清单02 代数式（6个考点清单+18种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版2024）

清单02 代数式（6个考点清单+18种题型解读） 【清单01】代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 【清单02】整式 一、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 【清单03】代数式的值 代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值 【清单04】合并同类项 1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 【清单05】去括号与添括号 一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 二、添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 【清单06】整式的加减 知识点六、整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【考点题型一 用字母表示数】 【例1】某超市出售一种商品，其原价为a元，现有4种调价方案：①先提价，再降价；②先降价，再提价；③先提价，再降价；④先提价，再降价．则（    ） A．①②的调价后，价格相等 B．③的调价后，价格不变 C．只有②的调价后，价格上涨 D．①③④的调价后，价格下跌 【变式1-1】（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 【变式1-3】一件运动衣的成本价为元，先按成本提高后标价，再按标价的折出售，这件运动衣的售价是 元． 【变式1-4】按照下列步骤做一做： （1）一个两位数的个位上的数是a，十位上的数是b，请写出这个两位数； （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新数；请写出这个新两位数； （3）求这两个两位数的和．结果能被11整除吗？为什么？ 【考点题型二 求代数式的值】 【例2】已知代数式的值是3，则代数式的值是（    ） A．10 B．7 C． D． 【变式2-1】如果，那么代数式的值是（    ） A．9 B．1 C． D． 【变式2-2】若，则的值为 ． 【变式2-3】若规定表示不超过a的最大整数，例如，若，，则在此规定下，的值为 ． 【变式2-4】求下列代数式的值： (1)已知，求的值； (2)若，求的值． 【考点题型三 单项式的相关概念】 【例3】在代数式， ， 、， ，中，单项式的个数是（       ） A．个 B． 个 C．个 D．个 【变式3-1】单项式的系数、次数分别为（    ） A．3和2 B．3和3 C．和2 D．和3 【变式3-2】单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式3-3】某单项式的系数为，只含字母，，且次数是次，写出一个符合条件的单项式可以是 ． 【变式3-4】填表： 单项式 系数 次数 【考点题型四 单项式规律题】 【例4】按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第7个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】有一组单项式如下：，，，……，则第2046个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是 ． 【变式4-3】观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ． 【变式4-4】【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【考点题型五 多项式的相关概念】 【例5】下列说法：①的系数是；②不是单项式；③是多项式；④次数是3次；⑤的次数是5次；⑥与是同类项．正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-1】如果多项式是关于的三次多项式，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】若多项式是关于x的五次三项式，则m的值为 ． 【变式5-3】若是关于的五次四项式，则 ． 【变式5-4】已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【考点题型六 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例6】多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】将多项式按y的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】把多项式按字母的升幂排列是 ． 【变式6-3】若多项式是按字母x降幂排列的，则m的值是 ． 【变式6-4】将按下列要求重新排列： （1）按x降幂排列； （2）按y升幂排列． 【考点题型七 整式的判断】 【例7】下列说法正确的是（   ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．多项式的项是， C．多项式是一次三项式 D．单项式的系数是 【变式7-1】下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是1 B．单项式的次数是2 C．是四次三项式 D．不是整式 【变式7-2】下列式子中：，，，，，整式有 个． 【变式7-3】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 【变式7-4】把下列代数式分别填在相应的大括号内： ，，，，，，． 单项式：{                   …}； 多项式：{                   …}； 二次二项式：{                   …}； 整式：{                   …}． 【考点题型八 数字类规律探索】 【例8】生物课题小组对附着在物体表面的三个微生物（课题组成员把它们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录，这三个微生物第1天各自一分为二产生新的微生物（依次标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象地记录），那么标号为100的微生物会出现在（   ） A．第4天 B．第5天 C．第6天 D．第7天 【变式8-1】数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【变式8-2】观察下面两行数： 第一行：4，，16，，36，... 第二行：6，，18，，38，... 则第二行中的第11个数是 ． 【变式8-3】定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差例数，是的差倒数……以此类推，则 ． 【变式8-4】观察下列算式，寻找规律，利用规律解答问题．， ， ， ， … (1)根据上述规律填空：________=________； (2)计算： 【考点题型九 图形类规律探索】 【例9】算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（   ） A．223 B． C．263 D． 【变式9-1】根据如下图中箭头的指向规律，从到再到，箭头的方向是以下图示中的 （    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，⋯⋯，按照此规律排列下去，第674个图有 个三角形． 