学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（湖北专用，人教版九上全册：一元二次方程+二次函数+旋转+圆+概率）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级数学上册第21~25章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图形：“刘徽割圆术”、“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   2．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．下列事件中是必然事件的是（    ） A．内错角相等 B．经过红绿灯路口，遇到红灯 C．任意抛掷一枚硬币，正面朝上 D．三角形任意两边之和大于第三边 4．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为平方步，长比宽多步，问宽和长各几步？设宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 7．已知二次函数的顶点坐标为，若点在函数图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 12．若二次函数的图象经过点，则 ． 13．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为 ． 14．如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为 ． 15．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为 ． 3、 解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 解方程∶ (1)； (2)； 17．（6分） 如图，已知是等边三角形，E 为边 上一点，连接．将绕点 E 旋转，使点 C 落在 上的点 D 处，点 A 落在 上方的点 F 处，连接．求证：四边形是平行四边形． 18． （7分） 已知关于的一元二次方程． (1)当时，方程的根为 ； (2)求证：无论为何值，方程总有实数根； (3)若，是方程的两个实数根，且，求的值． 19． （7分） 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)在（1）的条件下，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． (3)在x轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 20． （8分） 某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 21． （8分） 如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆，与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)过点E作于点H，若，． ①求的长； ②求的半径． 22． （10分） 综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为___________，排队人数与安检时间的函数关系式为___________ (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 23． （11分） 如图，在长方形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，且，连接． (1)当点在上时，作，垂足为，求证：； (2)当时，求的长． 24．（12分） 抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级数学上册第21~25章。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图形：“刘徽割圆术”、“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 2．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；通过计算每个一元二次方程的判别式，判断实数根的情况，若判别式大于零，则有两个不相等的实数根，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、中，，，则，故无实数根，不符合题意； B、中，，，则，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，则，无实数根，不符合题意； D、中，，，则，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 3．下列事件中是必然事件的是（    ） A．内错角相等 B．经过红绿灯路口，遇到红灯 C．任意抛掷一枚硬币，正面朝上 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，三角形三边关系，平行线的性质．必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．选项A需要两直线平行才成立，否则不一定；选项B和C是随机事件，具有不确定性；选项D是三角形的基本性质，总是成立，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、内错角相等需两直线平行，否则不成立，不是必然事件； B、经过红绿灯路口可能遇到红灯、绿灯或黄灯，不是必然事件； C、抛掷硬币可能正面朝上或反面朝上，不是必然事件； D、三角形任意两边之和大于第三边是三角形的三边关系定理，对于任何三角形都必然成立，是必然事件． 故选：D 4．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为平方步，长比宽多步，问宽和长各几步？设宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意正确表示出长和宽，再利用面积公式列方程；设宽为步，则长为步，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设宽为步，则长为步， 根据矩形面积公式可列方程： ， 故选C． 5．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 6．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：D． 7．已知二次函数的顶点坐标为，若点在函数图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的性质，比较大小即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点在函数图象上，且 ∴； 故选：D． 8．如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长的计算，解题的关键是正确添加辅助线． 过点作于点，连接，利用勾股定理求出，在中，根据求出，进而利用平行线的性质求出，再利用弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， 弧的长为． 故选：C． 9．