )）的因式分解、化简或求值。 四、整体变形——逆向构造，间接求解 核心思路：当直接求解困难时，对已知条件或所求式进行整体恒等变形（如配方、提公因式），构造出与目标相关的整体结构。 示例：若，求的值。 分析：将已知式整体乘2得，代入所求式：( 4 - 5 = -1 )。 应用场景：已知多项式的倍数关系（如），求含该多项式倍数的代数式（如）。 五、整体消元——消去干扰，聚焦核心 核心思路：在多个变量的问题中，通过整体运算消去次要变量，保留并求解目标整体。 示例：若 ( 3a - 2b = 5 )，( 2a + 3b = 7 )，求 ( 13a + 5b ) 的值。 分析：将已知式分别乘2和3后相加：( 2(3a - 2b) + 3(2a + 3b) = 2×5 + 3×7 )，即 ( 6a - 4b + 6a + 9b = 10 + 21 )，化简得 ( 12a + 5b = 31 )，无法直接得目标式，需调整系数：设 ( 13a + 5b = m(3a - 2b) + n(2a + 3b) )，解得 ( m = 1 )，( n = 5 )，则 ( 1×5 + 5×7 = 40 )。 应用场景：多元代数式中，通过待定系数法将目标式表示为已知整体的线性组合。 【例1】我们知道，，类似地，若我们把看成一个整体，则．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是（______）． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式加减的运算、求代数式的值，运用“整体思想”是解题的关键． （1）把看成一个整体，直接合并同类项即可； （2）整体代入求值即可； （3）先将原式化成，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，，， ∴ ． 【变式1—1】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入得，化为，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3）解：，， ． 【变式1—2】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）根据，整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再根据，整体代入，即可求解； （3）先将代入得出，再根据，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴当时，代数式； （3）当时，， ∴， ∴当时，代数式． 【题型二】代数式中的整除问题 方法技巧 一、利用整式除法的定义理解整除 若代数式 ( A ) 除以整式 ( B )（）的商为整式且余式为 0，则称 ( A ) 能被 ( B ) 整除。在具体问题中，需将“整除”转化为“余式为 0”或“商为整式”的代数表达。 二、通过代数变形转化为因式分解问题 1. 提取公因式法：若代数式各项含有公因式，提取后判断剩余部分是否为整式。例如，若能被 ( 2x ) 整除，提取公因式 ( 2x ) 得 ( 2x(x + 2) )，商为 ( x + 2 )（整式），故整除成立。 2. 公式法：利用平方差公式、完全平方公式 等分解代数式，再判断因式中是否包含除式。例如，能被 ( x - 2 ) 整除，因 ，商为 ( x + 2 )。 三、待定系数法解决含参数的整除问题 当整除式中含参数（如字母系数）时，通过设商式为含参数的整式，利用“被除式 = 除式 × 商式”建立等式，再对比系数求解参数。 · 示例：若 能被 整除，先因式分解除式：，则被除式必含因式 ( (x - 2)(x - 3) )，设商式为 ( x + m )（三次式 ÷ 二次式 = 一次式），则： 对比系数得： ，解得 ( m = 1 )，( a = -4 )，( b = 1 )。 四、赋值法验证整除性 对于多项式 ( f(x) ) 能被 ( x - a ) 整除的特殊情况，利用“因式定理”：若 ( x = a ) 时 ( f(a) = 0 )，则 ( x - a ) 是 ( f(x) ) 的因式。 · 示例：判断是否能被 ( x - 2 ) 整除，代入 ( x = 2 )，得，故整除成立。 · 含参数时：若能被 ( x - 1 ) 整除，则 ( f(1) = 1 + m + 3 = 0 )，解得 ( m = -4 )。 五、利用数的整除性质类比代数式整除 代数式整除与整数整除具有相似性，可借鉴整数整除的规律： 1. 和差整除性：若 ( A )、( B ) 均能被 ( C ) 整除，则 ( A ± B ) 也能被 ( C ) 整除。例如，( 4x ) 和 ( 6x ) 均能被 ( 2x ) 整除，则 ( 4x + 6x = 10x ) 也能被 ( 2x ) 整除。 2. 乘积整除性：若 ( A ) 能被 ( B ) 整除，( B ) 能被 ( C ) 整除，则 ( A ) 能被 ( C ) 整除（传递性）。例如，，则能被 ( x - 2 ) 整除。 【例2】在数学活动中，同学们探究了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就可以被3整除． 理由如下： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为． 则． 由题目条件知，可以被3整除，而且也能被3整除，所以可以被3整除． 故可以被3整除． （1）仿照上述说理过程，以三位数为例，请完成被3整除规律的说明； 类比迁移 （2）若三位数与的和能被5整除，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）5，10，15 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据，再结合能被3整除，和均能被3整除，即可得出能被3整除； （2）根据，结合能被5整除，得出能被5整除，再根据，均为大于1小于10的整数，即可得出答案． 