【变式9-3】某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，…，按照此规律，第个图案中心的个数为 ．（用含的代数式表示） 【变式9-4】下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有4个⊙，第2个图形中一共有7个⊙，第3个图形中一共有10个⊙，⋯，按此规律排列． (1)第5个图形中一共有_______个⊙； (2)第100个图形中一共有_______个⊙； (3)想一想：第n个图形中一共有多少个⊙？（用含n的代数式表示） 【考点题型十 同类项的判断】 【例10】下列各组不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式10-1】下列各组中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式10-2】写出一个与是同类项的单项式，这个单项式可以是 ． 【变式10-3】在多项式的各项中，与是同类项的是 ，与是同类项的是 ，与8是同类项的是 ． 【变式10-4】下列各题中的两项是不是同类项？若不是，请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与； (6)与． 【考点题型十一 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例11】若单项式与是同类项，则这两个单项式的和是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如果与是同类项，那么、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式11-2】若与差的是单项式，则的值为 ． 【变式11-3】若单项式与是同类项，则的值为 ． 【变式11-4】如果单项式 与（其中 m 0， n 0）是关于 x，y 的单项式，且它们是同类项． (1)求的值． (2)若，求． 【考点题型十二 合并同类项】 【例12】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式12-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】若单项式与的差仍是单项式，则的值为 ． 【变式12-3】合并同类项： ． 【变式12-4】合并同类项：． 【考点题型十三 去括号与添括号】 【例13】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式13-1】下列式子去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】去括号： （1） ； （2） ； （3） ． 【变式13-3】已知，则代数式的值是 ． 【变式13-4】“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：当代数式的值为7时，求代数式的值． 解： ∴代数式的值为4． (1)已知求的值； (2)已知求的值． 【考点题型十四 整式的加减运算】 【例14】如图，小明在写作业不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如下所示的一个二次三项式，则所捂住的多项式为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】若，，则 ． 【变式14-3】比少的整式是 ． 【变式14-4】化简∶ (1) (2) 【考点题型十五 整式加减的应用】 【例15】从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的方格内填入了一些代数式，若图中横行､竖行及斜行上的三个数之和都相等，则的值为（    ） x y 2 6 0 A．4 B．6 C．8 D．10 【变式15-2】如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中正方形1的边长为m，图中阴影部分的周长为 （用含m的代数式表示） 【变式15-3】如图，用四个如图1所示的长为m、宽为n的长方形拼成一个如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的周长与小正方形的周长的差等于 ． 【变式15-4】劳动技术课程是基础教育的重要课程之一，其根本使命是全面提高未来国民的基本劳动技术素养，培养具有技术知识、创新思维、实践能力的一代新人．某校初中部将利用教学楼边长方形空地展开一系列的劳动实践操作活动．如图所示，空地长为20米，宽为10米，现在将三面留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分做菜地． (1)用含的式子表示菜地的周长； (2)当米时，求菜地的周长． 【考点题型十六 整式加减的化简求值】 【例16】若，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式16-1】若，则的值是（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式16-2】当时，整式的值为2024，则当时，整式的值为 ． 【变式16-3】阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简． 解：原式， 参照本题阅读材料的做法进行解答： （1）若把看成一个整体，合并的结果是 ； （2）已知，，，求的值为 ． 【变式16-4】先化简，再求值： (1)，其中； (2)已知，求的值． 【考点题型十七 整式加减中的无关型问题】 【例17】已知无论，取什么值，多项式的值都等于定值11，则的值等于（   ） A． B．2 C．8 D． 【变式17-1】若关于a，b的多项式与的和不含的项，则m值为（    ） A．2 B． C． D．0 【变式17-2】若关于、的多项式不含项，则的值是 ． 【变式17-3】已知，，在求的值时，小智发现无论x代入何值，所求的值皆不变．那么此时k的值为 ． 【变式17-4】已知多项式，； (1)若，求代数式的值； (2)若代数式的值与无关，求的值． 【考点题型十八 整式加减中的新定义计算】 【例18】定义一种新运算“”的计算规则是：（其中a，b都是有理数）． 例如. 下列等式成立的个数是（    ） ①；②；③ A．3 B．2 C．1 D．0 【变式18-1】定义：已知M，N为关于x的多项式，若，其中k为常数，则称M是N的“友好式”，k叫做M关于N的“友好值”．例如：，，，则称M是N的“友好式”，M关于N的“友好值”为5．已知关于x的多项式，，若M是N的“友好式”，且“友好值”为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数． （1） ． （2）如果k是任意有理数，那么 ． 【变式18-3】对，定义一种新运算：规定，如．则 ； ． 【变式18-4】我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 代数式（6个考点清单+18种题型解读） 【清单01】代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 【清单02】整式 一、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 【清单03】代数式的值 代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值 【清单04】合并同类项 1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 【清单05】去括号与添括号 一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 二、添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 【清单06】整式的加减 知识点六、整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【考点题型一 用字母表示数】 【例1】某超市出售一种商品，其原价为a元，现有4种调价方案：①先提价，再降价；②先降价，再提价；③先提价，再降价；④先提价，再降价．