将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，观察可知6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕原点逆时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转后的坐标为， 第二次旋转后的坐标为， 第三次旋转后的坐标为， 第四次旋转后的坐标为， 第五次旋转后的坐标为， 第六次旋转后的坐标为， ⋯， 可知，6次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点A对应点的坐标为， 故选：A． 10．二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数a、b、c的符号及相关式子的正误． 【详解】解：由抛物线开口向上，得；对称轴，得；抛物线与轴交于负半轴，得． ①（，三数相乘为正），此结论正确； ②，此结论正确； ③，，无法判定，此结论错误； ④顶点时函数取最小值，时，此结论错误． 综上，正确结论有2个． 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为． 故答案为：． 12．若二次函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值；将点代入二次函数解析式，得到关于和的方程，化简后求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以2得：， ∴． 故答案为：． 13．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质求出的度数，即可解决问题． 【详解】解；根据题意可得，，， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 根据的周长为：，结合，，，代换计算即可． 【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，， ，，， 的周长为： ， ． 故答案为：10． 15．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握方程根与系数的关系，得出两个方程根之间的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系，推导出方程的两根为和，再根据的范围确定较小根的范围． 【详解】解：方程的两根为和， ，， 设方程的两根为和， 则，， ，， 方程的两根为和， ， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 解方程∶ (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：；（3分） （2）解：， ， ∴ ， ∴， 解得：．（3分） 17．（6分） 如图，已知是等边三角形，E 为边 上一点，连接．将绕点 E 旋转，使点 C 落在 上的点 D 处，点 A 落在 上方的点 F 处，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质，得到，，根据旋转的性质，得到，证明是等边三角形，得到，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，，（1分） 又∵ 将绕点 E 旋转得到， ∴．（1分） ∴，是等边三角形．（1分） ∴． 又∵，（1分） ∴． 又∵，（1分） ∴ 四边形是平行四边形．（1分） 18． （7分） 已知关于的一元二次方程． (1)当时，方程的根为 ； (2)求证：无论为何值，方程总有实数根； (3)若，是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)或； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，包括方程的求解、判别式的应用以及根与系数的关系的运用．解题的关键在于准确计算判别式并判断其正负性；熟练运用根与系数的关系对式子进行变形和计算． （1）将代入原方程，得到一个具体的一元二次方程，然后求解该方程的根． （2）计算原方程的根的判别式，通过对根的判别式进行化简变形，判断其取值范围，从而证明无论为何值，方程总有实数根． （3）先根据根与系数的关系得出和的表达式，再对进行变形，将和代入变形后的式子，得到关于的方程，最后求解即可． 【详解】（1）解：当时，原式可化为 ；．（2分） （2）证明： ∴无论为何值，方程总有实数根．（2分） （3）解：依题意，得，； ∵（1分） ∴ ， （1分） 或， 经检验，或均符合题意．（1分） 19． （7分） 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)在（1）的条件下，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． (3)在x轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，求弧长，勾股定理的应用，一次函数的性质，掌握旋转的性质并作图，坐标与图形，弧长公式的应用是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据弧长的计算方法求解即可； （3）如图所示，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P即为所求，然后求出的表达式，然后令即可求出P点坐标． 【详解】（1）解：将绕原点顺时针旋转得到，如图即为所求； （2分） （2）解：由勾股定理可得：， ∵绕到的过程中所经过的路径长等于以为圆心，半径为，圆心角为的弧长． ∴弧；（2分） （3）如图所示， 由对称得，， ∴ ∴与x轴的交点P即为所求， 设所在直线的表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线的表达式为 ∴当时， 解得 ∴．（3分） 20． （8分） 某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)400，60，D，图见解析 (2)估计该校成绩优秀的学生有人 (3) 【分析】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键。 （1）用C组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，由此即可求出m的值，进而根据中位数的定义判断其范围范围，再根据总人数及已知各组人数，计算出E组的人数，从而补全直方图； （2）根据样本中优秀人数占比即可估计2000人中成绩优秀的数量； （3）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为（名）； ∴B组的人数为（名），即； ∵所抽取学生成绩的中位数是第200和第201个成绩的平均数，且， ∴所抽取学生成绩的中位数落在D组， E组的人数为：（人）， 补全学生成绩频数分布直方图如下： 故答案为：400，60，D；（3分） （2）解：（人）， 答：估计该校成绩优秀的学生有人；（2分） （3）解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，抽取过程如图所示， 共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．（3分） 21． （8分） 如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆，与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)过点E作于点H，若，． ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质． （1）连接，先证明是圆的直径，是圆的半径，再证明，则有，结论得证； （2）①连接，根据角平分线的性质证明，再证，则可求； ②根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴， ∵是的外接圆， ∴是的直径，是的半径， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线；（3分） （2）解：①连接，如图， ∵平分，且，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；（2分） ②∵，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， 则， ∴，即的半径为．（3分） 22． （10分） 综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为___________，排队人数与安检时间的函数关系式为___________ (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【答案】(1)，； (2)排队人数在第分钟达到最大值，最大人数是人 (3)开通条通道 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据排队人数现场总人数已入场人数，得到二次函数的解析式． 根据平均每条通道每分钟可安检人，开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为人；根据排队人数现场总人数已入场人数，可得函数关系式； 把整理成顶点坐标式，可得：，根据二次函数的性质即可求出结果； 设开通了条安检通道，可得：，可知二次函数的对称轴为，根据主办方的要求，可知，求出的取值范围，再根据实际情况确定的值． 【详解】（1）解：平均每条通道每分钟可安检人， 开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为人； 排队人数现场总人数已入场人数， ； 故答案为：，；（2分） （2）解：把整理成顶点坐标式， 可得：， 当时，达到最大值，最大值是， 答：排队人数在第分钟达到最大值，最大人数是人；（3分） （3）解：设开通了条安检通道， 根据题意可得：， 整理得：，（2分） 对称轴为， 排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少， ， 解得：， 最多可以开通条通道， ， 尽量少安排安检通道，以节省开支， 其中为整数且， 取， 最少开设条安检通道．（3分） 23． （11分） 如图，在长方形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，且，连接． (1)当点在上时，作，垂足为，求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【分析】本题考查了长方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理及分类讨论思想；解题的关键是：①通过旋转条件构造全等三角形；②根据动点位置分类讨论，利用勾股定理或相似三角形求线段长；易错点是忽略动点在折线上运动的不同位置，导致漏解． （1）当在上时，由可得，结合和，证明，从而得到． （2）分别讨论点在上和上两种情况：①当点在上时，与（1）情况相符，可用多次勾股定理求出；②当点在上时，画出图，勾股定理求出，得出为等腰直角三角形，利用长方形性质，证得为等腰直角三角形，再用勾股定理求出． 【详解】（1）证明：如图， 由旋转得 ∵ ∴ 即 又∵ ∴ ∵四边形为长方形 ∴（2分） 在与中， ∴ ∴（3分） （2）解：①当点在上时， 由（1）得 ∵在中， ∴ ∵在中， ∴ ∵在中， ∴当点在上时，；（3分） ②当点在上时， ∵在中， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵在长方形中， ∴ ∵，， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵由旋转得 在等腰直角中， 即 ∴ 由（1）得 ∴ ∵在中， ∴（3分） 综上所述，或． 24．（12分） 抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将、代入抛物线解析式中，转化为关于待定系数的方程组求解即可； （2）先求得点的坐标，结合，求得，再说明，进而得出，从而可得，就可求得，设直线的解析式为∶，将其上的两点坐标代入求得直线的解析式．再联立，求得P点的坐标； （3）设直线的解析式为，将、，代入求得直线的解析式，再根据，得出(同底等高)，再，设()，可用t表示出点的坐标，从而可用t表示出，就可求得，再利用求得当时，，从而可求得点的坐标． 【详解】（1）解∶∵抛物线过、， ∴， 解得：，， 抛物线解析式为；（3分） （2）解∶令， 解得∶(点A的横坐标)，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 过B作，交y轴于M， 则， ∴， ∴， 又， ∴是的高， ∴， ∴， 设直线为∶， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立， ∴， 解得∶(即点B的横坐标)，， 当时，， ∴．（4分） （3）解∶设直线的解析式为， ∵、， ∴， ∴直线的解析式为∶， ∵， ∴(同底等高) ， ∵、、， ∴，，， ∴， 设()，过Q作x轴的垂线，交于点F， 则， ． ∴， ∴ ∵ ∴当时，， 此时，即．（5分） 【点睛】本题考查了的图象与性质，的最值，待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 3 6 7 8 9 10 D D B D D C B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.(4,-) 12.2026 13.25° 14.10 15,1<月 三、解答题（本大题共9小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(6分) 【详解】(1)解：(3x+2)2=(5-2x)2, 3x+2=±(5-2x, 解得：7：3分》 (2)解：2x2-2√5x-3=0, a=2,b=-2V5,c=-3, :△=(-25-4×2x-3) =20+24 =44, x25)±25±25±m. 2×2 4 解得：5=5+面 2=5-13分 2 1/12 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(6分) 【详解】证明：：ABC是等边三角形， .AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°，(1分) 又：将AC绕点E旋转得到DF, .AC=DF,DE=CE.(1分)》 ·AB=DF,△DEC是等边三角形.(1分) .∠EDC=60°. 又：∠ABC=∠EDC=60°，(1分) AB∥DF. 又：AB=DF,(1分) .四边形ABDF是平行四边形.(1分) 18.(7分) 【详解】(1)解：当m=0时，原式可化为x2+x=0 xx+1=0 x=0;x3=-1.(2分) (2)证明：：△=[-(2m-1)]-4×1x-3m2+m) =4m2-4m+1+12m2-4m =16m2-8m+1 =(4m-1)2≥0 无论m为何值，方程总有实数根.(2分) (3)解：依题意，得x,+,=-。