【详解】解：（1） ， ∵能被3整除， 又∵和均能被3整除， ∴能被3整除， 故能被3整除； （2） ， 能被5整除， 已知三位数与的和能被5整除， ∴能被5整除， ∵，均为大于1小于10的整数 ∴的值为5，10，15． 【变式2—1】综合与实践：判断整数能被11整除的方法探究． 小明通过计算和观察发现： 1）；；；；；即44，616，4928，81906，90918163919都能被11整除． 2）观察和计算这些整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差，整理得下表： 计算 整数 44 616 4928 81906 90918163919 奇位数字之和（） 4 12 6 23 50 偶位数字之和（） 4 1 17 1 6 奇位数字之和与偶位数字之和的差（） 0 11 22 44 由此，小明进行了如下猜想： 猜想1．若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除． 猜想2．若一个整数能被11整除，则这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除． 小明以三位数为例进行了证明了猜想1． 设表示．它的奇位数字之和为，偶位数字之和为，且能被11整除，求证：三位数能被11整除． 证明： 又∵，和均可被11整除． ∴三位数能被11整除． (1)308，1352，13574能被11整除的数是_____． (2)请你判断猜想2是否正确．若正确，请你仿照小明的证明过程，对三位数进行证明；若不正确，则举出反例． (3)若上述两个猜想均正确，且一个正整数能被11整除，并满足，则满足上述条件的最小正整数是_____． 【答案】(1)308和13574 (2)猜想2正确，证明见解析； (3)1331 【分析】本题考查了新定义运算． （1）通过计算每个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差，判断差是否能被11整除，从而确定数是否能被11整除； （2）猜想2正确，通过数学推导证明对于三位数，若数能被11整除，则奇位数字之和与偶位数字之和的差也能被11整除； （3）利用能被11整除的条件和给定方程，推导出数字关系，通过枚举寻找最小四位数． 【详解】（1）解：对于308，奇位数字之和为，偶位数字之和为0，差为11，11能被11整除，故308能被11整除； 对于1352，奇位数字之和为，偶位数字之和为，差为1，1不能被11整除，故1352不能被11整除； 对于13574，奇位数字之和为，偶位数字之和为，差为0，0能被11整除，故13574能被11整除； 因此，能被11整除的数是308和13574． 故答案为：308和13574； （2）猜想2正确； 证明：设三位数能被11整除，即能被11整除． ∵能被11整除， ∴能被11整除． 而是奇位数字之和与偶位数字之和的差， 故差能被11整除； （3）解：设四位数，奇位数字之和为，偶位数字之和为，差能被11整除． 由，得． 代入S，得． ∵能被11整除，且和为正整数， ∴或或． 当时，， 结合， 得时，时，数为1331，其他情况数更大； 当时，， 时，时，数为1716，大于1331； 当时，， 时，时，不成立，其他情况，不做讨论； 时，时，不成立，其他情况，不做讨论； 故最小正整数为1331． 故答案为：1331． 【变式2—2】一个三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，通常记这个数为， 则．下面探究能被9整除的三位数的特征． 【举例说明】 （1）请写出两个能被9整除的三位数________． 【猜想证明】 （2）由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除． 证明：因为 是整数 ____被9整除．（填“能”或“不能”） 因此如果____被9整除，那么就能被9整除．（填“能”或“不能”） 所以猜想成立． 【迁移运用】 （3）设是一个四位数，若可以被3整除．求证：这个四位数可以被3整除． 【拓展提升】 （4）当五位数能被9整除时，求出的值． 【答案】（1），（答案不唯一）；（2）能，能；（3）见解析；（4）0或9 【分析】本题主要考查整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据题意写出符合要求的数即可； （2）根据题意可得， 再由能被整除，能被整除，即可． （3）根据题意可得， 再由能被整除， 能被整除，即可． （4）由， 且五位数能被整除，可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴能被整除的三位数为，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）证明： 是整数 能被9整除． 因此如果能被9整除，那么就能被9整除． 所以猜想成立． 故答案为：能，能； （3）证明： ， ∵，，是整数， ∴能被整除， 又∵能被整除， ∴能被整除； （4）解：∵ ， 且五位数能被整除， ∴能被整除， ∵是的整数， ∴或． 【题型三】代数式中的新定义问题 方法技巧 一、精准理解新定义是前提 1. 逐字逐句研读定义：拿到新定义问题后，必须仔细阅读题目中对新概念、新运算或新符号的描述，圈点关键词，明确其数学含义和适用范围。例如，若定义“a※b = a² - 2b”，则需明确“※”是一种新运算，运算规则是第一个数的平方减去第二个数的两倍。 2. 分析定义的构成要素：确定新定义中涉及的运算种类（如加、减、乘、除、乘方、开方等）、运算顺序以及参与运算的量之间的关系。有些定义可能包含多层嵌套或条件限制，需分层剖析，确保不遗漏任何细节。 3. 