则（    ） A．①②的调价后，价格相等 B．③的调价后，价格不变 C．只有②的调价后，价格上涨 D．①③④的调价后，价格下跌 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的应用-用字母表示数，涉及到了有理数的混合运算，解题关键是是理解题意，正确列出算式并计算． 【详解】解：∵①； ②； ③； ④； ∴①②的调价后，价格相等，故A正确，符合题意； ③的调价后，价格下降，故B不正确，不符合题意； ①②的调价后，价格都上涨，故C不正确，不符合题意； 只有③④的价格下跌，故D不正确，不符合题意； 故选： A． 【变式1-1】（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，掌握两位数=十位数字个位数字． 根据：两位数=十位数字×10+个位数字，代入数值，解答即可． 【详解】解：； 故选：D． 【变式1-2】人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用字母表示代数式的方法，理解题目含义，掌握字母表示代数式的方法是解题的关键．根据材料提示可知，甲，乙，丙，丁，┈对应的字母是；一，二，三，四，五，┈┈对应的数字是；表示减法，表示加法；的分子与分母交换位置是我们所学的代数式形式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，“”的代数式为． 故答案为：． 【变式1-3】一件运动衣的成本价为元，先按成本提高后标价，再按标价的折出售，这件运动衣的售价是 元． 【答案】 【分析】​此题考查了字母表示数的方法，弄清百分数乘法的意义是解本题的关键． 首先根据百分数乘法的意义，求出这件运动衣先按成本提高后的标价是多少；然后用标价乘以，求出这件运动衣的售价是多少，化简即可． 【详解】解：由题意可得：运动衣先按成本提高后的标价为：， 再按标价的折出售的售价是：， ∵， 答：这件运动衣的售价是元． 故答案为：． 【变式1-4】按照下列步骤做一做： （1）一个两位数的个位上的数是a，十位上的数是b，请写出这个两位数； （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新数；请写出这个新两位数； （3）求这两个两位数的和．结果能被11整除吗？为什么？ 【答案】（1）10b+a;（2）10a+b;（3）能被11整除. 【分析】一个两位数=十位上的数×10+个位上的数. 【详解】解：（1）这个两位数为10b+a； （2）交换后该两位数个位上的数为b，十位上的数为a，该两位数为10a+b； （3）两个两位数之和为10b+a+10a+b=11（a+b），故能被11整除. 【点睛】本题考查了用字母表示数. 【考点题型二 求代数式的值】 【例2】已知代数式的值是3，则代数式的值是（    ） A．10 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键；根据题意可整体代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 【变式2-1】如果，那么代数式的值是（    ） A．9 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，运用整体思想是解题的关键．先将变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 【变式2-2】若，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了代数式求值，运用整体代入的思想进行解题是关键．先将进行变形，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2027． 【变式2-3】若规定表示不超过a的最大整数，例如，若，，则在此规定下，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用表示不超过a的最大整数是解题关键．根据表示不超过a的最大整数，可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 则， 故答案为：． 【变式2-4】求下列代数式的值： (1)已知，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）将代入，计算即可； （2）将代入，计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ． 【考点题型三 单项式的相关概念】 【例3】在代数式， ， 、， ，中，单项式的个数是（       ） A．个 B． 个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式的识别，根据由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式逐一排除即可，正确理解单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式有： 、， ，共个， 故选：． 【变式3-1】单项式的系数、次数分别为（    ） A．3和2 B．3和3 C．和2 D．和3 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数，根据单项式的系数为单项式中的数字因数，次数为所有字母的指数和，进行判断即可． 【详解】解：单项式的系数、次数分别为， 故选：D． 【变式3-2】单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，． 【变式3-3】某单项式的系数为，只含字母，，且次数是次，写出一个符合条件的单项式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了写出符合题意的单项式，根据题意，写出一个系数为，只含字母，，且次数是次的单项式即可求解． 【详解】解：依题意，符合条件的单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-4】填表： 单项式 系数 次数 【答案】表中第1行分别填写：2，，1，，；表中第2行分别填写：2，1，3，2，2． 【分析】根据单项式的系数与次数的定义求解． 【详解】解：表中第1行分别填写：2，，1，，； 表中第2行分别填写：2，1，3，2，2． 【点睛】本题考查了单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【考点题型四 单项式规律题】 【例4】按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第7个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式规律题，找到规律是解题的关键． 根据题意，可得单项式的系数的绝对值为，序数为奇数时，符号为负，序数为偶数时，符号为正，字母为，次数从次开始，据此即可求解． 【详解】解：∵按一定规律排列的单项式：，，，，…， ∴第个单项式为， ∴第7个单项式是． 故选：B 【变式4-1】有一组单项式如下：，，，……，则第2046个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字变化规律与序数的关系，由单项式的系数，字母的指数与序数的关系求出第2046个单项式为，重点掌握数字的变化与序数的关系． 【详解】解：由，，，得， 单项式的系数的绝对值为序数加1， 系数的正负为，字母的指数为， 第2046个单项式为， 故选：A． 