=2m-1,=C=-3m2+m: a :生+点+-2=-ξ1分) 2 :(2m--2=- -3m2+m 2 2/12 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4m2-4m+1-2=-2 5 -3m2+m 4m2-4m+1-6m2+2m_5 -3m2+m -3m2+m2 5m2-7m+2=0, (m-1)(5m-2)=0(1分) m=1或m= 2 经检验，m=1或m=2均符合题意.(1分) 19.(7分) 【详解】(1)解：将ABC绕原点0顺时针旋转90°得到△A'B'C',如图即为所求； (2分) 65432-L101.23.4.36 2 3 4 ------ (2)解：由勾股定理可得：0C=V2+32=√0， :C绕0到C的过程中所经过的路径长等于以0为圆心，半径为0C=0,圆心角为90°的弧长. :弧CC'=x2πx0=10元，2分) 2 (3)如图所示， 3/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6 65+43-2- 012 由对称得，A'P=A,P,A(5,-2 .A'P+PC=AP+PC≤CA ∴AC与x轴的交点P即为所求， 设AC所在直线的表达式为y=c+b 5k+b=-2 -3k+b=1 k=-3 解得 8 1 b=- 8 六4C所在直线的表达式为y=-3x- -8x-8 31 当y=0时，0= 88 解得x- 3 ne分 20.(8分) 【详解】(1)解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为96÷24%=400（名）； B组的人数为400×15%=60（名），即m=60: :所抽取学生成绩的中位数是第200和第201个成绩的平均数，且20+60+96=176<200， :所抽取学生成绩的中位数落在D组， E组的人数为：400-20-60-96-144=80（人）， 4/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 补全学生成绩频数分布直方图如下： 学生成绩频数分布直方图 频数/人 160 144 120 96 80 80 m 40 --20 0 A B CD E 成绩/分 故答案为：400,60，D:(3分) (2)解：2000×144+80-120（人， 400 答：估计该校成绩优秀的学生有1120人；(2分) (3)解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，抽取过程如图所示， 开始 第一次 男 男 第二次男2女1女2男，女1女2男，男2女2男男2女 共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种， :抽取的两名同学松好是一名男生和一名女生的概率是吕号.(3分) 21.(8分) 【详解】(1)证明：连接OE,如图. D OH :EF⊥BE, ∠BEF=90°， :OO是△BEF的外接圆， .BF是⊙0的直径，OE是O0的半径， ∠OEB=LOBE, 5/12 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :BE是∠ABC的角平分线， :ZOBE ZCBE .∠OEB=∠CBE, OE∥BC, ∠0EA=∠C=90°，即0E⊥AC. 又：OE是半径， .AC是00的切线；(3分) (2)解：①连接ED,如图， D :BE平分∠ABC,且EH⊥BA,EC⊥BC, .EH =EC, :∠DBE=∠FBE, .ED =EF, :∠EHF=∠C=90°， .RtaEHF RtECD (HL), .HF=CD=1;(2分) ②：Rt△EHF≌Rt△ECD,CE=2, .EH EC=2, 设0E=OF=r,则OH=r-1, 在直角三角形0HE中，OE2=OH+EH2, 则r2=(r-1)2+22, .r= 用00的半径为(3分) 22.（10分) 【详解】(1)解：：平均每条通道每分钟可安检6人， 6/12 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为4×6x=24x人； “排队人数=现场总人数已入场人数， ∴.w=-x2+60x+100-24x=-x2+36x+100; 故答案为：24x,w=-x2+36x+100;(2分) (2)解：把w=-x2+36x+100整理成顶点坐标式， 可得：w=-(x-18)+424, :当x=18时，w达到最大值，最大值是424， 答：排队人数在第18分钟达到最大值，最大人数是424人；(3分) (3)解：设开通了m条安检通道， 根据题意可得：w=-x2+60x+100-6mx, 整理得：w=-x2+(60-6mx+100,(2分) 对称轴为x三-6=30-3m, :排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少， 0<30-3m≤10， 解得：9≤m<10, :最多可以开通9条通道， 2 ≤m≤9， 3 :尽量少安排安检通道，以节省开支， 20 其中m为整数且m之 3 取m=7, “最少开设7条安检通道.(3分) 23.(11分) 【详解】(1)证明：如图， 7/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B M 由旋转得AE=AF :∠EAF=∠BAC .∠EAF-∠CAE=∠BAC-∠CAE 即∠FAM=∠BAE 又：FM⊥AC .∠AMF=90° :四边形ABCD为长方形 ∠B=90°(2分) 在AAMF与△ABE中， I∠FAM=∠BAE AE=AF ∠AMF=∠B=90° .△AMF≌△ABE(AAS .AM=AB(3分) (2)解：①当点E在BC上时， B F 由(1)得AB=AM=4 :在Rt△ABE中， BE=VAE2-AB=V8-4=反 ∴BE=FM=√2 :在Rt△ADC中， AC=√AD2+DC2=V32+42=5 8/12 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴CM=AC-AM=5-4=1 :在Rt△FCM中， CF=FM2+CM=2)'+1P=5 当点E在BC上时，CF=5;(3分) ②当点E在DC上时， M :在Rt△ADE中， DE =AE2-AD2 =i⑧-32=3 .DE=AD=3 ∴.ADE为等腰直角三角形 .∠DAE=∠AED=45° :在长方形ABCD中，AB∥CD .ZBAE ZAED =45 :∠BAE=∠BAC+∠CAE=45°，∠EAF=LBAC, .∠EAF+∠CAE=45°=∠CAF :△AMF为等腰直角三角形 .AM =MF :由旋转得AE=AF=√18 在等腰直角△AMF中， AM:+FM2=AF2 即2AM2=(V8) .AM=3 由(1)得AC=5 .MC=AC-AM=5-3=2 9/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :在Rt△FCM中， CF=FM2+CM2=32+22=13 CF=13(3分) 综上所述，CF=√3或√3. 24.(12分) 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+2x+c过A(-1,0)、C(0,3), 0=a-2+c 3=c 解得：a=-1,c=3, 抛物线解析式为y=-x2+2x+3;(3分) (2)解：令y=-x2+2x+3=0, 解得：x=-1(点A的横坐标)，x2=3, B3,0, :C0,3), 0B=0C=3, 又∠B0C=90°， .∠BC0=∠0BC=45°， 过B作BP⊥BC,交y轴于M, 珠 B M 则∠CBM=90°， ∴∠0MB=90°-∠BCM=45°=∠BCM, .BC=BM, 10/122025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 12. 