结合实例验证理解：若题目中给出了新定义的示例，要认真分析示例，通过实例的运算过程和结果反推对定义的理解是否正确。如定义“f(x) = 3x + 1”，示例“f(2) = 7”，通过计算3×2 + 1 = 7，验证对f(x)定义的理解无误。 二、准确转化新定义是关键 1. 将文字语言转化为数学符号语言：新定义通常用文字描述，解题时需将其翻译成代数式、方程、函数等数学表达式。例如，定义“对于任意两个有理数m，n，若m△n = m(m - n)”，则可将“△”运算转化为代数式m(m - n)。 2. 明确运算对象和运算顺序：根据新定义确定运算的先后顺序，特别是当新运算与常规运算混合时，要遵循题目规定的优先级。例如，定义“ab = (a + b)÷2”，计算“3(46)”时，需先算46 = (4 + 6)÷2 = 5，再算3*5 = (3 + 5)÷2 = 4。 3. 用熟悉的数学模型类比：若新定义与学过的数学概念（如函数、方程、集合等）有相似之处，可通过类比帮助理解和转化。例如，新定义“数对(a,b)的‘距离’为|a| + |b|”，可类比平面直角坐标系中点到原点的距离（但此处是绝对值之和）。 三、灵活运用新定义解决问题是核心 1. 直接代入计算：对于直接求新定义运算结果的问题，只需将已知数值或代数式代入新定义的表达式中，按照规定的运算规则进行计算即可。例如，定义“x⊕y = x²y + xy²”，求当x = 2，y = 3时x⊕y的值，代入得2²×3 + 2×3² = 12 + 18 = 30。 2. 列方程或不等式求解：当新定义运算涉及未知量，且已知运算结果时，可根据新定义列出关于未知量的方程或不等式，然后求解。例如，定义“a⊙b = 3a - 2b”，若x⊙4 = 1，则3x - 2×4 = 1，解得x = 3。 3. 探究新定义的性质：有些问题需要探究新定义运算的性质，如交换律、结合律、分配律等，可通过举例验证或代数推理进行判断。例如，判断定义“a#b = ab + a + b”是否满足交换律，计算a#b = ab + a + b，b#a = ba + b + a，二者相等，故满足交换律。 4. 分类讨论解决含参数问题：当新定义中涉及参数，且参数的取值影响运算结果或问题的解时，需对参数进行分类讨论。例如，定义“当m≥n时，m◎n = m - n；当m < n时，m◎n = n - m”，若x◎3 = 2，当x≥3时，x - 3 = 2，x = 5；当x < 3时，3 - x = 2，x = 1，故x = 5或1。 四、检验结果的合理性是保障 1. 检查代入过程是否正确：在代入数值或代数式进行新定义运算时，要核对每个步骤的计算是否准确，避免因粗心导致错误。 2. 验证结果是否符合定义的条件：有些新定义问题有前提条件（如“对于正整数a，b”“当x≠0时”等），需确保计算结果满足这些条件。 3. 用不同方法交叉验证：若有多种解法，可尝试用不同方法计算同一问题，看结果是否一致，以提高正确率。例如，对于新定义运算的结果，可重新梳理运算顺序再算一遍。总结 【例3】定义一种新运算“☆”，观察下列各式． ； ； ． (1)求的值； (2)请你想一想： ； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，1 【分析】此题考查了整式的加减中的化简求值，有理数的混合运算等知识，熟练掌握整式的加减是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据新定义列式计算即可； （3）根据新定义列式，再利用整式加减法计算得到化简结果，再根据非负数的性质求出字母的值，代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：根据题意，得； 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【变式3—1】定义：如果代数式（，，，为常数）与（，，，为常数），满足，，，那么称两个代数式互为“相关式”． (1)直接写出的“相关式”． (2)若与互为“相关式”，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查代数式求值，掌握相反数的性质是解题的关键． （1）根据相反数的性质求出的各项的系数即可； （2）根据“相关式”的特点求出、并代入求值即可． 【详解】（1）解：∵、、的相反数分别是、、， ∴的相关式为． （2）∵与互为“相关式”， ∴，， ∴，， ∴． 【变式3—2】新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)多项式可以是，， (2)这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式的加减，读懂题意并进行计算是解题的关键． （1）根据整式的加减分三种情况，计算即可； （2）根据相关运算后的的系数对比可确定符合，利用系数对应相等即可求解． 【详解】（1）解：令，， ①当时， 则； ②当时， 则； ③当时， 则． 综上所述，多项式可以是，，． （2）令，，． 当时， ． ，，． ，． 当时，； 当时，，此时，舍去． ②当时， ． 此时，，，不符合题意，舍去． ③当时， 此时，，，不符合题意，舍去． 综上所述，当时，，这个多项式组能为“二元对称关联式” ． 学科网（北京）股份有限公2 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式（3知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】3.1 字母表示数 1. 字母表示数的意义： 用字母表示数，可以把数量关系简明地表达出来，也可以表示运算的结果。字母和数一样，可以参与运算，并且可以表示我们还不知道的数（未知数）。例如，小明今年a岁，爸爸比他大28岁，那么爸爸今年就是(a+28)岁；又如，若一个长方形的长为m，宽为n，那么它的面积就是mn。 