【变式4-2】按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给单项式，发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 观察所给单项式的系数及次数，发现规律：第个单项式的系数为；第个单项式的次数为，即可解决问题． 【详解】解：由题意知， 这列单项式的系数依次为：2，，6，，10，， 所以第个单项式的系数为：． 这列单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，， 所以第个单项式的次数为：， 所以第个单项式可表示为：． 当时， ， 即第20个单项式为． 故答案为：． 【变式4-3】观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ． 【答案】 【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律． 【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，， 第二项依次是，，， 则可以得到第2023个多项式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键． 【变式4-4】【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式为：，它的系数为：，次数为： 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是2，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：． 【考点题型五 多项式的相关概念】 【例5】下列说法：①的系数是；②不是单项式；③是多项式；④次数是3次；⑤的次数是5次；⑥与是同类项．正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式定义，涉及单项式系数、次数，多项式的次数及单项式与多项式定义等知识，熟记单项式与多项式定义逐项验证即可得到答案，熟记单项式与多项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：①的系数是，故①错误，不符合题意； ②是无理数，是单项式，故②错误，不符合题意； ③是多项式，故③正确，符合题意； ④是单项式，次数是3次，故④正确，符合题意； ⑤是多项式，的次数是2次，故,⑤错误，不符合题意； ⑥与是同类项，故⑥正确，符合题意； 综上所述，以上说法正确的有③④⑥， 故选：B． 【变式5-1】如果多项式是关于的三次多项式，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而求解即可． 【详解】解：依题意可得，， 解得，． 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式的相关概念，掌握多项式次数的确定方法是解题关键． 【变式5-2】若多项式是关于x的五次三项式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式项和次数的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式是关于x的五次三项式， ∴， ∴， 故答案为：。 【变式5-3】若是关于的五次四项式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的次数是多项式中最高次项的次数，所以可求p，而此多项式又是四项式，故可求q，进而可求的值，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数． 【详解】∵是关于x的五次四项式， ∴，， ∴， 故答案为：5． 【变式5-4】已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式和单项式的相关概念．单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．据此即可求解． 【详解】解：∵是五次四项式， ∴， ∴． ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ∴， ∴， ∴． 【考点题型六 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例6】多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按照哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：， 故选：A． 【变式6-1】将多项式按y的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的次数，理解和掌握多项式的次数是解题的关键． 先判断每一项的次数，再把y按从低次到高次排列得出答案即可，排列时带着系数及符号． 【详解】解：多项式按y的升幂排列为：， 故选：A． 【变式6-2】把多项式按字母的升幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将多项式按每个字母升幂（降幂）排列． 根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可． 【详解】把多项式按字母的升幂排列是 故答案为：． 【变式6-3】若多项式是按字母x降幂排列的，则m的值是 ． 【答案】4或3或2 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据多项式是按字母x降幂排列求解即可． 【详解】解：∵多项式是按字母x降幂排列， ∴或5或4， ∴或3或2． 故答案为：4或3或2． 【变式6-4】将按下列要求重新排列： （1）按x降幂排列； （2）按y升幂排列． 【答案】（1）；（2） 【分析】从升幂排列和降幂排列的定义解答即可． 【详解】解：（1）按x降幂排列为； （2）按y升幂排列为． 【点睛】本题主要考查了升幂排列和降幂排列，掌握升幂排列和降幂排列的定义是解题的关键． 【考点题型七 整式的判断】 【例7】下列说法正确的是（   ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．多项式的项是， C．多项式是一次三项式 D．单项式的系数是 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数、多项式的概念，解题关键是熟记相关定义，准确进行判断．根据单项式和多项式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、单项式是整式，整式不一定是单项式，原说法错误，不符合题意； B、多项式的项是，，，原说法错误，不符合题意； C、多项式是二次三项式，原说法错误，不符合题意； D、单项式的系数是，正确，符合题意． 故选：D． 【变式7-1】下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是1 B．单项式的次数是2 C．是四次三项式 D．不是整式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式与多项式．根据单项式、多项式的概念及单项式的次数、系数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、单项式的系数是，原说法错误，本选项不符合题意； B、单项式的次数是4，原说法错误，本选项不符合题意； C、是四次三项式，正确，本选项符合题意； D、是整式，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】下列式子中：，，，，，整式有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的概念，根据单项式和多项式统称为整式，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意：，，， 都是整式， ∴整式有4个． 