12 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(6分) (1)(3x+2)2=(5-2x)2: (2)2x2-2V5.x-3=0: 17.(6分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 19.(7分) B 2 654321 0123456 21 3 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图 频数/人 160 144 E 0 120 96 80H m B C 40H 20 15%/ 24% 0 E成绩/分 (1)本次调查一共随机抽取了」 名学生的成绩，频数分布直方图中=，所抽取学生成绩的 中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图： 21.(8分) C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 黑点表示观众 安检口。·。·。 ·安检口。。·。· 舞 ● 安检口·· 0●● 通道未开放 (①)当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为 排队人数w与安检时间x 的函数关系式为 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) B B E D 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 0 m E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级数学上册第21~25章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图形：“刘徽割圆术”、“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   2．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．下列事件中是必然事件的是（    ） A．内错角相等 B．经过红绿灯路口，遇到红灯 C．任意抛掷一枚硬币，正面朝上 D．三角形任意两边之和大于第三边 4．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为平方步，长比宽多步，问宽和长各几步？设宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 7．已知二次函数的顶点坐标为，若点在函数图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 12．若二次函数的图象经过点，则 ． 13．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为 ． 14．如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为 ． 15．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为 ． 3、 解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 解方程∶ (1)； (2)； 17．（6分） 如图，已知是等边三角形，E 为边 上一点，连接．将绕点 E 旋转，使点 C 落在 上的点 D 处，点 A 落在 上方的点 F 处，连接．求证：四边形是平行四边形． 18． （7分） 已知关于的一元二次方程． (1)当时，方程的根为 ； (2)求证：无论为何值，方程总有实数根； (3)若，是方程的两个实数根，且，求的值． 19． （7分） 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)在（1）的条件下，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． (3)在x轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 20． （8分） 某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 21． （8分） 如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆，与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)过点E作于点H，若，． ①求的长； ②求的半径． 22． （10分） 综合与实践 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 条件：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为___________，排队人数与安检时间的函数关系式为___________ (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 23． （11分） 如图，在长方形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，且，连接． (1)当点在上时，作，垂足为，求证：； (2)当时，求的长． 24．（12分） 抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][√][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.AIIBIICIIDI 5.Al[BIICI[DI 9AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICJIDI 6.1AJIBIICIIDI 10.[AJIBIICIID] 3.A1[B1IC1[D] 7.AIIBIICI[DI 4.A1[B1[CI[D] 81A]IB]ICI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 12. 14 15. 和脑口h体晒一上华山切：么k忙山阳宀从体声干效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共y个小邀，共门分，群合应与出义子况明，址明心程叱演异步球) 16.(6分) (3x+22=(5-2x2: (2)2x2-2√5x-3=0: 17.（6分) D 请椿车趣馆趣酸城售等，超超黑形拆限定酸树修筝统效！ 18.(7分) 晴在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图 频数/人 160 144 0 120 --- E 96 80 m --- A B C 40 20 15%/ 24% 0LΛ R 击唐公 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分) 黑点表示观众 安检口。·。·。 ● ·安检口。··。。 餐 安检口。。 ●●。 通道未开放 ()当开通4条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为 ,排队人数w与安检时间 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) B A B E D D 备用图 请在务颗的瓷好域作瓷，出黑色形冲趣限球的答案无效： 24.(12分) y m B 图1 图2