专题02 代数式（期末复习专项训练，10大题型）七年级数学上学期新教材苏科版

专题02 代数式 题型1 单项式与多项式（常考点） 题型6 化简求值（常考点） 题型2 整体代入求值（常考点） 题型7 代数式的规律问题（重点） 题型3 绝对值化简（重点） 题型8 销售、打折问题（难点） 题型4 不含某项、与某项无关（重点） 题型9 整除问题（难点） 题型5 合并同类项、去括号化简（常考点） 题型10 代数式的新定义（难点） 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 单项式与多项式（常考点） 1．关于整式，下列说法正确的是（   ） A．的次数是2 B．0是单项式 C．的系数是3 D．是三次二项式 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的系数和次数即单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数；多项式的命名，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据单项式的系数，次数的定义，多项式的命名判断即可． 【详解】解：A. 的次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意； B. 0是单项式，原说法正确，故此选项符合题意； C. 的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意； D. 是三次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．单项式的系数是 C．的系数、次数都是3 D．是4次单项式 【答案】B 【分析】本题考查单项式的概念，系数和次数的定义．单项式是数字与字母的乘积，系数是数字因数，次数是所有字母指数之和，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、中含有加法运算，不是单项式，故A选项不符合题意； B、是单项式，其系数为 ，故B选项符合题意； C、的系数是3，次数是4，故C选项不符合题意； D、的次数是5，故D选项不符合题意； 故选：B． 3．单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查单项式的系数与次数，熟练掌握单项式的系数与次数是解题的关键；因此此题可根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和，进而问题可求解． 【详解】解：单项式的数字因数是，因此系数是， 字母的指数是1，的指数是3，指数的和是，因此次数是4； 故答案为，4． 题型二 整体代入求值（常考点） 1．若，则代数式的值为（   ） A．2015 B．2020 C．2030 D．2035 【答案】C 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值．由已知方程可得，再将代数式变形为，再把代入进行求值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：C 2．如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的数，则代数式的值为 （    ）． A．2 B．0 C． D．2或0 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，数轴上点到原点的距离及代数式的求值．根据条件，a和b互为相反数，则；c和d互为倒数，则；x到原点距离为1，则或，代入代数式化简后，值取决于x，可能为2或0． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 当时，； 当时，， ∴值为2或0． 故选：D． 3．若当时，代数式的值为10，当时，求代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值．将代入代数式得到关于 a，b，c 的方程，再代入并利用代数关系进行求解，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，代数式值为10， 即，计算得， 整理得 ． 当时，代数式为． 由，得， 代入得． 故答案为：． 题型三 绝对值化简（重点） 1．已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，式子的化简结果为（    ） A． B．b C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握法则是解本题的关键． 根据题意得出，，，然后去绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴上点的位置得：，， ∴， 则 ． 故选：A． 2．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，结合数轴化简的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，先根据数轴得到，则，，，据此化简绝对值，最后根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴，，， ∴ ， 故选：D． 3．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减计算，解题的关键在于判断绝对值符号里面各个式子的符号，进而化简得出结果． 根据数轴判断的符号，以及绝对值中三个式子的符号，再去绝对值化简． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ∴ 故答案为：． 题型四 不含某项、与某项无关（重点） 1．已知，．若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算． 先计算的表达式，合并同类项后，令含的项的系数为零，从而求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． 故选：C． 2．若关于x、y的多项式中不含项，则k的值是（   ） A． B．0 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，掌握知识点是解题的关键． 将多项式中的项合并同类项，令其系数为零，解方程即可求出k的值． 【详解】解： ∵该多项式不含项， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 3．若多项式与多项式相加后不含二次项，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握不含某项即其系数为0是解题的关键． 