故答案为：4． 【变式7-3】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 【答案】 3 ② 4 【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可． 【详解】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 【变式7-4】把下列代数式分别填在相应的大括号内： ，，，，，，． 单项式：{                   …}； 多项式：{                   …}； 二次二项式：{                   …}； 整式：{                   …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式，根据单项式，多项式，整式的定义解答即可. 【详解】单项式：； 多项式：； 二次三项式：； 整式：. 【考点题型八 数字类规律探索】 【例8】生物课题小组对附着在物体表面的三个微生物（课题组成员把它们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录，这三个微生物第1天各自一分为二产生新的微生物（依次标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象地记录），那么标号为100的微生物会出现在（   ） A．第4天 B．第5天 C．第6天 D．第7天 【答案】B 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字的变化规律和运算方法，利用规律和方法解决问题．由图和题意可知，第一天产生新的微生物有6个标号，第二天产生新的微生物有12个标号，以此类推，第三天、第四天、第五天产生新的微生物分别有24个，48个，96个，进而求出答案． 【详解】解：第一天产生新的微生物有6个标号， 第二天产生新的微生物有12个标号， 以此类推，第三天、第四天、第五天…产生新的微生物分别有24个，48个，96个， 所以标号为100的微生物会出现在第5天． 故选：B． 【变式8-1】数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律的探索．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最优两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ，，， 所以密码是324880， 故选：D． 【变式8-2】观察下面两行数： 第一行：4，，16，，36，... 第二行：6，，18，，38，... 则第二行中的第11个数是 ． 【答案】146 【分析】本题考查了有理数的乘方的数字变化规律．解题关键是由特殊到一般，找出数字规律，符号规律．由第一行可知，每个数字为完全平方数，即第n个数字为，符号是奇正偶负，即，第二行每一个数比第一行对应的数大2，由此得出规律，求解即可． 【详解】解：根据观察的规律， 第一行第n个数是 第二行第n个数是 所以，第二行中的第11个数是； 故答案为：146． 【变式8-3】定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差例数，是的差倒数……以此类推，则 ． 【答案】 【分析】依次求出，，，，发现规律即可解决问题．本题考查数字变化的规律，能通过计算发现这列数按循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， 则， 则， ∴， 则， 则， ， 依次类推，这列数按循环出现， 又因为余2， 所以． 故答案为：． 【变式8-4】观察下列算式，寻找规律，利用规律解答问题．， ， ， ， … (1)根据上述规律填空：________=________； (2)计算： 【答案】(1)64， (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，理解数字之间计算的规律，掌握含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据材料提示的计算方法，将原式变形为，再根据规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：64，； （2）解： ． 【考点题型九 图形类规律探索】 【例9】算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（   ） A．223 B． C．263 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据题意可知，这个数是负数，且百位是2，十位是6，个位是2，据此可得答案． 【详解】 解：由题意得，“”所表示的数是， 故选：D． 【变式9-1】根据如下图中箭头的指向规律，从到再到，箭头的方向是以下图示中的 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，发现每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键．观察不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，用2013除以4，根据商和余数的情况解答即可． 【详解】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，， ∴从2013到2014再到2015，箭头的方向与从1到2再到3的方向一致，即． 故选：D 【变式9-2】如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，⋯⋯，按照此规律排列下去，第674个图有 个三角形． 【答案】2023 【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含的代数式表示出第个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， ， 按此规律摆下去，第个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个． 故答案为：2023． 【变式9-3】某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，…，按照此规律，第个图案中心的个数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键，先计算前面3个图形中基础图形的数量，发现规律，再总结规律即可． 【详解】解：因为第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成，即， 第3个图案由10个基础图形组成，， 所以第个图案中基础图形的个数为． 故答案为：． 【变式9-4】下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有4个⊙，第2个图形中一共有7个⊙，第3个图形中一共有10个⊙，⋯，按此规律排列． (1)第5个图形中一共有_______个⊙； (2)第100个图形中一共有_______个⊙； (3)想一想：第n个图形中一共有多少个⊙？（用含n的代数式表示） 【答案】(1)16 (2)301 (3) 【分析】本题主要考查了图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的从而得出数字规律． （1）观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多3个⊙，据此规律求解即可． （2）根根据（1）的规律求解即可； （3）根根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形中一共有个⊙， 第2个图形中一共有个⊙， 第3个图形中一共有个⊙， 第4个图形中一共有个⊙， 以此类推，第n个图形中一共有个⊙， ∴第5个图形中一共有个⊙， 故答案为：； （2）解：由（2）可得第100个图形中一共有个⊙， 故答案为：； （3）解：由（1）得第n个图形中一共有个⊙． 