2. 用字母表示运算律： · 加法交换律：a + b = b + a · 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) · 乘法交换律：a × b = b × a （或 ab = ba） · 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) （或 (ab)c = a(bc)） · 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c （或 a(b + c) = ab + ac） 3. 用字母表示公式与法则： · 正方形的边长为a，周长C = 4a，面积S = a²。 · 长方形的长为a，宽为b，周长C = 2(a + b)，面积S = ab。 · 圆的半径为r，周长C = 2πr，面积S = πr²。 · 圆柱的底面半径为r，高为h，体积V = πr²h。 · 路程问题：路程s = 速度v × 时间t，即s = vt。 4. 书写规范： · 字母与字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“·”表示。例如，a×b可以写成ab或a·b。 · 数与字母相乘时，乘号可以省略不写，但数必须写在字母前面。例如，3×a应写成3a，不能写成a3；当数是带分数时，要化成假分数。字母与1相乘时，1可以省略不写。例如，1×a可以写成a。 · 字母与0相乘时，结果是0。例如，0×a = 0。 · 含有字母的除法运算中，结果一般写成分数形式。用字母表示的式子后面有单位时，如果式子是和或差的形式，要把整个式子用括号括起来。例如，(a + b)米，不能写成a + b米。 【清单02】 代数式的概念 1. 代数式的定义： 用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。 2. 代数式的组成： 代数式由数、表示数的字母和运算符号组成。这里的运算指的是加、减、乘、除、乘方和开方六种基本运算。 3. 代数式与等式、不等式的区别： 代数式中不含有等号或不等号，而等式是表示相等关系的式子（含有“=”），不等式是表示不等关系的式子（含有“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”）。例如，3x + 5是代数式；3x + 5 = 8是等式；3x + 5 > 8是不等式。 4. 列代数式： 列代数式是把文字语言描述的数量关系转化为代数式。 · 关键：正确理解题意，抓住关键词语，明确运算关系和运算顺序。 · 常见关键词对应的运算： · 和、加、增加、加上：用“+”表示。例如，a与b的和表示为a + b。 · 差、减、减少、减去：用“-”表示。例如，x比y大5表示为x - y = 5（这是等式，若仅表示差则为x - y）；a减去b的差表示为a - b。 · 积、乘、乘以：用“×”（或省略）表示。例如，m与n的积表示为mn；2乘以3的积表示为2×3。 · 商、除、除以：用“÷”或分数形式表示。倍：用乘法。例如，x的3倍表示为3x。 · 几分之几：用乘法。 · 平方、立方：表示为“²”、“³”。例如，a的平方表示为a²；b的立方表示为b³。 · 多、少：比一个数多几用加法，比一个数少几用减法。例如，比m多3的数表示为m + 3；比n少2的数表示为n - 2。 · 和的一半、差的平方等：要注意运算顺序，必要时添加括号。 5. 代数式的值： · 定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果，叫做代数式的值。 · 求代数式的值的步骤： 1. 代入：把字母所取的值代入代数式中（注意：如果字母的值是负数或分数，代入时要根据情况添上括号）。 2. 计算：按照代数式中指定的运算顺序进行计算。 · 注意：代数式的值是由代数式中字母的取值决定的，同一个代数式，字母的取值不同，所得的值可能不同。 【清单03】 整式的加减 1. 单项式： · 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，单项式3x的系数是3；-5xy的系数是-5；a的系数是1（因为a = 1×a）；-b的系数是-1。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，单项式3x中x的指数是1，所以次数是1，叫做一次单项式；-5xy中x的指数是1，y的指数是1，次数是1 + 1 = 2，叫做二次单项式； 2. 多项式： · 定义：几个单项式的和叫做多项式。例如，2x + 3y，a² - 2ab + b²，m³ - 1等都是多项式。 · 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。例如，多项式3x² - 2x + 5中，3x²、-2x、5是它的项，5是常数项。 · 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式3x² - 2x + 5中，次数最高项是3x²，次数是2，所以这个多项式是二次多项式；多项式x³y - 2xy² + x - 1中，各项的次数依次是4（x³y：3 + 1 = 4）、3（-2xy²：1 + 2 = 3）、1（x）、0（-1），次数最高项是x³y，次数是4，所以这个多项式是四次多项式。 · 多项式的命名：通常按照多项式的次数和项数来命名，称几次几项式。例如，3x² - 2x + 5是二次三项式；x³y - 2xy² + x - 1是四次四项式；a + b是一次二项式。 3. 整式： 单项式和多项式统称为整式。即整式包括单项式和多项式。 4. 同类项： · 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。例如，3x²y与-5x²y是同类项（都含有x、y，x的指数都是2，y的指数都是1）；5和-7是同类项。 · 注意：同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关。例如，2ab²与-3b²a是同类项。 5. 合并同类项： · 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 · 法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。例如，3x + 5x = (3 + 5)x = 8x；-2a²b + 3a²b = (-2 + 3)a²b = a²b；4xy - 2xy + 5 = (4 - 2)xy + 5 = 2xy + 5。 · 步骤： 1. 找出多项式中的所有同类项（可以用不同的符号标记）。 2. 将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 3. 写出合并后的结果（没有同类项的项也要写在结果中）。 6. 去括号法则： 在整式的加减运算中，常常需要去掉括号。 · 如果括号前面是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项的符号都不改变。例如，+(a - b + c) = a - b + c；x + (y - z) = x + y - z。 · 如果括号前面是“-”号，去掉括号和它前面的“-”号，括号里各项的符号都要改变（即“+”变“-”，“-”变“+”）。例如，-(a - b + c) = -a + b - c；m - (n - p) = m - n + p。 · 括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律将数字因数与括号内的各项分别相乘，再去括号。例如，2(a + b) = 2a + 2b；-3(x - 2y) = -3x + 6y。 7. 整式的加减： 整式的加减的实质就是合并同类项。如果有括号，要先去括号，再合并同类项。 · 步骤： 1. 根据去括号法则去括号：如果括号前面是正号，去掉括号后，括号内的各项不变号；如果括号前面是负号，去掉括号后，括号内的各项都要变号；如果括号前面有数字因数，要先用数字因数乘以括号内的每一项。 2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，合并时系数相加，字母和字母的指数不变。 · 例如： 1. 计算 + = 2x² - 3x + 1 - 3x² + 5x - 7 （去括号，括号前是正号，各项不变号） = + (-3x + 5x) + (1 - 7) （合并同类项） = -x² + 2x - 6 2. 计算 - 2 = 5a² - 2ab - 6a² - 8ab + b² （去括号，第二个括号前是-2，各项都乘以-2并变号） = + (-2ab - 8ab) + b² （合并同类项） = -a² - 10ab + b² · 整式加减的结果还是整式。 【题型一】用字母表示数 【例1】如果甲数为x，且甲数为乙数的3倍，那么乙数是（    ） A． B．3x C． D． 【变式1-1】一根2米长的铁丝，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第10次后剩下的铁丝的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-2】小明和小刚在一次赛跑比赛中，小明的速度与小刚速度之比为3：2，若小明的速度为b米/秒，两人同时同一地点起跑，跑了t秒后，两人的距离为 米. 【题型二】代数式的识别与书写 【例2】在式子：0，，，，，，中，代数式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-1】下列代数式中，符合书写要求的是（   ） A． B． C． D．元 【变式2-2】有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有 ．（填序号） 【题型三】求代数式的值 【例3】已知，则多项式的值为（    ） A．25 B．30 C．35 D．45 【变式3-1】若，，且，则等于（ ） A． B． C．1 D． 【变式3-2】若，则 ． 【题型四】单项式与多项式的概念 【例4】下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【变式4-1】在代数式，，，，，中，整式有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-2】下列各式：，，，，，，，其中整式有 个． 【题型五】代数式的整体代入 【例5】如果代数式的值为7，那么代数式的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式5-1】已知当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式5-2】已知当时，代数式的值为，那么当时，代数式的值为 ． 【题型六】整式的加减运算 【例6】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】定义一种新运算“”，规定：．例如：． （1）计算： ； （2）若，则的值为 ． 【变式6-2】已知，． (1)化简：； (2)若，，求的值． 【题型七】代数式与绝对值、平方的非负性 【例7】已知，则代数式的值是（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式7-1】若x，y为有理数，且，则的值为 ． 【变式7-2】已知，． (1)求的值； (2)，求的值； (3)，求的值． 