将两个多项式相加，合并同类项后，令二次项的系数为零，解方程，即可求解． 【详解】解： ， 不含二次项，则二次项系数为零，即， 解得：． 故答案为：4． 题型五 合并同类项、去括号化简（常考点） 1．化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，整式的加减运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 2．（1）化简：； （2）化简，并求当时化简结果的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了合并同类项，整式的加减中的化简求值等知识点，解题关键是熟练掌握去括号法则以及合并同类项． （1）先去括号，再合并同类项，即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 当时， 原式． 3．化简： （1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算． （1）直接合并同类项即可． （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 题型六 化简求值（常考点） 1．先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，整式的加减运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先去括号，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 2．先化简，后求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，掌握运算法则是关键；先去括号、合并同类项，再代入求值即可． 【详解】 ， 当，时， 原式． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值，先去括号，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 题型七 代数式的规律问题（重点） 1．观察下列一组等式，探索其中的规律： … 请根据上述规律，完成以下问题： (1)写出第5个等式：______； (2)第n个式子为：______；（用含n的等式表示） (3)学校分年级进行广播体操比赛活动，七年级需要排列成正方形队形．体育老师先安排n组同学，每组人，之后又补充了人，恰好排成正方形队伍，且总人数为144人．请通过规律直接找出最初安排了多少组同学？ 【答案】(1)； (2)； (3)最初安排了11组同学． 【分析】本题考查有理数的混合运算，数式规律问题，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）由题干中的等式写出第5个等式即可； （2）根据已知等式总结规律即可； （3）根据所得规律列式计算即可． 【详解】（1）解：由题干中的等式可得第5个等式为， 故答案为：； （2）解：由已知等式可得第n个等式为， 故答案为：； （3）解：由题意得， 即， ， ， 则， 即最初安排了11组同学． 2．“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的数字规律，理解题意，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据已知条件得到规律，即可求解第五个式子； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ∴ ． 3．探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示数的规律，观察数阵，推断出规律是解题的关键． （1）观察数阵，由此推断规律即可； （2）先将第5行所有数列出，再求其和即可； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数，前88个数分成44组，且每组的和为，由此求解即可． 【详解】（1）解：观察数阵可知：第1行有（个）数， 第2行有（个）数， 第3行有（个）数， 第4行有（个）数， 则第n行有个数； 第2行最右边的数为， 第3行最右边的数为， 第4行最右边的数为， 则第n行最右边的数为， 故答案为：，； （2）第5行的9个数为：17，，19，，21，，23，，25， 它们的和为； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数， 前88个数分成44组，每组的和为， 所以该行所有数的和为． 题型八 销售、打折问题（难点） 1．“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价元，智能手写笔每支定价元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该商城购买平板电脑6台，智能手写笔x支（） (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的代数式表示）， 若该客户按方案二购买，需付款______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)， (2)按方案一购买较为合算 【分析】本题考查列代数式的应用，代数式求值，有理数的计算及比较大小，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题的关键． （1）根据题意，分别按方案一和方案二列式化简即可得到答案； （2）将代入（1）中的两个代数式，求值并比较即可解决问题． 【详解】（1）解：按方案一购买，需付款：元， 按方案二购买，需付款：元． 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一：（元， 方案二：（元， ， 此时按方案一购买较为合算． 2．每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知两家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付_________元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付_________元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190； (2)在A店铺需支付：元；在B店铺需支付：元． 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到两家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在两家店铺的购买费用． 