【考点题型十 同类项的判断】 【例10】下列各组不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据同类项的定义：含有相同的字母，并且相同字母的指数相同一一判断即可得出答案． 【详解】解：．与是同类项，故该选项不符合题意； ．与不是同类项，故该选项符合题意； ．与是同类项，故该选项不符合题意； ．与 是同类项，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式10-1】下列各组中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．根据同类项定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．与，所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； B．与所含字母相同，相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．与，所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； D．与，所含字母不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式10-2】写出一个与是同类项的单项式，这个单项式可以是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是同类项的定义：掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，相同字母的次数也相同的项是同类项”，据此判断即可． 【详解】解：写出单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式10-3】在多项式的各项中，与是同类项的是 ，与是同类项的是 ，与8是同类项的是 ． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了同类项的概念如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义逐项判断即可得解． 【详解】解：在多项式的各项中，与是同类项的是，，与是同类项的是，与8是同类项的是， 故答案为：，；；． 【变式10-4】下列各题中的两项是不是同类项？若不是，请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与； (6)与． 【答案】(1)不是同类项，虽然所含字母相同，但相同的字母的指数不同 (2)不是同类项，因为所含字母不同 (3)是同类项 (4)是同类项 (5)是同类项 (6)是同类项 【分析】本题主要考查了同类项的概念如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． （1）根据同类项的定义判断即可得解； （2）根据同类项的定义判断即可得解； （3）根据同类项的定义判断即可得解； （4）根据同类项的定义判断即可得解； （5）根据同类项的定义判断即可得解； （6）根据同类项的定义判断即可得解． 【详解】（1）解：与不是同类项，虽然所含字母相同，但相同的字母的指数不同； （2）解：与不是同类项，因为所含字母不同； （3）解：与是同类项 （4）解：与是同类项 （5）解：与是同类项 （6）解：与是同类项． 【考点题型十一 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例11】若单项式与是同类项，则这两个单项式的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，合并同类项，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关． 根据同类项的概念求出，，根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴这两个单项式为：， ∴． 故选：D． 【变式11-1】如果与是同类项，那么、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的概念及求解，熟练掌握同类项的概念是解题的关键； 根据同类项的定义：所含字母相同且相同字母指数也相同的项，据此进行求解即可． 【详解】解：根据同类项的概念可得：与是同类项， 即，， ，， 故选：B 【变式11-2】若与差的是单项式，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了同类项的定义、合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项”，可得到a、b的值，再代入计算即可解答． 【详解】解： 与差的是单项式， 与是同类项， ，， ， ． 故答案为：5． 【变式11-3】若单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同类项，解题的关键是利用所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项得出，的值，代入计算． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， 故． 故答案为：． 【变式11-4】如果单项式 与（其中 m 0， n 0）是关于 x，y 的单项式，且它们是同类项． (1)求的值． (2)若，求． 【答案】(1)1 (2)0 【分析】本题主要考查了同类项，合并同类项法则， （1）根据同类项的定义可知，求出a，再计算代数式的值即可； （2）根据题意可知，即可求出代数式的值． 【详解】（1）∵与是同类项， ∴， 解得， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【考点题型十二 合并同类项】 【例12】下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的方法进行求解各项，进而做出判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不可以合并，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 【变式12-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项是解题的关键． 根据合并同类项逐项分析判断即可 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选D． 【变式12-2】若单项式与的差仍是单项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同类项的定义，代数式求值，根据题意可得单项式与是同类项，再由同类项的定义求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与的差仍是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式12-4】合并同类项：． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【考点题型十三 去括号与添括号】 【例13】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，添括号等知识点，熟练掌握去括号法则和添括号法则是解题的关键：去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反；添括号法则：如果所添括号前面是“”，括到括号里的各项都不改变符号，如果所添括号前面是“”，括到括号里的各项都要改变符号． 