【题型八】代数式中的阴影部分面积 【例8】如图，已知正方形与正方形的顶点、、在同一直线上，且，． (1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【变式8-1】如图，有足够多的完全相同的小长方形（图1）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为a，b，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为，． (1)如图2，当，时，直接写出和的周长和是______； (2)如图3，若大长方形分割为6个小正方形，且中间的最小正方形的边长是1，求大长方形的面积． 【变式8-2】小东同学用若干长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4个长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9个长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 【题型九】代数式中的数轴动点求t 【例9】如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，已知a是，数b是最大的负整数，c是单项式的次数． (1) ， ． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【变式9-1】有理数a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，其中点A在原点的左边，与原点的距离为10个单位长度，且a、b、c满足． (1)则 ， ， ． (2)在数轴上A、B两点之间的距离，B、C两点之间的距离，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”、我们称A，C两点在折线数轴上的路程为三段的和、动点P从点A出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒． ①当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ②当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ③当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度． 【变式9-2】如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动6个单位长度到达点A，再向左移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动3个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A、B、C三点的位置： (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q、R从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（）． ①两点间的距离______； ②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为______，点Q表示的数为______，点R表示的数为______； ③探究：在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 【题型一】列代数式时的关键词翻译错误 【例1】若m是一个两位数，把3放在它的右边得到一个三位数，则这个三位数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】一列火车长m米，以每秒n米的速度通过一个长为p米的桥洞，用代数式表示它通过桥洞所需的时间为（    ） A．秒 B．27秒 C．秒 D．秒 【变式1-2】一件商品的成本是a元，提高后标价，然后打9折销售，此时售价应为 元． 【题型二】同类项的判定与合并法则错误 【例2】若与是同类项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-1】下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如果单项式与 是同类项，那么的值为 【题型三】探索规律问题中代数式的表达不合理 【例3】是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”， …， 依此类推， 则等于（    ） A． B． C． D．5 【变式3-1】如图，每一幅图中有若干个大小不同的四边形，第一幅图中有1个四边形，第二幅图中有3个四边形，第三幅图中有5个四边形，那么第2025幅图中有（   ）个四边形 A．2024 B．2047 C．4049 D．4051 【变式3-2】用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ；第n个图形中白色正方形的个数记为Sn，计算： ． 【题型一】代数式中的整体思想 方法技巧 一、整体代入——化繁为简，直接替换 核心思路：当所求代数式与已知条件存在整体结构关联时，将已知条件中的“整体”直接代入所求式，避免局部求解的繁琐。 示例：若 ( x + y = 5 )，求 ( 2(x + y) - 3 ) 的值。 分析：直接将 ( x + y = 5 ) 作为整体代入，得 ( 2×5 - 3 = 7 )。 应用场景：已知代数式的值（如 ( a - b = 3 )），求含该整体的多项式（如 ( 2(a - b) + 5 )）。 二、整体加减——合并条件，构造目标 核心思路：当已知多个等式，且所求式为这些等式的线性组合时，通过整体相加或相减消去无关项，直接得到目标整体。 示例：若，求 ( 4x + 3y ) 的值。 分析：将两个方程整体相加：( (x + 2y) + (3x + y) = 3 + 4 )，即 ( 4x + 3y = 7 )。 