【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 故答案为：3200，3190； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买，需支付：． 3．国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，请你根据以下素材帮助小明探索在实际购买过程中哪种活动更优惠． 【素材1】超市的纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元减10元，满200元减30元，满300元减60元，，上不封顶． 活动二：所有商品打折． 【素材2】小明家用的两种纸巾信息如下：1袋清风牌纸巾共12包，超市标价40元/袋；1箱4D溶纸巾共12包，超市标价60元/箱． 【素材3】小明家平均3天用1包清风牌纸巾，平均5天用1包4D溶纸巾． 【解决问题】 按需要存半年（按180天计算）的量计算， (1)小明家半年需要消耗清风牌纸巾_____袋，消耗4D溶纸巾_____箱； (2)小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚． ①小明需要购买2种纸巾，其中需要购买4D溶纸巾箱，在不参与促销活动的前提下，所需的总费用为_____元（用含的代数式表示）； ②当时，若小明选择活动一，则所需的总费用为_____元； ③若小明家4D溶纸巾没有存货，选择哪种活动更优惠？请说明理由． 【答案】(1)5，3 (2)①；②190；③活动一，见解析 【分析】（1）根据题意，（袋），（箱）解答即可； （2）①根据题意，小明需要购买清风牌纸巾（袋），需要购买4D溶纸巾箱，列代数式得（元）； ②当时，（元），选择活动一，满200元减30元，故所需的总费用为元； ③根据题意，时，（元），选择活动一，满300元减60元，故所需的总费用为（元）；选择活动二，（元），解答即可． 本题考查了代数式的值，有理数的运算，打折，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，（袋），（箱）， 故答案为：5，3． （2）解：①根据题意，小明需要购买清风牌纸巾（袋），需要购买4D溶纸巾箱，列代数式得（元）， 故答案为：； ②解：当时，（元）， 选择活动一，满200元减30元， 故所需的总费用为（元）， 故答案为：190； ③解：活动一更优惠； 根据题意，时，（元）， 选择活动一，满300元减60元， 故所需的总费用为（元）； 选择活动二，（元）， 故活动一更优惠． 题型九 整除问题（难点） 1．一个四位自然数，其中千位数字是个位数字的两倍，百位数字与十位数字之和为10，则称这个四位数为“倍和数”，记，例如：四位数6193，因为，，所以6193是“倍和数”，；四位数8154，，，所以8154不是“倍和数” (1)请判断6423，4552是否是“倍和数”，并说明理由； (2)若是“倍和数”，的两倍与的各位数字之和能被11整除，请求出这个四位数． 【答案】(1)6423不是“倍和数”，4552是“倍和数”． (2)2551、4282、8734 【分析】本题考查新定义，整数的加减运算，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）设，得到，根据的两倍与的各位数字之和能被11整除，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴6423不是“倍和数”， ， ∴4552是“倍和数”； （2）设， ∵是“倍和数”， ∴， ∵的两倍与的各位数字之和能被11整除， 又∵ ， ∴能被11整除， 由题意可知：，，且均为整数， ∴当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，； 综上：这个四位数可以为：2551、4282、8734． 2．一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，通常记这个数为，则．下面探究能被9整除的三位数的特征． 【猜想证明】由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除． 因为． 显然能被9整除，因此如果能被9整除，那么就能被9整除，所以猜想成立． (1)【举例说明】请写出一个能被9整除的三位数______； (2)【迁移运用】设是一个四位数，如果这个四位数能被3整除，那么需满足什么特征，试说明理由． (3)【类比延伸】若三位数能被11整除，探索、、应满足的条件最正确的是______（填序号）． ①、、均能被11整除②能被11整除③④能被11整除 【答案】(1)108（或，答案不唯一，其他合理答案也可） (2)能被3整除，理由见解析 (3)④ 【分析】本题考查了数的整除性问题，以及整式加减运算的应用． （1）根据“如果能被9整除，那么就能被9整除，”分析求解，即可解题； （2）类比题干“猜想证明”的过程求解，即可解题； （3）类比题干“猜想证明”的过程求解，即可解题； 【详解】（1）解：根据如果能被9整除，那么就能被9整除， ，且能被9整除， 则能被9整除的三位数可以是（或，答案不唯一，其他合理答案也可）； 故答案为：； （2）解：如果这个四位数能被3整除，需满足能被3整除，理由如下： ， 能被3整除，且能被3整除， 能被3整除； （3）解： ， 能被11整除，且三位数能被11整除， 、、应满足能被11整除； 故答案为：④． 3．【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，……这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数能被整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 【方法运用】 请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理． （1）我们用表示一个三位数．其中分别表示百位，十位，个位上的数，即．若能被整除，则能被整除． 请你补全下面的证明过程： 证明：__________， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除． （2）若三位数能被整除，且的值是偶数，直接写出的值． （3）已知三位数中，若能被整除，求证：能被整除． 