按照去括号法则和添括号法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，原变形错误，故选项不符合题意； B、 ，原变形错误，故选项不符合题意； C、，原变形错误，故选项不符合题意； D、 ，变形正确，故选项符合题意； 故选：． 【变式13-1】下列式子去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．根据去括号的法则直接求解即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 【变式13-2】去括号： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减去括号，根据去括号法则计算即可得解，熟练掌握去括号法则是解此题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 【变式13-3】已知，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，把原式化为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ． 故答案为：2． 【变式13-4】“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例如：当代数式的值为7时，求代数式的值． 解： ∴代数式的值为4． (1)已知求的值； (2)已知求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号： （1）根据，利用整体代入法求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 【考点题型十四 整式的加减运算】 【例14】如图，小明在写作业不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减运算，用右边的整式减去左边未被遮住的多项式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，被墨水遮住的多项式为 ； 故选A． 【变式14-1】王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如下所示的一个二次三项式，则所捂住的多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，整式的加减运算．由题意可知，所捂住的多项式为，然后按照整式的加减运算法则先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：由题意可知，所捂住的多项式为： ， 故选：C． 【变式14-2】若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；由题意可把，代入进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为． 【变式14-3】比少的整式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据题意列出关系式，去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 【变式14-4】化简∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键； （1）直接根据整式的加减法则计算即可； （2）直接根据整式的加减法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 【考点题型十五 整式加减的应用】 【例15】从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握长方形周长公式是解题的关键．根据图形列出代数式，利用周长公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意，得：这个长方形的面积为 ． 故选：D． 【变式15-1】在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的方格内填入了一些代数式，若图中横行､竖行及斜行上的三个数之和都相等，则的值为（    ） x y 2 6 0 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】此题主要考查了整式加减的应用．首先根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，可得：，据此求解即可． 【详解】解：∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴， ∴ 故选：A． 【变式15-2】如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中正方形1的边长为m，图中阴影部分的周长为 （用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】此题考查了列代数式．根据图意知：阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为，结合图形求得阴影部分的周长即可． 【详解】解：由题意知：阴影部分的水平长度之和为，竖直长度之和为， 则阴影部分的周长为：． 故答案为：． 【变式15-3】如图，用四个如图1所示的长为m、宽为n的长方形拼成一个如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的周长与小正方形的周长的差等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的周长和列代数式，先得出大正方形的边长为，小正方形的边长为，再分别表示出大正方形和小正方形的周长，再相减即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的周长为，小正方形的边长为， ∴， 故答案为：． 【变式15-4】劳动技术课程是基础教育的重要课程之一，其根本使命是全面提高未来国民的基本劳动技术素养，培养具有技术知识、创新思维、实践能力的一代新人．某校初中部将利用教学楼边长方形空地展开一系列的劳动实践操作活动．如图所示，空地长为20米，宽为10米，现在将三面留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分做菜地． (1)用含的式子表示菜地的周长； (2)当米时，求菜地的周长． 【答案】(1)米 (2)52.62米 【分析】本题考查了代数式求值和整式加减的应用，关键根据长方形的周长公式列出代数式，并用代入法求出结果． （1）根据长方形的长20米，菜地的两边小路宽米，用减法表示出菜地的长；再根据长方形的宽10米，菜地的一边小路宽米，用减法表示出菜地的宽，最后用周长公式表示出菜地的面积； （2）把代入菜地周长的代数式中，即可求出答案． 【详解】（1）解：， 米； （2）解：当时， 原式（米）， 答：菜地的周长是52.62米． 【考点题型十六 整式加减的化简求值】 【例16】若，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方的非负性，整式的加减中的化简求值，理解两个非负数的和等于零时，每一个非负数必为零的特点是解题的关键．根据，可得，即可求出的值，再将化简为，将的值代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 则 ； 故选：C． 