应用场景：二元一次方程组中，所求式为方程左右两边的和或差（如 ( x + y )、( x - y )）。 三、整体换元——简化结构，转化问题 核心思路：用新字母代替代数式中的重复整体，将复杂表达式转化为简单形式，降低运算难度。 示例：化简。 分析：设 ( t = a + b )，则原式转化为，再代回 ( t = a + b )，得 ( (a + b - 1)(a + b - 2) )。 应用场景：含重复多项式（如、( 2m - n )）的因式分解、化简或求值。 四、整体变形——逆向构造，间接求解 核心思路：当直接求解困难时，对已知条件或所求式进行整体恒等变形（如配方、提公因式），构造出与目标相关的整体结构。 示例：若，求的值。 分析：将已知式整体乘2得，代入所求式：( 4 - 5 = -1 )。 应用场景：已知多项式的倍数关系（如），求含该多项式倍数的代数式（如）。 五、整体消元——消去干扰，聚焦核心 核心思路：在多个变量的问题中，通过整体运算消去次要变量，保留并求解目标整体。 示例：若 ( 3a - 2b = 5 )，( 2a + 3b = 7 )，求 ( 13a + 5b ) 的值。 分析：将已知式分别乘2和3后相加：( 2(3a - 2b) + 3(2a + 3b) = 2×5 + 3×7 )，即 ( 6a - 4b + 6a + 9b = 10 + 21 )，化简得 ( 12a + 5b = 31 )，无法直接得目标式，需调整系数：设 ( 13a + 5b = m(3a - 2b) + n(2a + 3b) )，解得 ( m = 1 )，( n = 5 )，则 ( 1×5 + 5×7 = 40 )。 应用场景：多元代数式中，通过待定系数法将目标式表示为已知整体的线性组合。 【例1】我们知道，，类似地，若我们把看成一个整体，则．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是（______）． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【变式1—1】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 【变式1—2】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【题型二】代数式中的整除问题 方法技巧 一、利用整式除法的定义理解整除 若代数式 ( A ) 除以整式 ( B )（）的商为整式且余式为 0，则称 ( A ) 能被 ( B ) 整除。在具体问题中，需将“整除”转化为“余式为 0”或“商为整式”的代数表达。 二、通过代数变形转化为因式分解问题 1. 提取公因式法：若代数式各项含有公因式，提取后判断剩余部分是否为整式。例如，若能被 ( 2x ) 整除，提取公因式 ( 2x ) 得 ( 2x(x + 2) )，商为 ( x + 2 )（整式），故整除成立。 2. 公式法：利用平方差公式、完全平方公式 等分解代数式，再判断因式中是否包含除式。例如，能被 ( x - 2 ) 整除，因 ，商为 ( x + 2 )。 三、待定系数法解决含参数的整除问题 当整除式中含参数（如字母系数）时，通过设商式为含参数的整式，利用“被除式 = 除式 × 商式”建立等式，再对比系数求解参数。 · 示例：若 能被 整除，先因式分解除式：，则被除式必含因式 ( (x - 2)(x - 3) )，设商式为 ( x + m )（三次式 ÷ 二次式 = 一次式），则： 对比系数得： ，解得 ( m = 1 )，( a = -4 )，( b = 1 )。 四、赋值法验证整除性 对于多项式 ( f(x) ) 能被 ( x - a ) 整除的特殊情况，利用“因式定理”：若 ( x = a ) 时 ( f(a) = 0 )，则 ( x - a ) 是 ( f(x) ) 的因式。 · 示例：判断是否能被 ( x - 2 ) 整除，代入 ( x = 2 )，得，故整除成立。 · 含参数时：若能被 ( x - 1 ) 整除，则 ( f(1) = 1 + m + 3 = 0 )，解得 ( m = -4 )。 五、利用数的整除性质类比代数式整除 代数式整除与整数整除具有相似性，可借鉴整数整除的规律： 1. 和差整除性：若 ( A )、( B ) 均能被 ( C ) 整除，则 ( A ± B ) 也能被 ( C ) 整除。例如，( 4x ) 和 ( 6x ) 均能被 ( 2x ) 整除，则 ( 4x + 6x = 10x ) 也能被 ( 2x ) 整除。 2. 乘积整除性：若 ( A ) 能被 ( B ) 整除，( B ) 能被 ( C ) 整除，则 ( A ) 能被 ( C ) 整除（传递性）。例如，，则能被 ( x - 2 ) 整除。 【例2】在数学活动中，同学们探究了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就可以被3整除． 理由如下： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为． 则． 由题目条件知，可以被3整除，而且也能被3整除，所以可以被3整除． 故可以被3整除． （1）仿照上述说理过程，以三位数为例，请完成被3整除规律的说明； 类比迁移 （2）若三位数与的和能被5整除，求的值． 【变式2—1】综合与实践：判断整数能被11整除的方法探究． 小明通过计算和观察发现： 1）；；；；；即44，616，4928，81906，90918163919都能被11整除． 2）观察和计算这些整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差，整理得下表： 计算 整数 44 616 4928 81906 90918163919 奇位数字之和（） 4 12 6 23 50 偶位数字之和（） 4 1 17 1 6 奇位数字之和与偶位数字之和的差（） 0 11 22 44 由此，小明进行了如下猜想： 猜想1．