【类比应用】 （4）试分析四位数与三位数的差能否被整除，若能请说明理由；若不能，请举例说明． （5）若五位数能被整除，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 见解析 （4）能 （5） 【分析】本题主要考查了数的整除性、代数式的拆分与整式的加减，熟练掌握将数拆分为含9（或9的倍数）的部分与数字和部分的方法是解题的关键． （1）将三位数拆分为含、的部分与数字和的部分，利用的倍数能被整除的性质补全证明； （2）根据能被整除的数的数字和特征，结合是偶数确定的值； （3）类比能被整除的证明方法，将三位数拆分为含、的部分与数字和的部分，利用的倍数能被整除的性质证明； （4）先表示出四位数与三位数，计算出差后拆分为含的倍数的部分与数字和的部分，判断是否能被整除； （5）根据能被整除的数的数字和特征，计算五位数的数字和，结合的取值范围确定的值． 【详解】（1）证明： ， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除， 故答案为：；． （2）解：∵ 三位数能被3整除， ∴ 能被3整除， ∴ 的可能值为9、12、15， 解得、、， 又∵ 是偶数， ∴ ． （3）证明：∵ ， 又∵ 和能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除． （4）解：能被3整除． 理由：四位数， 三位数， 则差为：， ∵ 能被3整除， ∴ 四位数与三位数的差能被3整除． （5）解：∵ 五位数能被9整除， ∴ 数字和能被9整除， ∴ （是个位数）， 解得． 题型十 代数式的新定义（难点） 1．定义：若，则称m与n是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数；与 （用含x的整式表示）是关于2的平衡数． (2)若，，判断A与B是否是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2)A与B不是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，新定义，整式的加减，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用新定义解答． （1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）将相加，化简判断即可． 【详解】（1）解：设与是关于2的平衡数， 则， 解得：， 设与是关于的平衡数， 则， 解得：， 故答案为：，； （2）解：A与B不是关于2的平衡数． 理由如下：∵，， ∴ ∴A与B不是关于2的平衡数． 2．定义：若，则称与是关于数的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数．与是关于的伴随数． (1)填空：2024与____是关于的伴随数，____与是关于5的伴随数； (2)若与是关于2的伴随数，与是关于的伴随数，与是关于6的伴随数，求的值； (3)现有与（为常数）始终是数的伴随数，求的值． 【答案】(1)2025， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减运算，代数式求值问题，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据伴随数的定义列式计算即可； （2）根据伴随数得到，，，再将化简变形为，再代入求值即可； （3）首先求得，再根据题意可知的值与x无关，则，即可求得k的值，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴2024与2025是关于的伴随数，与是关于5的伴随数， 故答案为：2025，； （2）解：∵与是关于2的伴随数，与是关于的伴随数，与是关于6的伴随数， ∴，，， ∴ ； （3）解： ， ∵与（为常数）始终是数的伴随数， ∴， ∴的值与无关， ∴， 解得， ∴． 3．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则_____“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是，计算见解析 (2)是 (3)81 【分析】本题主要考查了新定义、有理数的运算、代数式求值、整式加减等知识点，理解“共生有理数对”的定义是解题的关键． （1）根据“共生有理数对”的定义判断即可； （2）由题意可得，然后根据“共生有理数对”的定义判断即可； （3）由题意可得，又，从而得出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 数对不是“共生有理数对”． 故答案为：不是． （2）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∵， ， ∴， ∴”是“共生有理数对． 故答案为：是． （3）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为81． $专题02 代数式 题型1 单项式与多项式（常考点） 题型6 化简求值（常考点） 题型2 整体代入求值（常考点） 题型7 代数式的规律问题（重点） 题型3 绝对值化简（重点） 题型8 销售、打折问题（难点） 题型4 不含某项、与某项无关（重点） 题型9 整除问题（难点） 题型5 合并同类项、去括号化简（常考点） 题型10 代数式的新定义（难点） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 单项式与多项式（常考点） 1．关于整式，下列说法正确的是（   ） A．的次数是2 B．0是单项式 C．的系数是3 D．是三次二项式 2．下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．单项式的系数是 C．的系数、次数都是3 D．是4次单项式 3．单项式的系数是 ，次数是 ． 题型二 整体代入求值（常考点） 1．若，则代数式的值为（   ） A．2015 B．2020 C．2030 D．2035 2．如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的数，则代数式的值为 （    ）． A．2 B．0 C． D．2或0 3．若当时，代数式的值为10，当时，求代数式的值为 ． 题型三 绝对值化简（重点） 1．已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，式子的化简结果为（    ） A． B．b C． D． 2．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，结合数轴化简的结果是（   ） A． B． C．0 D． 3．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简 ． 题型四 不含某项、与某项无关（重点） 1．已知，．若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D．3 2．若关于x、y的多项式中不含项，则k的值是（   ） A． B．0 C．2 D．1 3．若多项式与多项式相加后不含二次项，则m的值为 ． 题型五 合并同类项、去括号化简（常考点） 1．化简下列各式： (1)； (2) 2．（1）化简：； （2）化简，并求当时化简结果的值． 3．化简： （1）； （2）． 题型六 化简求值（常考点） 1．先化简，再求值：，其中， 2．先化简，后求值：，其中， 3．先化简，再求值：，其中，． 题型七 代数式的规律问题（重点） 1．观察下列一组等式，探索其中的规律： … 请根据上述规律，完成以下问题： (1)写出第5个等式：______； (2)第n个式子为：______；（用含n的等式表示） (3)学校分年级进行广播体操比赛活动，七年级需要排列成正方形队形．体育老师先安排n组同学，每组人，之后又补充了人，恰好排成正方形队伍，且总人数为144人．请通过规律直接找出最初安排了多少组同学？ 2．“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 3．探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 题型八 销售、打折问题（难点） 1．“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价元，智能手写笔每支定价元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该商城购买平板电脑6台，智能手写笔x支（） (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的代数式表示）， 若该客户按方案二购买，需付款______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 2．每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知两家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付_________元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付_________元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 3．国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，小明一家去逛该超市，准备购买纸巾，请你根据以下素材帮助小明探索在实际购买过程中哪种活动更优惠． 【素材1】超市的纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元减10元，满200元减30元，满300元减60元，，上不封顶． 活动二：所有商品打折． 【素材2】小明家用的两种纸巾信息如下：1袋清风牌纸巾共12包，超市标价40元/袋；1箱4D溶纸巾共12包，超市标价60元/箱． 【素材3】小明家平均3天用1包清风牌纸巾，平均5天用1包4D溶纸巾． 【解决问题】 按需要存半年（按180天计算）的量计算， (1)小明家半年需要消耗清风牌纸巾_____袋，消耗4D溶纸巾_____箱； (2)小明家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚． ①小明需要购买2种纸巾，其中需要购买4D溶纸巾箱，在不参与促销活动的前提下，所需的总费用为_____元（用含的代数式表示）； ②当时，若小明选择活动一，则所需的总费用为_____元； ③若小明家4D溶纸巾没有存货，选择哪种活动更优惠？请说明理由． 题型九 整除问题（难点） 1．一个四位自然数，其中千位数字是个位数字的两倍，百位数字与十位数字之和为10，则称这个四位数为“倍和数”，记，例如：四位数6193，因为，，所以6193是“倍和数”，；四位数8154，，，所以8154不是“倍和数” (1)请判断6423，4552是否是“倍和数”，并说明理由； (2)若是“倍和数”，的两倍与的各位数字之和能被11整除，请求出这个四位数． 2．一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，通常记这个数为，则．下面探究能被9整除的三位数的特征． 【猜想证明】由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除． 因为． 显然能被9整除，因此如果能被9整除，那么就能被9整除，所以猜想成立． (1)【举例说明】请写出一个能被9整除的三位数______； (2)【迁移运用】设是一个四位数，如果这个四位数能被3整除，那么需满足什么特征，试说明理由． (3)【类比延伸】若三位数能被11整除，探索、、应满足的条件最正确的是______（填序号）． ①、、均能被11整除②能被11整除③④能被11整除 3．【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，……这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数能被整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 【方法运用】 请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理． （1）我们用表示一个三位数．其中分别表示百位，十位，个位上的数，即．若能被整除，则能被整除． 请你补全下面的证明过程： 证明：__________， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除． （2）若三位数能被整除，且的值是偶数，直接写出的值． （3）已知三位数中，若能被整除，求证：能被整除． 【类比应用】 （4）试分析四位数与三位数的差能否被整除，若能请说明理由；若不能，请举例说明． （5）若五位数能被整除，求的值． 题型十 代数式的新定义（难点） 1．定义：若，则称m与n是关于2的平衡数． (1)3与 是关于2的平衡数；与 （用含x的整式表示）是关于2的平衡数． (2)若，，判断A与B是否是关于2的平衡数，并说明理由． 2．定义：若，则称与是关于数的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数．与是关于的伴随数． (1)填空：2024与____是关于的伴随数，____与是关于5的伴随数； (2)若与是关于2的伴随数，与是关于的伴随数，与是关于6的伴随数，求的值； (3)现有与（为常数）始终是数的伴随数，求的值． 3．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则_____“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． $