【变式16-1】若，则的值是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，把所求式子先去括号，然后合并同类项化简，再把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 【变式16-2】当时，整式的值为2024，则当时，整式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，把代入，得出，再把以及代入计算求值即可． 【详解】解：∵当时， ∴， ∴， 当时，， 故答案为： 【变式16-3】阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简． 解：原式， 参照本题阅读材料的做法进行解答： （1）若把看成一个整体，合并的结果是 ； （2）已知，，，求的值为 ． 【答案】 / 6 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）把看成一个整体，然后利用合并同类项法则进行化简即可； （2）先利用已知条件，得到，，即，再把它们的值整体代入计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），，， ，即，，即， 则 ． 故答案为：6． 【变式16-4】先化简，再求值： (1)，其中； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的化简求值，平方的非负性． （1）先把看作一个整体，合并同类项后，代入求值即可； （2）先去括号，再合并同类项，从而化简式子，再根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，代入求值即可． 【详解】（1）解： 当时， 原式． （2） ∵， ∴，解得， ，解得； ∴原式 ． 【考点题型十七 整式加减中的无关型问题】 【例17】已知无论，取什么值，多项式的值都等于定值11，则的值等于（   ） A． B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算以及无关型问题，先去括号合并同类项得，结合“无论，取什么值，多项式的值都等于定值11，”，列式，，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意 ． ∵无论，取什么值，多项式的值都等于定值11， ∴，， ∴，， ∴． 故选A． 【变式17-1】若关于a，b的多项式与的和不含的项，则m值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减中不含有某一项的问题，先将两个多项式相加，再根据不含有某一项是该项的系数为0，可得答案． 【详解】根据题意，可知 ． 因为该多项式不含有项， 所以， 解得． 故选：A． 【变式17-2】若关于、的多项式不含项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值． 根据多项式不含项，即项系数为0，求出k的值即可解答． 【详解】解：原式， ∵多项式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：. 【变式17-3】已知，，在求的值时，小智发现无论x代入何值，所求的值皆不变．那么此时k的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查的是整式的加减．先将P和Q代入并化简，再根据代数式的值恒不变，得到k的值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵无论x代入何值，的值皆不变， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式17-4】已知多项式，； (1)若，求代数式的值； (2)若代数式的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查非负性，整式的加减运算，整式的无关性的计算，理解非负性，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据非负性可得的值，代入，运用整式的加减运算法则计算即可； （2）根据整式的加减运算计算，再根据值与无关，确定的系数，且该系数为零，列式得到的值，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴ ； （2）解： ， ∵代数式的值与无关， ∴， 解得，， ∴． 【考点题型十八 整式加减中的新定义计算】 【例18】定义一种新运算“”的计算规则是：（其中a，b都是有理数）． 例如. 下列等式成立的个数是（    ） ①；②；③ A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式加减运算，解题的关键是理解题意，分别求出各个式子的值，然后进行比较即可． 【详解】解：①∵，， 又∵， ∴，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③ ∵，， 又∵， ∴，故③错误； 综上分析可知，等式成立的个数是2个，故B正确． 故选：B． 【变式18-1】定义：已知M，N为关于x的多项式，若，其中k为常数，则称M是N的“友好式”，k叫做M关于N的“友好值”．例如：，，，则称M是N的“友好式”，M关于N的“友好值”为5．已知关于x的多项式，，若M是N的“友好式”，且“友好值”为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查整式的加减的应用，解题的关键是理解“友好值”的定义，列方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的多项式，，若M是N的“友好式”，且“友好值”为， ∴， ∴， ∴， 故， 解得， 故选B． 【变式18-2】定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数． （1） ． （2）如果k是任意有理数，那么 ． 【答案】 7 0或/或0 【分析】本题考查了有理数的比较大小，新定义，掌握表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数是解题的关键． （1）根据新定义先求出和的值，然后再相加即可； （2）分两种情况：当k为整数时，k是分数时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：7． （2）解：当k为整数时，； 当k为分数时，设k的整数部分为x，分数部分为y，则： 当时， ； 当时， ； 故答案为：0或． 【变式18-3】对，定义一种新运算：规定，如．则 ； ． 【答案】 8 2 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的运算，根据新定义的要求写出算式，再根据有理数的运算法则解答即可． 【详解】； ． 故答案为：8，2． 【变式18-4】我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 【答案】(1)①③ (2)①，；②11 【分析】此题考查了整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据“友好多项式”的概念将各项多项式相加求解判断即可； （2）①首先计算，然后根据“友好多项式”的概念得到，，即可求出、的值； ②将，代入求解即可． 【详解】（1）①∵，是常数， ∴与互为“友好多项式”； ②，不是常数， ∴与不互为“友好多项式”； ③，是常数， ∴与互为“友好多项式”； 综上所述，互为“友好多项式”的是①③； （2）①∵多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”， ∴ ∴， ∴，； ②∵， ∴多项式、的“友好值”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$