若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除． 猜想2．若一个整数能被11整除，则这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除． 小明以三位数为例进行了证明了猜想1． 设表示．它的奇位数字之和为，偶位数字之和为，且能被11整除，求证：三位数能被11整除． 证明： 又∵，和均可被11整除． ∴三位数能被11整除． (1)308，1352，13574能被11整除的数是_____． (2)请你判断猜想2是否正确．若正确，请你仿照小明的证明过程，对三位数进行证明；若不正确，则举出反例． (3)若上述两个猜想均正确，且一个正整数能被11整除，并满足，则满足上述条件的最小正整数是_____． 【变式2—2】一个三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，通常记这个数为， 则．下面探究能被9整除的三位数的特征． 【举例说明】 （1）请写出两个能被9整除的三位数________． 【猜想证明】 （2）由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除． 证明：因为 是整数 ____被9整除．（填“能”或“不能”） 因此如果____被9整除，那么就能被9整除．（填“能”或“不能”） 所以猜想成立． 【迁移运用】 （3）设是一个四位数，若可以被3整除．求证：这个四位数可以被3整除． 【拓展提升】 （4）当五位数能被9整除时，求出的值． 【题型三】代数式中的新定义问题 方法技巧 一、精准理解新定义是前提 1. 逐字逐句研读定义：拿到新定义问题后，必须仔细阅读题目中对新概念、新运算或新符号的描述，圈点关键词，明确其数学含义和适用范围。例如，若定义“a※b = a² - 2b”，则需明确“※”是一种新运算，运算规则是第一个数的平方减去第二个数的两倍。 2. 分析定义的构成要素：确定新定义中涉及的运算种类（如加、减、乘、除、乘方、开方等）、运算顺序以及参与运算的量之间的关系。有些定义可能包含多层嵌套或条件限制，需分层剖析，确保不遗漏任何细节。 3. 结合实例验证理解：若题目中给出了新定义的示例，要认真分析示例，通过实例的运算过程和结果反推对定义的理解是否正确。如定义“f(x) = 3x + 1”，示例“f(2) = 7”，通过计算3×2 + 1 = 7，验证对f(x)定义的理解无误。 二、准确转化新定义是关键 1. 将文字语言转化为数学符号语言：新定义通常用文字描述，解题时需将其翻译成代数式、方程、函数等数学表达式。例如，定义“对于任意两个有理数m，n，若m△n = m(m - n)”，则可将“△”运算转化为代数式m(m - n)。 2. 明确运算对象和运算顺序：根据新定义确定运算的先后顺序，特别是当新运算与常规运算混合时，要遵循题目规定的优先级。例如，定义“ab = (a + b)÷2”，计算“3(46)”时，需先算46 = (4 + 6)÷2 = 5，再算3*5 = (3 + 5)÷2 = 4。 3. 用熟悉的数学模型类比：若新定义与学过的数学概念（如函数、方程、集合等）有相似之处，可通过类比帮助理解和转化。例如，新定义“数对(a,b)的‘距离’为|a| + |b|”，可类比平面直角坐标系中点到原点的距离（但此处是绝对值之和）。 三、灵活运用新定义解决问题是核心 1. 直接代入计算：对于直接求新定义运算结果的问题，只需将已知数值或代数式代入新定义的表达式中，按照规定的运算规则进行计算即可。例如，定义“x⊕y = x²y + xy²”，求当x = 2，y = 3时x⊕y的值，代入得2²×3 + 2×3² = 12 + 18 = 30。 2. 列方程或不等式求解：当新定义运算涉及未知量，且已知运算结果时，可根据新定义列出关于未知量的方程或不等式，然后求解。例如，定义“a⊙b = 3a - 2b”，若x⊙4 = 1，则3x - 2×4 = 1，解得x = 3。 3. 探究新定义的性质：有些问题需要探究新定义运算的性质，如交换律、结合律、分配律等，可通过举例验证或代数推理进行判断。例如，判断定义“a#b = ab + a + b”是否满足交换律，计算a#b = ab + a + b，b#a = ba + b + a，二者相等，故满足交换律。 4. 分类讨论解决含参数问题：当新定义中涉及参数，且参数的取值影响运算结果或问题的解时，需对参数进行分类讨论。例如，定义“当m≥n时，m◎n = m - n；当m < n时，m◎n = n - m”，若x◎3 = 2，当x≥3时，x - 3 = 2，x = 5；当x < 3时，3 - x = 2，x = 1，故x = 5或1。 四、检验结果的合理性是保障 1. 检查代入过程是否正确：在代入数值或代数式进行新定义运算时，要核对每个步骤的计算是否准确，避免因粗心导致错误。 2. 验证结果是否符合定义的条件：有些新定义问题有前提条件（如“对于正整数a，b”“当x≠0时”等），需确保计算结果满足这些条件。 3. 用不同方法交叉验证：若有多种解法，可尝试用不同方法计算同一问题，看结果是否一致，以提高正确率。例如，对于新定义运算的结果，可重新梳理运算顺序再算一遍。总结 【例3】定义一种新运算“☆”，观察下列各式． ； ； ． (1)求的值； (2)请你想一想： ； (3)先化简，再求值：，其中． 【变式3—1】定义：如果代数式（，，，为常数）与（，，，为常数），满足，，，那么称两个代数式互为“相关式”． (1)直接写出的“相关式”． (2)若与互为“相关式”，求的值． 【变式3—2】新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 学科网（北京）股份有限公2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $